精品解析：山东省临沂市平邑赛博中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级元旦学情调研数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 3. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，则∠B=∠BDC，利用三角形内角和可求得∠B，进而可求得∠E，则可求得答案． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且 ∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E， ∴∠B=∠BDC， ∴， ∴， ∴， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 4. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正负即可判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项． 【详解】解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点， 可得： 又由于当x=1时， 因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 5. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可． 【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得： ，解得； ，解得； ，解得； ∵-8<2<4， ∴， 故选： B． 【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量． 6. 如图，，分别是的切线，，分别为切点，点是上一点，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质以及圆周角定理，利用了四边形的内角和为360度求解．连接，，由圆周角定理知可知，、分别切于点、，利用切线的性质可知，根据四边形内角和可求得． 【详解】解：连接，； ， ， ． 故选：B 7. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据周长之比等于位似比计算即可． 【详解】设的周长是x， ∵ 与位似，相似比为，的周长为4， ∴4：x=2：3， 解得：x=6， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键． 8. 如图，在四边形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，得出，证出，得出，因此，在中，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解题的关键． 9. 如图，在四边形中，且与交于点，分别是的中点，则的面积与四边形的面积比是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的性质，现根据平行线的性质以及中位线的性质，得，结合同高，底长比就是面积比，得，结合相似三角形的性质与判定，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵分别是的中点， ∴ ∴ 则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴的面积与四边形的面积比是 故选：A 10. 如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴的负半轴于点C，顶点为D．下列五个结论：① ；②；③ 若且，则；④ 当是等腰直角三角形时，则；⑤ 若，是一元二次方程的两个根，且，则．其中正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象与系数的关系，正确识别图象，根据图象判断式子的正负的方法． 由图可知：，即可判断①；根据，，得出抛物线对称轴为直线，则，当时，，即可判断②；设抛物线过点，（），由得到，即点，关于对称轴对称，即可判断③；连接，令对称轴与y轴相交于点E，根据等腰直角三角形的性质得出，则，设该抛物线的解析式为，把代入得：，求出a的值，即可判断④；根据，是一元二次方程的两个根，得出抛物线与直线相交于，即可判断⑤． 【详解】解：由图象可知： ∵开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线交轴于，， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， 当时，， 整理得：，故②不正确； 设抛物线过点，（）， ∵， ∴， ∴， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故③正确； 连接，设对称轴与x轴相交于点E， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设该抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：，故④正确； ∵，是一元二次方程的两个根， ∴抛物线与直线相交于， ∵抛物线交轴于，， ∴，故⑤不正确； 综上：正确的有①③④，共3个． 故选：C 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在十字路口，汽车可直行、左转、右转，三种可能性相同，则一辆汽车经过向右转的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵汽车可直行、左转、右转．三种可能性相同， ∴一辆汽车经过向右转的概率为； 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 12. 已知是关于的方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据是关于的方程的一个根，通过变形可以得到值，本题得以解决． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，以为轴将旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开图的扇形圆心角的度数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形圆心角，先设,则，底圆周长为，则，即可作答． 【详解】解：∵，在中， ∴设, 那么底圆周长为 故 故答案为： 14. 如图，长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1．正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为_____． 【答案】2﹣ 【解析】 【分析】连接AF，CF，AC，利用勾股定理求出AC、AF，再根据三角形的三边关系得到当点A，F，C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为2﹣. 【详解】解：如图，连接AF，CF，AC， ∵长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1， ∴AC＝2，AF＝， ∵AF+CF≥AC， ∴CF≥AC﹣AF， ∴当点A，F，C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为2﹣， 故答案为：2﹣． 【点睛】此题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系. 15. 如图，已知双曲线（）经过等腰三角形的顶点A，且，过x轴上一点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接，则的面积为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、等腰三角形的性质等知识，求出线段的长和点的坐标是解决问题的关键．求出等腰三角形的底上的高，确定，在根据反比例函数k的几何意义得出答案． 【详解】解：过点A作，垂足为D， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 16. 如图，在中，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作DG∥AC交BE于点G，用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 【详解】解：如图，过点D作DG∥AC交BE于点G． ∵， ∴， ∵DG∥AC， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，准确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. （1）解方程：； （2）已知α是锐角，且，计算的值． 【答案】（1）；（2）3 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和实数运算以及特殊角的三角函数值． （1）用因式分解法解一元二次方程，把方程的左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，得到．利用积为0的特点解出方程的根即可； （2）直接利用特殊三角函数值、二次根式的性质、零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：（1） 或 解得， （2）， ， ． 18. 小红和父母计划寒假期间从A、B、C、D 四个景点中随机选择景点游玩． （1）若小红一家从中随机选择一个景点游玩，则选中C景点的概率为 ； （2）若小红一家从中随机选择两个景点游玩，求选中A、C两个景点的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意得出所有等可能的结果以及选中A、C两个景点的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）∵共有4个风景名胜区， ∴选中C的概率为； 故答案为：； （2）用表格列出所有可能的结果： 共有12种等可能结果，其中选中A、C两个景点的结果有2种， 所以选中A、C两个景点的概率为． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 19. 2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． （1）求、两点之间的距离； （2）求长． （结果精确到0.1m，参考数据：，，，） 【答案】（1）6.7m （2）4.5m 【解析】 【分析】（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． （2）过点作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图2，连接，过点作，交的延长线于． 在中，， ，所以， ，所以， 在中，m，m， 根据勾股定理得m， 答：、两点之间的距离约6.7m． 【小问2详解】 如图2，过点作，垂足为， 则四边形为矩形，m，， 所以m， 在中，m，m， 根据勾股定理得m． m． 答：的长为4.5m． 【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解 20. 如图，已知反比例函数（k1＞0）与一次函数相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C. 若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2 . （1）求出反比例函数与一次函数的解析式； （2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值. 【答案】（1）；；（2）B点的坐标为（－2，－1）；当0＜x＜1和x＜－2时，y1＞y2. 【解析】 【分析】（1）根据tan∠AOC＝＝2，△OAC的面积为1，确定点A的坐标，把点A的坐标分别代入两个解析式即可求解； （2）根据两个解析式求得交点B的坐标，观察图象，得到当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值． 【详解】解：（1）在Rt△OAC中，设OC＝m． ∵tan∠AOC＝＝2，∴AC＝2×OC＝2m． ∵S△OAC＝×OC×AC＝×m×2m＝1，∴m2＝1．∴m＝1（负值舍去）． ∴A点的坐标为（1，2）． 把A点的坐标代入中，得k1＝2． ∴反比例函数的表达式为． 把A点的坐标代入中，得k2＋1＝2，∴k2＝1． ∴一次函数的表达式． （2）B点的坐标为（－2，－1）． 当0＜x＜1和x＜－2时，y1＞y2． 【点睛】本题考查反比例及一次函数的应用；待定系数法求解析式；图象的交点等，掌握反比例及一次函数的性质是本题的解题关键． 21. 如图，AB为的切线，B为切点，过点B作，垂足为点E，交于点C，连接CO，并延长CO与AB的延长线交于点D，与交于点F，连接AC． （1）求证：AC为的切线： （2）若半径为2，．求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的判定方法，证出即可； （2）由勾股定理得，，，在中，根据，结合锐角三角函数求出角，再利用扇形的面积的公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接OB， ∵AB是的切线， ∴，即， ∵BC是弦，， ∴， ∴，在和中，， ∴， ∴，即， ∴AC是的切线； 【小问2详解】 解：在中， 由勾股定理得，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，三角形全等的判定及性质、勾股定理、锐角三角函数、扇形的面积公式，解题的关键是掌握切线的判定方法，锐角三角函数的知识求解． 22. 已知为等边三角形，点D是线段上一点（不与A、B重合）．将线段绕点C逆时针旋转得到线段．连结． （1）依题意补全图形并证明． （2）过点A作交延长线于点F，用等式表示线段与之间的数量关系并证明． 【答案】（1） 补全图形如下图所示， 证明：∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2） ， 证明：如图， 由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题关键． （1）根据题意补全图形，由等边三角形的性质得出，，由旋转的性质得：，，得出，证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，，求出，在中，由勾股定理得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）求出与之间的函数关系式； （3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 【答案】（1）；（2）；（3）70米 【解析】 【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可． 【详解】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'， ∵函数图象过点（0，30）和（1，35）， 则， 解得， ∴y1与x之间的函数关系式为． （2）∵时，， ∵的图象是过原点的抛物线， ∴设， ∴点，在抛物线上． ∴，即， 解得， ∴． 答：与的函数关系式为． （3）设小钢球和无人机的高度差为米， 由得或. ①时， ， ∵，∴抛物线开口向下， 又∵， ∴当时，的最大值为； ②时， ， ∵，∴拋物线开口向上， 又∵对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，的最大值为70． ∵， ∴高度差的最大值为70米． 答：高度差的最大值为70米． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级元旦学情调研数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 3. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，分别是的切线，，分别为切点，点是上一点，且，则为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 16 8. 如图，在四边形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，且与交于点，分别是的中点，则的面积与四边形的面积比是（ ）. A. B. C. D. 10. 如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴的负半轴于点C，顶点为D．下列五个结论：① ；②；③ 若且，则；④ 当是等腰直角三角形时，则；⑤ 若，是一元二次方程的两个根，且，则．其中正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在十字路口，汽车可直行、左转、右转，三种可能性相同，则一辆汽车经过向右转的概率为______． 12. 已知是关于的方程的一个根，则______． 13. 如图，在中，，以为轴将旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开图的扇形圆心角的度数是__________. 14. 如图，长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1．正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为_____． 15. 如图，已知双曲线（）经过等腰三角形的顶点A，且，过x轴上一点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接，则的面积为_______． 16. 如图，在中，，，则_________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. （1）解方程：； （2）已知α是锐角，且，计算的值． 18. 小红和父母计划寒假期间从A、B、C、D 四个景点中随机选择景点游玩． （1）若小红一家从中随机选择一个景点游玩，则选中C景点的概率为 ； （2）若小红一家从中随机选择两个景点游玩，求选中A、C两个景点的概率． 19. 2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m． （1）求、两点之间的距离； （2）求长． （结果精确到0.1m，参考数据：，，，） 20. 如图，已知反比例函数（k1＞0）与一次函数相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C. 若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2 . （1）求出反比例函数与一次函数的解析式； （2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值. 21. 如图，AB为的切线，B为切点，过点B作，垂足为点E，交于点C，连接CO，并延长CO与AB的延长线交于点D，与交于点F，连接AC． （1）求证：AC为的切线： （2）若半径为2，．求阴影部分的面积． 22. 已知为等边三角形，点D是线段上一点（不与A、B重合）．将线段绕点C逆时针旋转得到线段．连结． （1）依题意补全图形并证明． （2）过点A作交延长线于点F，用等式表示线段与之间的数量关系并证明． 23. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）求出与之间的函数关系式； （3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $