12.3角平分线学案2024-2025学年人教版数学八年级上册

遂宁市涪江初级中学校 初2026届数学组 角平分线导学案 学习目标： 1.理解角平分线的概念 2.掌握尺规作图作已知角的平分线 3.探究并掌握角平分线的性质与判定定理 一、复习回顾 1.尺规作图：①作线段O'B'等于已知线段OB； ②作∠O'等于已知∠O. 2.角 （“是”或“不是”）轴对称图形.若是，请在上图画出∠O的对称轴. 3.角平分线的概念： 几何语言： 4. 除了通过折纸（折叠），我们还能怎样得到∠A的平分线？ 二、探究新知 探究一：尺规作图——作角的平分线 求作∠AOB的平分线OC. 思考：请你说明OC为什么是∠AOB的平分线. 探究二：角平分线的性质 请在角平分线OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线段，垂足分别记为D，E，测量PD，PE，并作比较，你得到什么结论？ 在OC上再取几个点试一试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质? 【猜想】_________________________________________________________________________ 你能利用三角形全等证明这个性质吗？ 已知：___________________________________________________________________________ 求证：___________________________________________________________________________ ※角平分线的性质: 文字语言：______________________________________________________________________ 几何语言： _________________________________________________ __ ______________________________________________ _____ 【应用新知】 例1：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且D是BC的中点,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．求证：BE=CF. 请问：除了BE=CF，你还能得到哪些相等的边或角？ 例2：（1）尺规作图：作△ABC内角∠B的平分线BM，∠C的平分线CN，BM和CN交于点P. （不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 探究三：角平分线的判定 思考1：例2图中的点P在∠A的平分线上吗？为什么？ 思考2：这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ ※角平分线的判定: 文字语言：______________________________________________________________________ 几何语言： _________________________________________________ __ ______________________________________________ _____ 【应用新知】 例3：（不写作法，保留作图痕迹）（1）如图1，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20000）？ （2）如图2，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等. 图1 图2 例4：如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求证：BP为∠MBN的平分线. 【变式】（1）尺规作图：作△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠CAB的外角的平分线AE，BD与AE相交于点P.（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等. 例5：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线. (1)求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC. (2)若AB：AC=3：2，△ABD的面积为15，求△ACD的面积. 【变式】如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，点E在角平分线AD上的任何位置（不与点A重合）时. 求证：S△ABE：S△ACE=AB：AC. 学科网（北京）股份有限公司 $$