精品解析：安徽省合肥市肥西县部分学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

九年级数学 （沪科版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质得，将其代入计算，即得答案． 【详解】 ， ． 故选：C． 2. 抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（　　） A. 开口向下， B. 开口向上， C. 开口向下， D. 开口向上， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的特点，二次函数图象的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，二次函数顶点式的特点是解题的关键． 根据二次函数顶点式中，，图象开口向上，，图象开口向下，顶点坐标为，由此即可求解． 【详解】解：抛物线中， ∵， ∴图象开口向下， ∴由顶点式可得顶点坐标为， 故选：A ． 3. 如图，，已知，，则的值为（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答即可，解题的关键是熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 4. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值可以是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质， 根据反比例函数的图象在第二四象限，可得，求出解集，再判断即可． 【详解】∵反比例函数的图象在第二四象限， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 5. 如图，，和分别是和的角平分线，已知，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的对应边的比，对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比均等于相似，对应面积的比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵和分别是和的角平分线， ∴，即， 故选：A ． 6. 如图，在中，点是上一点，下列条件不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，两组对应角相等或者夹角相等，两边成比例的三角形是相似三角形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、因为，，所以，故该选项不符合题意； B、因为，，所以，故该选项不符合题意； C、因为，且夹角都不是，即夹角不相等，所以不相似，故该选项符合题意； D、因为，且，即夹角相等两边成比例，所以，故该选项不符合题意； 故选：C 7. 如图，在一片树叶中，为的黄金分割点，如果的长度为，那么较短线段的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知，P为的黄金分割点， 又因为， ， 所以， 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，点都是双曲线上的点，连接并延长交轴于点，已知的面积为，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，相似三角形的判定与性质，过点A作轴于点E，过点B作于点D，证明，则，设设，则，，点，然后通过三角形面积即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点B作于点D． ∵， ∵， ∵， ∴， ∴． 设，则，， ∴点， ∴， ∴，则， ∴， 解得． 故选：D． 10. 如图，正方形的边长为，点和点分别沿着路线和同时运动，点和点的运动速度分别为、，当点运动到点时，两点同时停止运动，连接，，设的面积为，运动时间为，和之间的函数关系图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的解析式和图象．根据题意确定函数关系是解题的关键． 由题意知，当时，；当时，，然后根据一次函数和二次函数的图象求解作答即可． 【详解】解：由题意知，当时，点在上，如图1， ∴； 当时，点在上，如图2， ∵， ∴， ， ∴函数图象如下； ． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后得到的抛物线的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可求解． 【详解】解：抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的解析式为：， 故答案为： ． 12. 如图，已知，补充一个条件：___________，可使． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，结合题意，求解即可． 【详解】解：补充： ∵， ∴， 设， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，某公园的示意图是对角线互相垂直的四边形，已知米，则该四边形公园的最大面积为___________平方米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 由，可得，如图，记的交点为，根据，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图，记的交点为， ∴， 整理得，， ∵， ∴当时，该四边形公园的面积最大，为平方米， 故答案为：． 14. 如图，在矩形的边上取一点，使得，点是上一点，以为直角边作等腰，．连接并延长交于点． （1）若，则的度数为___________°； （2）连接，若，，则的最小值为___________． 【答案】 ①. 55 ②. 【解析】 【分析】（1）由题意可知和都是等腰直角三角形，则有，然后可得，进而可得，则问题可求解； （2）由（1）可知，，然后可得，进而可知当时，有最小值，此时是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）由题意可知和都是等腰直角三角形， ∴，， ，， ，即，， ∴， ，如图． 又， ， 则； （2）由（1）可知，， ， 由点是上一点，当时，有最小值，此时是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ，即， 解得； 故答案为55，． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，抛物线（b，c是常数）与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点A和点B，已知．求，的值． 【答案】2， 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键； 根据，的长，求出A、B点的坐标，然后运用待定系数法即可求出答案． 【详解】解：，点A和点B位于x负半轴和y负半轴， 点，点， 代入，得 ， 解得， 即，的值分别为2，． 16. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：． 【答案】 证明：根据勾股定理，得，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定，由网格可知，，，，，，再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可求证，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，在网格中画出（1）中的位似图形，使与的相似比为． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图和位似作图，掌握关于x轴对称的两点坐标特点和位似图形的坐标特点是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数找出三个顶点的对应点，再连线即可； （2）根据位似图形的坐标特点，先求出对应点的坐标，再描点连线即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了比例线段． （1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的长． 【小问1详解】 解：设，则，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴， 解得或（舍去）， ∴线段． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知抛物线（是常数） （1）当时，求该抛物线的顶点坐标； （2）证明：不论为何值，该抛物线与轴没有交点． 【答案】（1） （2） 解：， 不论为何值，该抛物线与轴没有交点． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点等知识，解题的关键是： （1）把代入函数解析式，然后把函数解析式化为顶点式即可求解； （2）证明即可． 【小问1详解】 解：当时，， 该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 略 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出关于的不等式的解集：___________； （3）连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）12 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合问题，求反比例函数关系式， 对于（1），分别将两个点的坐标代入一次函数关系式，可求出两个点的坐标，再将点A代入反比例函数关系式可得答案； 对于（2），根据反比例函数图象在一次函数的图象上方，可得自变量取值范围； 对于（3），先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据大三角形的面积减去两个小三角形的面积得出答案． 【小问1详解】 ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴点． ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数关系式为； 【小问2详解】 当或时． 故答案为：或； 【小问3详解】 如图所示，当时，，所以点； 当时，，所以点． ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 九年级学生小林进行跨学科自主学习活动，他利用函数的相关知识在实验场景和实验场景下做对比，研究某种化学试剂的挥发情况，若当实验过程中该试剂挥发时间为分钟时，在实验场景，中的剩余质量分别为，（单位：克）记录，与的几组对应值如下： （分钟） 0 5 10 15 20 … （克） 25 23.5 20 14.5 7 … （克） 25 20 15 10 5 … 请你协助小林将探究过程补充完整： （1）在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数，的图象； （2）进一步探究发现，实验场景的图象是抛物线的一部分，与之间近似满足二次函数：；实验场景的图象是直线的一部分，与之间近似满足一次函数，则___________，___________，___________； （3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于5克时，才能发挥有效作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景，中发挥有效作用的时间分别为，，则___________（填“>”，“=”或“<”）． 【答案】（1） 由题意，作图如图． （2），25， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用等知识点， （1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解； （2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可； （3）依据题意，分别求出当时x的值，即可得出答案； 熟练掌握一次函数、二次函数的性质是解决此题的关键． 【小问1详解】 （1） 略 【小问2详解】 由题意，实验场景的图象是抛物线的一部分，与之间近似满足函数关系， ∵点，在函数图象上， ， 解得， 实验场景函数关系式为， 对于实验场景的图象是直线的一部分，与之间近似满足函数关系， ∵，在函数图象上， ，解得， ∴实验场景函数关系式为， 故答案为：，25，； 【小问3详解】 由题意，当时，实验场景中，，实验场景中，， 故答案为：． 七、（本题满分12分） 22. 在中，，点是上一点，过点作于点． （1）如图1，证明：； （2）已知平分，点是上一点，与交于点，，． ①如图2，当时，求的值； ②如图3，当点为的中点时，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， ， 又， ， ，即； （2）①，② 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分的性质定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可证，由此即可求证； （2）①在中，运用勾股定理可得，根据垂直的定义可得即，可证，由此即可求解；②根据，平分，由角平分线的性质定理可得，可证，由（1）可知，可得，过点作，与延长线交于点，如图，则，可证，得到，则，由相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①在中，， 平分， ， ，， ，即， ， ； ②，，平分， ， 又，， ， ，则， 由（1）可知，则，且， ， 解得， 过点作，与延长线交于点，如图，则， ，， 又点是的中点，即， ， ， ，则， ． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）已知． ①求该抛物线的对称轴； ②若，当时，有最大值13，求的值； （2）已知，，若点，和在该抛物线上，且，则___________（用含，的式子表示），的取值范围为___________． 【答案】（1）①，② （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）①根据可求解；②根据二次函数的增减性可知当时，为最大值，然后代入求解即可； （2）由题意易得二次函数的图象开口向上，且，均在抛物线上，则有对称轴为直线，然后根据二次函数的性质可进行求解 【小问1详解】 解：①， ，则抛物线为， 该抛物线的对称轴为直线； ②， 抛物线开口向上，又， 当时，为最大值，即， 解得； 【小问2详解】 解：当时，则有， ∴二次函数的图象经过点， ，均在抛物线上， 抛物线的对称轴为直线， ； 抛物线经过，， ，， ， ， 由，得， ， ， ； 由，得， ， ， 综上，； 故答案为；． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 （沪科版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若，则的值为（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（　　） A. 开口向下， B. 开口向上， C. 开口向下， D. 开口向上， 3. 如图，，已知，，则的值为（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 4. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值可以是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，，和分别是和的角平分线，已知，，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点是上一点，下列条件不能判定的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在一片树叶中，为的黄金分割点，如果的长度为，那么较短线段的长度为（　　） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点都是双曲线上的点，连接并延长交轴于点，已知的面积为，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，正方形的边长为，点和点分别沿着路线和同时运动，点和点的运动速度分别为、，当点运动到点时，两点同时停止运动，连接，，设的面积为，运动时间为，和之间的函数关系图象大致为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后得到的抛物线的函数表达式为___________． 12. 如图，已知，补充一个条件：___________，可使． 13. 如图，某公园的示意图是对角线互相垂直的四边形，已知米，则该四边形公园的最大面积为___________平方米． 14. 如图，在矩形的边上取一点，使得，点是上一点，以为直角边作等腰，．连接并延长交于点． （1）若，则的度数为___________°； （2）连接，若，，则的最小值为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，抛物线（b，c是常数）与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点A和点B，已知．求，的值． 16. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，在网格中画出（1）中的位似图形，使与的相似比为． 18. 已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知抛物线（是常数） （1）当时，求该抛物线的顶点坐标； （2）证明：不论为何值，该抛物线与轴没有交点． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出关于的不等式的解集：___________； （3）连接，，求的面积． 六、（本题满分12分） 21. 九年级学生小林进行跨学科自主学习活动，他利用函数的相关知识在实验场景和实验场景下做对比，研究某种化学试剂的挥发情况，若当实验过程中该试剂挥发时间为分钟时，在实验场景，中的剩余质量分别为，（单位：克）记录，与的几组对应值如下： （分钟） 0 5 10 15 20 … （克） 25 23.5 20 14.5 7 … （克） 25 20 15 10 5 … 请你协助小林将探究过程补充完整： （1）在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数，的图象； （2）进一步探究发现，实验场景的图象是抛物线的一部分，与之间近似满足二次函数：；实验场景的图象是直线的一部分，与之间近似满足一次函数，则___________，___________，___________； （3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于5克时，才能发挥有效作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景，中发挥有效作用的时间分别为，，则___________（填“>”，“=”或“<”）． 七、（本题满分12分） 22. 在中，，点是上一点，过点作于点． （1）如图1，证明：； （2）已知平分，点是上一点，与交于点，，． ①如图2，当时，求的值； ②如图3，当点为的中点时，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）已知． ①求该抛物线的对称轴； ②若，当时，有最大值13，求的值； （2）已知，，若点，和在该抛物线上，且，则___________（用含，的式子表示），的取值范围为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $