第2章 直线与圆的位置关系（单元测试·培优卷）-2024-2025学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

第2章 直线与圆的位置关系（单元测试·培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 2．（24-25九年级下·全国·期中）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东滨州·开学考试）正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图所示，中，点M在上，点P在外，交于点N，以下条件不能判定是的切线的是（   ） A． B． C． D．点N是OP的中点 6．（2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖北武汉·二模）如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·江苏南通·期中）已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，是上一动点，，分别切于点，，的另一条切线交，于点，，则周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，，切于、两点，切于点，分别交，于，，，若的半径为，的周长等于，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，，分别与相切于点E，F，G三点，且，，分别交圆于点M，N，若与的乘积为6，则长（　　） A． B． C． D．6 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·天津南开·期中）已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，则的半径可以为 （写出一个即可）． 12．（2023·江苏镇江·中考真题）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 ． 13．（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，是的弦，是过B点的直线，，当 时，是切线． 14．（2024·江苏泰州·一模）如图，，，以为直径作半圆O，P为弧上一点，且最大，延长、，交于点D．则的值为 ． 15．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，为直径，，为弦，过点的切线与的延长线交于点，为线段上一点（不与点重合），且． （1） 若 ，则的长为 ； （2） 若，则 ． 16．（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则 ． 17．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，的直径，，分别是它的两条切线，与相切于点，并与，分别交于，两点，，，则关于的函数表达式为 ． 18．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）已知、为圆的两条切线，连接交圆于点，若，，，则 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级下·全国·期末）如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的长． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级下·全国·期末）如图，为的直径，且弦于点，过点的切线与的延长线交于点． (1)若是的中点，连接并延长，交于．求证：； (2)若，，求的半径． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级下·全国·期中）如图，内接于，的平分线交于点G，过G作分别交，的延长线于点D，E． (1)求证：是的切线； (2)已知，，点I为的内心，求的长． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级下·全国·期中）如图，是的直径，于点，连接交于点，弦，弦于点． (1)求证：是的中点； (2)求证：是的切线； (3)若，的半径为5，求的长． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，是的直径，点A 在上，过点A 作的切线交的延长线于点 D， 的平分线交 于点 E，交 于点 G， 的平分线交于点 F． (1)若 ， 的半径为2，求的长； (2)求证： ； (3)求证： 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·江苏南京·期中）在四边形中，，，经过点A，B，C． (1)如图①，求证：是的切线． (2)如图②，连接，与，分别交于点E，F，连接． ①求证：； ②若，，则的长为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A D B A B A A 1．B 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交． 故选B． 2．C 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、扇形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由大圆的弦与小圆相切可得，再根据垂径定理得，进而推出是等腰直角三角形，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：大圆的弦与小圆相切， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 扇形的面积． 故选：C． 3．B 【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可． 【详解】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴OC=PC=1， ∴OA==， ∴P（，0）， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 4．A 【分析】本题考查的是正多边形和圆，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，然后求出与的关系，计算，与的比，正确画出图形得到相应关系是解题的关键． 【详解】解：如图，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，则， ， 是边上的高，， ． ． 即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为． 故选：A． 5．D 【分析】根据切线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A.∵，且，∴，可知是的切线，故选项A不符合题意； B. ∵，且，∴，可知是的切线，故选项B不符合题意； C.∵，∴是直角三角形，且，可知是的切线，故选项C不符合题意； D. 点N是OP的中点不能得出，即不能判断出是的切线，故选项D符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理的逆定理、正确理解切线的判定定理是解答本题的关键． 6．B 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，求出，进而求出的长，的长度即的最小值．此时最小，且等于的长．连接，，，利用垂径定理，得出，过点作于点，利用等腰三角形三线合一的性质和锐角三角函数求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长． 连接，，， ， ， 是弧的中点， ， ， 由轴对称可知，， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， 在中，， ， 的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等，确定点的位置是本题的关键． 7．A 【分析】根据切线的性质可得，由三角形的内角和定理可得，等量代换即可判断选项B；根据切线长定理可设设，，，由，，，可列出方程组，求解即可判断选项C；过点C作于点H，根据勾股定理得到，构造方程可求出，得到，设的半径为r，即，根据即可求出的半径，从而判断选项D；由，得到，用反证法即可证得不成立，从而判断选项A． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故B选项正确； ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∵，，， 设，，， ∴，解得， ∴，，，故C选项正确； 过点C作于点H， ∴， 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， 连接，，，， 设的半径为r，即， ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∴， ∴，解得：， ∴，故D选项正确； ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 若成立， 则，这与矛盾， ∴不成立，故A选项错误． 故选：A 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形的内角和定理，圆周角定理等，综合运用相关知识是解题的关键． 8．B 【分析】连接，，根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得，根据垂线段最短可得，当时，最小，求出最小值为，当点D与点B（或C）重合时，最长，此时，即可得出，从而可求得l最大与是最小值，即可得出答案． 【详解】解：连接，，设切于G， ∵，分别是的切线， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∴周长， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，l最小，当最大时，l最大； 根据垂线段最短可得，当时，最小， ∵是边长为3的等边三角形，， ∴， 由勾股定理得：， 当点D与点B（或C）重合时，最长，此时， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，垂线段最短．根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得，以及当时，最小，点D与点B（或C）重合时，最长是解题的关键． 9．A 【分析】连接，延长交于点，由切线长定理及切线性质得，，，，，，，从而得，证明四边形是矩形，得，进而得，，，在中利用勾股定理得，最后利用正切的定义即可得解． 【详解】解：连接，延长交于点， ∵，切于，两点，切于点，交，于，， ∴，，，，，，， ∴的周长， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴即， 解得，， ∵，，， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，勾股定理，矩形的判定及相知，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 10．A 【分析】连接、、，根据切线的性质，角平分线的判定定理，平行线的性质可得出是直角三角形，再根据相似三角形的判定和性质得出，再勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接、、， ，，分别与相切于点E，F，G三点， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查切线的性质，平行线的性质以及相似三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，勾股定理等；掌握切线的性质，平行线的性质以及相似三角形的性质和判定方法是解题的关键． 11．1（答案不唯一） 【分析】本题考查解一元二次方程，直线与圆的位置关系，因式分解法求出方程的根，根据圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，求解即可． 【详解】解：，解得：， ∵的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ∴的圆心到直线的距离为， ∵与直线相离， ∴的半径小于5， ∴的半径可以为1； 故答案为：1（答案不唯一） 12．2 【分析】由的图像经过第一、二、四象限，可知，由过定点，可知当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，进而可得r的最小值是2． 【详解】解：∵的图像经过第一、二、四象限， ∴，随的增大而减小， ∵过定点， ∴当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点， ∴r的临界点是2， ∴r的最小值是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一次函数图像，直线与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 13． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再根据切线的判定定理可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴当时，， ∴当时，是切线， 故答案为：． 14．/0.6 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，切线长定理，根据切线的性质和判定得到，利用切线长定理得到，证明，设，，则，利用相似的性质得到，进而得到，再根据正弦的定义求解，即可解题． 【详解】解：连接， P为弧上一点，且最大， ，， ， 与圆相切于点，与圆相切于点， ，， ， ， ， ， 设，，则， ， ，， ， ， ， ， ． 15． 【分析】（）根据圆周角定理求出，再利用弧长公式求解； （）连接，由切线的性质得，然后由勾股定理得，利用等面积法求出，再由勾股定理得出，然后证明，再通过相似三角形的性质得，最后由线段和差即可求解． 【详解】解：（）∵为直径，， ∴， ∵ ， ∴， ∴的长为， 故答案为：； （）如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等面积法，利用弧长公式求弧长，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 16． 【分析】本题重点考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角形内角和定理、三角形外角与内角的关系．首先连接、、，根据三角形内切圆的性质可知：，，平分，平分，在中，，根据，可以求出，从而可以求出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可得． 【详解】解：如下图所示，连接、、， 是的内切圆， ，，平分，平分， ， ， ，， 在中，， ， 又， ， 是的外角， ， ． 故答案为：． 17． 【分析】作交于点，由切线的性质可知，，进而可证得四边形是矩形，于是有，，因而可得，由切线长定理可得，，于是可得，在中，根据勾股定理即可求出关于的函数表达式． 【详解】解：如图，作交于点， ，分别是的两条切线， ，， 又， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 与相切于点， ，， 则， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 整理，得：， 即：， 关于的函数表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质定理，垂线的性质，矩形的判定与性质，切线长定理，勾股定理，完全平方公式，用关系式表示变量间的关系等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 18． 【分析】连接，，，作，设，证是等边三角形，得出，证，，得出，得出是直径，再利用勾股定理列方程求出，即可． 【详解】解：连接，，，过点A作作于F，设， 同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，， ， ， 是等边三角形， ，， ，是的切线， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， 得出：， ， ，， ， 是直径， ， ，，， ，， ， ， ， ， (负值已舍去）， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程等知识．作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 19．(1)见解析； (2)8． 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出，再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2）解：设， 在中，，， ， 由勾股定理，得：， 解得：， ， ． 20．(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得，则，得出同弧所对的圆周角相等，对顶角相等得出，即可出； （2）连接，根据切线的性质，直径所对的圆周角是直角得出，公共角，即可证明得出，根据设，则，勾股定理可得，进而代入得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵弦，M是的中点， ∴． ∴． 而， ∴． ∴． ∴； （2）解：如图，连接， ∵为直径， ∴． 又∵为的切线， ∴． ∴． 又∵ ∴． ∴，即． ∵， ∴． 在中，， 设，则， ∴． ∴． 解得（舍）． ∴． ∴的半径为． 【点睛】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形三线合一得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接，，根据角平分线定义得到，，推出，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，，， ∵的平分线交于点G， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，， ∵点I为的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，内心的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图，连接，由平行线的性质得，，进而证明，即可得，即可得证； （2）证明，得．进而由垂直得 ，．根据切线的判定即可得证； （3）由等角的余角相等得．由，得，设，则．利用勾股定理得，解得，（不合题意，舍去），从而求得． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ，． ， ， ， ， 即是的中点． （2）证明：由（1）得， 在和中， ， ． ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． （3）解：， ∴， ∵，， ∴， ． ， ． 设，则． 又的半径为5， ． ， ， 解得，（不合题意，舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，解直角三角形，切线的判定，等角的余角相等，全等三角形的判定及性质，熟练掌握解一元二次方程，解直角三角形，切线的判定是解题的关键． 23．(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连结，根据切线的性质，得到，根据圆周角定理可得，再通过解直角三角形即可求得答案； （2）先证明，再证明，得到，最后根据等腰三角形的三线合一性质，即可证明结论； （3）先证明，得到，再证明，得到，最后代入计算，即可证得答案． 【详解】（1）解：连结， 是的切线， ， ， ， ， ； （2）证明：是直径， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ； （3）证明：连结， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，解直角三角形，圆周角定理及推论，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24．(1)见解析 (2)①见解析；②6 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，利用圆周角定理和等腰三角形的性质定理得到，利用全等三角形的判定与性质得到，则，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）①连接，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到，得到，利用线段垂直平分线的判定定理得到为的垂直平分线，结论可得； ②连接并延长，交于点，利用垂径定理的推论得到，，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式求得，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质求得的长． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，如图， 则为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）①证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴为的垂直平分线， ∴； ②解：连接并延长，交于点，如图， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴为的垂直平分线， ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$