第22单元（二次函数）-单元测试卷（2）-2024-2025学年人教版数学九年级上册

数学人教版9年级上册 第22单元（二次函数） 单元专题卷 （时间：120分钟 总分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、单选题（共12题 满分24分 每题2分） 1．已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 3．下列函数的图象与轴正半轴有交点的是（    ） A． B． C． D． 4．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（    ） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 5．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 6．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．二次函数的图象过点，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是函数的图象，那么无论x为何值，函数值y永远为负的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 9．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．若关于的方程有三个不相等的实数根，且三个实数根的和为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，，用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为； ④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积． 其中，正确结论的个数是（    ） A．l B．2 C．3 D．4 11．如图，菱形的边长为，，动点E从点B出发，以的速度沿射线方向运动，动点F同时从B出发，以的速度沿边向点C运动，点F到达点C时点E同时停止运动，若点F运动的时间为t秒，的面积为，则S关于t的函数图象是（    ） A． B． C． D． 12．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条拋物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．有下列结论：①小球从飞出到落地用时为；②小球飞行的最大高度为；③小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（共12题 满分36分 每题3分） 13．已知函数与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为 14．若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x …… 0 1 3 …… y …… 2 7 …… 则方程的解是 ． 15．若关于x的方程恰有三个根，则t的值为 ． 16．二次函数的对称轴为直线，点，都在函数图象上． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 17．已知二次函数经过，两点，其中，且．下列结论：①；②当时，直线与抛物线有交点；③关于的不等式的解集是；④若，则当时，随的增大而减小．其中正确的结论是 （填写序号）． 18．已知二次函数的图像与直线交于点两点，则关于的不等式的解集为 ． 19．已知点，，在二次函数的图象上，则方程的解为 20．抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为 ； 21．如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米．（可用含根号的式子表示） 22．某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件，经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为元，每天的销售利润为元，则与的函数关系式为 ． 23．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为 ． 24．冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，与的函数关系式为，当他与跳台边缘的水平距离为 时，竖直高度达到最大值． 三、解答题（共8题 满分60分） （7分）25．如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于点A，B两点，请回答下列问题． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在y轴上，且，求线段的长． （7分）26．已知二次函数 （m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； (2)求证： 当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方． （7分）27．抛物线上存在两点，． (1)求抛物线的对称轴；（用含m的式子表示） (2)记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点），y轴上一动点，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围； (3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若，求m的取值范围． （7分）28．二次函数解析式为． (1)判断该函数图象与x轴交点的个数； (2)如图，在平面直角坐标系中，若二次函数图象顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，点C的坐标是，求直线的解析式； (3)请你作一条平行于x轴的直线交二次函数的图象于点M，N，与直线于点R，若点M，N，R的横坐标分别为m，n，r，且，求的取值范围． （8分）29．根据以下素材，完成探索任务． 问题提出：根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格之和）不高于5900元的情况系，如何设计最大饲养室面积的方案？ 素材一：如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有长的墙，中间用一道墙隔开，计划的建筑材料可建围墙的总长为，开两个门，且门宽均为． 素材二：每个门的价格为250元． 素材三：与现有墙平行方向的墙建筑费用为300元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米． 问题解决： 任务1：设，矩形ABCD的面积为S，求S关于x的函数表达式． 任务2：探究自变量x的取值范围． 任务3：确定设计方案：当 ， 时，S的最大值为 ．（直接填写结果） （8分）30．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明； (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． （8分）31．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元． (1)求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？ (2)调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少3元；每减少1盆，每盆利润增加3元；花卉每增加1盆，花卉的平均每盆利润减少1元；每减少1盆，每盆利润增加1元．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后利润分别为，（单位：元）． ①求，关于x的函数关系式； ②当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？ （8分）32．有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到． (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 参考答案 1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．C 13．0或1或2 14． 15．或 16．1 或 17．①②④ 18． 19．或 20．5 21． 22． 23． 24．6 25．（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）令，则， 解得， ∴，， ∴， ∴． ①当时， ②当时， 综上：的长为1或． 26．（1）解：令，则 ∴ ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）∵二次函数的解析式为， ∴二次函数与y轴的交点坐标为， ∵当时，， ∴当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方． 27．（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为：； （2）解：由可知： 抛物线的顶点坐标为：， 当时：， 当时：， ∴，， ∵， ∴过点C垂直于y轴的直线l：，如图： 由图象可知：当或时，直线l与F有且仅有一个交点， ∴a的取值范围为：或； （3）解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ①当M在点A的左侧，即：，时，y随x的增大而减小， ∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小， ∴， 解得：或（舍去）； ②当M在点A与顶点坐标之间时， 此时，即，不符合题意； ③当M在对称轴右侧，即时， 时，A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：，此时不符合题意； 当时，此时M点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小， ∴， 解得：（舍），或； ∴； 综上：或． 28．（1）解：令二次函数， 则， ， ， 函数图象与x轴交点的个数是2； （2）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得， 故抛物线的表达式为， 令，； 设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为； （3）解：∵， ∴直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A）， 当时，即，解得， 故， 由抛物线的对称性知，点M、N关于抛物线的对称轴对称， 故， ， ∴． 29．解：任务1：根据题意可得， ， 任务2：由题意得，， 即， 解得：， 根据题意可得：新墙建筑费用元， 则总费用元， ∵总费用不高于5900元， ∴，解得：， ； 任务3：由任务1知， ∵，图象开口向下，且， ∴当时，面积有最大值，最大值为，此时， ∴设计方案是的最大值为， 故答案为：． 30．（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为米，宽度为米，现在点为原点， ∴点，顶点， 设抛物线的解析式为． 把点，点代入得： 解得 ∴抛物线的解析式为 ，， 自变量x的取值范围为：； （2）解：当时，， 能同时并行两辆宽米、高5米的特种车辆． （3）解：设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则   ∴ ∵， ∴当时，l有最大值为． 答：三根木杆的长度和的最大值是米． 31．（1）解：设1盆盆景和1盆花卉的利润分别为x元和y元，由题意得： ，解得：， 答：1盆盆景的利润为140元，1盆花卉的利润为20元； （2）由题意可知，第二期有盆景盆． ①； ； ② ， ∵，抛物线开口向下， ∴当或3时，W取得最大值，． ∴当或3时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大． 32．（1）解：①当时，则． 代入， 得， 解得； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点为． ∴ ∴点A，B之间的距离为； （2）解：设点， ∵落点A和落点C重合， ∴． 根据题意，设段抛物线的解析式为， 抛物线在线段的中点时有最高点，此时该中点的横坐标为． ∴， 即，解得， ∴此时段抛物线的解析式为， 令，得，即． ∴当时，落点C恰好与落点A重合． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$