精品解析：福建省泉州市安溪铭选中学2024－2025学年九年级上学期月考数学试卷

福建安溪铭选中学2024—2025学年第一学期月考试卷 初三数学 （时间：90分钟 满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ） A. 1，-1，-3 B. 1，-3，-1 C. 2，-3，-1 D. 2，-3，-2 4. 用配方法解方程时，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的方程是一元二次方程的条件是（ ） A. B. C. D. a为任意实数 6. 在下列四组线段中，成比例线段的是（　　） A. 3、4、5、6 B. 5、15、2、6 C. 4、8、3、5 D. 8、4、1、3 7. 如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、、、、，若，，，则的值是（ ） A. 4 B. 9 C. 10 D. 15 8. 将的各边长作如下变化，得到的新三角形与相似的是（ ） A. 各边长都加2 B. 各边长都减2 C. 各边长都乘2 D. 各边长都平方 9. 如图，在菱形中，点是的中点，点是的中点，连接．如果，那么菱形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 10. 设α，β是方程的两根，则的值是（ ） A. B. 5 C. 3 D. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．） 11. 任意写出一个最简二次根式________． 12. 若，则的值为_______． 13. 已知点是等腰直角三角形的重心，，那么的长为______． 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 _____． 15. 如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿方向运动，速度是；动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是，若P、Q同时出发，点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，在_______s时，与相似． 三、解答题（本题共7小题，共60分．请在答题纸的相应位置解答） 16. 计算：． 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中：． 19. 已知关于x的一元二次方程有一个根是，求另一个根及k值． 20. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？ 21. 已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点B落在边上的P点处． （1）求证：； （2）若与的面积比为，求边的长； 22. 已知：如图，在四边形中，平分，． （1）尺规作图：在上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，， ①求的长； ②在（1）的条件下，连接交于点F，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建安溪铭选中学2024—2025学年第一学期月考试卷 初三数学 （时间：90分钟 满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式．对原式进行化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、是最简二次根式，本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加法法则以及二次根式的性质．根据二次根式的加法运算以及二次根式的性质逐一分析即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算正确，符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ） A. 1，-1，-3 B. 1，-3，-1 C. 2，-3，-1 D. 2，-3，-2 【答案】D 【解析】 【分析】把一元二次方程化为一般形式求解即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般式得：， ∴一元二次方程的二次项系数是2，一次项系数是-3，常数项是-2， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a≠0），其中叫二次项，a叫二次项系数；bx是一次项，b为一次项系数；c为常数项． 4. 用配方法解方程时，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再配方即可判断． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即； 故选：A． 5. 关于x的方程是一元二次方程的条件是（ ） A. B. C. D. a为任意实数 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得，再解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 6. 在下列四组线段中，成比例线段的是（　　） A. 3、4、5、6 B. 5、15、2、6 C. 4、8、3、5 D. 8、4、1、3 【答案】B 【解析】 【详解】A、因为3：4≠5：6，则3、4、5、6不是比例线段，所以A选项错误； B、因为5：15=2：6，则5、：15、2、6是比例线段，所以B选项正确； C、因为4：8≠3：5，则4、8、3、5不是比例线段，所以C选项错误； D、因为8：4≠1：3，则8、4、1、3不是比例线段，所以D选项错误． 故选：B． 7. 如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、、、、，若，，，则的值是（ ） A. 4 B. 9 C. 10 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：，，，， ， 即， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键． 8. 将的各边长作如下变化，得到的新三角形与相似的是（ ） A. 各边长都加2 B. 各边长都减2 C. 各边长都乘2 D. 各边长都平方 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：的边长分为， 则，，， 故选：C． 9. 如图，在菱形中，点是的中点，点是的中点，连接．如果，那么菱形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】由点、分别是、的中点，，利用三角形中位线的性质，即可求得的长，然后由菱形的性质，求得菱形的周长． 【详解】解：点、分别是、的中点，， ， 四边形是菱形， 菱形的周长是：． 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．求出的长是解题的关键． 10. 设α，β是方程的两根，则的值是（ ） A. B. 5 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义．根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据一元二次方程的解的定义得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．） 11. 任意写出一个最简二次根式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键； 最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行解答即可． 【详解】解：一个最简二次根式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比例的性质．根据得，代入即可得出答案． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 13. 已知点是等腰直角三角形的重心，，那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，求出的长，然后根据重心的性质可知，最后由勾股定理可求得的长 【详解】连接并延长交于点， ∴是等腰直角三角形斜边的中线 ∴ ∵点是等腰直角三角形的重心， ∴，且 在中，根据勾股定理得： 【点睛】本题考查的等腰直角三角形的性质，重心的性质，熟知重心的性质是解题的关键 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得到， 解得k≤． 故答案为：k≤． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 15. 如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿方向运动，速度是；动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是，若P、Q同时出发，点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，在_______s时，与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】分和两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可 【详解】解：设x秒后与相似， 当时， ， 即， 解得， 当时， ， 即， 解得， 即秒或秒后与相似． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 三、解答题（本题共7小题，共60分．请在答题纸的相应位置解答） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 因式分解得， 即或， ，． 18. 先化简，再求值：，其中：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 已知关于x的一元二次方程有一个根是，求另一个根及k值． 【答案】它的另一个根是7，k的值为4 【解析】 【分析】先设它的另一个根是a，根据根与系数的关系可得，解可求a，再把代入方程易求k． 【详解】解：设它的另一个根是a，则 ， 解得， 把代入方程，得 ， 解得． 答：它的另一个根是7，k的值为4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的定义以及根与系数的关系． 20. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？ 【答案】5米． 【解析】 【分析】设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，根据题意列出一元二次方程，然后解方程结合实际意义即可求出结论． 【详解】解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米， 依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45， 整理，得：x2﹣8x+15＝0， 解得：x1＝3，x2＝5． 当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去； 当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意． 答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 21. 已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点B落在边上的P点处． （1）求证：； （2）若与的面积比为，求边的长； 【答案】（1） 证明：∵矩形中，，，， 由折叠知，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形折叠．熟练掌握矩形性质，折叠性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键． （1）由矩形性质和折叠性质知，，得到，根据，得到，即得； （2）设，则，根据相似三角形的性质得到，得到，得到，，由勾股定理得到，解得，，得到，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴． 22. 已知：如图，在四边形中，平分，． （1）尺规作图：在上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，， ①求的长； ②在（1）的条件下，连接交于点F，求的值． 【答案】（1） 如图，点E即为所求； （2）①的长为，② 【解析】 【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行，作即可解决问题； （2）①证明，过点C作于点G，根据角平分线的性质可得，然后证明，可得，再利用勾股定理即可解决问题； ②由，，可得，根据相似三角形性质得，进而可以解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接,交于点,过点C作于点G， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； ②∵，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，平行线的性质，熟练运用相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $