27.1.1圆的基本元素 同步练习2024—2025学年华东师大版数学九年级下册

2024—2025学年华东师大版九年级下册数学27.1.1圆的基本元素 一、单选题 1．点Q是y轴上一点，以点Q为圆心作一个圆，已知圆上的，，，四点均在抛物线图象上，则该圆的半径为（    ） A． B．5 C． D．6 2．下列说法中，不正确的个数是（    ） ①优弧一定比劣弧长；②面积相等的两个圆是等圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在平面直角坐标系中，Q（3，4），P是在以Q为圆心，2为半径的⊙Q上一动点，设P点的横坐标为x，A（1，0）、B（-1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2的最大值是 A．64 B．98 C．100 D．124 4．圆周上有12等份点，以这些等份点为顶点的矩形个数是（    ） A．6 B．12 C．15 D．24 5．下列命题中正确的有(   ) ①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b（），则此圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或 7．下列说法，正确的是（   ） A．优弧大于劣弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所对圆周角是直角 8．小丽用圆规画了一个半径为的圆，小杰用的线围成一个圆．下列说法正确的是（     ） A．两个圆一样大 B．小杰围的圆大 C．小丽画的圆大 D．无法确定两个圆的大小 二、填空题 9．在直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则∠AOB的度数为 ． 10．经过定点P，且半径等于2cm的圆的圆心的轨迹 ． 11．如图，的半径为13，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点C，则 ． 12．如图，在中，是直径，点C在的延长线上，点D是圆上的动点，，且，在的逆时针方向上，，求的取值范围 ． 13．如图，在Rt△中，，，，点是平面内到点的距离等于4的任意一点，点是的中点，则的取值范围是 ． 三、解答题 14．【概念认识】 对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，将、两点间距离的最小值称为图形到图形的“最近距离”，记作．如图①，到正方形的“最近距离”就是点、之间的距离，即． 【概念理解】 如图②，在平面直角坐标系中，以为圆心，3为半径作圆． （1）若点的坐标为，则__________； （2）若点是轴上一点，，则__________； （3）将一次函数的图象记为图形，若，求的值． 【灵活运用】 （4）如图③，在平面直角坐标系中，已知点，，． 点是轴上的一点，设点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆．若，请直接写出的取值范围． 15．已知：，点B为x轴上的一动点，过点B作x轴的垂线交的垂直平分线于点P． (1)请利用图（1）进行探讨：若点，则点P的坐标为___________；若点，则点P的坐标为___________；若点时，点P的坐标为___________； (2)设，请列出y关于x函数关系式，并在图2中画出点P的运动轨迹l． (3)图2中，点，有动点G，；按下列要求作图，轨迹l与直线相交于点A，B（A点在左），点Q为线段的中点，连接，直接写出线段的长度范围． 16．如图，在两个同心圆中，大圆的半径和分别交小圆于点C和D，连接、，交于点P． 求证：； 17．如图所示，求如图正方形中阴影部分的周长．（结果可保留） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C C A C D A 1．A 【分析】设Q点坐标为(0，t)，由点A、B纵坐标相同，C、D纵坐标也相同，抛物线对称轴为y轴，可得，，解得，代入抛物线解析式可求点A（-2，2），点B（2，2）点C（-4，8），点D（4，8），由QD2=42+(8-t)2，QB2=22+（t-2）2，可列方程42+(8-t)2=22+(t-2)2，解得t=6，再利用两点距离公式求半径即可． 【详解】解：设Q点坐标为(0，t)， ∵点A、B纵坐标相同，C、D纵坐标也相同，抛物线对称轴为y轴， ∴A、B两点横坐标互为相反数，C、D两点横坐标也互为相反数， ∴，， 解得， ∴， 点A（-2，2），点B（2，2）点C（-4，8），点D（4，8）， 又∵四点都在圆上， ∴QB=QD=QA=QC， ∵QD2=42+(8-t)2，QB2=22+（t-2）2， ∴42+(8-t)2=22+(t-2)2， 解得t=6， 圆的半径为R=． 故选择：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质，勾股定理，利用圆的半径相等构造方程是解题关键． 2．C 【分析】根据劣弧与优弧的定义对①进行判断；根据等圆的定义对②进行判断；根据等弧的定义对③进行判断；根据弦的定义对④进行判断；根据定点是否为圆心可对⑤进行判断． 【详解】在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，所以①错误； 面积相等的两个圆半径相等，则它们是等圆，所以②正确； 能完全重合的弧是等弧，所以③错误； 经过圆内一个定点可以作无数条弦，所以④正确； 经过圆内一定点可以作无数条直径或一条直径，所以⑤错误． 故选C． 【点睛】此题考查圆的认识，解题在于掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 3．C 【分析】设点P（x，y），表示出PA2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可． 【详解】解：设P（x，y）， ∵PA2＝（x﹣1）2+y2，PB2＝（x+1）2+y2， ∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2， ∵OP2＝x2+y2， ∴PA2+PB2＝2OP2+2， 当点P处于OQ延长线于圆的交点时，OP最大， ∵Q（3，4）， ∴， ∴OP的长度为：OQ+PQ＝5+2＝7， ∴PA2+PB2最大值为2×49+2=100， 故选：C． 【点睛】本题考查的最值问题，涉及到圆，两点间的距离等知识，难度较大，解题的关键是要确定出点P在什么位置时可以得到PA2+PB2的最大值与最小值. 4．C 【分析】本题考查了矩形的性质，圆的性质；12个等分点是6条直径的端点，以这些等分点为顶点的矩形，一定以其中两条直径为对角线，所以共有个矩形，据此解答即可． 【详解】解：12个等分点是6条直径的端点， 共有：（个） 即以这些等分点为四个顶点的矩形共有 个． 故选：C． 5．A 【详解】①弦是圆上任意两点之间的连线段，所以①错误； ②半径不是弦，所以②错误； ③直径是最长的弦，正确； ④弧是半圆，只有180°的弧才是半圆，所以④错误， 故选A． 6．C 【分析】点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径． 【详解】解：若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b， 若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为，因而半径为； 当此点在圆外时，圆的直径是，因而半径是； 故选C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识． 7．D 【分析】此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解决此题的关键. 根据圆的有关概念进行逐项辨析即可得解. 【详解】A、同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故该选项错误； B、平分弦的直径，当被平分的弦是直径时，直径不垂直于弦，故该选项错误； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项错误； D、直径所对圆周角是直角，故该选项正确； 故选：D． 8．A 【分析】首先求得小丽用圆规画的圆的周长，再与相比较，即可判定． 【详解】解：小丽用圆规画的圆的半径为， 小丽用圆规画的圆的周长为：， 小丽与小杰所得的圆一样大， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的周长公式，熟练掌握和运用圆的周长公式是解决本题的关键． 9．60° 【分析】如图，连接OA、OB，根据等边三角形的性质，求出∠AOB的度数. 【详解】解：如图，在⊙O中，直径为10cm，弦AB=5cm， ∴OA=OB=5cm，， ∴OA=OB=AB ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， 故答案为：60°． 【点睛】考查了圆的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握运算性质定理是解题的关键. 10．以P点为圆心，2cm为半径的圆 【分析】求圆心的轨迹实际上是求距P点2厘米能画一个什么图形． 【详解】解：所求圆心的轨迹，就是到P点的距离等于2厘米的点的集合， 因此应该是一个以点P为圆心，2cm为半径的圆； 故答案为：以点P为圆心，2cm为半径的圆． 【点睛】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆． 11．12 【分析】连接OC、OB，根据作图可知OC是线段AB的垂直平分线，则有BC=AC=AB．在Rt△BOC中，利用勾股定理即可求解OC． 【详解】连接OC、OB，如图， 根据作图可知，OC是线段AB的垂直平分线， 则有BC=AC=AB=10×=5， 又∵圆的半径OB=13， ∴在Rt△BOC中，利用勾股定理可得：， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图与性质、勾股定理与圆的知识．根据尺规作图的方法得出所做直线MN是线段AB的垂直平分线是解答本题的关键． 12． 【分析】过O作，且，连接，易证，即可求出，即点E在以F为圆心，长为半径的圆上，即可求出的取值范围． 【详解】解：过O作，且，连接，如图所示： ∵，且，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点E在以F为圆心，为半径的圆上， ∴当直线过F点时有最大值和最小值， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，点的轨迹，确定E的运动轨迹是一个圆是解题的关键． 13． 【分析】反向延长BC，使BH=BC，使BM成为△BDC的中位线，确定HD是BM的2倍，再找到HD的最大值和最小值，即可求出BM的最大值和最小值，即可得到结果． 【详解】解：如图，点D在以A为圆心，4为半径的圆上，反向延长BC至点H，使BC=BH=6，由勾股定理得AH==10，此时BM是△HCD的中位线，BM=HD，当HD最小时，BM就最小，连接AH，交⊙A于点D此时，HD长最小，最小值为AH-AD=10-4=6，则BM的最小值为3， 如图，反向延长AH交⊙A于另一点D，此时HD最长，则BM最长，则BM最大值为HD=7 综上所述，； 故答案为：． 【点睛】本题考查圆外一点到圆上的点的距离的最值问题、三角形中位线、勾股定理等知识点，正确的添加辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． 14．（1）7；（2）2或4；（3）；（4）或或 【分析】（1）连接，交于，由勾股定理得，，由题意知，，求解作答即可； （2）分别以2，4为半径作的同心圆，与轴的交点依次为，由题意知，当时，或，然后作答即可； （3）当时，，即一次函数的图象与轴的交点为，记一次函数为直线，则，作于，作轴于，则，由勾股定理得，，由，可求，由勾股定理得，，则，将代入得，，计算求解即可； （4）记与轴的交点为，作于，使，由图可知，当时，；由，，，可知，，则，，由勾股定理得，，则，同理，右侧；由图可知，当时，；当时，；然后作答即可． 【详解】（1）解：如图，连接，交于， 由勾股定理得，， 由题意知，， 故答案为：7； （2）解：如图，分别以2，4为半径作的同心圆，与轴的交点依次为， 由题意知，当时，或， 故答案为：2或4； （3）解：当时，，即一次函数的图象与轴的交点为， 如图，记一次函数为直线，则，作于，作轴于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴的值为； （4）解：如图，记与轴的交点为，作于，使， 由图可知，当时，； ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 同理，右侧； 由图可知，当时，； 当时，； 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，圆，一次函数解析式，点到直线的距离，等腰三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论或 数形结合的思想是解题的关键． 15．(1)，， (2)，见解析 (3) 【分析】（1）设，则由点B的坐标，可得点P的横坐标，根据，则可求得点P的纵坐标，从而求得点P的坐标； （2）点P的坐标则可得点B的坐标，根据，可得关于x与y的等式，整理即可得y关于x函数关系式，由函数解析式即可画出函数图象； （3）连接，取的中点E，连接、、，由三角形中位线定理可得,则可得点Q的运动路径是以点E为圆心，为半径的圆，则当点E在线段上时，最大为，当点Q在线段上时，最小为，由勾股定理可求得的长，最后可求得的范围． 【详解】（1）解：设， 当点时，由于轴，则， 所以点， ∵点P在线段的垂直平分线上， ∴，即， ∴， ∴， 即点P的坐标为； 当点时，则点， 由，得， ∴， 即点P的坐标为； 当点时，则点是线段的中点， ∵ ∴， 即点P的坐标为； 综上，点P的坐标为：，， （2）∵轴， ∴点， ∵点P在线段的垂直平分线上， ∴，即， ∴， 整理得：， （3）如图2，连接，取的中点E，连接、、， ∵为线段的中点， ∴由三角形中位线定理得， ∴点Q的运动路径是以点E为圆心，为半径的圆， ∴当点E在线段上时，最大为；当点Q在线段上时，最小为， ∵点及直线， ∴， ∵当时，， ∴， 即， ∴， ∴由勾股定理得， ∴的最大值为，最小值为， 所以的取值范围为：． 【点睛】本题考查了求函数解析式，画二次函数的图象，线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形中位线性质，圆外一点与圆上点距离的最值问题等知识，关键是线段垂直平分线性质运用、确定点Q的运动路径，这也是本题的难点． 16．见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，圆的性质，先证明，由全等三角形的性质得出，再根据圆的性质可知，，从而得出， 再利用证明． 【详解】证明∶在和中， ∴； ∴． ∵，， ∴， 即， 在和中， ∴ 17．正方形中阴影部分的周长为 【分析】阴影部分的周长=半圆弧长+圆弧长+正方形边长的3倍，依此计算即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， ． 故正方形中阴影部分的周长为． 【点睛】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握圆的周长公式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$