专题16.1 二次根式（2大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题16.1 二次根式（2大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次根式的概念 一般地，式子叫做二次根式. 【特别注意】（1）若这个条件不成立，则 不是二次根式； （2）是一个重要的非负数，即； ≥0. 【知识点2】二次根式的几个重要公式 （1）, （2） ； 【特别注意】. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【题型1】二次根式有意义的条件...............................................1 【题型2】求二次根式的值.....................................................3 【题型3】求二次根式中的参数.................................................5 【题型4】利用二次根式的性质化简.............................................8 【题型5】复合二次根式的化简................................................11 【题型6】中考链接..........................................................14 【题型7】拓展延伸..........................................................15 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】二次根式有意义的条件 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）在表格中写出下列式子有意义时,的取值范围． 【答案】 【分析】题目主要考查二次根式及分式有意义的条件，根据二次根式及分式有意义的条件得出相应不等式，求解即可． 解：，，有意义， ∴，， ∴；，， 故答案为：；，． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）在下列式子中的“□”内，填入中的一种符号，其中无论填入哪种符号都能使二次根式有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查二次根式有意义的条件，根据题意，依次代入计算即可判断 解：A、，故符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A ★【变式2】（2023·江西赣州·一模）若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，非负性，根据被开方数是非负数，得到，再根据绝对值的非负性，得到关于的二元一次方程组，求出的值，即可． 解：∵ ， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； 故答案为：2． ★【变式3】（22-23八年级下·四川广安·期末）若，则 ． 【答案】2024 【分析】本题考查二次根式有意义，先根据得到，再化简绝对值计算即可． 解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2】求二次根式的值 ★【例2】（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了代数式求值，正确得出运算程序是解题的关键． （1）直接利用运算程序进而得出关于m的代数式；（2）把已知数据代入求出答案． 解：（1）由题意可得： ； （2）当时， ， ∴输出的结果是． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将代入即得答案． 解：∵， ∴ ． 故答案为：． ★【变式2】（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． ★【变式3】（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 【题型3】求二次根式中的参数 ★【例3】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 解：（1）： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 【变式1】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 解：， ， ，即，解得， 故选：C． 【变式2】（22-23八年级上·四川达州·期中）已知有理数满足，则的值是 . 【答案】 【分析】将已知等式整理得，由a，b为有理数，得到，求出a，b的值，代入计算即可． 解：∵， ∴， ∵a，b为有理数， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点拨】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键． ★【变式3】（20-21七年级下·福建福州·期中）阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 【答案】（1）4，1；（2） 【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可． （2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根． 解：（1）∵， ∴， ∴， ∴b=1，a-b=3， ∴a=4； （2）， ∴， ∴， 解得：， ∴xy=16， ∴xy的平方根为±． 【点拨】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题． 【题型4】利用二次根式的性质化简 【例4】（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用二次根式的性质化简，零指数幂等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （2）首先利用二次根式的性质化简，零指数幂，然后计算加减． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简和解一元一次不等式，能根据二次根式的性质得出是解此题的关键．根据二次根式的性质得出，再求出不等式的解集即可． 解：， ， 解得． x的取值范围是． 故答案为：． ★【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）设，则与最接近的整数是 ． 【答案】2025 【分析】此题是数字规律题，主要考查了二次根式的加减法，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 由可化为，即可求解． 解：∵n为任意正整数， ∴ ． ． ∴与S最接近的数是2025． 故答案为：2025． ★【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质化简，熟练掌握运算法则和正确化简是解题的关键． （1）分别计算乘方，立方根和算术平方根，再进行加减计算； （2）根据二次根式的性质化简，化简绝对值和零指数幂以及立方根，再进行加减计算． 解：（1） ； （2） ． 【题型5】复合二次根式的化简 ★【例5】（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可； （2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可； （3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可． 解：（1） ； ； 故答案为：；； （2）① ； ② ； （3） ． 【变式1】（20-21八年级上·四川成都·期中）已知x＝，则4x2+4x﹣2020＝ ． 【答案】-2018 【分析】先对式子4x2+4x-2020进行化简变为完全平方式，然后代入求值即可解答本题． 解：∵x＝， ∴4x2+4x-2020 =（2x+1）2-2021 =（2×+1）2-2021 =（+1）2-2021 =（+1）2-2021 =（+1）2-2021 =（+1）2-2021 =（−1+1）2-2021 =3-2021 =-2018． 故答案为：-2018． 【点拨】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是巧妙的对原式进行变形，然后进行求值即可． ★【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 解：原式 ， 故选：D． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】中考链接 【例1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可． 解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ ， 故选：A． ★【例2】（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． ★★【题型7】拓展延伸 【例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2023 【分析】（1）由①②③的规律写出式子即可； （2）根据题目中的规律计算即可得到结论． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 解：（1）① ； ② ； ③ ， 故． （2）① ； ② ； ③ ， ，…… ， 故． 故不超过的最大整数是2023． ★★【例2】（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【提出问题】 若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）2＋3______；6＋6______．（用“＝”“＞”“＜”填空） （2）当，式子的最小值为______； 【能力提升】 （3）当，则当x＝______时，式子取到最大值； （4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？    【答案】（1），；（2）2；（3）；（4）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米 【分析】（1）根据当时，，当时，，即可求解， （2）令，，根据“当，时，”，即可求解， （3）令，，根据“当且仅当时，” ，即可求解， （4）设一边长为米，则另一边为米，根据“面积为32平方米”得，求出得最小值，及此时的得值，即可求解， 本题考查了，知识的迁移创新，完全平方公式的变形，不等式，二次根式，解题的关键是：灵活应用用材料所提供的结论． 解：（1）∵当，时，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， （2）当，式子，当且仅当时，即：时，有最小值，最小值为2， （3）∵， ∴， ∴，当且仅当时，即：时有最小值，最小值为24， （4）设这个长方形垂直于墙的一边的长为米，则平行于墙的一边为米， 则：，即：， ∴所用篱笆的长为米， （米）， 当且仅当时，即时，取得最小值16， 此时，（米），（米）， 故答案为：（1），；（2）2；（3）；（4）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16.1 二次根式（2大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次根式的概念 一般地，式子叫做二次根式. 【特别注意】（1）若这个条件不成立，则 不是二次根式； （2）是一个重要的非负数，即； ≥0. 【知识点2】二次根式的几个重要公式 （1）, （2） ； 【特别注意】. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【题型1】二次根式有意义的条件...............................................1 【题型2】求二次根式的值.....................................................2 【题型3】求二次根式中的参数.................................................2 【题型4】利用二次根式的性质化简.............................................3 【题型5】复合二次根式的化简.................................................3 【题型6】中考链接...........................................................4 【题型7】拓展延伸...........................................................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】二次根式有意义的条件 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）在表格中写出下列式子有意义时,的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）在下列式子中的“□”内，填入中的一种符号，其中无论填入哪种符号都能使二次根式有意义的是（    ） A． B． C． D． ★【变式2】（2023·江西赣州·一模）若，则的值为 ． ★【变式3】（22-23八年级下·四川广安·期末）若，则 ． 【题型2】求二次根式的值 ★【例2】（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，则代数式的值是 ． ★【变式2】（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． ★【变式3】（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【题型3】求二次根式中的参数 ★【例3】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【变式2】（22-23八年级上·四川达州·期中）已知有理数满足，则的值是 . ★【变式3】（20-21七年级下·福建福州·期中）阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 【题型4】利用二次根式的性质化简 【例4】（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式1】（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知，则x的取值范围是 ． ★【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）设，则与最接近的整数是 ． ★【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【题型5】复合二次根式的化简 ★【例5】（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【变式1】（20-21八年级上·四川成都·期中）已知x＝，则4x2+4x﹣2020＝ ． ★【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】中考链接 【例1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 ★【例2】（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． ★★【题型7】拓展延伸 【例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ ★★【例2】（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【提出问题】 若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）2＋3______；6＋6______．（用“＝”“＞”“＜”填空） （2）当，式子的最小值为______； 【能力提升】 （3）当，则当x＝______时，式子取到最大值； （4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？    1 学科网（北京）股份有限公司 $$