人教版七年级（上）期末压轴题（期末复习 4大压轴类型）-【学霸满分】2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版2024）

人教版七年级(上)期末压轴题 目录 【典型例题】 1 【类型一 线段上动点问题】 1 【类型二 几何图形中动角问题】 7 【类型三 数轴上的行程问题】 16 【类型四 数轴或线段上新定义型问题】 25 【典型例题】 【类型一 线段上动点问题】 例题：（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知线段，点C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当点C为中点时，求的长． (2)若E为中点，当时，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、线段的和与差 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形． （1）根据线段中点的性质计算即可； （2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算． 【详解】（1）解：∵点C为中点， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图， ∵E为中点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，． (1)当点E是的中点时，求的长度； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点． （1）由，可得，，由点E是的中点，得到，从而，； （2）设，则，，根据即可得到方程，求解即可解答． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设，则， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 2．（23-24七年级上·吉林白城·期末）如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为． (1)当时，________；当时，________； (2)用含的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设是线段的中点，是线段的中点． ①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由； ②当时，直接写出的值，________． 【答案】(1)4；8 (2)①当点从运动到点时，；②当点从运动到点时， (3)①当点从点向点运动时，线段的长度不变，；②或 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，用代数式表示式，线段的和差以及线段中点的有关计算，根据情况分情况计算是解题关键． （1）根据题意先得出当时，点C运动到点B处，时，点C从点B处返回点A，然后求出以及时的结果即可； （2）由（1）分析可知：当点从运动到点时以及当点从运动到点时，两种情况下的的长度； （3）①设D是线段的中点，E是线段的中点，根据线段中点的相关计算即可求解；②在若点C从点A向点B运动，时，点C从点B向点A运动，时，两种情况下分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知当时，点C运动到点B处，时，点C从点B处返回点A， 当时，（厘米）， 当时，（厘米）， 故答案为：4，8； （2）由（1）分析可知： 当点从运动到点时，即时，， 当点从运动到点时，即时，； （3）设D是线段的中点，E是线段的中点， ①当点C从点A向点B运动，线段的长度不变化， D是线段的中点，E是线段的中点， ， ， 即的长度为； ②当时， 若点C从点A向点B运动，时， 是线段的中点，E是线段的中点， ， ，即有， ； 若点C从点B向点A运动，时， D是线段的中点，E是线段的中点， ， ，即有， ， 综上可知，当时，t的值为或． 3．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．当点到达终点时，点也随之停止运动． 设点的运动时间为秒． (1)线段的长为______． (2)当点与点相遇时，求的值． (3)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值． (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)当或时，点与点之间的距离为个单位长度 (4) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差 【分析】（1）根据即可求解； （2）依题意，，根据点与点相遇时，解方程即可求解； （3）分相遇前和相遇后分别列出方程，解方程即可求解； （4）分点在线段上和线段上，分别讨论，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，，， ∴， 故答案为：． （2）解：依题意，， 当点与点相遇时， 解得：； （3）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时， ， 解得：， 相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则 ， 解得：， 综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度； （4）∵， 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：（舍去） 当在线段上时，，此时， ∵， ∴， 解得：， ∴ 【点睛】本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 4．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)若点C是线段的中点，判断C是否是线段的“巧点”； (2)如图2，已知，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，设移动的时间为t（s），当其中一点到达终点时，运动停止． ①当t为何值时，P、Q重合？ ②当t为何值时，Q为的“巧点”？ 【答案】(1)中点是这条线段“巧点”． (2)①时，P、Q重合；②或，Q为“巧点” 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，一元一次方程的实际应用． （1）根据中点平分线段，得到，即可得出结论； （2）①根据两点的路程和为15，列出方程进行求解即可； ②分为的中点，和，三种情况进行讨论求解即可． 掌握“巧点”的定义，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）因为点C是线段的中点， 所以， 所以中点是这条线段“巧点”． （2）①由题意，得：， 解得：； ②当为中点（）时，， ；（运动终止） 当时，， ； 当时，， （舍去） 综上所述：或，Q为 “巧点”． 【类型二 几何图形中动角问题】 例题：（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义， （1）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解； （2）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相减即可求解； （3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系． 【详解】解：（1），， ． 又平分，平分， ，， ； ， ； （2），， ； ． ． 又平分， ， ； （3）设，则． ， ， ． ， ， ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角尺绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角尺旋转到图2所示的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系是____________． (2)若射线的位置保持不变，且． ①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值；若不存在，请说明理由． ②在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图3），求的值． 【答案】(1) (2)①存在，的值为或或；②的值为 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查平角的定义、角平分线的定义、一元一次方程的应用；学会用分类讨论的思想是解决本题的关键； （1）根据平角的定义及得，再根据平分即可得； （2）①分三种情况讨论：平分时，；平分时，；平分时，；每种情况分别列出关于t的方程求解即可；②根据题意用分别表示出和，再代入求解即可． 【详解】（1）解：， 理由如下： 因为， 所以，， 因为平分，所以， 所以， 故答案为∶； （2）①存在； 理由如下：当平分时，，即，解得， 当平分时，，即，解得， 当平分时，，即．解得， 综上所述，的值为或或； ②因为，， 所以， 所以的值为． 1．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 【答案】(1)100； (2)； (3)①12或30或48；② 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． （1）根据，即可求解； （2）根据平分线的性质得，再由平角为即可求解； （3）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可， ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：100； （2）解：， 又在的左侧且平分， 解得：， （3）解：①当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ∴， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ，此时射线与重合， 解得：， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ， 又， ， 解得：， 故答案为：或30或48； ②当在的左侧时，如图所示： 又始终平分， 与始终互余， ， 化简得：． 例题：（22-23六年级下·上海普陀·期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 【答案】(1) (2)①画图见解析；，. ②度数为或 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可得； （2）①在的内部画射线，使，则，，根据是的平分线得，即可得；②设，则，，根据是的半余角得，当是的时，，若射线在内，则，即，计算得；若射线在外，则，则，计算得；即可得． 【详解】（1）解：∵，是的半余角， ∴， 故答案为：； （2）解：①在的内部画射线，使，如图所示： 则， ， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴的半余角有：，； ②设，则， ∴， ∵是的半余角， ∴， 当是的时，， 如图所示，若射线在内， 则， ∴， ， ； 如图所示，若射线在外， 则， ∴， ， ； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了半余角，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论． 【类型三 数轴上的行程问题】 例题：（23-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3)，理由见详解 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， 结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； 当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； 根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河北沧州·期末）如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．    (1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ； (2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示） ②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度． 【答案】(1)， (2)①点M对应的数为：，点N对应的数为：；②的长度与无关，长度为 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题 【分析】本题是数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）①由题意可得、的长度，从而由点、对应的数即可求出点、对应的数；②根据题意可得点对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断． 【详解】（1）解：点对应的数为，， 点对应的数为：， 又， 点对应的数为：， 故答案为：，； （2）①由动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，则，， 又，， ，， 点对应的数为：，点对应的数为：； ②的长度与无关，理由如下： 由于， 点对应的数为：， 则， 即的长度与无关，长度为． 2．（23-24七年级上·四川乐山·期末）阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三点，它们表示的数分别是．点A到点C的距离用表示，计算方法：点C表示的数8，点A表示的数，，用，用式子表示为：．根据阅读完成下列问题： (1)应用： ， ； (2)拓展：若点C沿数轴向右以每秒9个单位长度的速度运动，则秒时，点C走到的位置所对应的数是 ，此时 （用含的代数式表示）； (3)探究：若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)10，16； (2)，； (3)不变，． 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （2）根据题意求出C向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式表示的值，； （3）根据题意求出点A，B，C向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示，的值，最后再进行计算即可 【详解】（1）解：，， 故答案为10，16． （2）解：由题意得点C走到的位置所对应的数是，， 故答案为，． （3）解：经过t秒过后，点A为，点B为，点C为． ∴ 故的值不变，． 3．（23-24七年级上·全国·期末）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、3，请回答： (1)若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动　　个单位； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，运动t秒钟过后： ①点A、B、C表示的数分别是　　、　　、　　（用含t的代数式表示）； ②若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．试问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出值． 【答案】(1)3或7 (2)①；；；②不变，3 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、列代数式 【分析】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． （1）由，结合数轴即可得出点C向左移动的距离； （2）①结合路程＝时间×速度写出答案； ②先求出，，从而得出． 【详解】（1）解：有数轴可知：A、B两点的距离为2，B点、C点表示的数分别为：、3， 所以当C、B两点的距离与A、B两点的距离相等时，需将点C向左移动3个或7个单位； 故答案为：3或7； （2）解：①点A表示的数是；点B表示的数是；点C所表示的数是． 故答案为：；；； ②的值不随着时间t的变化而改变，其值是3，理由如下： ∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， ∴，， ∴． 4．（23-24七年级上·全国·期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2)①或；②t的值为或或5.5 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题 【分析】（1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，得到C点对应的数是； （2）①当M、N未相遇， M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，得到，解得；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是，，解得；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是， M表示的数是4，得到，解得，根据，得到这种情况不存在；当P运动到A后，若N为的中点，此时，，解得． 本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键． 【详解】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8， ∴， ∵， ∴，， ∴C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）①∵运动t秒时， 当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或； ②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是， ∵ ∴， 解得（舍去），此种情况不存在， 由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是， ∴， 解得， 由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是， ∴， 解得， 当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4， 次情况， ∴， 解得，不合， ∴这种情况不存在， 当P运动到A后，若N为的中点，此时， ∴， 解得， 综上所述，t的值为，或，或5.5． 【类型四 数轴或线段上新定义型问题】 例题：（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【答案】(1)2 (2)①，或；②或；③或 【知识点】数轴上两点之间的距离、与线段有关的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解； （2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解； ②根据题意列出方程，解方程，即可求解． ③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和， ∴，即 ∴ （2）解：①依题意，，或 ∴，或 ②∵ ∴或 解得：或； ③相遇时， 当时，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 当时，如图所示，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 点的速度大于的速度，当时， 当点在点的右侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当点在点的左侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 解得：． 综上所述，的值为或． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 2．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）阅读理解，完成下列各题． 定义：已知点，，为数轴上任意三点，若点到点的距离（用表示）是它到点的距离（用表示）的2倍，即，则称点是的2倍点，如图1，点是的2倍点，点是的2倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图1中，点是________的2倍点，点是________的2倍点；（选用，，，表示，不能添加其他字母） (2)如图2，点，为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是0，若点在，之间且点是的2倍点，则点表示的数是多少？ (3)若，为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动．求运动多久时．点恰好是和两点的2倍点？ 【答案】(1)， (2)点表示的数是 (3)运动1秒，2秒，6秒时点恰好是和两点的2倍点 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了数轴，本题是新定义型，对2倍点的理解和认识，解本题的关键是分清2倍点的两种不同的情况． （1）根据图形可直接解得； （2）利用2倍点的定义列式解答即可； （3）点H恰好是P和Q 两点的2倍点，可分为三种情况而定，解得t有3个值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴点是的2倍点， ∵，，， ∴点B是的2倍点． （2）解：由题意得：， ∵点E在线段上，点E是的2倍点， ∴． ∴点E表示的数是； （3）解：设运动t秒时，点H恰好是P和Q两点的倍点， ∵，， ∴或， 又∵点H恰好是P和Q两点的2倍点， ∴点H是的2倍点或点H是的2倍点， ∴或 即：或或， 解得或或． 所以，运动1秒，2秒，6秒时点恰好是和两点的2倍点． 3．（24-25七年级上·北京延庆·期中）在数轴上，对于不重合的三点，点，点，原点给出如下定义：如果点到原点的距离为，点到点的距离是的倍（为正整数），那么就把点叫做点的“倍关联点”． 例如：图①中，点表示的数是，点表示的数是2，点到原点的距离是1，点到点的距离是3，就把点叫做点的“3倍关联点”． (1)当点表示的数是时， ①如果点表示的数是6，那么点叫做点的“___倍关联点”； ②如果点是点的“2倍关联点”，那么点表示的数是______； (2)如果点表示的数是1，点是点的“倍关联点”，且点表示的数是大于－4且小于4的整数，那么整数的最大值为______． 【答案】(1)①4；②2或 (2)4 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的运算等知识点，正确理解题意是解题关键. （1）①由题意得点到原点的距离为，点到点的距离是，即可求解；②设点表示的数，点到点的距离是；由题意得，即可求解； （2）由题意得点到点的距离是；设点表示的数是，则；根据可推出，即，即可求解； 【详解】（1）解：①∵点表示的数是，点表示的数是6， ∴点到原点的距离为，点到点的距离是； ∵， ∴点叫做点的“4倍关联点”； ②设点表示的数， 点到点的距离是； ∵点是点的“2倍关联点”， ∴， 解得：2或， ∴点表示的数是2或 故答案为：①4；②2或； （2）解：∵点表示的数是1， ∴点到原点的距离为， ∵点是点的“倍关联点”， ∴点到点的距离是； 设点表示的数是，则； ∵， ∴， ∴，即， ∴整数的最大值为4， 故答案为：4． 4．（23-24七年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】 定义：点A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是有序点对的乐点．例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为1，则点C到点A的距离，点C到点B的距离，那么点C是有序点对的乐点；但点C不是有序点对的乐点．    【知识运用】 (1)判断，如图1，点D_____有序点对的乐点，点D_____有序点对的乐点（两空均填“是”或“不是”）； (2)如图2，x、y为数轴上两点，点x所表示的数为，点y所表示的数为6．数轴上的点S在线段上，点S所表示的数是多少时的点是有序点对的乐点； (3)如图3，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为25，点F所表示的数为55．有一只电子蚂蚁P从表示的点出发，以5个单位每秒的速度向右运动，设运动时间为t秒； ①当点P在点E左边时，用含t的代数式表示点P和点E的距离 ，点P和点F的距离 ． ②当t为何值时，P是E、F两点所组成的有序点对的乐点？ 【答案】(1)是；不是 (2)S表示的数是3 (3)①，；②当t为1秒、9秒、11秒和19秒时，P是E、F两点的乐点 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、列代数式、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，解一元一次方程，列代数式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）求出，根据定义即可判断； （2）设表示的数是，则，由定义建立方程，求解即可； （3）分类讨论，点在点的左侧，点在点之间，点在点右侧，分别表示出建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴，， ∴点D是有序点对的乐点，点D不是有序点对的乐点， 故答案为：是，不是； （2）解：设表示的数是，， 由题意得，， 解得：， ∴点表示的数是3时符合题意； （3）解：①∵一开始蚂蚁在的位置时，， ∴当运动时间为秒时，， 故答案为：；； ②当点在点左侧时， 由题意得， 由①知， ∴， 解得， 当点在点和点之间时，，点与一开始的距离为 则设此时的，则， 由题意得或 ∴或 解得或， ∴或， 当点在点右侧时， 此时， 设此时的，则， ∴， 解得， ∴， 综上所述，当t为1秒、9秒、11秒和19秒时，P是E、F两点的乐点． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版七年级(上)期末压轴题 目录 【典型例题】 1 【类型一 线段上动点问题】 1 【类型二 几何图形中动角问题】 7 【类型三 数轴上的行程问题】 16 【类型四 数轴或线段上新定义型问题】 25 【典型例题】 【类型一 线段上动点问题】 例题：（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知线段，点C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当点C为中点时，求的长． (2)若E为中点，当时，求的长． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，． (1)当点E是的中点时，求的长度； (2)当时，求的长度． 2．（23-24七年级上·吉林白城·期末）如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为． (1)当时，________；当时，________； (2)用含的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设是线段的中点，是线段的中点． ①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由； ②当时，直接写出的值，________． 3．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．当点到达终点时，点也随之停止运动． 设点的运动时间为秒． (1)线段的长为______． (2)当点与点相遇时，求的值． (3)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值． (4)当时，直接写出的值． 4．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)若点C是线段的中点，判断C是否是线段的“巧点”； (2)如图2，已知，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，设移动的时间为t（s），当其中一点到达终点时，运动停止． ①当t为何值时，P、Q重合？ ②当t为何值时，Q为的“巧点”？ 【类型二 几何图形中动角问题】 例题：（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角尺绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角尺旋转到图2所示的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系是____________． (2)若射线的位置保持不变，且． ①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值；若不存在，请说明理由． ②在旋转的过程中，当边与射线相交时（如图3），求的值． 1．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 例题：（22-23六年级下·上海普陀·期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 【类型三 数轴上的行程问题】 例题：（23-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河北沧州·期末）如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．    (1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ； (2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示） ②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度． 2．（23-24七年级上·四川乐山·期末）阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三点，它们表示的数分别是．点A到点C的距离用表示，计算方法：点C表示的数8，点A表示的数，，用，用式子表示为：．根据阅读完成下列问题： (1)应用： ， ； (2)拓展：若点C沿数轴向右以每秒9个单位长度的速度运动，则秒时，点C走到的位置所对应的数是 ，此时 （用含的代数式表示）； (3)探究：若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 3．（23-24七年级上·全国·期末）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是、、3，请回答： (1)若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动　　个单位； (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，运动t秒钟过后： ①点A、B、C表示的数分别是　　、　　、　　（用含t的代数式表示）； ②若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．试问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出值． 4．（23-24七年级上·全国·期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 【类型四 数轴或线段上新定义型问题】 例题：（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 2．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）阅读理解，完成下列各题． 定义：已知点，，为数轴上任意三点，若点到点的距离（用表示）是它到点的距离（用表示）的2倍，即，则称点是的2倍点，如图1，点是的2倍点，点是的2倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图1中，点是________的2倍点，点是________的2倍点；（选用，，，表示，不能添加其他字母） (2)如图2，点，为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是0，若点在，之间且点是的2倍点，则点表示的数是多少？ (3)若，为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动．求运动多久时．点恰好是和两点的2倍点？ 3．（24-25七年级上·北京延庆·期中）在数轴上，对于不重合的三点，点，点，原点给出如下定义：如果点到原点的距离为，点到点的距离是的倍（为正整数），那么就把点叫做点的“倍关联点”． 例如：图①中，点表示的数是，点表示的数是2，点到原点的距离是1，点到点的距离是3，就把点叫做点的“3倍关联点”． (1)当点表示的数是时， ①如果点表示的数是6，那么点叫做点的“___倍关联点”； ②如果点是点的“2倍关联点”，那么点表示的数是______； (2)如果点表示的数是1，点是点的“倍关联点”，且点表示的数是大于－4且小于4的整数，那么整数的最大值为______． 4．（23-24七年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】 定义：点A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是有序点对的乐点．例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为1，则点C到点A的距离，点C到点B的距离，那么点C是有序点对的乐点；但点C不是有序点对的乐点．    【知识运用】 (1)判断，如图1，点D_____有序点对的乐点，点D_____有序点对的乐点（两空均填“是”或“不是”）； (2)如图2，x、y为数轴上两点，点x所表示的数为，点y所表示的数为6．数轴上的点S在线段上，点S所表示的数是多少时的点是有序点对的乐点； (3)如图3，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为25，点F所表示的数为55．有一只电子蚂蚁P从表示的点出发，以5个单位每秒的速度向右运动，设运动时间为t秒； ①当点P在点E左边时，用含t的代数式表示点P和点E的距离 ，点P和点F的距离 ． ②当t为何值时，P是E、F两点所组成的有序点对的乐点？ 学科网（北京）股份有限公司 $$