精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市化德县第三中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年度九年级上数学期中测试 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，解题关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项符合题意； D、轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列方程中，是一元二次方程的有（　　） ①8x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③x2﹣=4；④x2=0；⑤x2﹣3x﹣4=0 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可. 【详解】①8x2+x=20是一元二次方程；②2x2﹣3xy+4=0含有两个未知数，不是一元二次方程；③x2﹣=4的分母中含有未知数，不是一元二次方程；④x2=0是一元二次方程；⑤x2﹣3x﹣4=0是一元二次方程. 故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程. 3. 关于x的一元二次方程x2﹣2x+2+m2=0的根的情况是 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：△=22﹣4（2+m2）=﹣4﹣4m2， ∵﹣m2≤0，∴﹣4﹣4m2＜0，即△＜0． ∴方程没有实数根． 故选C． 4. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】用因式分解法求解可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴或者， 解得：，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键 5. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数解析式找出抛物线的对称轴，判断出开口向下，根据抛物线开口向下时，离对称轴越远的点的纵坐标越小，判断A、B及C离对称轴的远近，即可得出其对应函数值y1，y2，y3的大小关系． 【详解】解：的对称轴为且开口向下， 三点横坐标离对称轴的距离按由远到近为： ,,， ∴,故选A. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线开口向下时，离对称轴越远函数值越小；抛物线开口向上时，离对称轴越远函数值越大． 6. 已知关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1＝0有两个实根，那么m的取值范围是（　　） A. m≤ B. m≤且m≠0 C. m≥ D. m＞ 【答案】B 【解析】 【分析】由关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1＝0有两个实根，可知此方程是一元二次方程，即m≠0，且判别式△≥0．即可求得m的取值范围． 【详解】解：因为关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1＝0有两个实根， 所以△＝b2﹣4ac＝4（3m﹣1）2﹣4m（9m﹣1）≥0，且m≠0， 解之得m≤且m≠0． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程中二次项系数不为零这一隐含条件． 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 7. 某校2017年向希望工程捐款5千元，以后每年都捐款，计划到2019年共捐款2.2万元，设该校捐款的年平均增长率为，则根据题意列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别表示出2017年,2018年和2019年的捐款钱数,然后利用计划到2019年共捐款万元列方程即可． 【详解】解:2017年捐款万元，2018年捐款万元，2019年捐款万元，三年捐款之和为万元， 则 故选D． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用,掌握增长率问题的公式是解决此题的关键． 8. 如图，把绕点顺时针旋转35°得到，，交于点，若，则的度数为（ ） A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据旋转的定义和性质可得，再根据等腰三角形的性质即可得． 【详解】由旋转的定义和性质得： 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的定义和性质、等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题关键． 9. 若是关于x的一元二次方程，则 A. m=±2 B. m=2 C. m=－2 D. m ≠ ±2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义，令系数不为0，指数为2即可解答． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴|m|＝2，m＋2≠0， 解得m＝2． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 10. 在平面直角坐标系中，点P(﹣2，7)关于原点的对称点P'在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于原点对称的点的坐标是，即关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，这样就可以确定其对称点所在的象限． 【详解】∵点关于原点的对称点的坐标是，∴点关于原点的对称点在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于原点对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容． 11. 抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. m＜2 B. m＞2 C. 0＜m≤2 D. m＜﹣2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意知抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4m+4＞0，解得m＜2，故答案选A． 考点：抛物线与x轴的交点． 12. 平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(,1),将OA绕原点O按逆时针方向旋转90°得OB,则点B的坐标为(　 　) A. (1,) B. (-1,) C. (-,1) D. (,-1) 【答案】B 【解析】 【分析】先根据旋转的性质作图，利用图象则可求得点B的坐标． 【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点B作BC⊥y轴于点F， ∵点A的坐标为(，1)，将OA绕原点O逆时针旋转90°到OB的位置， ∴BC，CO=1， ∴点B的坐标为：(﹣1，)． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是运用数形结合思想得出BC，CO的长．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标． 二、填空题（每小题3分，共24分） 13. 如图，原点O为平行四边形A.BCD的对角线A.C的中点，顶点A，B，C，D的坐标分别为(4，2)，(，b)，(m，n)，(－3，2)．则（m+n）（+b）=__________． 【答案】-6 【解析】 【分析】易知点A与点C关于原点O中心对称，由平行四边形的性质可知点B和点D关于原点O对称，根据关于原点对称横纵坐标都互为相反数可得点B、点C坐标，求解即可. 详解】解：根据题意得点A与点C关于原点O中心对称，点B和点D关于原点O对称 故答案为： 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的中心对称，正确理解题意是解题的关键. 14. 请写出一个二次函数，使它的图像满足下列两个条件： （1）开口向上； （2）对称轴． 写出函数表达式___________________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系． 由抛物线开口向上可得中，对称轴为，进而求解． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为， 抛物线解析式可能为：， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 下列说法①直径是弦；②圆心相同，半径相同的两个圆是同心圆；③两个半圆是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．正确的是______填序号． 【答案】① 【解析】 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项. 【详解】解：直径是弦，但弦不是直径，故① 正确；圆心相同但半径不同的两个圆是同心圆，故② 错误；若两个半圆的半径不等，则这两个半圆的弧长不相等，故③错误；经过圆的圆心可以作无数条的直径，故④错误.综上，正确的只有①. 故答案为：① 【点睛】本题考查了圆的知识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大. 16. 如图，AB为的直径，点C、D、E在上，若，则________． 【答案】32 【解析】 【分析】连接OE，根据圆周角与圆心角的关系解答即可. 【详解】连接OE， ∵ ∴∠AOE=2∠ACE=116° ∴∠BOE=64° ∴∠BDE=∠BOE=32° 故答案为：32° 【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理并正确的添加辅助线是关键. 错因分析：中等题，失分原因：①没有掌握圆周角定理；②没有作辅助线OE，不能通过作辅助线找出与的关系． 17. 抛物线 y x 6x 5 的顶点坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】对抛物线的表达式进行配方，从而得出结论． 【详解】∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 18. 已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为 ______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意画出符合的两种图形，先根据垂径定理求出CE和AF长，再根据勾股定理求出OE和OF长，再求出EF即可． 【详解】解：有两种情况：①如图1，圆心O在弦AB和弦CD之间， 过O作OE⊥CD于E，直线OE交AB于F，连接OC、OA， ∵， ∴OF⊥AB， ∵OE⊥CD，OE过圆心O，CD＝6， ∴CE＝DE＝3， 同理AF＝BF＝4， 由勾股定理得：OE＝，OF＝， ∴EF＝OE+OF＝4+3＝7； ②如图2所示， 此时EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1， 即弦AB与CD的距离是1或7， 故答案为：1或7． 【点睛】此题考查了垂径定理及勾股定理，熟记两定理并应用解决问题是解题的关键，还考查了分类思想解决问题． 19. 已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,可知它的图象与x轴有两个交点,其中一个交点是那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是______. x … -1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 【答案】 【解析】 【分析】根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的对称性得出与x轴的另一个交点坐标． 【详解】由表格可知， 二次函数的对称轴为， 二次函数与x轴的一个交点是， 它的图象与x轴的另一个交点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 20. 二次函数的图像开口方向向上，则______0.(用“=、>、<”填空) 【答案】> 【解析】 【分析】根据题意直接利用二次函数的图象与a的关系即可得出答案． 【详解】解：因为二次函数的图像开口方向向上， 所以有>0. 故填>. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数a与抛物线的关系是解题的关键，图像开口方向向上，>0；图像开口方向向下，<0． 三、解答题（共60分） 21. 如图，抛物线与轴相交于点，，且过点． （1）求的值和该抛物线顶点的坐标； （2）根据图像求出时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与轴的交点坐标以及二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）将点的坐标点入抛物线的解析式得到关于的方程，从而可求得的值； 接下来将的值代入得到抛物线的解析式，再依据抛物线的顶点坐标公式求得点的坐标即可； （2）根据二次函数的解析式求出、两点的坐标，当时，图像位于轴下方，由此可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：把点代入抛物线， 得， 解得：， 该二次函数的解析式为， ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知，二次函数的解析式为， 令，得或， ，， 由图像可知，当时，． 22. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴， ∴， ∴或 解得： 小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴， 解得： 23. 已知，二次函数的图象的顶点是(4，－8)，且过(6，0)，求此二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】已知二次函数的顶点坐标，可用二次函数的顶点式来设抛物线的解析式，再将抛物线上点（6，0）代入，即可求出抛物线的解析式． 【详解】设此二次函数的解析式为； ∵二次函数图象经过点（6，0）， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是用待定系数法求二次函数解析式，题中条件有二次函数的顶点，通常用顶点式设出所求的二次函数解析式． 24. 某商店销售两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元． （1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？ （2）该商店计划购进两种商品共60件，且两种商品的进价总额不超过7800元，已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？ 【答案】（1）A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元．（2）A进20件，B进40件时获得利润最大． 【解析】 【分析】（1）设A和B的销售单价分别是x和y，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设A进货m件，根据题意可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】（1）设A种商品和B种商品的销售单价分别为x元和y元， 根据题意可得， 解得， ∴A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元． （2）设购进A商品m件，则购进B商品件， 根据题意可得：， 解得：， 令总利润为w，则， ， ∴当时，获得利润最大，此时， ∴A进20件，B进40件时获得利润最大． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式与二元一次方程组的实际应用，准确计算是解题的关键． 25. 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长． 【答案】3cm． 【解析】 【分析】先连接OC，根据AO＝AC＝OC，判定△AOC是等边三角形，进而得到AC＝AO＝AD＝3cm． 【详解】解：如图，连接OC， ∵∠AOC＝2∠B(圆周角定理)，∠DAC＝2∠B， ∴∠AOC＝∠DAC， ∴AO＝AC， 又∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴AC＝AO＝AD＝3cm． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及等边三角形判定及性质．注意掌握辅助线的作法以及数形结合思想的应用． 26. 如图，已知、、、四点在上，、交于点，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了圆中的弧、弦之间的关系，根据 ，得出，进而可得，即可得出． 【详解】证明：∵ ∴， ∴ 即 ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度九年级上数学期中测试 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程有（　　） ①8x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③x2﹣=4；④x2=0；⑤x2﹣3x﹣4=0 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 关于x的一元二次方程x2﹣2x+2+m2=0的根的情况是 A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 5. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系是（） A. B. C. D. 6. 已知关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1＝0有两个实根，那么m的取值范围是（　　） A. m≤ B. m≤且m≠0 C. m≥ D. m＞ 7. 某校2017年向希望工程捐款5千元，以后每年都捐款，计划到2019年共捐款2.2万元，设该校捐款的年平均增长率为，则根据题意列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把绕点顺时针旋转35°得到，，交于点，若，则的度数为（ ） A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° 9. 若是关于x的一元二次方程，则 A. m=±2 B. m=2 C. m=－2 D. m ≠ ±2 10. 在平面直角坐标系中，点P(﹣2，7)关于原点的对称点P'在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11. 抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. m＜2 B. m＞2 C. 0＜m≤2 D. m＜﹣2 12. 平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(,1),将OA绕原点O按逆时针方向旋转90°得OB,则点B的坐标为(　 　) A. (1) B. (-1,) C. (-,1) D. (,-1) 二、填空题（每小题3分，共24分） 13. 如图，原点O为平行四边形A.BCD的对角线A.C的中点，顶点A，B，C，D的坐标分别为(4，2)，(，b)，(m，n)，(－3，2)．则（m+n）（+b）=__________． 14. 请写出一个二次函数，使它的图像满足下列两个条件： （1）开口向上； （2）对称轴． 写出函数表达式___________________________． 15. 下列说法①直径是弦；②圆心相同，半径相同两个圆是同心圆；③两个半圆是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．正确的是______填序号． 16. 如图，AB为的直径，点C、D、E在上，若，则________． 17. 抛物线 y x 6x 5 的顶点坐标为_____________． 18. 已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为 ______． 19. 已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,可知它的图象与x轴有两个交点,其中一个交点是那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是______. x … -1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 20. 二次函数的图像开口方向向上，则______0.(用“=、>、<”填空) 三、解答题（共60分） 21. 如图，抛物线与轴相交于点，，且过点． （1）求的值和该抛物线顶点的坐标； （2）根据图像求出时，的取值范围． 22. 解方程： （1）； （2）． 23. 已知，二次函数的图象的顶点是(4，－8)，且过(6，0)，求此二次函数的解析式． 24. 某商店销售两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元． （1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？ （2）该商店计划购进两种商品共60件，且两种商品的进价总额不超过7800元，已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？ 25. 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长． 26. 如图，已知、、、四点在上，、交于点，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$