14.2.2 完全平方公式 课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

14.2.2 完全平方公式 14.2 乘法公式 第十四章 整式的乘法与因式分解 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点并能够灵活应用.（重点） 2.理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.（难点） 学习目标 情境引入 一个财主家有一块边长为（a+b）的正方形土地，阿凡提有三块土地，一块是边长为a的正方形土地，一块是边长为b的正方形土地，一块是长为a，宽为b的长方形土地，阿凡提提出“愿意用三块土地换财主的一块土地，财主一听，大喜过望，马上将自己的一块土地换阿凡提的三块土地”.请问：财主真的占了便宜吗？ a+b a a b b 财主土地 阿凡提土地 探 究 1.计算下列各式： 观察计算结果，你发现了什么规律？你能用自己的语言归纳吗？ 探 究 2.计算下列各式： 观察计算结果，你发现了什么规律？你能用自己的语言归纳吗？ 两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方的和，加上（或减去）这两个数的乘积的2倍. 用数学语言表示为： 这两个公式，我们叫做乘法的完全平方公式. 注意： 1.这里的a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式. 归 纳 2.运用该公式的前提是：找准首项和末项. 完全平方公式的结构特征： 首平方+尾平方；2倍首尾乘积放中央； 和平方，积为正；差平方，积为负. 1.公式左边是两个数（或整式）的和（或差）的完全平方； 2.公式右边是这两个数（或整式）的平方的和，加上（或减去）这两个数（或整式）乘积的2倍. 简单记为： 注意： 这里的积为正或为负，指的是首尾两项的乘积的2倍的符号为正或为负. 归 纳 完全平方公式的常见变形： 归 纳 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (1) (x+y)2=x2 +y2 (2) (x -y)2 =x2 -y2 (3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × × × × (x +y)2 =x2+2xy +y2 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (2x +y)2 =4x2+4xy +y2 试一试 例1 运用完全平方公式计算： (1) (4m+n)2； 解：（1）原式= 典例精析 首项 末项 首项 末项 （2）原式= 尝试练习 1.利用完全平方公式计算： 尝试练习 2.利用完全平方公式计算： 解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404. 解：992 = (100 –1)2 =10000 -200+1 =9801. (1) 1022； (2) 992. 例2 运用完全平方公式计算： 方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 典例精析 利用乘法公式计算： (1) 982－101×99； (2) 20162－2016×4030＋20152. ＝(2016－2015)2＝1. 解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1) ＝1002－400＋4－（1002-1） (2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152 尝试练习 ＝－395； ＝1002－400＋4－1002+1 例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. ＝62+2×（-8） 解：(1) ∵ (x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴ x2＋y2＝(x－y)2＋2xy (2) ∵ (x+y)2＝x2＋y2＋2xy ＝36－32＝4. 典例精析 = 36-16＝20 ＝(x－y)2＋4xy ＝62+4×（-8） 尝试练习 1.若 x-2y=5，xy =-2，求下列各式的值： （1） x2+4y2 （2）（x+2y）2 2.若 m+n=5，mn =6，求下列各式的值： （1） m2+n2 （2）（m-n）2 2.如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，求k的值. 8或-8 变式：如果x2+6x+m2是完全平方式，则m的值是_____ 3或-3 拓展训练 1.已知 ，求 的值. 如果所添括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是“-”号,括到括号里的各项都要改变符号. 简记为：是“+”号，不变号； 是“-”号，全变号. 归 纳 添括号法则 例4 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2. 原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)] 解: (1) 典例精析 (2)原式 = [(a+b)+c]2 = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. = (a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2. 2.下列计算结果为：2ab－a2－b2的是 ( ) A．(a－b)2 B．(－a－b)2 C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2 1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（　　） A．a2-4a+4 B．a2-2a+4 C．a2-4 D．a2-4a-4 A D 当堂练习 3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=_______________； (2) (4x-3y)2=_______________ ； (3) (2m-1)2 =_______________； (4)(-2m-1)2 =_______________. 36a2+60ab+25b2 16x2-24xy+9y2 4m2+4m+1 4m2-4m+1 4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算： 4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________． 25 当堂练习 课堂小结 完全平方公式 法则 注意 (a±b)2= a2 ±2ab+b2 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行 常用 结论 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面） a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2. $$