2024-2025学年沪科版八年级数学上册期末复习专题：第13章三角形边角关系

2024-2025沪科版八年级期末复习专题：第13章三角形边角关系 班级 姓名 组号 一、单选题（40分） 1．如图所示，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离不可能是（　　） 第1题 第3题 第4题 第5题 第7题 A．5米 B．15米 C．10米 D．20米 2．已知三角形的三边长分别是，，，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，已知点，，分别是边，，的中点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，在三角形中，，，，．点P在边上，连接，则的最小值为（   ）A．5 B． C．12 D． 5．如图，在中，，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将纸片沿DE折叠使点A落在点处，且平分，平分，若，则的大小为（　　）A．66° B．48° C．96° D．132° 8．下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；④，，是同一平面内的三条直线，若，，则．其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 10．如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；，以此类推得到，则的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（20分） 11．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： ． 12．如图，为的中线，，．若的周长，则的周长为 ． 13．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 ． 14．如图，若，则 三、解答题 15．如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长少6cm，AB与AC的和为18cm，求AC的长（10分） 16．如图，点D是△ABC的BC边上的一点，且=66°， 求AC的度数． 17．如图，在中，点在上，且，，，求和的度数． 18．如图，在中，，为AB边上的高，平分，分别交，于点F，E． (1)若，求的度数；(2)与相等吗？请说明理由． 19．已知：如图，点D是ABC内一点．求证：   (1)BD＋CD＜AB＋AC；(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC． 20．如图，BD是ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E． （1）=40°，=60°，求BED的度数； （2）若，EDC=65° ，求A的度数． 21．如图①， (3)如果图②中为任意角时，其他条件不变，之间存在着怎样的数量关系(直接写出结论即可)． 22．如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角的角平分线交于点，试探索之间的数量关系． (3)如图③，延长线段、交点中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数． 23．已知：如图①，BP、CP分别平分BC的外角 （1）当0°时，　 　，C=　 　； （2）当时，求C的度数； （3）如图②，当0°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写C的度数． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D B A C B C C 1．A 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即5米米， ∴不可能等于5米， 故选：A． 2．A 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴， 解得：， ∴选项中符合题意， 故选：． 3．B 【分析】本题考查三角形中线的性质，掌握中线的基本性质，熟练推理三角形面积之间的关系是解题关键． 直接根据三角形中线的性质进行求解即可：三角形中线平分三角形面积． 【详解】解：∵D为的中点， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查三角形的面积，垂线段最短，灵活运用等面积法是解题的关键；由三角形等面积法直接求斜边上的高． 【详解】解：∵垂线段最短， ∴当时，最小， 此时， ， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了含角平分线的三角形内角和定理问题，牢记三角形内角和是是解题的关键． 首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线的概念得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴． 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查了直角三角形以及三角形的内角和定理．根据三角形内角和等于，，得到，，得到具备条件A的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件B的是直角三角形；根据得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据得到，得到具备条件D的是直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形定义，是解决问题的关键． 【详解】A、由及可得，，不是直角三角形，故符合题意； B、由及可得，是直角三角形，故不符合题意； C、由及可得， 是直角三角形，故不符合题意； D、由及可得，，，是直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 7．C 【分析】此题主要考查角平分线的性质和三角形的内角和定理，连接，首先求出，再证明即可解决问题． 【详解】解： 连接， ∵ ∴ ∵平分，平分 ∴ ∴ 由题意得： ∴ ∴， ∴. 故选：C. 8．B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，熟练掌握相关知识是解题关键．利用平行线的性质及判定，即可判断①③④，根据锐角和钝角的特点即可判断②，分别判断后确定正确的选项，即可解题． 【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题； ②两个锐角的和不一定是钝角，故原命题是假命题； ③，，是同一平面内的三条直线，若，，则，是真命题； ④，，是同一平面内的三条直线，若，，则，是真命题． 综上所述，真命题有2个． 故选：B． 9．C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④． 【详解】解：，的平分线交于点， ，， ， ， ， ， ，故①正确， 平分， ， ，， ，故②正确； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， ，故③错误； ， ， ， ．故④正确， 综上正确的有：①②④， 故选：C． 10．C 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得，，， ∴， ∴， 故选：C． 11．两个锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】找出原命题的条件和结论，再把原命题的条件变为逆命题的结论，把原命题的结论变为逆命题的条件即可求解． 【详解】解：命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形， 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了写出原命题的逆命题，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键． 12．/31厘米 【分析】本题考查了三角形的中线，以及线段的和差，找出线段之间的数量是解题关键．由题意可知，，进而得出，即可求出的周长． 【详解】解：为的中线， ， ，的周长， ， 的周长， 故答案为：． 13．42°或84°或92°． 【分析】分42°角是α、β和既不是α也不是β三种情况，根据友好角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：①42°角是α，则友好角度数为42°； ②42°角是β，则α＝β＝42°， 所以，友好角α＝84°； ③42°角既不是α也不是β， 则α＋β＋42°＝180°， 所以，α＋α＋42°＝180°， 解得α＝92°， 综上所述，友好角度数为42°或84°或92°． 故答案为：42°或84°或92°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解友好角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论． 14．/250度 【分析】按图先进行标注，根据外角性质分别表示出，，，，再根据，进行求解即可得出最后结果． 【详解】解：如图，进行标注，    是的一个外角， ， 是的一个外角， ，即， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，圆周角及邻补角的应用，熟练掌握外角性质是解答本题的关键． 15． 【分析】根据中线的定义知，结合三角形周长公式知；因为AB与AC的和为18cm，则可求出的长度． 【详解】解：∵AD是BC边上的中线， ∴是的中点，， ∵△ADC的周长比△ABD的周长少6cm， 即：cm， ∴①， ∵AB与AC的和为18cm， 即：②， ②－①得：cm． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形中线． 16．28° 【分析】根据三角形的外角和内角和性质计算即可得出答案. 【详解】解：由图和题意可知：∠BAC=180°-∠2-∠3     又∠3=∠4=∠1+∠2， ∴66°=180°-∠2-（∠1＋∠2）    ∵∠1=∠2 ∴66°=180°-3∠1，即∠1=38° ∴∠DAC=∠BAC-∠1=66°-38°=28° 【点睛】本题考查的是三角形，外角定理是三角形中求角度的常用定理，需要熟练掌握. 17．， 【分析】本题考查了三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理．根据三角形外角的性质，得到，再根据三角形内角和定理，得到，进而求得，即可求出和的度数． 【详解】解：是的外角， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 18．(1)10° (2)相等，理由见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形角平分线、中线和高的有关知识． （1）根据直角三角形的性质得出∠CBE，进而利用角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可， （2）题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）如下图： ∵， ∴， ∵， ∴, 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长BD交AC于E，从而找到BD＋CD与AB＋AC的中间量BE+CE，再利用不等式的传递性(若a<b，b<c，则a<c．)得出BD＋CD＜AB＋AC ； （2）同理可得AD+CD<AB+BC，BD+AD<BC+AC，与（1）结论左边加左边，右边加右边，再两边除以2即可． 【详解】（1）证明：延长BD交AC于E，    在△ABE中，有AB+AE＞BE， ∴AB＋AC=AB+AE+CE＞BE+CE， 在△EDC中，有DE+CE＞CD， ∴BE+CE= BD+DE+CE＞BD+CD， ∴AB＋AC＞BE+CE＞BD+CD， ∴BD＋CD＜AB＋AC； （2）解：由（1）同理可得： BD＋CD＜AB＋AC①， AD＋CD＜AB＋BC②， BD＋AD＜BC＋AC③， ①+②+③得：2（AD+BD+CD）<2（AB+BC+AC）， ∴AD+BD+CD<AB+BC+AC． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，不等式的性质，能否根据题意添加辅助线和利用不等式的性质是解题的关键． 20．（1）140°；（2）35° 【分析】（1）由外角的性质可得，由角平分线的性质可得，由平行线的性质即可求解； （2）由外角的性质和角平分线的性质可得，再由，即可求出的度数． 【详解】解：（1），，， ， 是的角平分线， ， ， ， ； （2）是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，外角的性质，角平分线的性质，解题的关键是灵活应用这些性质解决问题． 21．（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）38°；（3）2∠P=∠B+∠D 【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解； （3）根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证． 【详解】解：（1）在中，， 在中，， （对顶角相等）， ， ； （2），， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； （3）根据“8字形”数量关系，，， 所以，，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 22．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 23．(1) 70°，125°；(2) ∠BAC=60° (3) 45° 【详解】分析：（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可； （3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数. 详解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°， ∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线， ∴∠CBP+∠BCP=（∠DBC+∠BCE）=110°， ∴∠BPC=180°﹣110°=70°， ∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线， ∴∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB， ∴∠QBC+∠QCB=55°， ∴∠BQC=180°﹣55°=125°； （2）∵BM∥CN， ∴∠MBC+∠NCB=180°， ∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线， ∴（∠DBC+∠BCE）=180°， 即（180°+∠BAC）=180°， 解得∠BAC=60°； （3）∵∠BAC=120°， ∴∠MBC+∠NCB=（∠DBC+∠BCE）=（180°+α）=225°， ∴∠BOC=225°﹣180°=45°． 点睛：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 以行促学，知行合壹 ☆ 勤学苦练，厚积薄发 第 5 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$