专题5.1 几何图形的初步（期末复习9考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版2024）

专题5.1 几何图形的初步 目录 【典型例题】 1 【考点一 几何体的识别】 1 【考点二 动态认识点、线、面、体】 2 【考点三 直线、射线、线段的相关概念】 4 【考点四 线段和直线的基本性质问题】 6 【考点五 角的表示方法】 7 【考点六 求一个角的余角、补角】 9 【考点七 三角板中角度计算问题】 10 【考点八 与线段及线段中点有关的计算】 12 【考点九 与角平分线有关的计算问题】 15 【过关检测】 19 【典型例题】 【考点一 几何体的识别】 例题：（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）下列物体的形状类似于圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】常见的几何体 【分析】此题主要考查几何体的识别，解题的关键是熟知圆柱体的特点． 【详解】解：A是长方体，B是圆锥体，C是球体，D是圆柱体 故选D． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·辽宁大连·期末）下面几何体中，是圆锥的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】常见的几何体 【分析】本题主要考查的是几何体的有关知识，熟练掌握常见几何体的形状是解题的关键．根据圆锥的定义即可求解． 【详解】A、该图形为圆锥，符合题意； B、该图形为球体，不符合题意； C、该图形为圆柱，不符合题意； D、该图形为长方体，不符合题意； 故选：A． 2.（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列学习或生活中的物品，它的形状可以近似的看作圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，锥体又分为圆锥和棱锥．依次从观察图形，即可得出答案． 【详解】解：A、形状类似圆柱，故符合题意； B、形状类似长方体，故不符合题意； C、形状类似圆锥，故不符合题意； D、形状类似球，故不符合题意． 故选：A． 【考点二 动态认识点、线、面、体】 例题：（23-24七年级上·河南许昌·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面， 故选：B． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·山东德州·期末）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 （      ） A．点；直线；点动成线 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．线；面；面动成体 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查点动成线，根据点动成线直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线， 故选：B． 2.（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查了面动成体，根据立体图形的形状，平面图形旋转的性质即可求解． 【详解】解：所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是D， 故选：D． 【考点三 直线、射线、线段的相关概念】 例题：（23-24七年级上·天津宁河·期末）下列直线、射线、线段中，能相交的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了直线、射线、线段．熟练掌握直线两端都可以无限延长，射线有一个端点，可向一边无限延长，线段不可延长是解题的关键． 根据直线两端都可以无限延长，射线有一个端点，可向一边无限延长，线段不可延长逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，A中直线与直线能相交，故符合要求； B中射线与直线不能相交，故不符合要求； C中射线与线段不能相交，故不符合要求； D中线段与线段不能相交，故不符合要求； 故选：A． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图，对于图中直线的描述，正确的是（    ） A．图中有直线 B．图中有直线 C．直线与直线交于点O D．直线与直线m交于点O 【答案】D 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查的是直线的表述方法，直线与直线的交点的含义，根据直线的表示方法逐一判断即可． 【详解】解：图中有直线，直线，直线，直线， 直线与直线交于点O，直线与直线m交于点O， ∴A，B，C错误，不符合题意；D正确，符合题意； 故选：D． 2.（23-24七年级上·福建三明·期末）下列关于作图的语句中，正确的是（    ） A．画射线 B．画直线 C．画线段，在线段上任取一点 D．以点为端点画射线 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查射线、直线和线段定义与作图，根据射线、直线和线段定义与作图逐项判断即可得到答案，熟记射线、直线和线段定义与作图是解决问题的关键． 【详解】解：A、根据射线定义，射线一端无限延长，不可能得到射线，该选项表述错误，不符合题意； B、根据直线定义，射线两端无限延长，不可能得到直线，该选项表述错误，不符合题意； C、画线段，在线段上任取一点说法正确，符合题意； D、根据射线定义，射线从固定端点出发，向另一端无限延长，以点为端点画射线，而不是以点为端点画射线，该选项表述错误，不符合题意； 故选：C． 【考点四 线段和直线的基本性质问题】 例题：（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线 C．两直线相交只有一个交点 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查线段的性质，理解两点之间线段最短的性质是正确判断的前提．根据线段的性质进行判断即可． 【详解】解：A，B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小，图2中所示的C点即为所求的码头的位置，那么这样做的理由是两点之间，线段最短， 故选：D． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河南商丘·期末）纸翻花是我国传统的纸制工艺品，它花里有花，花中变花，花姿优美，栩栩如生，深受儿童的喜爱，转动翻花的花柄平面图形变换成不同的美丽的立体图形，这说明了 ． 【答案】面动成体 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题主要考查了面动成体．根据面动成体解答即可． 【详解】解：转动翻花的花柄平面图形变换成不同的美丽的立体图形，这说明了面动成体， 故答案为：面动成体． 2.（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查直线的性质，掌握直线的性质：两点确定一条直线是解题的关键．根据直线的性质：两点确定一条直线即可得． 【详解】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【考点五 角的表示方法】 例题：（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查了角的表示方法的应用，根据角的表示方法和图形逐个判断即可，解题的关键正确理解角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角． 【详解】解：、因为顶点处有四个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处只有一个角，所以这个角能用，，表示，故本选项正确； 、因为顶点处有三个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处有两个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 故选：． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·山东淄博·期末）下列图中的也可以用表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查了角的表示方法； 角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯数字（，…）表示，据此进行分析即可． 【详解】解：A.可以用表示，符合题意； B.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； C.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； D.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； 故选：A． 2.（23-24七年级上·贵州安顺·期末）如图，下面的说法正确的是（    ）    A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．∠1可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 【答案】B 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、角的表示方法 【分析】本题主要考查了角的表示方法，射线和直线的相关概念，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、点P不在直线m上，原说法错误，不符合题意； B、直线m和n相交于点O，原说法正确，符合题意； C、∠1可以表示成，不可以表示成，原说法错误，不符合题意； D、射线和射线表示的不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【考点六 求一个角的余角、补角】 例题：（23-24七年级上·湖北孝感·期末）的余角是 ，它的补角是 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了余角和补角．熟练掌握概念是解题的关键．计算时要注意度、分、秒是60进制．余角定义：如果两个角的和等于90度（直角），就说这两个角互为余角；补角定义：如果两个角的和等于180度（平角），就说两个角互为补角． 根据互余的两个角的和等于90°，互补的两个角的和等于180°，分别列式计算即可得解． 【详解】的余角是：； 的补角是：． 故答案为：，． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·江苏连云港·期末）已知，则的余角为 ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算、求一个角的余角 【分析】本题考查了对余角的理解和运用，如果两个角互余，那么这两个角的和为．根据余角的意义：的余角为，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为． 故答案为：． 2.（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知的度数是，则补角的度数是 ． 【答案】 【知识点】求一个角的补角 【分析】此题主要考查了求一个角的补角，关键是掌握两角的和等于180°，这两角互为补角． 根据如果两个角的和等于180°，计算即可。 【详解】解：补角。 故答案为：. 3.（23-24七年级上·河北承德·期末），则的余角为 ，的补角为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】本题考查余角和补角的性质定理，根据余角和补角的定义解题即可．熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】∵， ∴的余角等于； 的补角等于， 故答案为；． 【考点七 三角板中角度计算问题】 例题：（23-24七年级上·贵州遵义·期末）将一副三角板按如图方式摆放在一起，且比大，则 ． 【答案】/31度 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及角的和差计算；关键是设出未知数找出等量关系列方程． 设，则，根据角的和差关系列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵比大 ∴设，则 根据题意得：， 解得：， ∴ 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，将一副三角尺叠放在一起，使它们的直角顶点重合于点O．若，则的度数为 ． 【答案】/120度 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了三角板中角的和差，先求出，再根据可得答案． 【详解】解：根据题意可知， ∴， ∴． 故答案为：． 2.（23-24七年级上·江苏南通·期末）把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，平分，平分，则 ． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的性质；利用角平分线的基本性质来计算角度是关键．先容易求得，在根据、分别平分，由图可知所求角等于加上的一半． 【详解】解：由题可知： ∵平分，平分， ∴ 故答案为 3.（23-24七年级上·山西大同·期末）把一副三角尺与按如图所示那样拼在一起，其中三点在同直线上，为的平分线，为的平分线，则 ． 【答案】/45度 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的计算，先求出的度数，根据角平分线的性质，求出的度数，进一步求出的度数即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴， ∴； 故答案为：． 【考点八 与线段及线段中点有关的计算】 例题：（24-25七年级上·全国·期末）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【答案】（1）中点；；（2）①；② 【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的和与差运算，中点的定义等知识点，熟练利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段中点的定义即可得到答案； （2）①根据与的关系可得的长度，再根据线段的中点定义可得答案；②根据线段的和差可得的长，利用线段的和差可得答案； 【详解】（1）∵点M把线段分成相等的两条线段与， ∴由中点定义知，点M叫做线段的中点， ∴， 故答案为：中点，； （2）①∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴． 【变式训练】 1.（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)； (2) 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、列代数式 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长． 【详解】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，.   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 2.（23-24七年级上·湖南娄底·期末）如图．线段，是线段的中点，是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点，，求的长． 【答案】(1)； (2)或12 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差以及中点的有关运算． （1）现根据中点的意义得到，，再由线段的和关系，即可作答； （2）分当点在点左侧时和当点在点右侧时两种情况求解即可． 【详解】（1）∵线段，是线段的中点， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 当点在点左侧时：； 当点在点右侧时：． 综上：或12． 【考点九 与角平分线有关的计算问题】 例题：（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河北廊坊·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线，与三角板有关的角度计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，根据，计算求解即可； （2）由角平分线可得，．由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知． ∴， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 2.（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图1，直角三角板的直角顶点在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数；（用含的式子表示）； (3)当三角板绕点逆时针旋转到图2位置时，，其它条件不变，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线有关的角的计算，平角．正确使用角平分线的性质和平角的性质是解题的关键． （1）利用已知求得，利用角平分线的性质得到，再利用平角的定义，可求； （2）利用（1）中方法可求； （3）利用已知可求，然后利用（1）中的方法求得的度数． 【详解】（1）解： ，， ． 平分， ． ； （2）解：，， ． 平分， ． ． （3）解：由题意：． 平分， ． ． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查了角的概念．解题的关键是掌握角的表示方法的运用．根据角的表示方法和图形逐个判断即可． 【详解】解：A、以为顶点的角不止一个，不能用表示一个角，故A选项错误； B、能用，，三种方法表示同一个角，故B选项正确； C、以为顶点的角不止一个，不能用表示一个角，故C选项错误； D、，表示的是不同的角，故D选项错误； 故选：B． 2．（16-17七年级·全国·单元测试）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角的度数大小比较 【分析】本题考查了角的度数大小比较，熟练掌握和是解题关键．根据和将进行化简，再比较大小即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线所夹的角是，则的方向角是（      ）    A．北偏西 B．北偏西 C．东偏北 D．东偏北 【答案】A 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查方向角的定义．由题中所给条件，利用互余定义求解出即可得到答案． 【详解】解：如图所示：   是北偏东方向的一条射线， ， 若射线与射线所夹的角是， ， ，即的方向角是北偏西， 故选：A． 4．（18-19七年级上·四川成都·期末）如图，若，OC是的平分线，则①；②；③；④．正确的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查角的比较与运算这一知识点，熟练掌握角平分线定义是解题关键．设，由是的平分线，可得，，故能判断出选项中各角大小关系． 【详解】解：设， 是的平分线， ∴ ． 故③④正确，①②错误， 故选B． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：①如果，则与互为补角；②如果，则与互为余角；③如果，，则．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．0个 【答案】A 【知识点】与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了互补、互余，同角的补角相等，识记互补、互余的定义，同角的补角相等是解答的关键．根据互余互补的概念确定①③的正误；根据同角的补角相等判定②的正误即可． 【详解】解：由，得，则与不互为补角，故①错误； 如果，则与互为余角，故②正确； ③如果，，根据同角的补角相等，则．故③正确． 所以其中正确的有2个, 故选A． 二、填空题 6．（23-24七年级上·河北承德·期末）已知，则的余角为 ，的补角为 ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】本题主要考查了求一个角的余角， 求一个角的补角，角的单位与角度制等知识点，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键：如果两个角的和等于（直角），则这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于（平角），则这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角． 根据余角和补角的定义直接列式计算即可． 【详解】解：， 的余角， 的补角， 故答案为：，． 7．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，三角板的直角顶点在直线上，若，则是 ． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了三角板中的角度计算；由三角板的直角顶点在直线上，根据平角的定义可知与互余，又，即可求得的度数． 【详解】解：三角板的直角顶点在直线上， 则， ， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·江西抚州·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为 ． 【答案】 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查的是几何体展开图的特征，根据展开图的形状求出对应面是解决本题的关键． 先找出每个面的对应值，再根据相对两面的数字之和相等，列式计算即可得出答案． 【详解】解：因为，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 所以，3和相对，x和y相对，和2相对． 因为，相对两面的数字之和相等， 所以，， ， 所以，，， 所以，， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）将正方体切去一块后，得到如图所示的几何体有 个面，有 个顶点，有 条棱． 【答案】 【知识点】截一个几何体、几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了截一个几何体，根据几何体的特征，即可解答． 【详解】解：将正方体切去一块后，得到如图所示的几何体有个面，有个顶点，有条棱， 故答案为：；；． 10．（2024七年级上·甘肃兰州·专题练习）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，当在上方时，分别讨论即可求解 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（20-21七年级上·贵州贵阳·期中）如图，，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，解题的关键是求出、的度数和得出． （1）根据角平分线定义得出，代入求出即可； （2）根据角平分线定义求出和，再代入求出即可． 【详解】（1）解：，是的平分线， ； （2）解：是的平分线，是的平分线，，， ，， ． 12．（24-25七年级上·全国·期末）如图，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出和，进而求出的度数； （2）根据角平分线的定义求出即可解答． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ，， ，， ， 的度数为． （2）解：平分，平分， ，， ， ， ， 的度数为． 13．（24-25七年级上·河北唐山·期中）根据条件画出图形，并解答问题： (1)如图，已知四个点． ①连接，画射线． ②画出一点P，使P到的距离之和最小，理由是________． (2)在（1）的条件下填空： ①图中共有________条线段． ②若，M是的一个三等分点，则的长为________． 【答案】(1)①见解析；②见解析，两点之间线段最短 (2)①8；②5或10 【知识点】两点之间线段最短、画出直线、射线、线段、线段n等分点的有关计算 【分析】本题主要考查直线、射线、线段及线段的和差． （1）①根据题意作图即可；②根据两点之间线段最短，连接交于点P，点P即为所求， （2）①根据两点确定一条线段求解即可；②根据三等分点的定义求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，连接交于点P，点P即为所求， 理由为两点之间线段最短； （2）解：①图中有线段，共有8条线段， 故答案为：8； ②∵，M是的一个三等分点， ∴或， 故答案为：5或10． 14．（24-25七年级上·全国·期末）如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，见解析 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． （）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）根据（）的解题过程，即可解答； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】(1) (2)或 (3)①不正确；②正确， 【知识点】线段的和与差、与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点相关计算； （1）设，，由线段的和差得，，即可求解； （2）分类讨论：当在线段的延长线上时，由线段和差得，可得 ，即可求解；当在线段上时，同理可求； （3）分类讨论：当、在在左侧时，由线段中点的定义得，，由线段的和差得，求出，，即可求解； 当、在在两侧时，同理可求；当、在在右侧时，同理可求； 能熟练利用线段的和差表示出所求线段，并能根据动点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， 则，， ， ， ； （2）解：当在线段的延长线上时， ， ， ， ； 当在线段上时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：或； （3）解：当、在在左侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在两侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在右侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 综上所述：①不正确；②正确，． 16．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）如图①，在内部画射线，得到． 定义：若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“欢乐线”． (1)角的平分线_______这个角的“欢乐线”；（“是”或“不是”） (2)若，射线为的“欢乐线”，则 ； (3)如图②，已知是内部的一条射线，M，N分别为上的点，线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转．如图②，若分别在内部旋转时，总有，请说明射线为的“欢乐线”． 【答案】(1)是 (2)或或； (3)见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）由角平分线的定义和“欢乐线”的定义可得； （2）分三种情况讨论，由“欢乐线”的定义，列出方程可求出的值； （3）设线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转时间为t秒，由得到，，则，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍， ∴一个角的角平分线是这个角的“欢乐线”； 故答案为：是； （2）有三种情况：①若时，且， ∴； ②若时，且， ∴； ③若时，且， ∴． 故答案为：或或； （3）设线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转时间为t秒， 由得到， ， 则， ∴射线为的“欢乐线”． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 几何图形的初步 目录 【典型例题】 1 【考点一 几何体的识别】 1 【考点二 动态认识点、线、面、体】 2 【考点三 直线、射线、线段的相关概念】 4 【考点四 线段和直线的基本性质问题】 6 【考点五 角的表示方法】 7 【考点六 求一个角的余角、补角】 9 【考点七 三角板中角度计算问题】 10 【考点八 与线段及线段中点有关的计算】 12 【考点九 与角平分线有关的计算问题】 15 【过关检测】 19 【典型例题】 【考点一 几何体的识别】 例题：（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）下列物体的形状类似于圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·辽宁大连·期末）下面几何体中，是圆锥的为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列学习或生活中的物品，它的形状可以近似的看作圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 【考点二 动态认识点、线、面、体】 例题：（23-24七年级上·河南许昌·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【变式训练】 1.（23-24七年级上·山东德州·期末）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 （      ） A．点；直线；点动成线 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．线；面；面动成体 2.（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 【考点三 直线、射线、线段的相关概念】 例题：（23-24七年级上·天津宁河·期末）下列直线、射线、线段中，能相交的是（    ） A．B．C．D． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图，对于图中直线的描述，正确的是（    ） A．图中有直线 B．图中有直线 C．直线与直线交于点O D．直线与直线m交于点O 2.（23-24七年级上·福建三明·期末）下列关于作图的语句中，正确的是（    ） A．画射线 B．画直线 C．画线段，在线段上任取一点 D．以点为端点画射线 【考点四 线段和直线的基本性质问题】 例题：（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线 C．两直线相交只有一个交点 D．两点之间，线段最短 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河南商丘·期末）纸翻花是我国传统的纸制工艺品，它花里有花，花中变花，花姿优美，栩栩如生，深受儿童的喜爱，转动翻花的花柄平面图形变换成不同的美丽的立体图形，这说明了 ． 2.（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 【考点五 角的表示方法】 例题：（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·山东淄博·期末）下列图中的也可以用表示的是（　　） A． B． C． D． 2.（23-24七年级上·贵州安顺·期末）如图，下面的说法正确的是（    ）    A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．∠1可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 【考点六 求一个角的余角、补角】 例题：（23-24七年级上·湖北孝感·期末）的余角是 ，它的补角是 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·江苏连云港·期末）已知，则的余角为 ． 2.（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知的度数是，则补角的度数是 ． 3.（23-24七年级上·河北承德·期末），则的余角为 ，的补角为 ． 【考点七 三角板中角度计算问题】 例题：（23-24七年级上·贵州遵义·期末）将一副三角板按如图方式摆放在一起，且比大，则 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，将一副三角尺叠放在一起，使它们的直角顶点重合于点O．若，则的度数为 ． 2.（23-24七年级上·江苏南通·期末）把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，平分，平分，则 ． 3.（23-24七年级上·山西大同·期末）把一副三角尺与按如图所示那样拼在一起，其中三点在同直线上，为的平分线，为的平分线，则 ． 【考点八 与线段及线段中点有关的计算】 例题：（24-25七年级上·全国·期末）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【变式训练】 1.（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 2.（23-24七年级上·湖南娄底·期末）如图．线段，是线段的中点，是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点，，求的长． 【考点九 与角平分线有关的计算问题】 例题：（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河北廊坊·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 2.（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图1，直角三角板的直角顶点在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数；（用含的式子表示）； (3)当三角板绕点逆时针旋转到图2位置时，，其它条件不变，求的度数（用含的式子表示）． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 2．（16-17七年级·全国·单元测试）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线所夹的角是，则的方向角是（      ）    A．北偏西 B．北偏西 C．东偏北 D．东偏北 4．（18-19七年级上·四川成都·期末）如图，若，OC是的平分线，则①；②；③；④．正确的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 5．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：①如果，则与互为补角；②如果，则与互为余角；③如果，，则．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．0个 二、填空题 6．（23-24七年级上·河北承德·期末）已知，则的余角为 ，的补角为 ． 7．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，三角板的直角顶点在直线上，若，则是 ． 8．（24-25七年级上·江西抚州·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为 ． 9．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）将正方体切去一块后，得到如图所示的几何体有 个面，有 个顶点，有 条棱． 10．（2024七年级上·甘肃兰州·专题练习）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为 ． 三、解答题 11．（20-21七年级上·贵州贵阳·期中）如图，，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 12．（24-25七年级上·全国·期末）如图，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，求的度数． 13．（24-25七年级上·河北唐山·期中）根据条件画出图形，并解答问题： (1)如图，已知四个点． ①连接，画射线． ②画出一点P，使P到的距离之和最小，理由是________． (2)在（1）的条件下填空： ①图中共有________条线段． ②若，M是的一个三等分点，则的长为________． 14．（24-25七年级上·全国·期末）如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 15．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 16．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）如图①，在内部画射线，得到． 定义：若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“欢乐线”． (1)角的平分线_______这个角的“欢乐线”；（“是”或“不是”） (2)若，射线为的“欢乐线”，则 ； (3)如图②，已知是内部的一条射线，M，N分别为上的点，线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转．如图②，若分别在内部旋转时，总有，请说明射线为的“欢乐线”． 学科网（北京）股份有限公司 $$