期末总复习讲义 - 第13、14章2024-2025学年沪科版数学八年级上册

第13章三角形中的边角关系、命题与证明 知识点一、三角形的有关概念 1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形； 2.构成：①组成三角形的三条线段叫做三角形边；②相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；③相邻两边的夹角叫做三角形的角． 3.表示：三角形用符号“△”表示，顶点为、、的三角形记作△，读作“三角形”，注意单独的△没有 知识点二、三角形的分类 , ， 【题型4-1】按角度对三角形进行分类 1．(2022·蜀山区期末)若三角形三个内角度数之比为3：4：9，则这个三角形一定是(　C　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．(2022·瑶海区校级期末)在△中，已知∠∠∠，按角判断△的形状． 【考点】三角形内角和定理． 【专题】三角形；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形的内角和列方程即可得到结论． 【解答】解：∵∠∠∠，∴∠∠，∠∠， ∵∠∠∠， ∴∠∠∠， ∴∠，∠，∠， ∴△是钝角三角形． 【点评】本题考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 【题型4-2】直角三角形的判定 3．(2022·包河区期末)已知△的内角分别为∠，∠，∠，下列能判定△是直角三角形的条件是(　C　) A．∠∠∠ B．∠∠ C．∠∠∠ D．∠∠∠ 知识点三、三角形三边关系 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边的之差小于第三边． 2.三边关系的应用： (1)当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围； (2)证明线段之间的不等关系； (3)绝对值化简； (4)判断三条线段能否组成三角形，使用方法： ①当三条线端两两不相等，两条较短线段长度和大于第三条线段时，可构成三角形； ②当有两条线段相等，两条相等的线段之和大于第三条线段时，可构成三角形； ③当三条线段相等时，必能够成三角形． 【题型3-1】根据三边关系求第三边或周长取值范围 4．(2022·庐阳区期末)已知三角形的两边长分别为5cm和9cm，则第三边长可以是(　A　) A．6cm B．16cm C．15cm D．4cm 5．(2024·蜀山区期末)已知三角形的两条边长分别是4cm，5cm，则该三角形的周长不可能是(　A　) A．10cm B．11cm C．12cm D．17cm 【题型3-2】判断线段能否围成三角形 6．(2022·包河区期末)下列各组数中，不能作为一个三角形三边长的是(　B　) A．4，4，4 B．2，7，9 C．3，4，5 D．5，7，9 7．(2022·瑶海区校级期末)若三条线段中，，为奇数，那么以、、为边组成的三角形共有(　C　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3-3】三边关系在等腰三角形中的应用 8．(2022·庐阳区期末)等腰三角形的一边长为5，周长为21，则该三角形的一腰长是 ____8____． 9．(2022·寿春中学期末)等腰三角形的底边长为4，则其腰长的取值范围是(　B　) A． B． C． D． 10．(2022·瑶海区期末)已知△的三边长分别为，，8． (1)求的取值范围； (2)如果△是等腰三角形，求的值． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．等腰三角形的性质 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识． 【答案】(1)；(2)或4． 【分析】(1)根据三角形的三边关系，可得，解不等式组即可； (2)分，，三种情况分别讨论即可求解． 【解答】解：(1)根据三角形的三边关系得，解得； (2)当时，解得(不合题意，舍去)； 当时，解得，，符合题意； 当时，解得，，符合题意． 所以若△为等腰三角形，或4． 【点评】本题考查了三角形三边关系和等腰三角形的性质，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 【题型5-3】构造三边关系求线段取值范围 11．(2022·包河区期末)不等边△的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是 __5__． 【考点】三角形的面积．共边三角形的面积 【专题】三角形；推理能力． 【答案】5． 【分析】先设长度为4、12的高分别是，边上的，边上的高为，△的面积是，根据三角形面积公式，可求，，，结合三角形三边的不等关系，可得关于的不等式，解即可． 【解答】解：设长度为4、12的高分别是，边上的，边上的高为，△的面积是， 那么，，，又∵，∴，即 ，解得， ∴或，∴答案为：5． 【点评】本题考查了三角形的面积，解题的关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边差小于第三边． 知识点6、三角形中几条重要线段 1.三角形的角平分线 三角形一个内角的角平分线与这个角的对边相交，以这个角的顶点和交点点之间的线段叫做三角形的角平分线．①三角形的角平分线有3条，均处在三角形内侧； 2.三角形的中线及重心 (1)定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的连线叫做三角形这一边上的中线． ②结论：三角形的中线都把三角形分成两个面积相等的三角形． 3.三角形的高 (1)定义：从三角形一个顶点到它对边所在的直线的垂线段叫做三角形这一边上的高． ②锐角三角形的高线交点在三角形的内部，直角三角形的高线交点是直角顶点，钝角三角形的高线在三角形的外部． 【题型6-1】已知角平分线与高线求角度 12．(2022·瑶海区校级期末)如图，已知是△的角平分线，是边上的高，若∠，∠，则∠的大小是(　C　) A．5° B．13° C．15° D．20° 【题型6-6】由角平分线求三角形内角 13．(2022·蜀山区校级期末)在△中，∠，∠，是△的角平分线，求∠的度数． 【考点】三角形内角和定理． 【专题】三角形；运算能力． 【答案】73°． 【分析】由三角形的内角和定理可得∠的度数，再由角平分线可求角∠的度数，再次利用三角形内角和定理即可求∠的度数． 【解答】解：∵∠，∠，∴∠∠∠， ∵是△的角平分线，∴∠∠，∴∠∠∠． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 知识点5、三角形内角和定理 1.三角形内角和定理：三角形内角和180°。 2.三角形内角和定理的推论1：直角三角形的两个锐角互余． 3.三角形内角和定理的推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形． 4.三角形内角和定理的推论3：三角形的一个外角等于和它的两内角的和； 注意：三角形的外角和等于360° 5.三角形内角和定理的推论4：三角形的一个外角大于任意一个和他不相邻的内角； 【题型6-9】根据三角形内角和定理求三角形内角 14．(2024·庐阳区期末)如图，在△中，∠，∠，．若∠，则∠的度数为(　A　) A．30° B．35° C．40° D．45° 第14题图 第15题图 第16题图 15．(2022·包河区期末)如图，在△中，∠，点在上，将△沿折叠，点落在边上的点处，若∠，则∠的度数是 __35°__． 【题型5-2】三角板问题 16．(2024·合肥市期末)将一副三角尺按如图所示的方式摆放(两条直角边在同一条直线上)，连接另外两个锐角顶点，并测得∠．则∠2的度数为(　C　) A．45° B．55° C．65° D．75° 【题型6-9】求等腰三角形内角（分顶角为钝角或锐角） 17．(2022·瑶海区校级期末)已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为(　C　) A．20° B．120° C．20°或120° D．36° 18．(2024·合肥市期末)在等腰三角形中，∠，则∠的度数不可能为(　A　) A．48° B．54° C．36° D．72° 19．(2024·庐阳区期末)等腰三角形有一个角是36°，则它的顶角度数是__36°或108°__． 【题型5-1】根据外角定理求角度 20．(2024·合肥市期末)如图，在△中，是延长线上一点，∠，∠，则∠的度数为(　B　) A．100° B．110° C．120° D．130° 第20题图 第21题图 21．(2022·蜀山区校级期末)一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板拼成如图所示图形，则的度数是____15_____°． 知识点7、命题与证明 1.命题定义：可以对一件事情做出判断的语句或叫做命题． ①命题必须具有判断作用，要对事件作出肯定或否定的判断. ②命题不能是一个所使句、疑问句、感叹句或表示画图的语句。 2.真命题：如果条件成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题. 3.假命题：条件成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。 4.命题的简化形式：有些命题的条件和结论不明显，要经过分析才能找出条件和结论，从而将它们写成“如果……那么……”的形式. 7.逆命题：将命题“如果，那么”的__条件__和__结论__互换，便得到一个新命题“__如果，那么__”，我们把这样的两个命题称为__互为逆命题__，其中一个叫__原命题__，另一个叫原命题的__逆命题__． 注意：互逆命题的真假性之间的关系是__无关的． 8.反例：我们把符合命题的__条件__，但不符合命题的__结论__的例子称为这个命题的一个__反例__．要说明一个命题是假命题，只要举出一个__反例__即可． 9.推理与证明：从一个命题的条件出发，根据定义、基本事实及定理，经过__推理__，得出它的成立，从而判断该命题为__真命题__，这个过程叫做证明． 注意：证明的一般步骤： (1)审题，找出命题的__条件__和__结论__； (2)由题意画出图形，并在图形上标出__数量关系__； (3)用数学语言写出__已知__、__求证__； (4)分析证明的思路，有条理地写出__证明__过程． 【题型7-2】判定一个命题的真假（必考） 22．(2024·蜀山区期末)下列命题中，一定是真命题的是(　D　) A．三角形的外角大于三角形任何一个内角 B．两边和一角分别相等的两个三角形全等 C．线段垂直平分线上的点到线段上任意两点距离相等 D．有两个内角互余的三角形是直角三角形 23．(2022·蜀山区校级期末)命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是 ______真命题_______(填“真命题”或“假命题”)． 24．(2022·蜀山区期末)下列命题是假命题的是(　B　) A．对顶角相等 B．若，则 C．内错角相等，两直线平行 D．若，则 25．(2022·庐阳区期末)下列命题中，一定是真命题的是(　B　) A．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 D．有一个角是40°，且腰相等的两个等腰三角形全等 【题型7-3】命题的改写 26．(2024•蜀山区金湖中学期中)“对顶角相等”的逆命题是___如果两个角相等，那么这两个角是对顶角___．(用“如果…那么…”的形式写出) 【题型7-4】书写一个命题的逆命题（必考） 27．(2022·瑶海区期末)“全等三角形的对应边相等”的逆命题是：__三对边相等的三角形是全等三角形___． 28．(2022·寿春中学期末)命题“若，那么”是一个 __假__命题(填真、假)，写出它的逆命题：__若，那么__． 【题型7-4】判断逆命题的真假（必考） 29．(2022·瑶海区校级期末)命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是__假__命题．(填“真”或“假”) 30．(2022·经开区期末)下列命题中，逆命题是真命题的是(　C　) A．对顶角相等 B．若，那么 C．等角的补角相等 D．若，那么 31．(2022·包河区期末)下列命题中，逆命题是真命题的是(　C　) A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．若，则 D．若，则 【题型7-5】列反例证明假命题 32．(2024·包河区智育联盟期末)下列可以作为命题“若，则”是假命题的反例是(　C　) A．， B．， C．， D．， 【题型7-6】定理、推理与证明 33．(2024·蜀山区期末)定理证明：两个角相等的三角形是等腰三角形． 【考点】等腰三角形的判定．等腰三角形的判定 【专题】证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】先写出已知，求证，画出图形，过作于，证出△≌△即可． 【解答】已知：△中，∠∠， 求证：， 证明：过作于，则∠∠， ∵在△和△中，∴△≌△，∴． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 34．(2022·蜀山区期末)求证：等腰三角形两底角相等． 【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】过点作于点，根据证明△≌△，由全等三角形的性质就可以得出∠∠． 【解答】已知：如图，在△中，． 求证：∠∠． 证明：过点作于点，则∠∠， 在Rt△和Rt△中，，∴△≌△()．∴∠∠． 【点评】本题主要考查了等腰三角形性质和全等三角形的判定与性质；正确作出辅助线是解答本题的关键． 第14章　全等三角形 14.1　全等三角形 知识点一　全等形的基本概念 1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等；由全等三角形的定义可知，全等三角形的周长相等，面积相等． 3.“全等”不具备对应关系，需分类讨论；“≌”有严格的对应关系 【题型1-1】利用全等的性质求线段 1．(2024·合肥市期末)已知△≌△，其中，则___6___． 2．(2022·包河区校级期末)如图，是上一点，交于点，，，若，，则___1___． 第1题图 第2题图 第4题图 3．(2022·瑶海区期末)如图，在△中，，，垂足分别是，，、交于点，已知，，则__3__． 4．(2024·科大附中高新中学期末)如图，、是锐角△的高，相交于点，若，，，则的长为(　B　) A．2 B．3 C．4 D．5 【题型1-2】利用全等的性质求角度 5．(2024·蜀山区期末)如图，在△中，，，，若∠，则∠的度数为(　B　) A．75° B．70° C．65° D．60° 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 6．(2024·蜀山区期末)如图，△≌△，，∠，∠，、交于点，则∠的度数是 __50°__． 7．(2022·高新区期末)如图，△和△均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则∠____60°____． 8．(2024·科大附中高新中学期末)如图，△≌△，点在边上，∠，则∠__72__°． 【题型1-3】全等多结论问题 9．(2022·庐阳区期末)如图，在△与△中，∠∠，，，点、、三点在同一条直线上，连接、，在以下判断中，不正确的是(　D　) A． B． C．∠∠ D． 第9题图 第10题图 第11题图 10．(2022·蜀山区期末)如图，在△和△中，∠∠，，，，且点在线段上，则下列结论中不一定成立的是(　D　) A．△≌△ B． C．∠∠ D． 11．(2022·瑶海区校级期末)如图，△中，∠，于，平分∠，且于，与相交于点，于，交于，下列结论中正确的是(　C　) ①△为等腰三角形；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 知识点二、三角形全等的判定 1.全等的五个判定定理：①SAS；②ASA；③SSS；④AAS；⑤HL 2.AAA或SSA不能判定三角形全等，SSA可以使用HL代替或者使用等腰三角形； 3．判定两个三角形全等的一般思路： 4.全等的五个常见模型：①平移型；②对称型；③旋转型（手拉手）；④一线三等角；⑤截长补短型。 5．证明线段相等或角相等的基本思路 观察图形，找出要证的线段或角在哪两个三角形中，证明这两个三角形全等即可，如果这样的三角形找不到，则要考虑添加适当的辅助线，构造出全等的三角形来． 6．常见的添加辅助线证明三角形全等的方法 (1)遇到三角形的中线，延长中线，使延长的线段与原中线长度相等，构造全等三角形． (2)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线． (3)截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等． 【题型2-1】添加一个条件证全等（必考） 12．(2022·寿春中学期末)如图，等腰△中，点，分别在腰，上，添加下列条件，不能判定△≌△的是(　B　) A． B． C．∠∠ D．∠∠ 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 13．(2022·蜀山区校级期末)如图，点，在线段上，，，添加一个条件仍不能判定△≌△的是(　B　) A． B． C．∠∠ D．∠∠ 14．(2022·庐阳区校级期末)如图，直线经过中点，交于点，交于点，下列哪个条件不能使△≌△(　C　) A．∠∠ B． C． D． 15．(2022·庐阳区期末)如图，点、在线段上，若∠∠，则添加下列条件，不一定能使△≌△的是(　B　) A．∠∠， B．， C．∠∠， D．， 【题型2-1】全等判定定理的简单应用 16．(2022·经开区期末)下列三角形与如图全等的三角形是(　C　) A． B． C． D． 【题型2-1】对称型 17．(2024·合肥市期末)已知：如图，在△和△中，点在上，平分∠，且． 求证：∠∠． 【考点】全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定与性质 【专题】三角形；推理能力． 【答案】见解答． 【分析】先证明∠∠，得出△≌△，进而得出∠∠，结合即可得证． 【解答】证明：∵平分∠EAC，∴∠∠， 在△和△中，，∴△≌△()，∴∠∠， ∵，∴∠∠，∴∠∠． 【点评】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键． 18．(2022·寿春中学期末)如图，已知，，与交于，． 求证：(1)； (2)△是等腰三角形． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．全等三角形的判定与性质--巧用“8”字解难题 【专题】几何图形． 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)根据，，得出△与△是直角三角形，再根据，，得出Rt△≌Rt△，即可证出， (2)根据Rt△≌Rt△，得出∠∠，从而证出，△是等腰三角形． 【解答】证明：(1)∵，，∴∠∠， 在Rt△和Rt△中，∵，∴Rt△≌Rt△()，∴， (2)∵Rt△≌Rt△，∴∠∠，∴，∴△是等腰三角形 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练． 【题型2-1】平移型 19．(2022·经开区期末)如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】先求出，再根据两直线平行，同位角相等求出∠∠，∠∠，然后利用“角边角”证明△≌△，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【解答】证明：∵，∴，即， ∵，，∴∠∠，∠∠， 在△和△中，，∴△≌△()，∴． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【题型2-1】旋转（手拉手）模型（必考）（庐阳区连续三年） 20．(2024·庐阳区期末)如图，点在△的边上． 下面有四个条件： ①；②；③∠∠；④．请你从中选择三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明． 【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质．定义与命题 【专题】三角形；图形的全等；推理能力． 【答案】见解答． 【分析】选①②③为条件，先证明∠∠，则可根据““判断△≌△，所以． 【解答】解：我写的真命题是： 已知：①②③； 求证：④． 证明如下： ∵，∴∠∠，即∠∠∠， 又∵∠∠∠，∠D=∠BAC，∴∠∠， 在△和△中，，∴△≌△()，∴． 【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 21．(2022·寿春中学期末)如图，已知是△的边上的高，点为上一点，且，． (1)证明：； (2)若，，求△的面积． 【考点】全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】(1)证明过程见解析；(2)24． 【分析】(1)利用定理判断出△≌△，再用等角的余角相等，即可得出结论． (2)由全等三角形的性质得出，，求出和的长，则可求出答案． 【解答】(1)证明：延长交于点，∵为△边上的高．∴，∴∠∠， 在Rt△和Rt△ 中，，∴Rt△≌Rt△( )，∴∠∠， 在△中，∠，∴∠∠，∴∠∠， ∵∠∠，∴∠∠，∴∠∠∠，∴； (2)解：∵△≌△，∴，， ∵，∴，∴， ∴． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，三角形的面积，掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键． 22．(2024·合肥市期末)在△和△中，，，∠∠． (1)如图1，当点、、在同一条直线上时，求证：； (2)如图2，当点、、不在同一条直线上时，与交于点，交于点，求证：； (3)如图3，在(2)的条件下，连接并延长交于点，∠是一个固定的值吗？若是，求出∠的度数；若不是，请说明理由． 【考点】三角形综合题．图形的性质 【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】(1)(2)证明见解析；(3)45°． 【分析】(1)证明△≌△，根据全等三角形的性质得到； (2)先证明∠∠，再证明△≌△，得到∠∠，求出∠∠，进而证明； (3)过点作于点，于点，根据全等三角形的性质得到，再根据角平分线的判定定理解答即可． 【解答】(1)证明：在△和△中，，∴△≌△()，∴； (2)证明：∵∠∠，∴∠∠∠∠，即∠∠， 在△和△中，，∴△≌△()，∴∠∠， ∵∠∠，∴∠∠，∴； (3)解：∠是一个固定的值，如图3，过点作于点，于点， 由(2)可知：△≌△，∴，∵，，∴平分∠， ∵，∴∠，∴∠． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 【题型2-1】一线三等角模型（压轴必考） 23．(2024·合肥市期末)如图，在△中，∠，，直线经过点，且，，垂足分别为、． (1)求证：△≌△； (2)若，cm，求四边形的面积． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．几何证明辅助线的添加方法 【专题】三角形；推理能力． 【答案】(1)见解答；(2)． 【分析】(1)先根据题意证明∠∠即可得证； (2)根据全等三角形的性质得出的长，再根据梯形的面积公式即可解答． 【解答】(1)证明：∵∠，，，∴∠∠∠， ∴∠∠，∠∠，∴∠∠， 在△和△中，，∴△ADC≌△CEB(AAS)， (2)解：∵△≌△，∴，，∴， ∵cm，cm，∴cm，∴四边形的面积为：()， 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，梯形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 24．(2022·高新区期末)在△中，，∠，点、分别在、上，且，，连接、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过作于，求证：∠∠； (3)如图3，若延长、相交于，求证：为的中点． 【考点】三角形综合题． 【专题】几何综合题；推理能力． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析部分． 【分析】(1)先证明△≌△得到； (2)想办法证明∠∠，可得结论； (3)想办法证明∠∠，推出，可得结论． 【解答】(1)证明：如图1中，∵△为等腰直角三角形，∴∠∠， 在△和△中，，∴△≌△()，∴； (2)证明：如图2中，∵，∠，∴∠∠， ∵，，∴，∴∠∠， ∴∠∠∠， ∵△≌△()，∴∠∠， ∵，∴∠，∴∠，∴∠∠； (3)证明：如图3中，∵DC=DE，∴∠∠， ∵∠，∴∠∠，∠∠， ∴∠∠，∴，∴，即点是的中点． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰直角三角形的性质． 25．(2022·寿春中学期末)(1)如图(1)所示，已知△为等腰直角三角形，∠，以点为坐标图点建立坐标平面，作轴于点，求证： ①∠∠； ②若点坐标为(3，4)，求出点的坐标． (2)如图(2)所示，已知△，以点为原点建立平面直角坐标系，若点坐标为(3，4)，点的坐标为(，7)，求证：△是等腰直角三角形． (3)如图(3)所示，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为(3，4)，若△是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【考点】三角形综合题．初中数学压轴题的思维方法：化归原则与数学解题 【专题】三角形；几何直观；推理能力． 【答案】(1)①见解析；②(，3)；(2)见解析；(3)(，7)或(，3)或(4，)或(7，1)． 【分析】(1)①过点作轴于点，通过等量代换证明∠∠，即可求解； ②证明Rt△≌Rt△，即可求点的坐标； (2)利用勾股定理证明三角形是直角三角形； (3)当点在点左侧时，①当时，∠，(，7)；②当时，即∠，过点作轴于点，过点作轴于点，通过证明Rt△≌Rt△，求点坐标为(，3)；当点在点右侧时，③当∠时，同理可得(7，1)；④当∠时，同理可得(4，)． 【解答】(1)解：①过点作轴于点， ∵△是等腰直角三角形，∴∠，，∴∠∠， ∵轴，轴，∴∠，∠，∴∠∠， ∴∠∠，即∠∠； ②∵∠∠，∠∠，，∴Rt△≌Rt△()，∴，， ∵(3，4)，∴，，∴点坐标为(，3)； (2)证明：∵(3，4)，(，7)，(0，0)， ∴，，， ∴，，∴△是直角三角形，且，∴即△是等腰直角三角形， (3)解：当点在点左侧时，①当时，即∠，根据(2)的结果可知点坐标为(，7)； ②当时，即∠， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵∠∠，∠∠，∴∠∠， ∵，∴Rt△≌Rt△()，∴，， ∵(3，4)，∴，， ∵点在第二象限，∴点坐标为(，3)； 当点在点右侧时，③当∠时，过点作轴交于点，过点作交于点， 同理可得△≌△()，∴，，∴(7，1)； ②当∠时，过点作轴交于点，过点作轴交于点， 同理可得△≌△()，∴，，∴(4，)； 综上所述：点坐标为(，7)或(，3)或(4，)或(7，1)． 【点评】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 26．(2022·经开区期末)如图，△是等边三角形，点、、分别同时从、、以同样的速度沿、、方向运动，当点运动到点时，三个点都停止运动． (1)在运动过程中△是什么形状的三角形，并说明理由； (2)若运动到某一时刻时，，∠，求等边△的周长． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质． 【专题】证明题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】(1)证明过程见解答；(2)18． 【分析】(1)根据等边三角形的性质得出∠∠∠C，，，进一步证得，即可证得△≌△≌△，根据全等三角形的性质得出，即可证得△是等边三角形； (2)由△和△是等边三角形，∠，证明∠，然后根据含30度角的直角三角形即可解决问题． 【解答】解：(1)△是等边三角形，理由如下； ∵△是等边三角形，∴∠∠∠，， ∵，∴，在△和△中，，∴△≌△()，∴， 同理在△和△中，△≌△()，∴，∴，∴△是等边三角形； (2)解：∵△和△是等边三角形，∴∠， ∵∠，∴∠， 在Rt△中，∵∠，∴∠ ∵，∴，∴， ∴等边△的周长． 【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解答此题的关键． 27．(2022·蜀山区校级期末)如图，△中，，点，，分别在边，，上，且，． (1)求证：△≌△； (2)若∠，求∠的度数； (3)若，，，，请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． 【考点】全等三角形的判定与性质；函数自变量的取值范围． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】(1)证明见解析过程；(2)∠∠；(3)． 【分析】(1)根据证明三角形全等即可；(2)利用全等三角形的性质解答即可， (3)由全等三角形的性质可得，，即可求解； 【解答】证明：(1)∵，∴∠∠，在△与△中，，∴△≌△()； (2)∵∠，∴∠∠， ∵△≌△，∴∠∠， ∵∠∠∠∠∠，∴∠∠； (3)∵△≌△，∴，， ∵，，∴，， ∵，∴． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． 【题型2-1】利用HL避开SSA陷阱 28．(2022·包河区校级期末)(1)如图，∠，cm，点在射线上，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题，请画出图形，并写出你所选取的的长约为 __答案不唯一如：.___cm(精确到0.1cm)． (2)∠为锐角，，点在射线上，点到射线的距离为，，若△的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ___或.___． 【考点】命题与定理． 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】(1)答案不唯一如：cm；(2)或． 【分析】(1)答案不唯一，可以取cm(cmcm)；(2)当或时，三角形是唯一确定的； 【解答】解：(1)取cm，如图在△和△中满足，两个三角形不全等． 故答案为：答案不唯一如：cm. (2)若△的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是或，故答案为或. 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【题型2-1】利用倍长中线构造全等 29．(2024·庐阳区期末)如图，△是等边三角形，以为底边向外侧作等腰三角形，过点作，交于点，交于点． (1)判断△的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．感知几何体的变化 【专题】证明题；图形的全等；推理能力． 【答案】(1)△是等边三角形，理由见解答；(2)证明过程见解答． 【分析】(1)根据平行线的性质和等边三角形的性质得∠∠，∠∠，进而可以解决问题； (2)过点，分别作的垂线，，垂足分别为，，根据等边三角形的性质证明，可得△≌△，进而可以解决问题． 【解答】(1)解：△是等边三角形，理由如下： ∵△是等边三角形，∴∠∠∠，∵， ∴∠∠，∠∠，∴△是等边三角形； (2)证明：如图，过点，分别作的垂线，，垂足分别为，，∴∠∠， ∵△是等边三角形，∴，∵，∴， 由(1)知：△是等边三角形，∴， 设，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在△和△中，，∴△≌△()，∴． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到△≌△． 【题型2-1】利用截长补短证明线段的和差倍分关系 30．(2022·包河区期末)如图，∠，点为∠的平分线上的一个定点，且∠与∠互补，若∠在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①；②；③四边形的面积保持不变；④△的周长保持不变．其中说法正确的是 __①②③___(填序号)． 31．(2022·包河区期末)在等腰△中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分∠交于点，连接． (1)如图1，求证：∠∠； (2)如图2，当∠时，在上取点，使，连接．求证：△是等边三角形； (3)如图3，当∠，且时，求证：． 【考点】三角形综合题．初中数学压轴题的思维方法：化归原则与数学解题 【专题】几何综合题；推理能力． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析． 【分析】(1)利用定理证明△≌△，根据全等三角形的性质得到∠∠，根据等腰三角形的性质得到∠∠，等量代换证明结论； (2)在上截取，连接，证明△≌△，根据全等三角形的性质得到，∠∠，进而证明△为等边三角形； (3)延长、交于，证明△≌△，得到，再证明△≌△，得到，等量代换得到答案． 【解答】证明：(1)∵平分∠，∴∠∠， ∵，，∴， 在△和△中，，∴△≌△()，∴∠∠， ∵，∴∠∠，∴∠∠； (2)如图2，在上截取，连接， ∵△≌△，∴，∠∠∠， 在△和△中，，∴△≌△()，∴，∠∠， ∵，∠，∴△是等边三角形，∴∠， ∴∠∠∠∠∠∠， ∵，∴△为等边三角形； (3)如图3，延长、交于，∵，∴∠∠， ∵，∴∠∠，∴∠∠， ∵∠，∴∠∠，∠，∠， ∴∠∠，∴∠，∴∠∠， 在△和△中，，∴△≌△()，∴，即， ∵∠，∴∠∠，在△和△中，， ∴△≌△()，∴，∴． 【点评】本题考查的是三角形的综合题，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 32．(2022·庐阳区期末)如图1，已知等腰△，，∠，于点，点是线段上一点，点是延长线上一点，且． (1)当点与点重合时，即，如图2，求∠的度数； (2)求证：∠∠； (3)求证：． 【考点】三角形综合题． 【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力． 【答案】(1)90°；(2)见解析；(3)见解析． 【分析】(1)证明△是等边三角形，△是等腰三角形，然后再求角即可； (2)连接，可得∠∠，则有∠∠，又由∠∠，即可证明∠∠； (3)在边上取一点，使得，先证明△为等边三角形．再证明△≌△()，即可求证． 【解答】(1)解：如图1，∵，∠，∴∠∠， ∵于点，∴， ∵，∴，∴∠，∴∠ ∵，∴△是等边三角形，∴∠； (2)证明：∵，∠，∴∠∠， ∵，，∴垂直平分， 连接，则，∴∠∠， ∵，∴，∴∠∠，∴∠∠， ∵∠∠，∴∠∠； (3)证明：由(2)知：∠，∴∠∠，∴∠，∴∠，∴∠BEF=60°， ∵，∴△为等边三角形， 在边上取一点，使得，∴△为等边三角形，∴∠∠，∠∠，， ∴△≌△()，∴，∴． 【点评】本题是三角形的综合题，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形全等的判断和性质是解题的关键． 知识点三、全等的应用 【题型3-1】测量问题 33．(2024·蜀山区期末)如图，在湖泊的岸边有，两点，难以直接量出，两点间的距离．你能设计一种量出，两点之间距离的方案吗？说明你这样设计的理由． 【考点】全等三角形的判定与性质．辅助线----构造三角形 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】能．在岸上任选一点，连接，并延长至，使；连接，并延长至，使，连接．量出的长度，就是、两点之间的距离．理由见解答． 【分析】在岸上任选一点，连接，并延长至，使；连接，并延长至，使，连接．量出的长度，就是、两点之间的距离．利用证明△≌△即可． 【解答】解：能．在岸上任选一点，连接，并延长至，使；连接，并延长至，使，连接．量出的长度，就是、两点之间的距离．理由如下： ∵在△与△中，，∴△≌△()，∴． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是本题的关键． 【题型3-2】动点问题 34．(2024·庐阳区期末)如图，与相交于点，，，cm，点从点出发，在线段上沿方向以4cm/s的速度往返运动，点从点出发，沿方向以2cm/s的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为(s)． (1)线段与有什么位置关系？并说明理由． (2)线段的长为 __cm或__；(用含的式子表示) 线段的长为 ____；(用含的式子表示) (3)连接，当线段经过点时，求的值． 【考点】全等三角形的判定与性质；列代数式；一元一次方程的应用．利用三角板解决问题 【专题】三角形；运算能力． 【答案】(1)；(2)cm或cm；；(3)或8． 【分析】(1)证明△≌△()可得∠∠，根据内错角相等，两直线平行即可得出结论； 1(2)分两种情况讨论：当时，cm，当时，cm，由此计算即可得到答案： (3)先证明△≌△()，得到，在分两种情况列方程求解即可． 【解答】解：(1)，证明：在△和△中，， ∴△≌△()，∴∠∠，∴； (2)由(1)知∴△≌△，∴cm，， 当时，cm， 当时，cm，∴cm.∴线段的长为cm或cm， 故答案为：cm或cm；； (3)如图，根据题意得cm，则cm，由(1)得：∠∠，cm， 在△和△中，，∴≌△()，∴，， 当时，，解得：， 当时，，解得：： 综上所述，当线段经过点时，的值为或8． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、列代数式、一元一次方程的应用，解本题的关键是证明△≌△． 学科网（北京）股份有限公司 $$第13章三角形中的边角关系、命题与证明 知识点一、三角形的有关概念 1.定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形; 2.构成:①组成三角形的三条线段叫做三角形边;②相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;③相邻两边的夹角叫做三角形的角. 3.表示:三角形用符号“ ”表示,顶点为、、的三角形记作 ,读作“三角形”,注意单独的 没有 知识点二、三角形的分类 , , 【题型4-1】按角度对三角形进行分类 1.(2022 蜀山区期末)若三角形三个内角度数之比为3:4:9,则这个三角形一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 2.(2022 瑶海区校级期末)在 中,已知∠∠∠,按角判断 的形状. 【题型4-2】直角三角形的判定 3.(2022 包河区期末)已知 的内角分别为∠,∠,∠,下列能判定 是直角三角形的条件是( ) A.∠∠∠ B.∠∠ C.∠∠∠ D.∠∠∠ 知识点三、三角形三边关系 1.定理:三角形任意两边之和大于第三边,三角形任意两边的之差小于第三边. 2.三边关系的应用: (1)当已知三角形两边长,可求第三边长的取值范围; (2)证明线段之间的不等关系; (3)绝对值化简; (4)判断三条线段能否组成三角形,使用方法: ①当三条线端两两不相等,两条较短线段长度和大于第三条线段时,可构成三角形; ②当有两条线段相等,两条相等的线段之和大于第三条线段时,可构成三角形; ③当三条线段相等时,必能够成三角形. 【题型3-1】根据三边关系求第三边或周长取值范围 4.(2022 庐阳区期末)已知三角形的两边长分别为5cm和9cm,则第三边长可以是( ) A.6cm B.16cm C.15cm D.4cm 5.(2024 蜀山区期末)已知三角形的两条边长分别是4cm,5cm,则该三角形的周长不可能是( ) A.10cm B.11cm C.12cm D.17cm 【题型3-2】判断线段能否围成三角形 6.(2022 包河区期末)下列各组数中,不能作为一个三角形三边长的是( ) A.4,4,4 B.2,7,9 C.3,4,5 D.5,7,9 7.(2022 瑶海区校级期末)若三条线段中,,为奇数,那么以、、为边组成的三角形共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型3-3】三边关系在等腰三角形中的应用 8.(2022 庐阳区期末)等腰三角形的一边长为5,周长为21,则该三角形的一腰长是 _8_. 9.(2022 寿春中学期末)等腰三角形的底边长为4,则其腰长的取值范围是( ) A. B. C. D. 10.(2022 瑶海区期末)已知 的三边长分别为,,8. (1)求的取值范围; (2)如果 是等腰三角形,求的值. 【题型5-3】构造三边关系求线段取值范围 11.(2022 包河区期末)不等边 的两条高的长度分别为4和12,若第三条高也为整数,那么它的长度最大值是 _5_. 知识点6、三角形中几条重要线段 1.三角形的角平分线 三角形一个内角的角平分线与这个角的对边相交,以这个角的顶点和交点点之间的线段叫做三角形的角平分线.①三角形的角平分线有3条,均处在三角形内侧; 2.三角形的中线及重心 (1)定义:连接三角形的一个顶点和它对边中点的连线叫做三角形这一边上的中线. ②结论:三角形的中线都把三角形分成两个面积相等的三角形. 3.三角形的高 (1)定义:从三角形一个顶点到它对边所在的直线的垂线段叫做三角形这一边上的高. ②锐角三角形的高线交点在三角形的内部,直角三角形的高线交点是直角顶点,钝角三角形的高线在三角形的外部. 【题型6-1】已知角平分线与高线求角度 12.(2022 瑶海区校级期末)如图,已知是 的角平分线,是边上的高,若∠,∠,则∠的大小是( ) A.5 B.13 C.15 D.20 【题型6-6】由角平分线求三角形内角 13.(2022 蜀山区校级期末)在 中,∠,∠,是 的角平分线,求∠的度数. 知识点5、三角形内角和定理 1.三角形内角和定理:三角形内角和180 。 2.三角形内角和定理的推论1:直角三角形的两个锐角互余. 3.三角形内角和定理的推论2:有两个角互余的三角形是直角三角形. 4.三角形内角和定理的推论3:三角形的一个外角等于和它的两内角的和; 注意:三角形的外角和等于360 5.三角形内角和定理的推论4:三角形的一个外角大于任意一个和他不相邻的内角; 【题型6-9】根据三角形内角和定理求三角形内角 14.(2024 庐阳区期末)如图,在 中,∠,∠,.若∠,则∠的度数为( ) A.30 B.35 C.40 D.45 第14题图 第15题图 第16题图 15.(2022 包河区期末)如图,在 中,∠,点在上,将 沿折叠,点落在边上的点处,若∠,则∠的度数是 _. 【题型5-2】三角板问题 16.(2024 合肥市期末)将一副三角尺按如图所示的方式摆放(两条直角边在同一条直线上),连接另外两个锐角顶点,并测得∠.则∠2的度数为( ) A.45 B.55 C.65 D.75 【题型6-9】求等腰三角形内角(分顶角为钝角或锐角) 17.(2022 瑶海区校级期末)已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为( ) A.20 B.120 C.20 或120 D.36 18.(2024 合肥市期末)在等腰三角形中,∠,则∠的度数不可能为( ) A.48 B.54 C.36 D.72 19.(2024 庐阳区期末)等腰三角形有一个角是36 ,则它的顶角度数是_. 【题型5-1】根据外角定理求角度 20.(2024 合肥市期末)如图,在 中,是延长线上一点,∠,∠,则∠的度数为( ) A.100 B.110 C.120 D.130 第20题图 第21题图 21.(2022 蜀山区校级期末)一副分别含有30 和45 角的两个直角三角板拼成如图所示图形,则的度数是_ . 知识点7、命题与证明 1.命题定义:可以对一件事情做出判断的语句或叫做命题. ①命题必须具有判断作用,要对事件作出肯定或否定的判断. ②命题不能是一个所使句、疑问句、感叹句或表示画图的语句。 2.真命题:如果条件成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题. 3.假命题:条件成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题。 4.命题的简化形式:有些命题的条件和结论不明显,要经过分析才能找出条件和结论,从而将它们写成“如果……那么……”的形式. 7.逆命题:将命题“如果,那么”的_条件_和_结论_互换,便得到一个新命题“_如果,那么_”,我们把这样的两个命题称为_互为逆命题_,其中一个叫_原命题_,另一个叫原命题的_逆命题_. 注意:互逆命题的真假性之间的关系是_无关的. 8.反例:我们把符合命题的_条件_,但不符合命题的_结论_的例子称为这个命题的一个_反例_.要说明一个命题是假命题,只要举出一个_反例_即可. 9.推理与证明:从一个命题的条件出发,根据定义、基本事实及定理,经过_推理_,得出它的成立,从而判断该命题为_真命题_,这个过程叫做证明. 注意:证明的一般步骤: (1)审题,找出命题的_条件_和_结论_; (2)由题意画出图形,并在图形上标出_数量关系_; (3)用数学语言写出_已知_、_求证_; (4)分析证明的思路,有条理地写出_证明_过程. 【题型7-2】判定一个命题的真假(必考) 22.(2024 蜀山区期末)下列命题中,一定是真命题的是( ) A.三角形的外角大于三角形任何一个内角 B.两边和一角分别相等的两个三角形全等 C.线段垂直平分线上的点到线段上任意两点距离相等 D.有两个内角互余的三角形是直角三角形 23.(2022 蜀山区校级期末)命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是 _真命题_(填“真命题”或“假命题”). 24.(2022 蜀山区期末)下列命题是假命题的是( ) A.对顶角相等 B.若,则 C.内错角相等,两直线平行 D.若,则 25.(2022 庐阳区期末)下列命题中,一定是真命题的是( ) A.两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 D.有一个角是40 ,且腰相等的两个等腰三角形全等 【题型7-3】命题的改写 26.(2024•蜀山区金湖中学期中)“对顶角相等”的逆命题是_.(用“如果…那么…”的形式写出) 【题型7-4】书写一个命题的逆命题(必考) 27.(2022 瑶海区期末)“全等三角形的对应边相等”的逆命题是:_. 28.(2022 寿春中学期末)命题“若,那么”是一个 _命题(填真、假),写出它的逆命题:_. 【题型7-4】判断逆命题的真假(必考) 29.(2022 瑶海区校级期末)命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是_假_命题.(填“真”或“假”) 30.(2022 经开区期末)下列命题中,逆命题是真命题的是( ) A.对顶角相等 B.若,那么 C.等角的补角相等 D.若,那么 31.(2022 包河区期末)下列命题中,逆命题是真命题的是( ) A.对顶角相等 B.全等三角形的对应角相等 C.若,则 D.若,则 【题型7-5】列反例证明假命题 32.(2024 包河区智育联盟期末)下列可以作为命题“若,则”是假命题的反例是( ) A., B., C., D., 【题型7-6】定理、推理与证明 33.(2024 蜀山区期末)定理证明:两个角相等的三角形是等腰三角形. 34.(2022 蜀山区期末)求证:等腰三角形两底角相等. 第14章 全等三角形 14.1 全等三角形 知识点一 全等形的基本概念 1.全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角. 2.全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等;由全等三角形的定义可知,全等三角形的周长相等,面积相等. 3.“全等”不具备对应关系,需分类讨论;“≌”有严格的对应关系 【题型1-1】利用全等的性质求线段 1.(2024 合肥市期末)已知 ≌ ,其中,则_. 2.(2022 包河区校级期末)如图,是上一点,交于点,,,若,,则_. 第1题图 第2题图 第4题图 3.(2022 瑶海区期末)如图,在 中,,,垂足分别是,,、交于点,已知,,则_. 4.(2024 科大附中高新中学期末)如图,、是锐角 的高,相交于点,若,,,则的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【题型1-2】利用全等的性质求角度 5.(2024 蜀山区期末)如图,在 中,,,,若∠,则∠的度数为( ) A.75 B.70 C.65 D.60 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 6.(2024 蜀山区期末)如图, ≌ ,,∠,∠,、交于点,则∠的度数是 _. 7.(2022 高新区期末)如图, 和 均为等边三角形,点、、在同一条直线上,连接,则∠_. 8.(2024 科大附中高新中学期末)如图, ≌ ,点在边上,∠,则∠_ . 【题型1-3】全等多结论问题(小题压轴必考) 9.(2022 庐阳区期末)如图,在 与 中,∠∠,,,点、、三点在同一条直线上,连接、,在以下判断中,不正确的是( ) A. B. C.∠∠ D. 第9题图 第10题图 第11题图 10.(2022 蜀山区期末)如图,在 和 中,∠∠,,,,且点在线段上,则下列结论中不一定成立的是( ) A. ≌ B. C.∠∠ D. 11.(2022 瑶海区校级期末)如图, 中,∠,于,平分∠,且于,与相交于点,于,交于,下列结论中正确的是( ) ① 为等腰三角形;②;③;④. A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④ 知识点二、三角形全等的判定 1.全等的五个判定定理:①SAS;②ASA;③SSS;④AAS;⑤HL 2.AAA或SSA不能判定三角形全等,SSA可以使用HL代替或者使用等腰三角形; 3.判定两个三角形全等的一般思路: 4.全等的五个常见模型:①平移型;②对称型;③旋转型(手拉手);④一线三等角;⑤截长补短型。 5.证明线段相等或角相等的基本思路 观察图形,找出要证的线段或角在哪两个三角形中,证明这两个三角形全等即可,如果这样的三角形找不到,则要考虑添加适当的辅助线,构造出全等的三角形来. 6.常见的添加辅助线证明三角形全等的方法 (1)遇到三角形的中线,延长中线,使延长的线段与原中线长度相等,构造全等三角形. (2)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线. (3)截长法与补短法,具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,使之与特定线段相等. 【题型2-1】添加一个条件证全等(必考) 12.(2022 寿春中学期末)如图,等腰 中,点,分别在腰,上,添加下列条件,不能判定 ≌ 的是( ) A. B. C.∠∠ D.∠∠ 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 13.(2022 蜀山区校级期末)如图,点,在线段上,,,添加一个条件仍不能判定 ≌ 的是( ) A. B. C.∠∠ D.∠∠ 14.(2022 庐阳区校级期末)如图,直线经过中点,交于点,交于点,下列哪个条件不能使 ≌ ( ) A.∠∠ B. C. D. 15.(2022 庐阳区期末)如图,点、在线段上,若∠∠,则添加下列条件,不一定能使 ≌ 的是( ) A.∠∠, B., C.∠∠, D., 【题型2-1】全等判定定理的简单应用 16.(2022 经开区期末)下列三角形与如图全等的三角形是( ) A. B. C. D. 【题型2-1】对称型 17.(2024 合肥市期末)已知:如图,在 和 中,点在上,平分∠,且. 求证:∠∠. 18.(2022 寿春中学期末)如图,已知,,与交于,. 求证:(1); (2) 是等腰三角形. 【题型2-1】平移型 19.(2022 经开区期末)如图,点,,,在同一直线上,,,,求证:. 【题型2-1】旋转(手拉手)模型(必考)(庐阳区连续三年) 20.(2024 庐阳区期末)如图,点在 的边上. 下面有四个条件: ①;②;③∠∠;④.请你从中选择三个作为题设,余下的一个作为结论,写出一个真命题,并加以证明. 21.(2022 寿春中学期末)如图,已知是 的边上的高,点为上一点,且,. (1)证明:; (2)若,,求 的面积. 22.(2024 合肥市期末)在 和 中,,,∠∠. (1)如图1,当点、、在同一条直线上时,求证:; (2)如图2,当点、、不在同一条直线上时,与交于点,交于点,求证:; (3)如图3,在(2)的条件下,连接并延长交于点,∠是一个固定的值吗?若是,求出∠的度数;若不是,请说明理由. 【题型2-1】一线三等角模型(压轴必考) 23.(2024 合肥市期末)如图,在 中,∠,,直线经过点,且,,垂足分别为、. (1)求证: ≌ ; (2)若,cm,求四边形的面积. 24.(2022 高新区期末)在 中,,∠,点、分别在、上,且,,连接、. (1)如图1,求证:; (2)如图2,过作于,求证:∠∠; (3)如图3,若延长、相交于,求证:为的中点. 25.(2022 寿春中学期末)(1)如图(1)所示,已知 为等腰直角三角形,∠,以点为坐标图点建立坐标平面,作轴于点,求证: ①∠∠; ②若点坐标为(3,4),求出点的坐标. (2)如图(2)所示,已知 ,以点为原点建立平面直角坐标系,若点坐标为(3,4),点的坐标为(,7),求证: 是等腰直角三角形. (3)如图(3)所示,在平面直角坐标系中,是坐标原点,点的坐标为(3,4),若 是以为腰的等腰直角三角形,请直接写出点的坐标. 26.(2022 经开区期末)如图, 是等边三角形,点、、分别同时从、、以同样的速度沿、、方向运动,当点运动到点时,三个点都停止运动. (1)在运动过程中 是什么形状的三角形,并说明理由; (2)若运动到某一时刻时,,∠,求等边 的周长. 27.(2022 蜀山区校级期末)如图, 中,,点,,分别在边,,上,且,. (1)求证: ≌ ; (2)若∠,求∠的度数; (3)若,,,,请直接写出关于的函数表达式,并注明自变量的取值范围. 【题型2-1】利用HL避开SSA陷阱 28.(2022 包河区校级期末)(1)如图,∠,cm,点在射线上,画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题,请画出图形,并写出你所选取的的长约为_cm(精确到0.1cm). (2)∠为锐角,,点在射线上,点到射线的距离为,,若 的形状、大小是唯一确定的,则的取值范围是 _. 【题型2-1】利用倍长中线构造全等 29.(2024 庐阳区期末)如图, 是等边三角形,以为底边向外侧作等腰三角形,过点作,交于点,交于点. (1)判断 的形状,并说明理由; (2)若,求证:. 【题型2-1】利用截长补短证明线段的和差倍分关系 30.(2022 包河区期末)如图,∠,点为∠的平分线上的一个定点,且∠与∠互补,若∠在绕点旋转的过程中,其两边分别与、相交于、两点,则以下结论:①;②;③四边形的面积保持不变;④ 的周长保持不变.其中说法正确的是_(填序号). 31.(2022 包河区期末)在等腰 中,,点是上一动点,点在的延长线上,且,平分∠交于点,连接. (1)如图1,求证:∠∠; (2)如图2,当∠时,在上取点,使,连接.求证: 是等边三角形; (3)如图3,当∠,且时,求证:. 32.(2022 庐阳区期末)如图1,已知等腰 ,,∠,于点,点是线段上一点,点是延长线上一点,且. (1)当点与点重合时,即,如图2,求∠的度数; (2)求证:∠∠; (3)求证:. 知识点三、全等的应用 【题型3-1】测量问题 33.(2024 蜀山区期末)如图,在湖泊的岸边有,两点,难以直接量出,两点间的距离.你能设计一种量出,两点之间距离的方案吗?说明你这样设计的理由. 【题型3-2】动点问题 34.(2024 庐阳区期末)如图,与相交于点,,,cm,点从点出发,在线段上沿方向以4cm/s的速度往返运动,点从点出发,沿方向以2cm/s的速度运动,、两点同时出发,当点到达点时,,两点同时停止运动,设点的运动时间为(s). (1)线段与有什么位置关系?并说明理由. (2)线段的长为 _;(用含的式子表示) 线段的长为 _;(用含的式子表示) (3)连接,当线段经过点时,求的值. 学科网(北京)股份有限公司 $$