期末复习之解答压轴题 -2024-2025学年北师大版数学八年级上册

期末复习之解答压轴题 1．葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？ (1)想一想怎样找出最短路径； (2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？ 2．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 3．如图，和都是等腰直角三角形，， (1)如图，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______． (2)把绕直角顶旋转到图的位置，（）中的结论还成立吗？说明理由． (3)把绕点在平面内自由旋转，连接，若，，当最大时，直接写出的长是______． 4．我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)______________，______________，的小数部分＝______________； (2)设的小数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 5．同州湖音乐喷泉“灯光秀”曾成为我县一道美丽的风景．为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒．且满足． (1)填空：_________，_________； (2)若灯射线转动24秒后，灯射线开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请求出的度数和的值；若不存在，请说明理由． 6．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 7．在平面直角坐标系中，，，连接交y轴于C． (1)求出点C的坐标； (2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形的面积为8，求点P的坐标； (3)如图2，直线交x轴于，将直线平移经过点A交y轴于E，点在直线上，且，直接写出点Q横坐标x的值． 8．在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线 与x轴相交于点C，与直线相交于点D，连接BC． (1)分别求点A，B，C的坐标； (2)设的面积为，的面积为，若，求直线的函数表达式； (3)以，为边，连接，交于点F，分别取的中点M，的中点N，连接，，当取得最小值时，求此时的面积． 9．【模型建立】 （1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）直线与轴交于点，点是轴上的动点，平面内有一点．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由． 10．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为，，线段两端点的坐标分别为，． (1)求所在直线的函数解析式． (2)如图，点P从点C出发向点D运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒． ①当直线与线段有交点时，求t的取值范围． ②当时，平面内存在一点Q，满足轴，且的值最小，请直接写出符合条件的点Q的坐标． 11．治疗某种疾病需要同时使用甲乙两种药品，甲药品采用注射的方式给药，乙药品采用口服方式给药．根据临床实验研究数据表明，注射甲药品后，血液中甲药品的浓度（单位：mg/L）随注射时间（单位：h）的变化规律如下表所示，服用乙药品后，血液中乙药品的浓度（单位：mg/L）随服药时间（单位：h）的变化图象如图所示．（图象由两条有公共端点的线段组成） 甲药品的浓度随注射时间的变化情况 注射时间（单位：h） 0 2 4 6 7 甲药品浓度（单位：mg/L） 80 60 40 20 10 (1)当服药时间超过1h时，求血液中乙药品的浓度随服药时间变化的函数关系式； (2)科研人员发现当血液中同时存在两种药品，且乙药品的浓度比甲药品浓度至少高20mg/L时，能够产生较好的疗效，由于药物本身存在副作用，因此在24小时内这两种药品都只能使用一次．请你估计产生较好疗效的时长是否有可能超过6小时，并说明理由． 12．如图，已知一次函数的图像与轴交于点，一次函数的图像与轴交于点，且与轴以及一次函数的图像分别交于点，，点的坐标为． (1)______，______． (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，已知直线与轴，轴分别交于点，点．以点为直角顶点，为直角边作等腰直角，线段所在直线交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴的负半轴上，且也是等腰直角三角形，点在轴的下方，动点在轴上，若使取得最大值，求出这个最大值及此时点的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为． (1)直接写出点A的坐标以及直线的解析式； (2)如图1，点D在x轴上，连接，使，求点D的坐标； (3)如图2，已知点在第四象限内，直线交y轴的负半轴于点P，过点A作直线，交y轴于点Q，当m的值发生改变时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 15．对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义： 线段上各点到x轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图，点，，则线段的“轴距”为3，记作．将经过点且垂直于y轴的直线记为直线． (1)已知点，， ①线段的“轴距”______； ②线段关于直线的对称线段为，则线段的“轴距”______； (2)已知点，，线段关于直线的对称线段为． ①若，求m的值； ②当m在某一范围内取值时，无论m的值如何变化，的值总不变，请直接写出m的取值范围． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴交于A，B；与直线交于，且． (1)求函数，的解析式； (2)点D为直线上一动点，其横坐标为t（），轴于点F，交于点E，且，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，如果点D在第一象限内，过点P的直线将四边形分为两部分，两部分的面积分别设为，．若，求m的值． 17．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 18．如图1，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线交x轴于点C，沿直线折叠，点O恰好落在直线上的点D处．    (1)求点C的坐标； (2)如图2，直线上的两点E，F，是以为斜边的等腰直角三角形，求点E的坐标； (3)如图3，若交于点G，在线段上是否存在一点H，使与的面积相等，若存在求出H点坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段的中点，过点C作轴，垂足为D．       (1)求两点的坐标； (2)若在直线上有一点M，使得的面积为9，求点M的坐标； (3)若点E为y轴负半轴上一点，连接交x轴于点F，且，在直线上有一点P，使得最小，求P点坐标； (4)如图2，直线上存在点Q使得，请直接写出点Q的坐标． 20．一辆货车从地运送一批物资到地，一辆客车从地运送一批乘客到地，两车同时出发，图中，分别表示两车相对于地的距离与行驶时间之间的关系． (1)根据图象，直接写出，对应的函数关系式； (2)求两车同时出发后的相遇时间； (3)当为何值时，两车相距？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)见解析 (2) 【分析】（）以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径； （）由勾股定理即可求解； 本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径； （2）解：根据题意，得，， ∴ 答：它爬行一周的路程是． 2．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ∵， ∴台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得， 在中，， ∴， ∴， ∴A市受到台风影响的时间持续． 3．(1)， (2)（）中的结论还成立，理由见解析 (3) 【分析】（）如图中，延长交于，证明即可求解； （）结论还成立．如图中，延长交于，交于，证明即可； （）根据题意，找到最大时点的位置，画出图形，利用勾股定理计算即可求解； 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是根据题意，正确作出辅助线． 【详解】（1）解：如图，延长交于， ∵和都是等腰直角三角形， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 故答案为：，； （2）解：（）中的结论还成立． 理由：如图中，延长交于，交于， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，当点共线时，取最大值， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴的长是， 故答案为：． 4．(1)，， (2) (3) 【分析】（1）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点即可求得和；已知，则可求得的小数部分； （2）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点可求得的整数部分和小数部分，进而可求得，遵循同样步骤可求得，将和代入原式即可得解； （3）利用有理数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，不等式的性质等知识点可求得的取值范围，进而根据已知条件可求得和，于是可求得，并最终求得的相反数． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 的小数部分为， 故答案为：，，； （2）解：， ， ， 的小数部分为， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ，是整数，且， ，， ， 的相反数为． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质，求相反数等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． 5．(1)1，3 (2)当B灯转动12秒或84秒时，两灯的光束互相平行 (3)存在，，． 【分析】本题考查了非负数的性质，平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）利用非负数的性质，进而得出a、b的值； （2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当和当时，根据平行线的性质列式计算求解即可； （3）设灯B射线转动时间为秒，根据，，即可得出，当时，在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：1，3； （2）解：设B灯转动秒，两灯的光束互相平行， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得 ； 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：． 理由：设灯B射线转动时间为秒， ∵， ∴， 又∵， ∴，而， ∴， ∴当时，在转动过程中，存在一点D，使得k为定值， 此时，． 6．(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 7．(1)； (2)或． (3)或． 【分析】本题属于一次函数与几何综合题，考查了三角形的面积，一次函数的性质等知识，学会利用参数构建方程是解题关键， （1）根据待定系数法求出一次函数解析式，进而可得AB与y轴的交点C坐标； （2）设，则，根据，列方程求解即可； （3）如图，连接,由，可得，结合已知，可得再由直线平移得出点，由此解方程即可求解． 【详解】（1）解：设直线解析式为，把，代入得 ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （2）设，则， ， ∵，， 即 或 点的坐标为或． （3）如图，连接, ∵直线交x轴于，设直线解析式为，把，代入得 ，解得， ∴直线解析式为， ∵将直线平移经过点交y轴于， 设直线解析式为，把代入得 ，解得， 即， ∵点在直线上， ∴点， ， ， ∵， ， ∴，即 解得：或， 当时，点的横坐标是或． 8．(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）分别求当时，当时，即可求解； （2）①当时，由三角形面积分别求出 ， ，由可求出，代入，求出，从而可求出的坐标，即可求解； ②当时，同理可求解； （3）作轴交于，由三角形中位线定理得，，可得 ，取最小值时，取得最小值，当时，取最小值，由勾股定理及等腰三角形的性质得， ，由即可求解． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，， 当时，， 解得：， ，， 对于直线 ， 当时，， 解得：， ， 故，，； （2）解： ， ， ①当时， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验：是方程的解， ， 解得：， ， ， 解得：， 直线的函数表达式为； ②当时， ， ， ， ， 解得：， 经检验：是方程的解， ， 解得：， ， ， 解得：， 直线的函数表达式为； 综上所述：直线的函数表达式为或； （3）解：如图，作轴交于， 由（1）得 ， 四边形是平行四边形， ， 是的中点， 是的中点， ， ， ， 取最小值时，取得最小值， 当时，取最小值， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故的面积为． 【点睛】本题考查了一次函数在几何问题中的应用，求一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理等；掌握相关的判定方法及性质，能根据点的不同位置进行分类讨论，利用垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键． 9．（1）见解析；（2）；（3）或或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，待定系数法，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用等； （1）由，，得，又，可得，根据可证； （2）过点作交于点，过点作平行于轴的直线过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为、，由将直线绕点顺时针旋转至直线，可得，是等腰直角三角形，即可得，有，，求出，，可得点的坐标为，用待定系数法得直线的函数表达式为； （3）求出，设，又，分当、、为直角顶点时，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点作交于点，过点作平行于轴的直线，过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为、， 将直线绕点顺时针旋转至直线， ， ， 是等腰直角三角形， ， 同（1）可得，， ，， 直线：与轴交于点，与轴交于点， ，， ，， 点的坐标为，， 设的函数表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的函数表达式为； （）解：能成为等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， ， 设，又， 当为直角顶点时，过作轴于，如图： ，，， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点时，过作轴交轴于，过作于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点，在轴负半轴时，过作轴于，如图： ，，， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点，在轴正半轴时，过作轴于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ； 综上所述，当点的坐标为或或或时，为等腰直角三角形． 10．(1)所在直线的函数解析式为 (2)①；② 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，一次函数图象上点坐标的特征，动点等问题，解题的关键是用含t的代数式表示相关点的坐标． （1）用待定系数法求出函数关系式即可； （2）①先求出所在直线的函数解析式为，令，则．解得，可得，将点代入，得，解得，可得．令，则，解得，可得，最后确定t的范围即可； ②作点C关于的对称点．连接，由对称可知，直线与的交点即为符合条件的点Q．求出直线的函数解析式为，将代入上式，得，从而可得答案． 【详解】（1）解：设所在直线的函数解析式为． 将点，代入上式，得， 解得． 所在直线的函数解析式为； （2）解：①设所在直线的函数解析式为． 将点代入上式，得，解得， ． 令，则．解得， ； 将点代入，得，解得， ． 令，则，解得， ， ． ②． 当时，，则点． 轴点Q的横坐标为，即点Q在直线上． 如图，作点C关于的对称点．连接． 由对称可知，直线与的交点即为符合条件的点Q． 设直线的函数解析式为． 将点，代入， 得，解得， 直线的函数解析式为． 将代入上式，得， 点． 11．(1) (2)不可能超过6小时，理由见解析 【分析】本题是一次函数与一元一次不等式的综合应用，理解题意，求出函数关系式是解题的关键． （1）由图象知，两个变量的关系是一次函数关系，在图象上找两点，用待定系数法即可求解； （2）设在服药乙药品后注射甲药品，由表可知血液中甲药品的浓度是关于注射时间的一次函数，设可求得其解析式；分两种情况：①当在，且，乙药品的浓度始终比甲药品浓度高至少时，求得产生较好疗效的时长； ②当在上，存在乙药品的浓度恰好比甲药品浓度高的时刻时，求得产生较好疗效的时长；综合两种情况，产生较好疗效的时长与6小时比较，则可判断． 【详解】（1）解： 设服药的时间为x，血液中乙药品的浓度为y，由函数图象可知该变化关系是一次函数，故设血液中乙药品浓度服药时间变化的函数关系式为， 将代入中，得：， 解得； 所以服用乙药品后血液中的乙药品浓度随服药时间变化函数关系式为：； （2）解：在（1）的条件下，设在服药乙药品后注射甲药品，由表可知血液中甲药品的浓度是关于注射时间的一次函数，设， 当时，，当时，， 则，解得， 所以． ①当在，且，乙药品的浓度始终比甲药品浓度高至少时， 则注射甲药品后，立即产生较好疗效，产生较好疗效的时刻为． 因为在上，， 所以，即，在上恒成立， 解得， 因， 所以，解得 ． 当时，令，即， 解得，即结束有较好疗效的时刻是． 所以当，， 所以此时血液中同时存在两种药品， 所以产生较好疗效的时长， 因为t随a的增大而减小， 所以当时，t取得最大值． ②当在上，存在乙药品的浓度恰好比甲药品浓度高的时刻时， 令，即， 解得， 即起较好疗效的时刻是． 因为， 所以． 当时，由①知，，即结束有较好疗效的时刻是． 所以产生较好疗效的时长． 因为血液中需要同时存在两种药品， 所以当，，则， 解得， 所以． 因为， 所以t随a的增大而减小， 所以当时，t有最大值． 所以在上，． 综合①②， 因为，， 所以产生较好疗效的时长不可能超过6小时． 12．(1)1，4 (2)6 (3)点坐标为或 【分析】（1）将点分别代入一次函数，，即可求得答案； （2）首先确定点的坐标，然后由求解即可； （3）分三种情况讨论：①当点为直角顶点时，过点作轴于，即可得出结论；②当点为直角顶点时，轴上不存在点；③当点为直角顶点时，过点作交轴于点，设，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 可得，解得， 将点代入一次函数， 可得，解得． 故答案为：1，4； （2）结合（1）可知，一次函数，一次函数， 对于一次函数， 令，可得， ∴， 对于一次函数， 令，可得， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）对于一次函数， 令，可得，解得， ∴， 如图， ①当点为直角顶点时，过点作轴于， ∵， ∴； ②当点为直角顶点时，轴上不存在点； ③当点为直角顶点时，过点作交轴于点， 设， ∵，， ∴，． ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 综合上所述：点坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，并利用数形结合的思想分析问题． 13．(1) (2)或 (3)的最大值为，此时点的坐标为 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题；勾股定理，等腰三角形的性质与判定； （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）分两种情况讨论，当点在轴的下方时，作轴于点，则．证明，进而得出得出直线的解析式为．即可求得点．进而根据三角形的面积公式即可求解；当点在轴的上方时，同理可得点，点，继而得解； （3）由题意点在轴的负半轴上，且也是等腰直角三角形，则，连接并延长交轴于点，由于点是轴上的动点，得出的最大值为线段的长度．求得直线的解析式为：．则点．作 轴于点，则，．勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 把点，点代入得 解得． ∴直线的解析式为． （2）当点在轴的下方时，作轴于点，则． ． 又∵， ∴． ∴，， ∴．     设直线的解析式为 ∵ ∴ 解得： ∴直线的解析式为． ∴点． ∴． ∴的面积=． 当点在轴的上方时，同理可得点，点． ∴． ∴的面积=． 综上所述：的面积是或； （3）由题意点在轴的负半轴上，且也是等腰直角三角形， ∴， ∴． 点D在轴的下方，由（2）知点． 连接并延长交轴于点，由于点是轴上的动点， 在中，． ∴的最大值为线段的长度． 设直线的解析式为 ∵， ∴ 解得： 直线的解析式为：． 则点．作 轴于点，则，． ∴．     ∴的最大值为，此时点M的坐标为． . 14．(1)， (2)或 (3)不变， 【分析】本题主要考查了一次函数的综合运用，全等三角形的判定以及性质，点的对称轴等知识． （1）先分别求出点A，B的坐标，再根据，即可求出k值，则可求出直线的解析式． （2）先得出，然后分两种情况①当点D在点A的左边处，作交于点E，作轴于点F，证明，利用全等的性质得出，进一步可求出点E，然后用待定系数法求出直线的解析式，然后另，求出x，即可求出．②当点D在点A的右边处，连接并延长交于点G，得出，根据等角对等边可得出，则，根据对称性求出点G的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，进一步即可得出． （3）用待定系数法求出直线的解析式，再求出点P的坐标，再求出CM的解析式，根据平行的性质再求出的解析式，进而求出点Q的坐标，根据两点之间的距离即可得出的值． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）由（1）知：，， ∴， ∵， ∴． ①当点D在点A的左边处， ∵， ∴， 作交于点E，作轴于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 则， 解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． ②当点D在点A的右边处， 连接并延长交于点G， ∵，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G与点E关于点A对称， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴的解析式为， 当时，， ∴． 综上所述，点D的坐标为或． （3）不变． ∵，， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， 同理求出直线CM的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， ∴， ∴． 15．(1)①4；②1 (2)①或5；②或 【分析】（1）①画出图形，根据 “轴距”的定义求解即可； ②先求出C，D的坐标，然后画出图形，根据 “轴距”的定义求解即可 （2）①先求出G，H的坐标，然后根据“轴距”定义构建方程求解即可； ②分和讨论即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵线段上点B到x轴的距离最大，∴； ②∵，， ∴A，B关于直线的对称点，， 如图2， ， ∵线段上点C到x轴的距离最大，∴； （2）解：①∵，， ∴E，F关于直线的对称点，， 当时， ∵， ∴， ∴或7（舍去）； 当时， ∵， ∴， ∴或（舍去）； 综上，或5； ②∵，， I. 当时，，， ∴，， ∴， ， ∴当时，的值总不变； II. 当时，，， ∴， ∴， III. 当时，，，即， ∴，， ∴， ∴当时，的值总不变； 综上，当或时，的值总不变． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，坐标与图形性质，线段的“轴距”的定义等知识，解题的关键是理解新定义，属于中考常考题型． 16．(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）作于．利用等腰三角形的性质得到，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据点D的横坐标，表示出，，，再根据，列出绝对值方程，解之即可； （3）首先求出过点P的直线为，设直线与y轴交于点Q，与直线交于点R，分别表示出点Q和点R的坐标，表示出，，再根据已知得出四边形的面积为四边形的或，表示出四边形的面积，列出方程，再求解，结合图形即可得出m的范围． 【详解】（1）解：把代入中得， ，则， 如图，过点P作于． ∵， ∴， ∵， ， ， 点，    把，代入得， ， 解得， ∴； （2）∵点D的横坐标为t，分别代入中， 得，， ∴，，， ∵， ∴， 当时，解得， ， 当时，解得， ． 综上：或； （3）由（2）可得：，，， 在中，令，则， ∴， ∵直线过点， ∴，即， ∴， 如图，设直线与y轴交于点Q，与直线交于点R， 令，则， ∴； 令，则， ∴， ∴，， ∵过点P的直线将四边形分为两部分，且， ∴四边形的面积为四边形的或， ∵，， ∴或， 解得：或． 【点睛】本题考查一次函数综合题，考查了等腰三角形的性质，待定系数法，与坐标轴的交点问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 17．（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形； （2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果． 【详解】解：（1）△ABC是直角三角形； 理由如下： ∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）甲方案所修的水渠较短； 理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC， ∴CH＝（m）， ∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m）， ∴AC+BC＜CH+AH+BH， ∴甲方案所修的水渠较短． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键． 18．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）在中，，，，由勾股定理得：，即，即可求解； （2）证明，则且，即可求解； （3）过点C作，则和面积相等，而与的面积相等，故点H为所求点，即可求解． 【详解】（1）直线与x轴交于点B，与y轴交于点A， 当时，， 当时，，解得：， ∴，，则，， ∴， ∵沿直线折叠，点O恰好落在直线上的点D处， ∴，， 故设， 则中，，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：，即， 即点； （2）设直线的解析式为：， ∵， ， ∴，解得：， 即直线的表达式为：， 过点B作y轴的平行线交过点E和x轴的平行线于点M，交过点F和x轴的平行线于点N，如图2，    设点E、F的坐标分别为：、， ∵是以为斜边的等腰直角三角形，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴且， 解得：， 即点； （3）如图3，    ∵， ∴， 即，则， ∵直线的表达式为：， 则点； 利用待定系数法，有直线的表达式为：， 过点C作，交于点H，连接， 则和面积相等， 而与的面积相等， 故点H为所求点， ∵，直线的表达式为：， ∴设直线的表达式为：， ∵， ∴， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和直线的表达式得， 解得：， 即点． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、平行线的性质、面积的计算，用平行线的方法确定三角形面积关系是解题的关键． 19．(1)、 (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）对于，令，解得：，令，则，即可求解； （2）设点M的纵坐标为，根据，列出方程，解方程得出或，然后代入求出点M的坐标即可； （3）作点关于直线的对称点，连接交于点，则点为所求点，进而求解； （4）当点在上方时，证明，得到的坐标为，进而求解，当点在下方时，同理可解． 【详解】（1）解：对于， 令， 解得：， 令，则， ∴点的坐标分别为、； （2）解：设点M的纵坐标为，根据题意得： ， 即， 解得：或， 把代入得：， 解得：， ∴此时点M的坐标为； 把代入得：， 解得：， ∴此时点M的坐标为； 综上分析可知：点M的坐标为或； （3）解：点为线段的中点， ∴点， ∵轴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∴最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时点为所求点， 设直线的表达式为：，则， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点的坐标为； （4）解：存在，理由： 当点在上方时，如图2，过点作交于点，过点作轴于点， 则， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 在Rt和Rt中， ， ， ， 故点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把点的坐标代入得： ， 解得：， 直线的表达式为：， 当时，， 故点的坐标为， 当点在下方时， 过点作交于点， 则， ∴， ∴、A、M三点共线， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为的中点， 由中点坐标公式得，点，即， 由点、的坐标同理可求得直线的表达式为：， 当时，， 综上分析可知：点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式，中点坐标公式，全等三角形的判定和性质等，解题的关键是作出辅助线，注意分类讨论，避免遗漏． 20．(1)； (2)3小时 (3)或4 【分析】（1）利用待定系数法即可得到答案； （2）根据两车相遇是相等，列方程解答即可； （3）根据（2）中相遇时间，分，两种情况计算即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，经过点，经过点， ， ，， ， 故答案为：，． （2）解：当时，两车相遇 解得： 答：两车同时出发后3小时相遇． （3）解：根据题意，当时， 解得： 当时， 解得： 即当或4时，两车相距． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，实际问题与一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并从图像获取准确信息是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$