精品解析： 吉林省长春市绿园区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题

2024一2025学年度上学期八年级期末测试 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡上交． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 算术平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，与的结果相同的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列因式分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以（ ） A. B. C. D. 6. 在一年的四个季度中，某种水产品的每斤进价与售价的信息如图所示，则出售该种水产品每斤利润最大的季度是（ ） A. 第一季度 B. 第二季度 C. 第三季度 D. 第四季度 7. 如图，用螺丝钉将两根小棒中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长，其中，判定和全等的方法是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方体纸盒的高为1，已知一只蚂蚁从其中一个顶点A，沿着纸盒的外部表面爬行至另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 的立方根是__________． 10. 因式分解：_________． 11. 小明在纸上写下一组数字“20241222”，这组数字中2出现的频率为_________． 12. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为______． 13. 如图，在等边三角形ABC中，的平分线与的平分线相交于D，过点D作交AB于E，交AC于F，，则BC的长为______． 14. 如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线交边于点，若，则的长是________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 如图，甲、乙两船同时从港出发，甲船的速度是15海里/时，航向是东北方向（射线方向），乙船比它每小时快5海里，航向是东南方向（射线方向），多少小时后两船相距100海里？ 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，点是边上一点，，试说明：． 20. 图（1）、图（2）都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点均在格点上． （1）线段的长为_________． （2）在图①中，只用无刻度的直尺，以为腰画等腰直角且点在格点上． （3）在图②中，只用无刻度的直尺，以为底画等腰直角且点在格点上． 21. 如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）； （2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值． 22. 某校随机抽取八年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，从八年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，整理数据后，将减压方式分为五类：交流谈心：体育活动：享受美食；听音乐；其他，并绘制了如图所示两个不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查学生共有______人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）计算扇形统计图中表示“听音乐”的扇形圆心角的度数． 23. 如图，在中，，点在线段上运动（不与点重合），连结，作交线段于点． （1）若________，________，点从点向点运动时，逐渐变________（填“大”或“小”）． （2）若，求证：． （3）在点的运动过程中，是否存在是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由． 24. 如图，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长． （2）当点落在边上时，求的值． （3）当与重叠部分为三角形时，设其面积为．用含的代数式表示． （4）与的直角边交于点．当点恰为线段的中点时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024一2025学年度上学期八年级期末测试 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡上交． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的意义直接求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：A． 2. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，正确掌握无理数的概念是解答本题的关键．带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，由此逐项判断即可． 【详解】解：A、是整数，属于有理数，不合题意； B、是分数，属于有理数，不合题意； C、，是整数，属于有理数，不合题意； D、是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； 故选D． 3. 下列运算中，与的结果相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，根据幂的运算法则逐项算出结果，再判断即可． 【详解】解：因为， A. 不是同类项，不能合并，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意； 故选：C． 4. 下列因式分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用因式分解的方法，逐项判断即可． 【详解】A. ，原分解结果错误，不符合题意； B. ，原分解结果错误，不符合题意； C. ，原分解结果正确，符合题意； D. ，原分解结果错误，不符合题意； 故选：C． 5. 等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，分两种情况讨论：当为腰长，为底边长时；当为底边长，为腰长时；分别根据三角形三边关系定理判断即可． 【详解】解：若为腰长，为底边长， ， 能组成三角形， 它的第三边是； 若为底边长，为腰长， ， 不能组成三角形； 故选：B． 6. 在一年的四个季度中，某种水产品的每斤进价与售价的信息如图所示，则出售该种水产品每斤利润最大的季度是（ ） A. 第一季度 B. 第二季度 C. 第三季度 D. 第四季度 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像直接判断即可． 【详解】解：由图像可知：用每个季度每斤的售价减去进价可得每斤的利润，第二季度的售价减去进价的差较大，故出售该种水产品每斤利润最大的季度是第二季度， 故选：B． 【点睛】此题考查了函数图像的理解，正确理解函数图像得到相关信息是解题的关键． 7. 如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长，其中，判定和全等的方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意确定全等三角形的判定条件即可求解，掌握全等三角形的判定 方法是解题的关键． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴判定和全等的方法是是， 故选：． 8. 如图，已知正方体纸盒的高为1，已知一只蚂蚁从其中一个顶点A，沿着纸盒的外部表面爬行至另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从正方体外部可分三类走法直接走AB对角线，先走折线AD-DB，或走三条棱，求出其长度，比较大小即可 【详解】方法一：走两个正方形两接的面展开成日字形的对角线 在三角形ABC中，由勾股定理AB=； 方法二：走一面折线AD-BD，由勾股定理BD= AD+DB=； 方法三折线AE-ED-DB即AE+ED+DB=3； 在正方体外部表面走有这三类走法， ∵5<9， ∴， ∵2>1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 蚂蚁爬行的最短距离是． 故选择：C． 【点睛】本题考查蚂蚁爬行最短路径问题是考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用方法，会利用图形分析行走路径是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 的立方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，清楚立方根的定义是解题的关键． 10. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式和公式法因式分解是解题的关键．先提公因式法再用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 小明在纸上写下一组数字“20241222”，这组数字中2出现的频率为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数与频率之间的关系是解答本题的关键． 根据频率频数总次数，进行计算，得到答案． 详解】解：由题意得： 这组数字中出现的频率， 故答案为：． 12. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查网格中求线段长，涉及勾股定理，由题中条件及网格可知在中，，，，由勾股定理代值求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，，， 在中，，则由勾股定理可得， 故答案为：． 13. 如图，在等边三角形ABC中，的平分线与的平分线相交于D，过点D作交AB于E，交AC于F，，则BC的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】先证明△AEF也是等边三角形，再求得EB=ED=DF=FC=2，即可求解． 【详解】解：∵等边三角形ABC中，EF∥BC， ∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°， ∴△AEF也是等边三角形， ∴AE=EF=FA，AB=AC=BC， ∴EB=FC， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于D，且EF∥BC， ∴∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠FCD=∠FDC=∠DCB=30°， ∴EB=ED=DF=FC， ∵EF=4， ∴EB=ED=DF=FC=2，AE=EF=FA=4， ∴AB=AC=BC=AE+EB=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 14. 如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线交边于点，若，则的长是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理和线段垂直平分线的性质是解题关键．连接，先根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的计算，解题关键是明确算术平方根和立方根的意义，准确进行计算求解即可． 【详解】解： ． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练运用整式乘法法则是解题的关键． 运用整式乘法法则进行运算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，甲、乙两船同时从港出发，甲船的速度是15海里/时，航向是东北方向（射线方向），乙船比它每小时快5海里，航向是东南方向（射线方向），多少小时后两船相距100海里？ 【答案】4小时后两船相距100海里 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设小时后两船相距100海里，根据勾股定理得，解方程即可． 【详解】解：由题意，得，． 设小时后两船相距100海里， 根据题意得：， 解得：（舍去）或． 答：4小时后两船相距100海里． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，12 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值；根据平方差公式与完全平方公式化简，然后合并同类项，再将代入求值，即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 如图，在中，点边上一点，，试说明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出即可． 详解】解：∵， ， 在和中，， ， ． 20. 图（1）、图（2）都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点均在格点上． （1）线段的长为_________． （2）在图①中，只用无刻度直尺，以为腰画等腰直角且点在格点上． （3）在图②中，只用无刻度的直尺，以为底画等腰直角且点在格点上． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的定义等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据等腰三角形的定义以及题目要求作出图形即可； （3）根据等腰直角三角形的定义作出图形即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 【小问3详解】 解：如图，即为所求， 21. 如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）； （2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值． 【答案】（1）或；（2）9 【解析】 【分析】（1）由大正方形的边长为可得面积，由大正方形由两个小正方形与两个长方形组成，可利用面积和表示大正方形的面积，从而可得答案； （2）由（1）可得：再把a2+b2＝57，ab＝12，利用平方根的含义解方程即可. 【详解】解：（1） 大正方形的边长为 大正方形由两个小正方形与两个长方形组成， （2）由（1）得： a2+b2＝57，ab＝12， 则 【点睛】本题考查的是完全平方公式的几何背景，利用平方根的含义解方程，掌握“完全平方公式在几何图形中的应用”是解本题的关键. 22. 某校随机抽取八年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，从八年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，整理数据后，将减压方式分为五类：交流谈心：体育活动：享受美食；听音乐；其他，并绘制了如图所示两个不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有______人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）计算扇形统计图中表示“听音乐”的扇形圆心角的度数． 【答案】（1）50 （2）10人，图见解析 （3）129.6° 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）用“享受美食”的人数除以其占被调查人数的百分比即可得总人数； （2）用总人数分别减去四类人数可得体育活动人数，进而补全图形； （3）用样本中“听音乐”人数占被调查人数的比例乘以即可解题． 【小问1详解】 解：被调查的学生共有人， 故答案为：； 【小问2详解】 选择“体育活动”的人数为：（人， 补全条形统计图如图： 【小问3详解】 根据题意得：， 答：扇形统计图中表示“D听音乐”的扇形圆心角的度数是． 23. 如图，在中，，点在线段上运动（不与点重合），连结，作交线段于点． （1）若________，________，点从点向点运动时，逐渐变________（填“大”或“小”）． （2）若，求证：． （3）在点的运动过程中，是否存在是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）115，25，大 （2）见解析 （3）存在是等腰三角形的情形，此时等于或 【解析】 【分析】此题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和三角形外角和内角和的定理，掌握等边对等角、判定两个三角形全等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． （1）利用三角形外角的性质和三角形的内角和定理解题即可； （2）根据证明全等即可； （3）根据等腰三角形的腰的情况分类讨论，再利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可分别求出． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴，， ∴， 当点从点向点运动时，逐渐变大， 故答案：115，25，大； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， 由（1）得， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：存在是等腰三角形的情形，理由如下： ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴点D与点B重合，不符合题意； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，是等腰三角形时，的度数为或． 24. 如图，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长． （2）当点落在的边上时，求的值． （3）当与重叠部分为三角形时，设其面积为．用含的代数式表示． （4）与的直角边交于点．当点恰为线段的中点时，直接写出的值． 【答案】（1）当时，．当时， （2）或 （3） （4）1或3 【解析】 【分析】（1）由为的中点，根据点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，表示出线段长，再分类讨论即可求解； （2）当点M在边上，可得，列出方程即可；当点在边上，可得，列出方程即可； （3）根据题意分类讨论，表示出线段长，再根据面积公式求解即可； （4）当与交于点，点恰为线段的中点时，表示出线段长，列出方程即可求解；当与交于点，点恰为线段的中点时，表示出线段长，列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， ，点D为的中点， ， ∵点P关于点D的对称点为点Q， , ， 当时，， ． 当时，， ． ∴当时，．当时，． 【小问2详解】 解：如图1，点M在边上时，， 由题意可知，， ， ， ， 解得； 如图2，点M在边上时，， 由题意可知，， ， ， ， 解得； 所以，t的值为或． 【小问3详解】 解：当时，与重叠部分为，面积为4； 当时，与重叠部分为， 此时，， ； 当时，与重叠部分为， 此时，， ； 当时，与重叠部分为，面积为4； 所以，． 【小问4详解】 解：t的值为1或3，理由如下： 如图3，与交于点N，点恰为线段的中点时，，则， ， 解得； 如图4，与交于点N，点恰为线段的中点时，，则， ， 解得； 综上所述，t的值为1或3． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质，解题关键是根据运动速度表示出线段长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$