精品解析：辽宁省沈阳市和平区2024-2025学年九年级上学期12月期末数学试题

2024-2025学年上学期九年级学情调研问卷 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 由8个大小相同的立方块搭成的几何体如图所示，其主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程x2－4x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是（ ） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 3. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 123 155 258 投中频率（结果保留两位小数） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.52 0.52 根据频率的稳定性，估计这名球员投篮一次投中的概率约是（） A. 0.56 B. 0.60 C. 0.52 D. 0.49 5. 如图，直线，直线，与，，分别交于，，和点，，．若，，则长是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（） A. B. C. D. 7. 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 若点、、都在反比例函数（）的图象上，则有（） A. B. C. D. 9. 一个菱形的两条对角线的长分别是10和，则这个菱形的面积为（） A. B. C. 35 D. 10. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，，，那么的值是__________． 12. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为矩形空地面积的一半，设小路的宽为，根据题意可列方程为__________． 13. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点C的坐标为_______． 14. 抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是__________． 15. 如图，在矩形中，，，点E为边上的一个动点，将沿折叠得到，连接．当为直角三角形时，则的长为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图所给的三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设从左到右的这三个几何体的俯视图分别是A，B，C．小刚将这3个俯视图分别画在大小、形状完全相同的3张卡片上． （1）小刚从这三个卡片中随机抽取一张，恰好选中的是第2个几何体的俯视图的概率是______； （2）小刚随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片，请用树状图或者列表方法，求抽取的两张卡片上的俯视图都是圆的概率． 18. 如图，在中，，点是上的一点，反比例函数（）的图象经过点D，交于点C，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）当，时，求面积． 19. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射．当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得的距离是，仰角为；后火箭到达B点，此时测得仰角为．这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到）？（参考数据：，，，，，） 20. 如图，四边形，，平分交于点C，平分，交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形的周长是_______． 21. 某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．（不考虑其他因素） （1）若宾馆某一天利润9870元，则每个房间的定价为多少元？ （2）求每个房间的定价为多少元时，宾馆这一天的利润最大？ 22. 如图1，正方形中，点是正方形内一点，连接，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长与的延长线交于点． （1）求的度数； （2）如图2，连接，交于点，连接，若，取的中点，连接，求的长； （3）如图3，点在上方时，连接，交于点．连接．与和分别交于点和点，延长与边交于点，连接，若，，补全图形并求出的面积． 23. 【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2倍，我们称这个点为“倍值点”． 【概念理解】 （1）求直线上的“倍值点”的坐标； 概念应用】 （2）如图1，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图像记为．将抛物线上部分的图像沿直线翻折得到的图像记为，由图像与组成的图像记为G． ①当时，求图像G上的“倍值点”的坐标； ②当图像G上存在三个“倍值点”，，，且满足，，请直接写出m的值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期九年级学情调研问卷 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 由8个大小相同的立方块搭成的几何体如图所示，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，得出相应视图的形状是正确判断的前提．根据简单组合体三视图的意义，得出从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看，共三层，底层是三个小正方形，中间是一个小正方形，上面也是一个小正方形． 故选：B 2. 关于x的一元二次方程x2－4x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是（ ） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 【答案】C 【解析】 【详解】对于一元二次方程a+bx+c=0，当Δ=-4ac=0时，方程有两个相等的实数根. 即16-4k=0，解得：k=4. 考点：一元二次方程根的判别式 3. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 4. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 123 155 258 投中频率（结果保留两位小数） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.52 0.52 根据频率的稳定性，估计这名球员投篮一次投中的概率约是（） A. 0.56 B. 0.60 C. 0.52 D. 0.49 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案． 【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.52附近， ∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.52， 故选：C． 5. 如图，直线，直线，与，，分别交于，，和点，，．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据直线，可得，根据的长度可以求出的长度． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 6. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断． 【详解】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误； B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误； C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确． D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误； 故选：C． 7. 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数，勾股定理；先利用勾股定理求出，再利用正弦公式求出结果即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图 故选：D． 8. 若点、、都在反比例函数（）的图象上，则有（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．利用反比例函数的增减性判断即可． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数图象位于第二、四象限，且在每一个象限随的增大而增大， 点都在反比例函数的图象上，且， 故选：B． 9. 一个菱形的两条对角线的长分别是10和，则这个菱形的面积为（） A. B. C. 35 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：． 故选：D． 10. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键． 根据抛物线平移规律，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后抛物线的解析式为． 故选：A ． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，，，那么的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，根据正切的定义计算，得到答案． 【详解】解：如图，，，， ∴． 故答案：． 12. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为矩形空地面积的一半，设小路的宽为，根据题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据小路的宽度，可得出矩形花坛的长为，宽为，结合矩形花坛所占面积为空地面积的一半，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：小路的宽度为， 矩形花园的长为，宽为． 根据题意得：， 故答案为：． 13. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点C的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，相似三角形的性质与判定，位似图形的性质，根据位似图形的性质得到，则可证明得到，即点C为的中点，据此根据中点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵线段和线段关于原点位似， ∴， ∴， ∴， ∴点C为的中点， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图象法解一元二次不等式，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 利用轴对称的性质求出关于对称轴的对称点，然后结合图象即可得出时的取值范围． 【详解】解：∵对称轴是直线，且抛物线与轴交于点， ∴利用轴对称的性质可得，抛物线与轴的另一个交点为，即， 根据图象可知，当时，， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点E为边上的一个动点，将沿折叠得到，连接．当为直角三角形时，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】当时，设交于点，由矩形性质得到，由折叠性质得到，则，进而利用平行线分线段成比例求得，利用勾股定理求得，然后证明求得；再说明不存在为直角三角形，且或的情况，进而可得答案． 【详解】解：如图1，当时，设交于点， ∵四边形是矩形，，， ， ∵将沿折叠得到， ∴点与点D关于直线对称， ∴垂直平分， ， ， ∴， ， ， ∴ ， ， ， 如图1，当时，点在矩形内部，则， 当时，则四边形为正方形，此时点在上且不与点重合， ， 如图2，，则， ， ， ∴不存在或的情况， 综上所述，当为直角三角形时，则的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握这些知识的联系与运用是解答本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的计算和解一元二次方程，实数计算涉及特殊角的三角函数，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，熟练掌握实数的运算法则和选择适当方法解一元二次方程是解题的关键． （1）先分别计算特殊角的三角函数，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再进行计算； （2）根据方程结构，选择因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 移项，得：， 即， 因式分解得：， 解得：，． 17. 如图所给的三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设从左到右的这三个几何体的俯视图分别是A，B，C．小刚将这3个俯视图分别画在大小、形状完全相同的3张卡片上． （1）小刚从这三个卡片中随机抽取一张，恰好选中的是第2个几何体的俯视图的概率是______； （2）小刚随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片，请用树状图或者列表的方法，求抽取的两张卡片上的俯视图都是圆的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树形图发球随机事件的概率，几何体的三视图，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的易错点． （1）利用概率公式直接计算即可； （2）列举出所有情况，看抽取的两张卡片上的俯视图都是圆的情况数占总情况数的多少即可． 【小问1详解】 解：从左到右的这三个几何体的俯视图分别是A，B，C， 小刚从这三个卡片中随机抽取一张，恰好选中的是第2个几何体的俯视图的概率， 故答案为：； 【小问2详解】 解：从左到右的这三个几何体的俯视图分别是A：圆，B：正方形，C：圆． 列表得： 由表格可知，共有6种等可能性结果，其中抽取的两张卡片上的俯视图都是圆的结果有2种． 所以抽取的两张卡片上的俯视图都是圆的概率． 18. 如图，在中，，点是上的一点，反比例函数（）的图象经过点D，交于点C，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）当，时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质；求得点的坐标是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得函数关系式； （2）求得点的坐标，进而求得点的坐标，然后根据即可求得结果． 【小问1详解】 解：反比例函数图象经过点， ， 反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 在中，，， ， ， 将代入，得， ， ． 19. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射．当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得的距离是，仰角为；后火箭到达B点，此时测得仰角为．这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到）？（参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】分别求出的长，即可求出结果． 本题主要考查解直角三角形的应用，理解锐角三角函数和仰角、俯角的意义是解决问题的关键． 【详解】解：在中， 在中， ∴， ∴速度为 答：这枚火箭从A到B的平均速度为． 20. 如图，四边形，，平分交于点C，平分，交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形的周长是_______． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的判定证明，可得，则四边形是平行四边形，然后由，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，根据，由直角三角形斜边上的中线性质可得，然后根据勾股定理即可求，最后求得四边形的周长． 【小问1详解】 证明：平分交于点C，平分， ，， ， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长． 故答案为：20 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 21. 某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．（不考虑其他因素） （1）若宾馆某一天利润9870元，则每个房间的定价为多少元？ （2）求每个房间的定价为多少元时，宾馆这一天的利润最大？ 【答案】（1）房价定为470元或210元 （2）房价定为340元时，宾馆这一天的利润最大 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，列出函数关系式． （1）设每个房间的定价为a元，根据“房间单价房间数量=利润”列出方程求解可得； （2）根据（1）中相等关系列出函数解析式，由二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设每个房间的定价为a元，根据题意，得： ， 解得：或， 答：房价定为470元或210元； 【小问2详解】 解：设房价增加x元时，利润为w元， 则， ∵， ∴当时，即房价定为340元时，宾馆这一天的利润最大． 22. 如图1，正方形中，点是正方形内一点，连接，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长与的延长线交于点． （1）求的度数； （2）如图2，连接，交于点，连接，若，取的中点，连接，求的长； （3）如图3，点在上方时，连接，交于点．连接．与和分别交于点和点，延长与边交于点，连接，若，，补全图形并求出的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质可得，，根据已知可得，进而可得，证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． （3）连接，连接交于点，则，将绕点逆时针旋转得到，则先证明，得出，设，则，，，在中，，勾股定理求得或，进而根据，，求得；得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， 又∵， ∴ 在中， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：∵ ∴四边形是矩形， 又∵ ∴四边形是正方形， ∴ ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，是的中点， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，连接，连接交于点，则 ∵，， ∴， 设，则，，， 由（2）可得四边形是正方形， ∴， ∴ 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，则 ∵四边形是正方形 ∴ ∵， ∴，则三点共线， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ 在中， ∴ 解得：或 ∴或 ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴或；或 解得：或；或； ∴ ∴的面积为 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2倍，我们称这个点为“倍值点”． 【概念理解】 （1）求直线上的“倍值点”的坐标； 【概念应用】 （2）如图1，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图像记为．将抛物线上部分的图像沿直线翻折得到的图像记为，由图像与组成的图像记为G． ①当时，求图像G上的“倍值点”的坐标； ②当图像G上存在三个“倍值点”，，，且满足，，请直接写出m值为 ． 【答案】（1）（2）①，，；②或 【解析】 【分析】（1）代入解方程即得； （2）①当时，，根据，得的顶点为关于直线对称的的顶点为，得的解析式为，当在上时，，得；当在上时，，得，；②当，时，由，知,代入得，得，得，得；当B、C在上时，代入，得，解得或，得，解得，得，得． 【详解】（1）设直线上的“倍值点”的坐标为， 则， 解得， ∴； （2）①代入， 得， 当时，， ∴， ∵， ∴的顶点为， 由翻折知，的顶点与的顶点关于直线对称， ∴的顶点为， ∴的解析式为， 设 “倍值点”为， 当在上时，， 解得（舍去）， ∴； 当在上时，， 解得， ∴，； ②由①知，上有两个“倍值点”为、， ∵G上存在三个“倍值点”，，，且， ∴当，时， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∵的顶点为， ∴解析式为， ∴， 解得或，作为B、C的横坐标， 则， 解得， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了新定义——“倍值点”，二次函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，函数与不等式的关系，函数与方程的关系，翻折性质等知识，熟练掌握新定义“倍增点”，并分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $