专题九 规律探究问题 训练2024-2025学年人教版数学七年级上册

专题九 规律探究问题 一、单选题 1．观察下列三行数： ，4，，16，，64，…；① 0，6，，18，，66，…；② ，2，，8，，32，…；③ 存在这样的一列数，使①②③行对应的这列的三个数的和为642，则应是从左到右对应的列数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（    ）    A．32 B．34 C．37 D．41 3．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方．则图中m的值为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．6 4．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第（1）个图案用了9根木棍，第（2）个图案用了14根木棍，第（3）个图案用了19根木棍，…，按此规律排列，则第（6）个图案用的木棍根数是（    ）    A．39 B．38 C．36 D．34 5．将正整数按一定规律排列如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12（阴影） 13（阴影） 14（阴影） 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 …… 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（    ） A．2026 B．2040 C．2067 D．2049 6．将正整数按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（    ）    A．2026 B．2040 C．2067 D．2049 7．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第一幅图形中“●”的个数为，第二幅图形中的“●”个数为，第三幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为（    ）    A．31 B．30 C．29 D．28 8．幻方，又称纵横图．如图1是由数字1~9九个整数按照一定的规律排列成三行三列的一个方阵，每一横行、每一竖列以及两条斜线上的点数的和都相等．如图2所示的幻方中给出了三个数，则P处应该填的数字是（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 9．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则的值为（　　） A． B． C．10 D．12 10．观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是（  ） A．31 B．46 C．51 D．66 二、填空题 11．大于的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：，，，，若“分裂”后，其中有一个奇数是，则的值是 ． 12．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个三阶幻方．如图（2）是一个末完成的三阶幻方，直接写出x的值 ．    13．“算24”是我国民间传统的益智游戏，游戏规则为：随机给出四个数，每个数必用且仅能用一次，只利用“加号、减号、乘号、除号”（可以重复使用）及括号（含小括号、中括号）连接，使得四个数的运算结果等于24．如：给出1、2、3、4四个数，则得到24的式子可以是：． 现给出“3、3、8、8”四个数，则得到24的式子可以是 ． 14．如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，摆成第6个图案需要棋子的个数为 ． 15．按照一定规律排列的n个数，，，，，，…，若最后三个数的和为，则 ． 16．已知，则 ． 17．如图5×5的方格中，第一行已给出4个数据，第一列也给出4个数据，每个空白方格里的数据都等于它所在行和列所给出的两个数据的积，则所有空白方格中的数据之和为 ． 18．按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是 ． 19．我们平常使用的是十进制数，例如1354这个数可以写成，．十进制外还有其它进制，都可以和十进制互相转化，例如2进制数1011转化成十进制为，二进制数10011转化成十进制数为 ． 三、解答题 20．观察下面三行数 ，，，16，，64．……；① ，1，，4，，16，……；② 3，9，，，，69，……；③ (1)第一行的第8个数为___________． (2)观察第一行和第三行每个对应位置数的关系，则第三行的第n个数是___________． (3)设x、y、z分别是第①、②、③行的第2023个数，求的值． (4)取每行数的第n个数，请判断是否存在这样的三个数的和为． 21．观察下面的三行单项式： x，，，，，… ，，，，，… ，，，，，… (1)第一行第8个单项式为__________； (2)第二行第n个单项式为__________； (3)第三行第11个单项式为__________； (4)取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A，计算当时，的值． 22．图1由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了n层．    （1）如图1所示，第100层有　 　个小圆圈，从第1层到第n层共有　 　个小圆圈； （2）我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是　 　； （3）我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，﹣33，35，﹣37，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和　 　． 23．如图题2023年11月份的月历，其中“型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“型”覆盖的五个数字左上角的数为，数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字中间数为，数字之和为．    (1)______（用含式子表示），______（用含式子表示）； (2)的值能否为69，若能求，的值，若不能说明理由； (3)若，则的最大值为______． 24．观察下面三行数． ，…① ，…② 3，12，12，48，48，…③ (1)第①行第6个数是______，第②行第7个数是_______；第③行第7个数是______； (2)已知3072是其中的数，则它是第_______行的第_______个数， (3)取每行的第n个数，若这三个数的和是14336，求n的值． 25．观察下面三行数： 第一行：、4、、16、、64、……① 第二行：0、6、、18、、66、……② 第三行：5、、11、、35、、……③ 探索他们之间的关系，寻求规律解答下列问题： (1)直接写出第②行数的第8个数是______；第③行数的第8个数是______； (2)取第②行的连续三个数，请判断这三个数的和能否为774，并说明理由； (3)取每一行的第n个数，从上到下依次记作A，B，C，若对于任意的正整数n均有为一个定值，求t的值及这个定值． 26．把从1开始的连续的奇数1，3，5，…，2021，2023排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、…    (1)①数阵中排在第6行第1列的数是______，数阵中排在第7行第1列的数是______； ②数阵中共有______个数，2023在数阵中排在第______列，数阵中排在第行第5列的数可用表示为______． (2)按如图所示的方式，用一个“  ”形框框住四个数，设被框的四个数中最小的数为，是否存在这样的，使得被框住的四个数的和为1308？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)数阵中用一个“  ”形框框住的四个数的和记为“S”，直接写出S的最大值与最小值的差． 27．观察下列三行数，并完成后面的问题： ①，4，，16，…； ②1，，4，，… ③0，3，，9，…； (1)思考第①行数的规律，写出第7个数字是________； (2)请观察第③行数和第②行数的关系，直接写出第③行数的第8个数是________； (3)设x、y、z分别表示第①、②、③行数的第n个数字，求的值． 28．阅读材料，解答以下问题： 幻方历史悠久，最早出现在夏禹时代的“洛书”，即现在的三阶幻方．例如图1就是一个幻方，它的每行，每列，每条对角线上的三个数之和都为15，这个和称为幻方和，正中间的数5称为中心数． (1)如图1，幻方和是中心数的________倍； (2)如图2，已知幻方和是18，，，请利用（1）的结论，直接写出的值； (3)如图3，，，，，，是含字母的整式，且，．    ①若，求整式（用含的式子表示）； ②若，幻方和是，且，均为常数，求和的值． 29．观察下列按一定规律排列的三行数： 第一行：，9，，81，…； 第二行：，6，，78，…； 第三行：2，，26，，…. 解答下列问题： (1)每一行的第5个数分别是_______，_________，___________； (2)第一行中的某三个相邻数的和为，试求这三个数； (3)取每行数的第个数，记其和为，直接写出这三个数中最大的数与最小的数的差（用含的式子表示）． 30．如图1是某月的月历 如图2所示的三种方格框（方格框①、方格框②、方格框③），可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最大的数都为x． (1)请用含x的式子表示： 第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是______，______，x； (2)设第①个方格框中三数之和为，第②个方格框中三数之和为，第③个方格框中三数之和为，是否存在这样的x，使得？若能，请求出，，的值；若不能，请说明理由． 31．观察下列三行数，回答下面的问题： (1)请直接写出每一行的第6个数分别是 ， ， ； (2)取每行数的第m个数，从上到下分别记为a，b，c，则的值为 ； (3)若用如图的“L”形框圈住4个数，其中最大数与最小数的差为2050，求这四个数中的最小数． 32．如图是2023年11月的月历，“T”型、“田”型两个阴影图形分别覆盖其中四个方格（可以重叠覆盖），设“T”型阴影覆盖的最小数字为，四个数字之和为，“田”型阴影覆盖的最小数字为b，四个数字之和为． (1)的值能否为79？若能，求a的值；若不能，说明理由； (2)值能否为51，若能，求a的值；若不能，说明理由； (3)若，求的最小值为 （直接写结果）． 33．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个三阶幻方． (1)①若，，，，，，，，是三阶幻方中的9个数，且斜对角线上三个数的和为27，直接写出m的值； ②如图（2）是一个末完成的三阶幻方，直接写出的值． (2)如图（3）是一个四阶幻方，每行、每列以及两条斜对角线上的四个数字之和都相等，请分别说明下面两个等式成立的理由： ①； ②． 34．观察下列三行数： (1)请直接写出： ①每一行的第8个数； ②第三行的第n个数． (2)第一行连续三个数中最大数与最小数的差为1536，求这三个数中最大数与最小数的和； (3)用如图的“L”形框圈起4个数，从上到下分别记为a，b，c，d，求的值． 35．观察下面三行数 ，4，，16，，64…… 0，6，，18，，66…… 1，，4，，16，…… (1)第一行第7个数是________，第二行第7个数是________； (2)第三行的第n（，n是正整数）个数是________； (3)取每行的第8个数求和，计算这三个数的和． 参考答案 1．C 【分析】观察第一行的数字可得第一行第个数为：，观察第一行与第二行的数字可得第二行第个数为：，观察第一行和第三行的数字可得第三行第个数为：，根据题意得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：第一行数为：，，，，，，…， 第一行第个数为：， ，，，，，，…， 第二行每个数是第一行相应数加上2所得， 第二行第个数为：， ，，，，，，…， 第三行每个数是第一行相应数除以2所得， 第三行第个数为：， 存在这样的一列数，使①②③行对应的这列的三个数的和为642， ， 为偶数， ， ， 解得：， 故选：C 2．C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可． 【详解】解：第1个图中有5个正方形； 第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1； 第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2； 第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3； ．．． 第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1； 当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键． 3．B 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用及等式基本性质的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程组是解题的关键．设正中间的数为x，根据每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等列出方程求解即可． 【详解】解：设正中间的数为x， 则， 解得， ∴， 解得． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查图形的数字规律，根据图形，数出木棍数，数形结合找到规律是解决问题的关键． 【详解】解：第一个图，木棍数； 第二个图，木棍数； 第三个图，木棍数； 以此类推，第六个图，木棍数； 故选：D． 5．D 【分析】首先设方框的中间数为，则三个数分别为，进而可得出3个数之和为，然后令其分别等于四个选项中的数，解之即可得出的值，由为整数、不能为第一列及第八列数，即可求出最终结果； 本题主要考查表格中数字排列规律，分析阴影的方框中数字的大小规律是解决本题的关键． 【详解】解：设方框的中间数为， 则三个数分别为， 3个数之和为：, A、余1，不符合题意; B、，在第八列，不符合题意; C、，在第一列，不符合题意； D、，在第三列，符合题意； 故选：D． 6．D 【分析】本题主要考查表格中数字排列规律，分析阴影的方框中数字的大小规律是解决本题的关键，设方框中间的数为，则三个数分别为，，，3个数之和为，然后令其分别等于四个选项中的数，解之即可得出的值，由为整数，不能为第一列和第八列数，即可得到答案． 【详解】解：设方框中间的数为，则三个数分别为，，， 3个数之和为：， A、，故不符合题意； B、，最中间的数在第八列，不符合题意； C、，最中间的数在第一列，不符合题意； D、，最中间的数在第三列，符合题意； 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题．首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可． 【详解】解：由图知：， ， ， ， …， ； ∴． 故选：A． 8．C 【分析】根据幻方的定义，即可得出关于P的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解:由题意得,-1+4=2+P 解得:P=1 故答案选:C 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9．B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意，可以得到，从而可以用的代数式表示出，再根据，即可用含的代数式表示出,然后根据，即可求得的值，最后计算出即可．解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， ， 解得， 则， 解得， ∴ ， 故选：B． 10．B 【详解】试题分析：由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…由此规律得出第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点． 解：第1个图中共有1+1×3=4个点， 第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点， 第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点， … 第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点． 所以第5个图中共有点的个数是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46． 故选B． 考点：规律型：图形的变化类． 11．45 【分析】根据题目中的式子，可以发现“分裂”后式子的特点，然后即可写出“分裂”后第一个奇数为，再根据“分裂”后，其中有一个奇数是，即可得到的值． 【详解】解：，，，， 可以分解为个连续奇数的和，且第一个奇数为， “分裂”后，其中有一个奇数是，当时，，当时，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现“分裂”后式子的特点． 12．3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据幻方的特征找到等量关系． 【详解】解：由图（2）可知： ， 解得：， 故答案为：3． 13．（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是理解“算24”的游戏规则，灵活运用运算法则计算． 【详解】解： ， 故答案为：（答案不唯一）． 14． 【分析】本题主要考查图形的变化规律以及已知字母的值求代数式的值，根据图形的变化归纳出第个图案需要棋子个数为：，再把代入，即可求解．根据图形的变化归纳出第个图案需要棋子个数为是解题的关键． 【详解】解：由图知，第1个图案中棋子的个数为， 第2个图案中棋子的个数为， 第3个图案中棋子的个数为， 第4个图案中棋子的个数为， …… 第个图案需要棋子个数为， 第6个这样的图案需要棋子个数为， 故答案为：． 15．10 【分析】观察已知数据可知，第个数为，分两种情况讨论：当为偶数时和当为偶数时，根据最后三个数的和为，列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：，，，，，，…按照一定规律排列， 观察可知，第个数为， 最后三个数的和为， 当为偶数时：， 解得：； 当为偶数时：， 值无解， ， 故答案为：． 16．6 【分析】本题考查了非负数的性质，同底数幂的乘法．根据绝对值和偶次方的非负性，得出，，，…，，，代入计算即可得到答案，利用换元法解决问题是解题关键 【详解】解：， ，，，…，，， ，，，…，，， 令，则， ， 原式， 故答案为：． 17．10 【详解】解：从左起：第一列中，所有空白方格中的数据之和为： ， 第二列中，所有空白方格中的数据之和为： ， 第三列中，所有空白方格中的数据之和为： ， 第四列中，所有空白方格中的数据之和为： ， 故所有空白方格中的数据之和为： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，利用有理数的混合运算进行计算是解决本题的关键． 18． 【分析】根据题意可得，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：， ∴第n个单项式是． 故答案为： 【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键． 19．19 【分析】根据题意得出二进制与十进制的转换方法，计算即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：19． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，弄清题中的转换方法是解本题的关键． 20．(1) (2) (3) (4)存在，取每行的第11个数即可 【分析】（1）观察前几个数的变化规律：从第二数起，每一个数与它前一个数的比为，进而可求解； （2）根据题意得出第一行第n个数为，再结合第三行的数找出规律即可得出结果； （3）根据题意确定第二行的数为，表示出,,，然后代入化简求值即可； （4）由（2）（3）得出这三个数的和为：，然后化简求值即可． 【详解】（1）解：由题意，第一行的第8个数为， 故答案为：； （2）第一行第n个数为， 观察得：第三行为第一行的数加5， ∴第三行的第n个数是； 故答案为：； （3）观察第二行与第一行数的关系得：第一行的数除以4即为第二行的数， ∴第二行的数为， 由（2）得：第①行的第2023个数为：, 第②行的第2023个数为：, 第③行的第2023个数为：， ∴ （4）由（2）得：这三个数的和为：， 即， ， ∴， 解得：， ∴存在这样的三个数，即取每行的第11个数即可． 【点睛】本题考查数字类规律探究、列代数式、解一元一次方程，理解题意，找到数字变化规律是解答的关键． 21．(1) (2) (3) (4)1025 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，代数式求值，解题的关键是找到单项式的系数和次数的规律．（1）根据题目中各项的变化情况规律可得，每一项的系数等于，x的次数等于项数，根据所得的规律求解即可； （2）根据题目中各项的变化情况规律可得，第二行的规律为每一项的系数等于，x的次数等于项数，根据所得的规律求解即可； （3）第三行的规律为每一项的系数等于，x的次数为项数加1，根据所得的规律求解即可； （4）根据前面找到的规律把A表示出来，列代数式代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第8个单项式为，即． 故答案为：． （2）解：由题意得，第n个单项式为． 故答案为：． （3）解：由题意得，第11个单项式为． 故答案为：． （4）解：当时， ∴． 22．（1）100， ；（2）195；（3）50400． 【分析】（1）观察图1发现规律：第n层有n个小圆圈，从第1层到第n层共有圆圈的个数为1+2+3+…+n，计算即可得圆圈的个数，进而可得结论； （2）观察图2发现规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，进而可得第20层第5个数； （3）观察图3发现规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“+﹣”周期变化，绝对值依次加2，可得第20层最后一个数的绝对值，最后得第1层到第20层所有数的绝对值和． 【详解】解：（1）图1规律：第n层有n个小圆圈，则第100层有100个小圆圈， 因为1+2+3+…+n＝． 所以从第1层到第n层共有个小圆圈； 故答案为：100，； （2）图2规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，则第20层第5个数为： 1+2+3+…+19+5＝195． 故答案为：195； （3）图3规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“+﹣”周期变化，绝对值依次加2， 则第20层最后一个数的绝对值为： 31+（2+3+4+…+20）×2＝449， 则第1层到第20层所有数的绝对值和为： 31+33+35+…+449＝50400． 故答案为：50400． 【点睛】本题考查了根据图形的变化规律列式，计算等知识，理解图形的变化规律，并寻找其中规律是解题关键． 23．(1)； (2)能，、或、 (3)234 【分析】（1）根据日历中的规律可表示出“型”覆盖的五个数字和“十字型”覆盖的五个数字，从而表示出即可； （2）结合（1）可得，整理可得，结合的取值范围即可获得答案； （3）由，代入并整理可得，结合的取值范围即可获得答案． 【详解】（1）解：由题意可知，“型”覆盖的五个数字左上角的数为， 则其余各数为， ∴； “十字型”覆盖的五个数字中间数为， 则其余各数为， ∴． 故答案为：；； （2）由题意可得， 整理可得， 又∵的正整数，的正整数， ∴，或，； （3）∵， ∴， 整理可得， 又∵的正整数，的正整数， ∴当，时，的值最大， 此时． 故答案为：234． 24．(1)64，64，192 (2)第3行，第10或11个 (3) 【分析】本题考查代数式排列的规律，能用含n的代数式表示出每行数中的第n个数是解题的关键． （1）观察发现每行数的排列规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）分两种情况列出关于n的等式即可． 【详解】（1）观察所给数可知， ①中的第n个数可表示为， ②中的第n个数可表示为， ③当n为奇数时，第n个数可表示为，当n为偶数时，第n个数可表示为， 所以第①行第6个数是， 第②行第7个数是， 第③行第7个数是． 故答案为：64，64，192． （2）因为， 所以3072不在第①行和第②行中． ∵， 当n为奇数时，则， 解得． 当n为偶数时，则， 解得． 所以3072是第③行的第10或11个数． 故答案为：③，10或11． （3）设第二行的第n个数为x，则第一行的第n个数为， 当n为奇数时， 解得 ∵7168不是2的整数幂， ∴不符合题意，舍去； 当n为偶数时， 解得 ∵， ∴， ∴． 25．(1)258； (2)符合题意，理由见解析 (3)，有定值为21 【分析】该题主要考查了数字的变化规律，找到变化规律是解题的关键； （1）根据所给的三行数，发现规律即可解决问题． （2）根据第②行数的排列规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律，用含的代数式表示出每一行的第个数即可解决问题． 【详解】（1）由题中数据知，第一行中的第个数可表示为：， 第二行中的第个数可表示为：， 第三行中的第个数可表示为：． 当时，， 故答案为：； （2）设第一行连续三个数分别为：x、、， 则第二行对应的连续三个数分别为：、、， 依题意：， 解得：，为第一行第8个数，故符合题意； （3）设，则，， ， 依题意：，得， 答：当时，有定值为21． 26．(1)①81，97；②1012，4， (2)不存在 (3)8016 【分析】本题考查的是数字类的规律探索，一元一次方程的应用，解题的关键是能观察出数阵中每行的数依次增加2，每列的数依次增加16． （1）依据每行的数依次增加2，每列的数依次增加16，据此解答即可； （2）通过假设存在这样的，则可列出方程：，即可解答； （3）要使S的值最小，则框住的是第一、二行前面较小的数，要使S的值最大，则框住的是数阵中后面的大数，据此解答即可． 【详解】（1）解：①通过观察可知，第五行最后一个数为79， 则第6行第1列的数是， 又通过观察可知，同一列的数依次往下加16， 则第7行第1列的数是， ②数阵中的数共有：（个）， 数阵中一共有1012个数，每行有8个数， ， 则2023在数阵中排在第4列； 通过观察数阵可知：相邻两个数依次增加2，同列上下两个数依次增加16， 则第行的第一个数为：， 则数阵中排在第行第5列的数可用表示为：， 故答案为：①81，97；②1012，4，； （2）解：假设存在这样的，使得被框住的四个数的和为1308， 依题意，可列方程：， 解得：． 因为319是第160个奇数，， 所以319位于第20行第8个数， 因为319右边的数321位于第21行第1个数， 所以假设不成立， 故不存在这样的，使得被框住的四个数的和为1308． （3）解：通过观察可知： 框住的最小值为：， 要使框住的值最大，则最后一个数2023必然在平行四边形中， 则框住的最大值为：， 则两者的差为：， 故S的最大值与最小值的差为：8016． 27．(1)； (2)129； (3)1． 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类问题， (1)第①行的数字是的序数次幂，据此可得； (2)第②行的数字是的序数减一次幂，第③行的数字是第②行对应数字与1的差的相反数，据此可得； (3)由（1)，（2）的数字规律表示出的值，然后计算它们的和． 探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的关键． 【详解】（1）∵①， ∴第一行的数是：，…， ∴第n个数为， ∴第①行的第7个数为， 故答案为：． （2）∵①， ； ∴第②行数和第①行数的关系式是：第①行的数字的序数减一次幂即可得到对应的第②行的数字； ∵； …； ∴第③行数和第②行数的关系式是：第②行的数字与1所得差的相反数即是对应的第③行的数字； ∴第③行数的第8个数是， 故答案为：129 （3）∵分别表示第①②③行数的第n个数字， ∴， ∴ ． 28．(1)3 (2)2 (3)①；②， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，抓住图形中数字的规律求解是解题的关键． （1）任取一列或一行对角线三个数字相加，然后除以中心数即可； （2）先求出中心数，然后根据每行，每列的三个数之和相等求解即可； （3）①利用（1）的结论，用即可求解；②根据，结合，均为常数，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴幻方和是中心数的3倍， 故答案为：3； （2）解：由（1）知：图2的中心数为， 根据题意，得， ∴； （3）解：①根据题意，得 ； ②∵，，幻方和是， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，均为常数， ∴，， ∴，． 29．(1)，， (2)这三个数为，729， (3)当为奇数时，差为；当为偶数时，差为 【分析】本题考查数字变化的规律，能用含n的代数式表示出每行的第n个数； （1）根据每行数的排列规律，即可解决问题． （2）根据第一行中数的排列规律即可解决问题． （3）用含n的代数式表示出每行的第n个数即可，需要分奇数和偶数来讨论． 【详解】（1）解：观察第一行的数列可知， 这一行的数依次扩大倍，且第一个数是， 所以第一行的第n个数可表示为：． 观察第二行的数发现， 第二行的每一个数比第一行对应位置的数小3， 所以第二行的第n个数可表示为：． 观察第三行的数发现， 第三行的每一个数比第一行对应位置数的相反数小1， 所以第三行的第n个数可表示为：． 当时， ，，． 故答案为：，，． （2）解：因为第一行的第n个数可表示为， 所以， 解得， 则，，． 所以这三个数为，729，． （3）解：由题知， ， 即． 当n为奇数时， 最大数与最小数的差可表示为：． 又， 所以最大数与最小数的差可表示为：． 当n为偶数时， 最大数与最小数的差可表示为：． 又， 所以最大数与最小数的差可表示为：． 30．(1)，；，；， (2)存在这样的x，使得，，， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式： （1）根据三种方格框框住日历中的三个数间的关系，可用含x的代数式表示出三种方格框中的数，即可作答； （2）由（1）知，可用含x的代数式表示出，，，结合，可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，结合该值所在的位置，可得出存在这样的x，使得，再分别将其代入，，中，即可求出结论． 解题的关键是：（1）根据各数之间的关系，用含x的代数式表示出三种方格框中的各数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：根据题意得：第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，； （2）解：由（1）可得： ， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∵在第四行第五列，符合题意， ∴存在这样的x，使得， ∴， ， ． 所以存在这样的x，使得，此时，，． 31．(1)64， 66， 32 (2)2 (3) 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给数列，用含的代数式表示出每行的第个数是解题的关键． （1）根据每一行数的排列规律即可解决问题． （2）用含的代数式分别表示出每行的第个数即可． （3）利用分类讨论的思想即可． 【详解】（1）观察第一行数发现， 第一行的每个数是前一个数的倍，且第一个数为， 所以第一行的第个数可表示为：． 观察第二行数发现， 第二行的每一个数比第一行对应位置的数大2， 所以第二行的第个数可表示为：． 观察第三行数发现， 第三行的每一个数是第一行对应位置数的一半， 所以第三行的第个数可表示为：． 当时， ． 故答案为：64，66，32． （2）由（1）知， 第一行的第个数为， 则； 第二行的第个数为， 则； 第三行的第个数为， 则． 所以． 故答案为：2． （3）由题知， 设“”形框内的四个数为：，，，． 当为奇数时， ， ， 显然方程的解不符合题意； 当为偶数时， ， ， ， 所以这四个数中的最小数是：． 32．(1)不能，理由见解析； (2)能，的值为或； (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解、的实际意义是解题关键． （1）设“T”型阴影覆盖的最小数字为，则其他数字分别为、、，根据的值为79列方程，求出的值，再根据的实际意义分析，即可得到答案； （2）根据题意，将其他数字用、表示出来，然后根据值为51列方程，得到，再根据、的实际意义分析，即可得到答案； （3）根据，得到，再根据、的实际意义，找出满足条件的、的值，然后得出，即可求出最小值． 【详解】（1）解：不能，理由如下： 设“T”型阴影覆盖的最小数字为，则其他数字分别为、、， ， 解得：， 由月历可知，时，不能构成“T”型阴影， 即的值不能为79； （2）解：能，的值为或，理由如下： 设“T”型阴影覆盖的最小数字为，则“T”型阴影覆盖的其他数字分别为、、， ， 设“田”型阴影覆盖的最小数字为b， “田”型阴影覆盖的其他数字分别为、、， ， ， 整理得：， 、都是正整数， 当时，，满足条件； 当时，，“田”型阴影条件不满足； 当时，，满足条件； 值能为51，此时的值为或； （3）解：由（2）可知，、、， ， ， ， 、都是正整数， 满足条件的、的值为或或， ， 即当的值最小时，最小， 当，时，有最小值，为， 故答案为： 33．(1)①4；②3 (2)①理由见解析；②理由见解析 【分析】（1）①根据幻方定义，结合题意将，，，，，，，，填入幻方，再由斜对角线上三个数的和为27，得到方程，解得；②根据幻方定义，列出方程求解即可得到答案； （2）①根据幻方规则，设，，求和（i），同理令，，求和（ii），（i）和（ii）作差变形可得：；②由（1）知（i），同理可知：（ii）， （i）和（ii）相加得：，恒等变形即可得到． 【详解】（1）解：①根据幻方规则，将，，，，，，，，填入幻方，如图所示： 斜对角线上三个数的和为27， ，解得； ②由幻方定义可知，解得； （2）解：①根据四阶幻方规则，设，， （i）， 同理令，， （ii）， （i）和（ii）作差变形可得：； ②由（1）知（i）， 同理可知：（ii）， （i）和（ii）相加得：， ． 【点睛】本题涉及幻方综合，考查一元一次方程解实际应用题、等式证明等，读懂题意，理解幻方规则是解问题的关键． 34．(1)128，130，384 （表达式不唯一） (2) (3)2 【分析】（1）根据题目中的数据总结出其规律，即可求解； （2）设这连续的三个数从左到到右依次为a，2a，4a，列出式子进行求解即可； （3）依据题中规律可知：，，，再代入原式计算即可． 【详解】（1） ， 第n个数为， 第一行第8个数为128； 第二行比第一行的数都多2， 第二行第8个数为130； 第三行是第一行数的3倍， 第三行第8个数为384； 第三行是第一行数的3倍，第一行第n个数为， 第三行第n个数为：（表达式不唯一）； （2）依第一行数的规律可设这连续的三个数从左到到右依次为a，2a，4a， 若，则最大与最小差为，即； 若，则最大与最小差为，即； 因为第一行中只有，没有256， 所以这三个连续的数为，，， 所以最大与最小数的和为：； （3）依据题中规律可知：，，， ． 【点睛】本题考查数字类规律型，解题的关键是找出所给数据的规律，并灵活运用． 35．(1)， (2) (3)386 【分析】（1）第一行的第n个数为，第二行的第n个数为第一行的第n个数加2，根据发现的规律求解即可； （2）根据各数的值可得第三行的规律为； （3）根据题意写出每行的第8个数，然后求和计算即可． 【详解】（1）观察各数可得， 第一行的第1个数为，第二行的第1个数为， 第一行的第2个数为，第二行的第2个数为， 第一行的第3个数为，第三行的第3个数为， 第一行的第4个数为，第四行的第4个数为， ∴第一行的第n个数为，第二行的第n个数为第①行的第n个数加2，即， ∴第一行第7个数是，第二行第7个数是， 故答案为：，． （2）∵第三行第1个数为， 第三行第2个数为， 第三行第3个数为， 第三行第4个数为， ∴第三行的第n（，n是正整数）个数是． 故答案为：； （3）第一行第8个数是为， 第二行第8个数是为， 第三行第8个数是为， ∴． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，解答的关键是熟练掌握有理数的各种运算法则，由所给的数探究总结出存在的规律． 学科网（北京）股份有限公司 $$