专题02 实数(7题型)-2025年中考数学总复习（全国通用）

专题02 无理数与实数 题型一：平方根、算术平方根 1、一个正数a有两个平方根，其中一个是“”，另一个为“”，它们互为相反数，即和为0； 2、非负数可以求平方根，即负数没有平方根． 3、算术平方根： 若一个正数的平方等于，则这个正数是的算术平方根。即若，则是的算术平方根，记作。 4、算术平方根的非负性：即且。 （例题讲解） 例1-1．16的平方根是　　 A．2 B． C．4 D． 例1-2．计算：　4　． （练习题） 1．的算术平方根是　　 A． B． C．9 D．3 2．下列各数中，算术平方根为小数的是　　 A．1 B．4 C．5 D．9 3．下列说法正确的是　　 A．64是8的算术平方根 B．9是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1 4．若正方形的面积是9，则该正方形的边长是　　 A．9的平方根 B．的平方根 C．9的算术平方根 D．的算术平方根 5．若，则中的等于　　 A．1040.4 B．10.404 C．104.04 D．1.0404 6．若一个正数的平方根分别为和，则的值是 　 　． 题型二：立方根 1、立方根： ①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0； ②； ③=a． 2、平方根和立方根的区别和联系 ①被开方数的取值范围不同 在中，被开方数a是非负数，即a≥0；在中，被开方数a是任意数． ②运算后的数量不同 一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根． （例题讲解） 例2-1．的立方根是 　 　． （练习题） 1．下列各数中立方根为的是　　 A．1 B． C． D． 2．下列说法中不正确的是　　 A．正数的平方根有两个，立方根也有两个 B．64的立方根是4 C．3是27的立方根 D．任何一个数都有立方根 3．若，，则为　　 A．214 B． C．2140 D． 4．若是125的立方根，则的立方根是　 　． 5．一个正数的两个平方根是和，则的立方根为 　 　． 题型三：无理数 1、无理数：无限不循环的小数叫做无理数。 2、常见无理数的四种形式： 3、无理数的估算 （例题讲解） 例3-1．实数，0，，1.732中无理数是　　 A． B．0 C． D．1.732 例3-2．估计的值应在　　 A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 （练习题） 1．在下列实数中，属于无理数的是　　 A．0 B． C． D． 2．公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是　　 A． B．0 C． D．1.5 3．下列各数：，3.14，，，中，无理数有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．估计的值在　　 A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 5．无理数的小数部分是　　 A． B．5 C． D． 6．估算的值应在　　 A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 7．关于，下列说法不正确的是　　 A．是无理数 B．能与合并 C．整数部分是4 D．一定能够在数轴上找到表示的点 8．估算的运算结果应是　　 A． B． C． D．无法确定 考点四：实数的定义与运算 1、实数的分类： 2、数轴： 规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴，数轴上的点与实数存在一一对应关系。即任何一个实数在数轴上有且只有一个点表示它，数轴上任何一个点也只能表示一个实数。 在数轴上，互为相反的两个数在原点两侧，且到原点的距离相等。 3、实数的大小比较： （1） 数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大； （2） 类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小； （3） 差值比较法： （4） 平方比较法： 4、实数的运算： （1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律. （2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的. （3）0次幂：除0外的任何数的0次幂都等于1。即。 （4）负整数指数幂的运算：一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数。即。 （5）锐角的三角函数： 锐角三角函数 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 （例题讲解） 例4-1．在0，，，这四个数中，最小的数是　　 A．0 B． C． D． 例4-2．计算：． （练习题） 1．以下各数是有理数的是　　 A． B． C． D． 1．下列各数中最大的数是　　 A．1 B． C． D．0 3．计算的结果等于　　 A． B． C． D． 4．我国是最早使用负数的国家，在数据，，0，，，中是负数的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．若，，，则、、的大小关系是　　 A． B． C． D． 6．，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是　　 A． B． C． D． 7．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 8．计算的值为　　 A．3 B． C． D．13 9．有一个数值转换器，流程如下： 当输入的值为64时，输出的值是　　 A．4 B． C．2 D． 10．计算：． 11．计算：． 题型五：数轴与绝对值结合 1、绝对值的几何意义：一个数的绝对值指的是数轴上到原点的距离，离原点越远，其绝对值越大。 （例题讲解） 例5-1．如图，数轴上点，，分别表示数，，，那么下列运算结果一定是正数的是　　 A． B． C． D． （练习题） 1．有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 2．点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和．对于以下结论： ①，②，③，④．其中正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知点，点在数轴上对应的数，的位置如图所示，则和的大小关系是　　 A． B． C． D．无法判断 4．已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为　　 A． B． C． D． 5．已知实数在数轴上的位置如图所示，则　 　． 题型六：绝对值、算术平方根的非负性 1、绝对值的非负性：一个式子的绝对值的取值一定大于等于0。 2、算术平方根的非负性：任何一个算术平方根的取值一定大于等于0。 3、如果几个非负数的和为0，那么每一个非负数都为0。 （例题讲解） 例6-1．已知，那么的值为　　 A．1 B． C． D． （练习题） 1．若，则的立方根是 　 　． 2．已知与互为相反数，　 　． 3．已知，的平方根是 　 　． 4．若，则的值为 　 　． 题型七：绝对值有关的最值问题 1、求几个绝对值和的最小值或差的最大值： （1）零点分段法：在数轴上分别标出每个绝对值取0时的点，然后在数轴上的每一段内利用绝对值的代数意义进行化简，然后求出最值。 （2）奇点偶段法：利用绝对值的几何意义，将绝对值转化为线段长度进行求解。 如：求最小值，共有3个（奇数个）零点，只需当取中间的零点-1时，即可使所求和最小。 如：求最小值，共有4个（偶数个）零点，只需当在零点-3和2之间（包含端点）时，即可使所求和最小。 （例题讲解） 例7-1．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．则代数式的最小值是 　 　． 例7-2．定义我们把数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值．数轴上表示数，的点，之间的距离．特别的，当时，表示数的点与原点的距离等于．当时，表示数的点与原点的距离等于． 应用如图，在数轴上，动点从表示的点出发，以1个单位秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点从表示12的点出发，以2个单位秒的速度沿着数轴的负方向运动． （1）经过多长时间，点，之间的距离等于3个单位长度？ （2）求点，到原点距离之和的最小值． （练习题） 1．当式子取最小值时，求相应的取值范围，并求出最小值． 2．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）　 　． （2）同理表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 　　． （3）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 3．我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点的距离是　 　，数轴上表示和的两点之间的距离是　 　，数轴上表示15和的两点之间的距离是　　 ． （2）数轴上表示和的两点，之间的距离是　 　，如果，那么是　 　． （3）式子的最小值是　 　． 4．阅读下面材料：点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为． 当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点， 如图1，； 当、两点都不在原点时， 如图2，点、都在原点的右边 ； 如图3，点、都在原点的左边， ； 如图4，点、在原点的两边， ； 回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 　 　，数轴上表示和的两点之间的距离是 　 　，数轴上表示1和的两点之间的距离是 　 　． （2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 　　，如果，那么为 　　； （3）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 　　． 5．先阅读，后探究相关的问题 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点，再把点向左移动1.5个单位，得到点，则点和点表示的数分别为 　　和 　　，，两点间的距离是 　　； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 　　；如果，那么为 　　； （3）若点表示的整数为，则当为 　　时，与的值相等； （4）要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是 　　． 6．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求　6　． （2）若，则　 　 （3）同理表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是　 　． 7．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，2分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： ①；②；③．从而化简代数式可分以下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出和的零点值； （2）化简代数式； （3）求代数式的最小值． 8．观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：4与，3与5，与，与3．并回答下列各题： （1）你能发现、两点之间的距离表示为与，在数轴上、两点之间的距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：　 　． （2）若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，则与两点间的距离可以表示为　 　． （3）结合数轴探求的最小值是　 　． 9．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为． （1）点、、在数轴上分别表示有理数、、1，那么到的距离与到的距离之和可表示为　 　（用含绝对值的式子表示）． （2）利用数轴探究： ①找出满足的的所有值是　 　， ②设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是　　；当的值取在　　的范围时，取得最小值，这个最小值是　　． （3）求的最小值为　　，此时的值为　　． （4）求的最小值，求此时的取值范围． 10．阅读：已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （1）数轴上表示2和的两点之间的距离是　 　； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离是　　； （3）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是　　；最小值是　　． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：、、、，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 无理数与实数 题型一：平方根、算术平方根 1、一个正数a有两个平方根，其中一个是“”，另一个为“”，它们互为相反数，即和为0； 2、非负数可以求平方根，即负数没有平方根． 3、算术平方根： 若一个正数的平方等于，则这个正数是的算术平方根。即若，则是的算术平方根，记作。 4、算术平方根的非负性：即且。 （例题讲解） 例1-1．16的平方根是　　 A．2 B． C．4 D． 【答案】 【分析】根据平方根的定义即可求得答案． 【解析】16的平方根是， 故选． 例1-2．计算：　4　． 【答案】4． 【分析】根据算术平方根的定义计算即可． 【解析】， 故答案为：4． （练习题） 1．的算术平方根是　　 A． B． C．9 D．3 【答案】 【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根． 【解析】， 又， 的平方根是， 的算术平方根是3． 即的算术平方根是3． 故选． 2．下列各数中，算术平方根为小数的是　　 A．1 B．4 C．5 D．9 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案． 【解析】，，是整数，是无限不循环小数， 故选． 3．下列说法正确的是　　 A．64是8的算术平方根 B．9是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1 【答案】 【分析】如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，由此即可判断． 【解析】、8是64的算术平方根，故不符合题意； 、9是81的算术平方根，故不符合题意； 、的算术平方根是，正确，故符合题意； 、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0或1，故不符合题意． 故选． 4．若正方形的面积是9，则该正方形的边长是　　 A．9的平方根 B．的平方根 C．9的算术平方根 D．的算术平方根 【答案】 【分析】根据正方形的面积等于边长的平方求解即可． 【解析】正方形的面积是9，根据正方形的面积等于边长的平方，则该正方形的边长是9的算术平方根． 故选． 5．若，则中的等于　　 A．1040.4 B．10.404 C．104.04 D．1.0404 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义，算术平方根的小数点移动一位，被开方数的小数点相应移动两位解答． 【解析】， ， ， ． 故选． 6．若一个正数的平方根分别为和，则的值是 　 　． 【答案】． 【分析】根据平方根的定义得到与互为相反数，列出关于的方程，求出方程的解得到的值． 【解析】根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 题型二：立方根 1、立方根： ①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0； ②； ③=a． 2、平方根和立方根的区别和联系 ①被开方数的取值范围不同 在中，被开方数a是非负数，即a≥0；在中，被开方数a是任意数． ②运算后的数量不同 一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根． （例题讲解） 例2-1．的立方根是 　　． 【答案】 【分析】根据立方根的定义进行计算即可． 【解析】， 的立方根是， 故答案为：． （练习题） 1．下列各数中立方根为的是　　 A．1 B． C． D． 【答案】 【分析】根据立方根的定义逐项判断即可． 【解析】、1的立方根为1，故此选项不符合题意； 、的立方根为，故此选项符合题意； 、，1的立方根为1，即的立方根为1，故此选项不符合题意； 、，1的立方根为1，即的立方根为1，故此选项不符合题意； 故选． 2．下列说法中不正确的是　　 A．正数的平方根有两个，立方根也有两个 B．64的立方根是4 C．3是27的立方根 D．任何一个数都有立方根 【答案】 【分析】根据平方根、立方根的定义分别判断即可． 【解析】、正数的平方根有两个，立方根有一个，所以原说法错误，故此选项符合题意； 、64的立方根是4，说法正确，故此选项不符合题意； 、3是27的立方根，说法正确，故此选项不符合题意； 、任何一个数都有立方根，说法正确，故此选项不符合题意； 故选． 3．若，，则为　　 A．214 B． C．2140 D． 【答案】 【分析】将变形为，结合已知等式即可求解． 【解析】 ， 又， ， ， 又， ． 故选． 4．若是125的立方根，则的立方根是　　． 【答案】． 【分析】先根据立方根的定义得到，解得，再代入求出的值，然后根据立方根的定义求的立方根即可． 【解析】是125的立方根， ， ， ， 的立方根是． 故答案为：． 5．一个正数的两个平方根是和，则的立方根为 　3　． 【答案】3． 【分析】因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系，列出方程求得的值，进而求得的值，代入代数式即可求解． 【解析】， 解得， ， ， 即的立方根为3 故答案为：3． 题型三：无理数 1、无理数：无限不循环的小数叫做无理数。 2、常见无理数的四种形式： 3、无理数的估算 （例题讲解） 例3-1．实数，0，，1.732中无理数是　　 A． B．0 C． D．1.732 【答案】 【分析】根据无理数、有理数的定义即可进行判断． 【解析】有理数：，0，1.732；无理数：， 故选． 例3-2．估计的值应在　　 A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【答案】 【分析】先将式子化简，再根据，得出式子的值的范围． 【解析】 ， ， ， ， ， 故选． （练习题） 1．在下列实数中，属于无理数的是　　 A．0 B． C． D． 【答案】 【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【解析】．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； ．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； ．，3是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； ．是无理数，故本选项符合题意； 故选． 2．公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是　　 A． B．0 C． D．1.5 【答案】 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解析】，1.5是分数，0是整数，它们都不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 故选． 3．下列各数：，3.14，，，中，无理数有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】根据无理数的定义逐个判断即可． 【解析】，是有理数，不是无理数， 3.14和是有理数，不是无理数， 所以无理数有，（共2个）． 故选． 4．估计的值在　　 A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】 【分析】先确定，再利用算术平方根的性质即可求得答案． 【解析】， ， 即． 故选． 5．无理数的小数部分是　　 A． B．5 C． D． 【答案】 【分析】先算出整数部分，然后求出小数部分． 【解析】， ， 的整数部分是5， 则无理数的小数部分是， 故选． 6．估算的值应在　　 A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】 【分析】运用算术平方根知识进行化简、估算． 【解析】 ， ， ， 故选． 7．关于，下列说法不正确的是　　 A．是无理数 B．能与合并 C．整数部分是4 D．一定能够在数轴上找到表示的点 【答案】 【分析】根据二次根式、无理数、实数与数轴相关性质解答即可． 【解析】．是无理数，说法正确，不符合题意； ．，能与合并，说法正确，不符合题意； ．，即，整数部分是5，说法错误，符合题意； ．一定能够在数轴上找到表示的点，说法正确，不符合题意； 故选． 8．估算的运算结果应是　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【分析】将原式化简后进行估算即可求解． 【解析】 ， ， ， 故选． 考点四：实数的定义与运算 1、实数的分类： 2、数轴： 规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴，数轴上的点与实数存在一一对应关系。即任何一个实数在数轴上有且只有一个点表示它，数轴上任何一个点也只能表示一个实数。 在数轴上，互为相反的两个数在原点两侧，且到原点的距离相等。 3、实数的大小比较： （1） 数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大； （2） 类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小； （3） 差值比较法： （4） 平方比较法： 4、实数的运算： （1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律. （2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的. （3）0次幂：除0外的任何数的0次幂都等于1。即。 （4）负整数指数幂的运算：一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数。即。 （5）锐角的三角函数： 锐角三角函数 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 （例题讲解） 例4-1．在0，，，这四个数中，最小的数是　　 A．0 B． C． D． 【答案】． 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解析】， 最小的数是：． 故选． 例4-2．计算：． 【答案】6． 【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【解析】原式 ． （练习题） 1．以下各数是有理数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】整数和分数统称为有理数，无理数及无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解析】，，是无限不循环小数，它们不是有理数； 是分数，它是有理数； 故选． 1．下列各数中最大的数是　　 A．1 B． C． D．0 【答案】 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解析】， 最大的数是：． 故选． 3．计算的结果等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先计算特殊角的三角函数值，然后计算减法，求出算式的值即可． 【解析】 ． 故选． 4．我国是最早使用负数的国家，在数据，，0，，，中是负数的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【解析】，是负数，共2个， 故选． 5．若，，，则、、的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据实数大小的比较方法比较即可． 【解析】，，， ， ， 故选． 6．，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据，两点在数轴上的位置判断出其符号，进而可得出结论． 【解析】由图可知，，， ，， ． 故选． 7．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】运用算术平方根、负整数指数幂、立方根和绝对值的知识进行逐一计算、辨别． 【解析】和不是同类项，不能合并， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； ， 选项符合题意， 故选． 8．计算的值为　　 A．3 B． C． D．13 【答案】 【分析】利用有理数的乘除法则，算术平方根及立方根的定义计算即可． 【解析】原式 ， 故选． 9．有一个数值转换器，流程如下： 当输入的值为64时，输出的值是　　 A．4 B． C．2 D． 【答案】 【分析】根据输入的值为64按照流程逐一计算、判断可得． 【解析】当输入的值为64时， ，是有理数， ，是有理数， 是无理数，输出，即， 故选． 10．计算：． 【答案】4． 【分析】先进行乘方，开方和去绝对值以及负整数指数幂、零次幂的运算，再进行加减运算． 【解析】原式 ． 11．计算：． 【答案】． 【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解析】 ． 题型五：数轴与绝对值结合 1、绝对值的几何意义：一个数的绝对值指的是数轴上到原点的距离，离原点越远，其绝对值越大。 （例题讲解） 例5-1．如图，数轴上点，，分别表示数，，，那么下列运算结果一定是正数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】数轴上点，，分别表示数，，，由它们的位置可得，，且，再根据整式的加减乘法运算的计算法则即可求解． 【解析】由数轴可知，， ，， ，， 点在、之间， ，且， 运算结果一定是正数的是． 故选． （练习题） 1．有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】观察数轴得到，，进一步判断出，，，从而得出结论． 【解析】由数轴得，，， ，，， 故选． 2．点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和．对于以下结论： ①，②，③，④．其中正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】根据数轴得出，，再根据有理数的加减、乘除法则进行判断即可． 【解析】由数轴知，， ，， ①③④3个正确． 故选． 3．已知点，点在数轴上对应的数，的位置如图所示，则和的大小关系是　　 A． B． C． D．无法判断 【答案】 【分析】先根据点、两点在数轴上的位置，判断两点到原点的距离远近，然后再根据离原点越近的绝对值越小、离原点越远的绝对值越大的知识点得出答案． 【解析】从图中可以看出，点到原点的距离小于点到原点的距离， 离原点越近的绝对值越小，离原点越远的绝对值越大， ， 故选． 4．已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据数轴上，，的位置确定，，的符号，再根据绝对值的性质化简即可． 【解析】，，且， ， ， ， ，，且， ， ， 故选． 5．已知实数在数轴上的位置如图所示，则　1　． 【答案】1． 【分析】由数轴得，进一步得出，再根据绝对值的性质化简即可． 【解析】由数轴得，， ， ， 故答案为：1． 题型六：绝对值、算术平方根的非负性 1、绝对值的非负性：一个式子的绝对值的取值一定大于等于0。 2、算术平方根的非负性：任何一个算术平方根的取值一定大于等于0。 3、如果几个非负数的和为0，那么每一个非负数都为0。 （例题讲解） 例6-1．已知，那么的值为　　 A．1 B． C． D． 【答案】 【分析】根据绝对值和偶次方的非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【解析】， ，， ，， ， 故选． （练习题） 1．若，则的立方根是 　 　． 【答案】． 【分析】首先根据题意，可得，，所以，，据此求出、的值，然后把求出的、的值代入，求出算式的值，再根据立方根的含义和求法，求出的立方根即可． 【解析】， ，， ，， 解得，， ， 的立方根是． 故答案为：． 2．已知与互为相反数，　 　． 【答案】1． 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出、，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解析】与互为相反数， ， ，， 解得，， 所以， 故答案为：1． 3．已知，的平方根是 　 　． 【答案】． 【分析】首先根据绝对值和被开方数的非负性可以求、的值，再根据平方根的定义即可求解． 【解析】根据题意知，， ，， ， 的平方根为． 故答案为：． 4．若，则的值为 　 　． 【答案】12． 【分析】根据算术平方根和偶次方的非负性，求出，，再代入计算即可． 【解析】， ，， ，， ， 故答案为：12． 题型七：绝对值有关的最值问题 1、求几个绝对值和的最小值或差的最大值： （1）零点分段法：在数轴上分别标出每个绝对值取0时的点，然后在数轴上的每一段内利用绝对值的代数意义进行化简，然后求出最值。 （2）奇点偶段法：利用绝对值的几何意义，将绝对值转化为线段长度进行求解。 如：求最小值，共有3个（奇数个）零点，只需当取中间的零点-1时，即可使所求和最小。 如：求最小值，共有4个（偶数个）零点，只需当在零点-3和2之间（包含端点）时，即可使所求和最小。 （例题讲解） 例7-1．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．则代数式的最小值是 　 　． 【答案】8． 【分析】代数式的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与5所对应的点之间的距离，代数式的几何意义就是数轴上所对应的点与、5所对应的点之间的距离的和，最小值就是所对应的点与5所对应的点之间的距离，据此求解即可． 【解析】代数式的最小值是：． 故答案为：8． 例7-2．定义我们把数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值．数轴上表示数，的点，之间的距离．特别的，当时，表示数的点与原点的距离等于．当时，表示数的点与原点的距离等于． 应用如图，在数轴上，动点从表示的点出发，以1个单位秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点从表示12的点出发，以2个单位秒的速度沿着数轴的负方向运动． （1）经过多长时间，点，之间的距离等于3个单位长度？ （2）求点，到原点距离之和的最小值． 【分析】（1）根据“点，之间的距离等于3个单位长度”列方程求解； （2）先表示点，到原点距离之和，再分类讨论求出最小值． 【解析】（1）设经过秒，点，之间的距离等于3个单位长度， 则：， 解得：或， 答：经过4秒或6秒，点，之间的距离等于3个单位长度； （2）设经过秒，点，到原点距离之和为， 则， 当时，， 当时，值最小，为6， 当时，， 当时，值最小，为3， 当时，， 当时，有极小值，为3， 综上所述，点，到原点距离之和的最小值为3． （练习题） 1．当式子取最小值时，求相应的取值范围，并求出最小值． 【分析】根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案． 【解析】当式子取最小值时，相应的取值范围是，最小值是14． 2．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）　 　． （2）同理表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 　　． （3）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了． （2）要找出的整数值可以进行分段计算，令或时，分为3段进行计算，最后确定的值． （3）根据绝对值的意义，即可解答． 【解析】（1）． 故答案为：7； （2）令或时，则或， 当时， ， ， （范围内不成立）， 当时， ， ， ， ，，，，0，1， 当时， ， ， ， ， （范围内不成立）． 显然当及时符合题意， 综上所述，符合条件的整数有：，，，，，0，1，2． 故答案为：、、、、、0、1、2； （3）有最小值． 当有理数所对应的点在，3之间的线段上的点时， 最小值为9． 3．我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点的距离是　 　，数轴上表示和的两点之间的距离是　 　，数轴上表示15和的两点之间的距离是　　． （2）数轴上表示和的两点，之间的距离是　　，如果，那么是　　． （3）式子的最小值是　　． 【分析】（1）（2）直接根据数轴上、两点之间的距离．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离． （3）根据表示数轴上与之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到，2和3距离的和，当在和3之间的2时有最小值． 【解析】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是．数轴上表示15和的两点之间的距离是． （2）数轴上表示和的两点和之间的距离是，如果，那么为1或． （3）表示：数轴上一点到，2和3距离的和， 当在和3之间的2时有最小值是4． 故答案为：3，15，45；，1或；4． 4．阅读下面材料：点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为． 当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点， 如图1，； 当、两点都不在原点时， 如图2，点、都在原点的右边 ； 如图3，点、都在原点的左边， ； 如图4，点、在原点的两边， ； 回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 　 　，数轴上表示和的两点之间的距离是 　 　，数轴上表示1和的两点之间的距离是 　 　． （2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 　　，如果，那么为 　　； （3）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 　　． 【分析】审题可知题中通过探索已经得出数轴上两点之间的距离求值方法：即两数之差的绝对值， （1）求两点距离，我们根据题意代入求值即可． （2）第一个问题只需把字母和数代入即可，第二个问题，根据题意列出方程求解即可． （3）将绝对值理解为两点之间的距离，再根据两点之间线段最短分析即可． 【解析】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：，数轴上表示和的两点之间的距离是：， 数轴上表示1和的两点之间的距离是：． 故答案为：3，3，4 （2）数轴上表示和的两点和之间的距离是：， 由得：，所以有：，或，解得，或． 故答案为：，1或． （3）可以看作：表示的点到表示的点和到表示2的点的距离的和，根据两点之间线段最短，可知表示的点在表示的点和到表示2的点的线段上，所以． 故答案为：． 5．先阅读，后探究相关的问题 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点，再把点向左移动1.5个单位，得到点，则点和点表示的数分别为 　　和 　　，，两点间的距离是 　　； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 　　；如果，那么为 　　； （3）若点表示的整数为，则当为 　　时，与的值相等； （4）要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是 　　． 【分析】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离； （2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个； （3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围． 【解析】（1）如图，点为所求点．点表示的数，点表示的数1，的长度是； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为，如果，那么为，2； （3）若点表示的整数为，则当为，时，与的值相等； （4）要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是， 故答案为：，1，3.5；，，2；；． 6．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求　6　． （2）若，则　 　 （3）同理表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是　 　． 【分析】（1）根据4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，可得． （2）根据表示与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，可得或7． （3）因为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，所以使得成立的整数是和4之间的所有整数（包括和，据此求出这样的整数有哪些即可． 【解析】（1）与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6， ． （2）表示与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5， 或7与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5， 若，则或7． （3）与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6， 使得成立的整数是和4之间的所有整数（包括和， 这样的整数是、、0、1、2、3、4． 故答案为：6；或7；、、0、1、2、3、4． 7．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，2分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： ①；②；③．从而化简代数式可分以下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出和的零点值； （2）化简代数式； （3）求代数式的最小值． 【分析】（1）令，，解得的值即可； （2）分为、、三种情况化简即可； （3）根据（2）中的化简结果判断即可． 【解析】（1）令，， 解得：和， 故和的零点值分别为5和4； （2）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，原式． （3）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 故代数式的最小值是1． 8．观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：4与，3与5，与，与3．并回答下列各题： （1）你能发现、两点之间的距离表示为与，在数轴上、两点之间的距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：　 　． （2）若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，则与两点间的距离可以表示为　 　． （3）结合数轴探求的最小值是　 　． 【分析】（1）根据数轴发现，两点的距离为表示两点的数的差的绝对值； （2）根据发现的规律代入即可； （3）结合数轴得出：的最小值，表示数到2和两点的距离之和最小，则为8． 【解析】（1）4与的距离：， 3与5的距离：， 与的距离：， 与3的距离：， ； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）表示数到2和两点的距离之和， 如果求最小值，则一定在2和之间，则最小值为8； 故答案为：8． 9．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为． （1）点、、在数轴上分别表示有理数、、1，那么到的距离与到的距离之和可表示为　　（用含绝对值的式子表示）． （2）利用数轴探究： ①找出满足的的所有值是　　， ②设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是　　；当的值取在　　的范围时，取得最小值，这个最小值是　　． （3）求的最小值为　　，此时的值为　　． （4）求的最小值，求此时的取值范围． 【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案； （2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值； （3），根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，的值只要取到2之间（包括、的任意一个数，要使的值最小，应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可； （4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案． 【解析】（1）到的距离与到的距离之和可表示为； （2）①满足的的所有值是、4， ②设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是4；当的值取在不小于0且不大于2的范围时，取得最小值，这个最小值是2； （3）由分析可知， 当时能同时满足要求，把代入原式； （4） 要使的值最小，的值取到3之间（包括、的任意一个数，要使的值最小，取到2之间（包括、的任意一个数，显然当取到2之间（包括、的任意一个数能同时满足要求，不妨取代入原式，得； 方法二：当取在到2之间（包括、时，． 故答案为：；，4；4；不小于0且不大于2；2；4，2． 10．阅读：已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （1）数轴上表示2和的两点之间的距离是　 　； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离是　　； （3）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是　　；最小值是　　． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：、、、，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【分析】根据题意，可以求得第（1），（2），（3）的答案，根据应用的题意，可以画出五种调配方案，从而可以解答本题． 【解析】（1）2和的两点之间的距离是， 故答案为：5． （2）和之间的距离是， 故答案为：． （3）代数式表示在数轴上到1和两点的距离的和，当在和1之间时，代数式取得最小值，最小值是和1之间的距离． 故当时，代数式取得最小值，最小值是4． 故答案为：，4． 应用：根据题意，共有5种调配方案，如图所示： 由上可知，调出的最小车辆数为：辆． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$