第2章 直线与圆的位置关系（单元测试·基础卷）-2024-2025学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

第2章 直线与圆的位置关系（单元测试·基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知的直径是，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，菱形的顶点，，在上，过点作的切线交的延长线于点．若的直径为4，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 3．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）有一道题目：“如图，是的直径，要使直线是的切线，需添加的条件是（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确 C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确 4．（2024·河北·模拟预测）下列☉O中，不能确定的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，，则内切圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 6．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·山东日照·期末）下列结论中正确的个数是（    ） ①二次函数顶点坐标为；②反比例函数，当时，；③三角形内心为三角形角平分线交点；④圆中长度等于半径的弦所对的圆周角为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，I是x轴的负半轴上的点，以I为圆心，4为半径的与直线相切，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 9．（2023·江苏镇江·模拟预测）如图，的半径为1，是的直径，是弦，是劣弧上一点，将沿折叠，使得点的对应点是点，且弧与相切于点，设线段的长度为，弦的长度为，则（　　） A． B． C． D． 10．（2024·广西南宁·二模）我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何？”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点分别与相切于为点，求的半径．根据题意，的半径是（    ） A．100步 B．120步 C．140步 D．160步 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（20-21九年级上·河北沧州·期中）如图，已知⊙O是以数轴上原点O为圆心，半径为2的圆，∠AOB＝45°，点P在x正半轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P点对应的数为x，则x的取值范围是 ． 12．（21-22九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 13．（23-24九年级上·山西大同·期末）如图，AB是的直径，弦AD平分，过点D的切线交AC于点E，连接OD，若，，则的半径为 ． 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，、是的切线，切于点E，的周长为12，则 ． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为O，则点O是的 心 16．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则 °． 17．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，是的切线，B为切点，连接，与交于点C，D为上一动点(点D不与点C，B重合)，连接．若，则的度数为 ． 18．（2023·江苏苏州·二模）如图，在中，，，，以边的中点为圆心，作半圆与相切，点、分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，2.4为半径作．求证：是的切线． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 21．（本小题满分10分）（2024·山东滨州·三模）如图，是以等腰的腰为直径所作的圆，点是与底边的交点，自点作，垂足为点，过点作的切线，交于 (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求此时的长． 22．（本小题满分10分）（2024·广东深圳·二模）如图，以的边为直径作分别交，于点D，E，过点E作，垂足为F，与的延长线交于点G． (1)以下条件： ①E是劣弧的中点： ②； ③． 请从中选择一个能证明是的切线的条件，并写出证明过程： (2)若是是的切线，且，求的长． 23．（本小题满分10分）（2023九年级下·江苏·专题练习）如图1，以的边为直径作，交边于点，平分交于，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)延长交直线于点，如图2，若，，求的长． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读理解： (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ． ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ， ，（定角） 点在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． (2)【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为 ． (3)【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点从点开始运动到点时，点也随之运动，请求出点的运动路径长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D B C B D A B 1．C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据圆的半径和，圆心到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【详解】解：∵的直径为，则半径为，圆心到直线的距离为， ∵，即：， ∴直线与的位置关系是相离． 故选：C． 2．D 【分析】连接，根据切线的性质定理得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：连接， 是的切线， ， 四边形为菱形， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得，， 故选：D． 【点睛】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 3．C 【分析】本题主要考查了切线的判定．根据切线的判定定理，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴直线是的切线，故甲同学的答案正确； ∵是的直径， ∴， 若，无法确定的度数，故乙同学的答案错误； 若， ∴， 即， ∴直线是的切线，故丙同学的答案正确； 故选：C 4．D 【分析】本题考查的是圆心角与弧之间的关系，切线长定理的应用，切线的性质，根据以上知识逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴，故B不符合题意； ∵是的切线， ∴， ∴，故C不符合题意； 如图，∵， ∴， 而， ∴， ∴不能推出，故D符合题意； 故选D 5．B 【分析】本题主要考查三角形内切圆及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆及勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设内切圆的半径为r，则有：， ∴； 故选B． 6．C 【分析】本题考查了三角形内心的定义和圆周角定理，掌握三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，最后根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 点I是的内心， 平分， ， 点O是外接圆的圆心， ，， ． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查二次函数性质、反比例函数性质、三角形内心及圆周角的有关性质，解题的关键是掌握二次函数性质、反比例函数性质、三角形内心及圆周角的有关性质，根据二次函数性质、反比例函数性质、三角形内心及圆周角的有关性质逐项判断． 【详解】解：①二次函数顶点坐标为，故①正确； ②反比例函数，当时，或，故②错误； ③三角形内心为三角形角平分线交点，故③正确； ④圆中长度等于半径的弦所对的圆周角为或，故④错误； 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了切线的性质，角的正弦值．先求得直线与轴的夹角的正弦值，再根据切线的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：取直线上的一个点，作轴于点， 设点的横坐标为4，则点的纵坐标为，即，， ∴， ∴， ∵与直线相切，切点为，连接， 则， ∴，即， 解得， 故选：D． 9．A 【分析】此题主要考查了翻折变换的性质以及垂径定理和勾股定理，切线的性质．设的圆心为，连接交于，连接，，由与相切于点，得到，由翻折得，根据垂径定理以及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设的圆心为，连接交于，连接， 由折叠得，，的半径为1， ， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 故选：A． 10．B 【分析】此题考查了切线的性质，正方形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 如图所示，连接，，，证明四边形是正方形，设步，根据切线长定理，得到步，步，利用勾股定理求出，然后构建方程求解即可． 【详解】如图所示，连接，，， ∵，是的切线 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 设步，则步，步， ∵，，是的切线 ∴步，步， ∵步， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 11．0＜x≤2 【分析】根据题意可知，直线和圆有公共点，则直线与圆相交或相切．如图，当直线与圆相切时，x值最大，设切点为C，连接OC，根据∠AOB＝45°，OA∥PC，可知为等腰直角三角形，进而求出斜边的长度，即可得到x的取值范围． 【详解】解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC＝2，OC⊥PC， ∵∠AOB＝45°，OA∥PC， ∴∠OPC＝45°， ∴PC＝OC＝2， ∴OP＝， ∵P在x正半轴上运动， ∴x的取值范围是0＜x≤， 故答案为：0＜x≤． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据题目已知条件，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键． 12．∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 13．// 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 14．6 【分析】此题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 首先根据切线长定理得到，，，然后根据的周长为12得到，然后等量代换得到，进而求解即可． 【详解】解：∵、是的切线，切于点E， ∴，， ∵的周长为12， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：6． 15．内心 【分析】本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，三角形的内心，解题的关键是根据翻折变换的性质得出为角平分线的交点．根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等，即可得出结果． 【详解】解：如图：过点作于点F，于点M，于点N，    由题意得：，， 为角平分线的交点， ， 点到三边的距离相等． 点是的内心． 故答案为：内心． 16． 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，余角的性质，熟练掌握圆周角定理，切线性质定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理，切线的性质，余角的性质解答即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵过点C作的切线交的延长线于点E， ∴， ∴， 故答案为：42． 17．或 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆周角等于对应圆心角的一半成为解答本题的关键．连接，由切线的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余求得，然后再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是的切线 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 18． 【分析】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，设与相切于点，连接，作垂足为交于，此时垂线段最短，最小值为，求出，如图当在边上时，与重合时，最大值，由此不难解决问题． 【详解】如图， 设与相切于点，连接，作垂足为交于， 此时垂线段最短，最小值为， ，，， ， ， ， ， ， ， 最小值为， 如图，当在边上时，与重合时，经过圆心，经过圆心的弦最长， 最大值， 长的最大值与最小值的和是． 故答案为：． 19．见解析 【分析】本题考查了勾股定理，切线的判定定理；过点作，垂足为，根据勾股定理以及等面积法求得，即可得证． 【详解】证明：过点作，垂足为 ∵，，     ∴ ∵     ∴ ∵的半径为    ∴     ∴是的切线． 20．(1)答案见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．勾股定理的应用 (1)连接，根据切线的性质，则，又因为，所以，又因为，得出则平分； (2)根据勾股定理可求出，根据利用相似比求出的长． 点评 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点C 为的直径， AB为的直径 BC平分 （2）解：为的直径 ， ， ，， 21．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得，再根据“同角的余角相等”得，然后根据等腰三角形的性质得，即可得，进而得出答案； （2）作，根据等腰三角形的性质得平分，再根据角平分线的性质得，接下来根据勾股定理求出，进而得出，，再根据勾股定理求出，最后根据平行线分线段成比例得出答案． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）过点D作，交于点G， ∵，， ∴平分． ∵，， ∴． 在中，，， ∴， ∴，． 在中，，， 根据勾股定理，得． ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线分线段成比例，勾股定理，角平分线的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法． 22．(1)详见解析 (2) 【分析】（1）选择：①连接，根据圆周角定理求得，再根据垂径定理得，即可证明． （2）先证明，再根据相似三角形的性质得到，即可解答． 【详解】（1）我选择的条件是第①个； 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． 或（1）我选择的条件是第②个； 方法1：证明：连接BD，OE， 是直径， ，即， ， ， ∴， 又， 是的中位线， ， ， 是的切线． 方法2：证明：连接， ， 垂直平分线段， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）由（1）可知， ， ， ， ， ，即． 解得：． 【点睛】本题考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质． 23．(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）为直径，可知，可得，根据同弧所对圆周角相等，及，可求出，由此即可求证； （2）如图所示（见详解），连接、，根据垂径定理可知，且，可得，根据，，可得，，由题意可知，可得，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 是直径， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）解：如图所示，连接、， 平分， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与三角形知识的综合，掌握圆的基础知识，三角形相似的判断和性质是解题的关键． 24．(1)， (2)2 (3)， 【分析】本题要考查的是圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等等，理解题意运用各种性质解题即可． （1）①以点A(定点)为圆心， (定长) 为半径作辅助圆，得出是的圆心角，而是圆周角，即可求出答案； ②先判断出，进而判断出，进而判断出点P在上，即可求出答案； （2）连接，，由，点B，点M关于直线对称，得出，进而推出点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值； （3）①由正方形性质可证可得，，由余角的性质可证②由题意可得点P的运动路径是以为直径的圆的，由弧长公式可求解． 【详解】（1）解：①∵ ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，如图1： ∴， 故答案为∶． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以(定弦)为直的上，如图2，连接交于点P，此时最小， ∵点O是的中点， ∴， 在中，，，， ∴ ∴， ∴最小值为2， 故答案为∶ （2）如图3，连接，， ∵点B，点M关于直线对称， ∴， ∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值， ∵ ∴， ∴的最小值为， 故答案为∶2 （3）①结论∶，， 理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， 在和中， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ②如图4，连接，交于点O， ∵点P在运动中保持， ∴点P的运动路径是以AD为直径的圆弧， ∴点P的运动路径长为 ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 1 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