专题16.2 二次根式（精选精练）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题16.2 二次根式（精选精练）（专项练习） 【特别说明】题号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（23-24八年级下·全国·期末）要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25八年级上·山西运城·期中）下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）将根号外的因式移到根号内，结果为（   ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·河北石家庄·阶段练习）下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ ★6．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． ★7．（24-25八年级上·陕西西安·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． ★8．（24-25八年级上·重庆万州·期中）计算：的值为（   ） A． B． C． D． ★★9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． ★★10．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）化简 ． 12．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）已知，，且，则 13．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）已知点P的坐标是，则点P关于x轴对称的点在第 象限． 14．（2024九年级下·广东·专题练习）若实数m满足，则m的取值范围是 ． 15．（19-20八年级下·天津和平·阶段练习）已知，则代数式的值为 ． ★16．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）若满足等式，则的值为 ． ★★17．（21-22八年级下·浙江杭州·期中）设，求不超过的最大整数 ． ★★18．（24-25九年级上·四川内江·期中）实数、、满足条件，则的值是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）计算： (1)； (2)． 20．（本小题满分8分）（23-24八年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中 ． 21．（本小题满分10分）（23-24八年级下·贵州黔西·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． ★22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． ★23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． (1)当时，的最小值为______；当时，的最大值为______； (2)当时，求的最小值； (3)如图，四边形的对角线、相交于点、的面积分别为和，求四边形的最小面积．    ★★24．（本小题满分12分）（23-24八年级上·安徽淮北·阶段练习）在中，，分别是和上的点，．过点作交于点，已知． (1)如图①，若，求证：； (2)在（1）的条件下，若，，求的长； (3)如图②，若，则（1）中的结论是否成立？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B B A C B B A 1．C 【分析】本题考查了二次根式、分式有意义的条件．熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得，且， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 3．C 【分析】此题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 直接根据二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项正确，符合题意； D、，根号里面的数不能为负数，该选项错误，不符合题意． 故选：C． 4．B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出．根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选：B． 5．B 【分析】根据算术平方根的非负性即可判断． 【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等， ∴第②步推导错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键． 6．A 【分析】本题考查二次根式的化简和不等式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据题意得到，，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可； 【详解】解： ， ， ，， ，， 原式； 故选：A 7．C 【分析】本题考查化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故选C 8．B 【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，整式的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键．令，把原式化简为，再利用二次根式的性质化简，最后再代入求值即可． 【详解】解：令， 则原式化为： ， 故选：B． 9．B 【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将变形为，配方得到，根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵m，n均为正实数， ∴可化为， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：B 10．A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 11． 【分析】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：， 故答案为：． 12．3 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键，根据可得的值，再根据可确定的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 13．三 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标的特征，二次根式有意义的条件；根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：∵点P关于x轴对称的点为 ∵ ∴ ∴ ∴点P关于x轴对称的点在第三象限， 故答案为：三． 14．/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 15． 【分析】直接把的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 16．2022 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值、一元一次方程等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到m的取值范围，再根据m的取值范围去绝对值和二次根式的性质得到一元一次方程，进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 故答案为：2022． 17． 【分析】首先将化简，可得，然后再代入原式求出，即可得出答案． 【详解】解： ， ， 不超过的最大整数． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查完全平方公式、二次根式的化简，能正确化简是解题的关键． 18． 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式；分析题中条件不难发现等号左边含有未知数的项都有根号，而等号右边的则都没有．由此可以想到将等式移项，并配方成三个完全平方数之和等于的形式，从而可以分别求出、、的值，即可求解． 【详解】将题中等式移项并将等号两边同乘4得 ， ， ， ，，， ，，， ． 故答案为：． 19．(1)1 (2)0 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式根据算术平方根、零指数幂和负整数指数幂运算法则分别化简各项后，再进行加减运算即可； （2）原式根据绝对值的代数意义、立方根和二次根式的性质化简各项后，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20． 【分析】本题考查的是二次根式的化简，先判定，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 21．(1) (2)7或3 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，绝对值的非负性求得a，b的值，然后代入中计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件求得x，y的值后代入中计算即可． 【详解】（1）解：， ∴，， 解得：，， 那么， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 则， 那么， 则或， 那么或， 即的值是7或3． 22．(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． （1）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （2）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （3）由得出，根据，都是整数可得，即可求出值，代入求出值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： = ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，都是整数， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 23．(1)； (2)的最小值为 (3) 【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可； （2）先将变形得到，然后根据题目中给出的信息进行解答即可； （3）设，根据等高三角形性质得出 ，求出 ，根据四边形的面积为，根据题干的信息，求出最小值即可． 【详解】（1）解：∵当时，，即， ∴的最小值为； ∵当时，， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最大值为； 故答案为：；； （2）解：， ， ， ∴当时，的最小值为． （3）解：设，已知，，则由等高三角形性质可知， ， ∴， ， 因此四边形的面积， 当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算． 24．(1)见解析 (2) (3)成立，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得出，设交于点，根据三角形内角定理得出，进而根据证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得,，进而根据等面积法得出，即可求解； （3）设交于点， 作垂足分别为，先根据证明，进而得出，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 如图所示，设交于点， ∵ ∴ 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴,， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）成立，如图所示，设交于点， 作垂足分别为， ∵ ∴ ∵ ∴，即 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理，二次根式的性质化简，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$