第16章 3.规律探索-（备考2025）2024年全国中考真题数学试题分类精粹

72 26. (1) y2=xy1=x· 1 2x= 1 2x 2 (2) y2=xy1= x·3x=3. 设A m,3m ,则B(m,3).∵ 点B 在点A 的上方,∴ 当AB=2时,3-3m=2 ,解得m=3.∴ 点A 的坐标为(3,1) (3) ① ∵ y2=xy1=x(-x+4)= -x2+4x,点A 的横坐标为m,∴ A(m,-m+4), B(m,-m2+4m).∵ 点B 与点A 重合,∴ -m+ 4=-m2+4m.整理,得m2-5m+4=0,解得m=1或 m=4 ② 由①可知,直线y=-x+4与抛物线y= -x2+4x的交点坐标为(1,3)、(4,0).易知函数y2= -x2+4x 的图像是开口向下的抛物线,对称轴是直线 x=2.∵ BC∥x 轴,∴ B、C 两点关于直线x=2对称. 如图①,当点B 在点C的右侧时,2<m<4,BC=2(m- 2)=2m-4.如图②,当点B 在点C 的左侧时,1<m< 2,BC=2(2-m)=4-2m.由点B 在点A 的上方, 得BA=(-m2+4m)-(-m+4)=-m2+5m-4. 当2<m<4时,y=2[(2m-4)+(-m2+5m-4)]= -2m2+14m-16;当1<m<2时,y=2[(4-2m)+ (-m2+5m-4)]=-2m2+6m.综 上 所 述,y= -2m2+6m(1<m<2), -2m2+14m-16(2<m<4) ③ t2-t1 的值为3-2 2或4 解析:记函数y= -2m2+6m(1<m<2)图像的顶点为P,函数y=-2m2+ 14m-16(2<m<4)图像的顶点为Q,易得P 32 ,9 2 、 Q 72 ,17 2 .画出y关于m 的函数图像如图③所示.由 图③,易得当且仅当4<t1< 9 2 时,直线y=t1 与函数y 的图像的交点有3个;当t2= 9 2 或8<t2< 17 2 时,直线 y=t2与函数y的图像的交点有2个.分两种情况讨论: (ⅰ) 当t2= 9 2 时,如图④,此时点 M 与点P 重合.将 y= 9 2 代入y=-2m2+14m-16,得 9 2=-2m 2+ 14m-16,解得 m=72- 2 或 m=72+ 2 (舍去). ∴ EF=MN=72-2- 3 2=2-2. 易知点E、F 关于 直线x=32 对称,故设E(a,t1),则 F(3-a,t1). ∴ EF=3-a-a=2- 2,解得a= 2+12 . 将 m= 2+1 2 代入y=-2m2+6m,得y=22+ 3 2.∴ t1= 22+32.∴ t2-t1= 9 2- 22+ 3 2 =3-2 2. (ⅱ) 当8<t2< 17 2 时,如图⑤,∵ y=-2m2+6m 与 y=-2m2+14m-16的二次项系数均为-2,∴ 两个函 数图像的形状相同.∴ 当EF=MN 时,t2-t1=yQ- yP= 17 2- 9 2=4. 综上所述,t2-t1的值为3-22或4. 第26题 3. 规律探索 一、 1. D 2. C 3. D 4. D 5. D 6. D 7. D 8. B 9. B 10. C 11. B 二、 12. a100 13. -1x 14. n2×(n+1)-(n+1)= (n+1)2×(n-1) 15. (2,1) 16. 15 17. 1(或8) 18. 73 100 19. 12 20. 48 21. (2891,-3) 22. (1,3) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73 23. 21012 24. 1349+6743,33 25. 5 2 2023 三、 26. (1) 36 120 n (n+1) 2 (2) 不能 解析:令n (n+1) 2 =500 ,得n2+n-1000= 0,解得n=-1± 40012 .∵ -1± 4001 2 不为正整 数,∴ 三角点阵中前n行的点数之和不能为500. (3) 由题意可知,前n排的总盆数可表示为n(n+1).令 n(n+1)=420,得n2+n-420=0,解得n1=-21,n2= 20.∵ n为正整数,∴ n=20,即一共能摆放20排 27. (1) ① 7 5 ② (n+1)2-(n-1)2 (2) 4(k2- m2+k-m) 28. (1) 3n (2) n(n+1) 2 (3) 由题意,得n(n+1) 2 = 2×3n,解得n1=11,n2=0(不合题意,舍去).∴ 正整数 n=11 4. 开放题与方案设计 一、 1. 答案不唯一,如0 2. 答案不唯一,如y=x+1 3. (2,-1)(答案不唯一,满足x+y=1且x≠0,y≠0 即可) 4. 答案不唯一,如∠A=∠C 5. 答案不唯一, 如∠ADE=∠C 6. 答案不唯一,如AC=BD 7. 答 案不唯一,如2 8. 乙槽 二、 9. (1) 根据题意可知,安排(70-x-y)名工人加工 “正”服装.∵ “正”服装总件数和“风”服装总件数相等, ∴ (70-x-y)×1=2y,整理,得y=- 1 3x+ 70 3 (2) 根据题意,得“雅”服装每天的获利为x[100-2(x- 10)]元,∴ w=2y×24+(70-x-y)×48+x[100- 2(x-10)],整理,得w=-2x2+72x+3360(x>10) (3) 由(2),得w=-2x2+72x+3360=-2(x-18)2+ 4008.∵ -2<0,∴ 当x=18时,w 取得最大值,此时 y=- 1 3×18+ 70 3= 52 3.∵ y为整数,∴ x≠18.∴ 当x 取17或19时,w 取得最大值.当x=17时,y=- 1 3× 17+703= 53 3 ,不符合题意;当x=19时,y=- 1 3×19+ 70 3=17 ,符合题意.∴ 70-x-y=34.∴ 安排19名工 人加工“雅”服装,17名工人加工“风”服装,34名工人加 工“正”服装,可使每天总利润最大 10. 答案不唯一,如填② ③ ① 补全图形如图所示 如图,连接AC、AD.∵ AM 垂直平分CD,∴ CM= DM,AC=AD.在△ACM 和△ADM 中, AM=AM, AC=AD, CM=DM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACM≌△ADM.∴ ∠CAM=∠DAM.在△ABC 和 △AED 中, AB=AE, AC=AD, BC=ED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC ≌ △AED. ∴ ∠BAC = ∠EAD.又 ∵ ∠CAM = ∠DAM, ∴ ∠BAC+∠CAM=∠EAD+∠DAM,即∠BAM= ∠EAM=12∠BAE.∴ AM 平分∠BAE 第10题 5. 存在性讨论 1. (1) 由题意,得 a-b+c=0, 9a+3b+c=0, c=-3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=1, b=-2, c=-3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 二 次函数的表达式为y=x2-2x-3 (2) ∵ 抛物线的对 称轴为直线x=1,点P、C 关于抛物线对称轴对称, ∴ P(2,-3).设Q(n,n2-2n-3).由题意,得∠OPQ= 90°,∴ OP2+PQ2=OQ2.∴ [(0-2)2+(0+3)2]+ [(2-n)2+(-3-n2+2n+3)2]=(0-n)2+(0-n2+ 2n+3)2,整理,得3n2-8n+4=0,解得n1= 2 3 ,n2= 2(不合题意,舍去).∴ 点Q的坐标为 23 ,-359 (3) 存 在 由题意可知,P(m,m2-2m-3),Q(m+1,(m+ 1)2-2(m+1)-3).设直线PQ 交x轴于点H,由点P、 Q 的坐标,易得直线PQ 对应的函数表达式为y=(2m- 1)(x-m)+m2-2m-3.令y=0,则x= m2-2m-3 1-2m +m , 则OH= m 2-2m-3 1-2m +m .∴ S=12OH ·|yQ-yP|= 1 2× m2-2m-3 1-2m +m ·|(m+1)2-2(m+1)-3- m2+2m+3|=12× -m2-m-3 1-2m ·|2m-1|= 1 2|m 2+m+3|=12 (m2+m+3)=12 m+ 1 2 2 +118≥ 11 8.∴ S存在最小值,为118 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 233 3. 规律探索 ▶ 相应“答案与解析”见P72 一、 选择题 1. (2024·云南)按一定规律排列代数式:2x、 3x2、4x3、5x4、6x5、…,则第n个代数式为 ( ) A. 2xn B. (n-1)xn C. nxn+1 D. (n+1)xn 2. (2024·德阳)将一组数2、2、6、22、10、 23、…、2n、…,按如图所示的方式进行排 列,则第八行左起第1个数是 ( ) 第2题 A. 72 B. 82 C. 58 D. 47 3. (2024·扬州)1202年数学家斐波那契在《计 算之书》中记载了一列数:1、1、2、3、5、….这 一列数满足:从第三个数开始,每一个数都 等于它的前面两个数之和.在这一列数的前 2024个数中,奇数的个数为 ( ) A. 676 B. 674 C. 1348 D. 1350 4. (2024·重庆 A卷)已知整式 M:anxn+ an-1xn-1+…+a1x+a0,其中n、an-1、…、 a0 为自然数,an 为正整数,且n+an+ an-1+…+a1+a0=5.有下列说法:① 满足 条件的整式M 中有5个是单项式;② 不存 在任何一个n,使得满足条件的整式M 有且 仅有3个;③ 满足条件的整式M 共有16个. 其中,正确的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. (2024·河北)“铺地锦”是我国古代一种乘 法运算方法,可将多位数乘法运算转化为一 位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启 发,设计了如图①所示的“表格算法”,图① 表示132×23,运算结果为3036.图②表示 一个三位数与一个两位数相乘,表格中部分 数据被墨迹覆盖,根据图②中现有数据进行 推断,正确的是 ( ) 第5题 A. “20”左边的数是16 B. “20”右边的“”表示5 C. 运算结果一定小于6000 D. 运算结果可以表示为4100a+1025 6. (2024·河北)在平面直角坐标系中,我们把 横、纵坐标都是整数,且横、纵坐标之和大于 0的点称为“和点”.将某“和点”平移,每次平 移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3 所得的余数(当余数为0时,向右平移;当余 数为1时,向上平移;当余数为2时,向左平 移),每次平移1个单位长度.例如:“和点” P(2,1)按上述规则连续平移3次后,到达 点P3(2,2),其平移过程为 P(2,1) 余0 右 → P1(3,1) 余1 上 →P2(3,2) 余2 左 →P3(2,2).若“和 点”Q 按上述规则连续平移16次后,到达 点Q16(-1,9),则点Q 的坐标为 ( ) A. (6,1)或(7,1) B. (15,-7)或(8,0) C. (6,0)或(8,0) D. (5,1)或(7,1) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十六章　新题型专题　　　　 234 7. (2024·武汉)如图,小好同学用计算机软件 绘制函数y=x3-3x2+3x-1的图像,发现 它关于点(1,0)中心对称.若点A1(0.1,y1)、 A2(0.2,y2)、A3(0.3,y3)、…、A19(1.9, y19)、A20(2,y20)都在该函数图像上,这20个 点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,则 y1+y2+y3+…+y19+y20的值是 ( ) 第7题 A. -1 B. -0.729 C. 0 D. 1 8. (2024·济宁)如图,用大小相等的小正方形 按照一定规律拼正方形.第一幅图有1个正 方形,第二幅图有5个正方形,第三幅图有 14个正方形……按照此规律,第六幅图中正 方形的个数为 ( ) 第8题 A. 90 B. 91 C. 92 D. 93 9. (2024·重庆A卷)烷烃是一类由碳、氢元素 组成的有机化合物质,如图所示为这类物质 前四种化合物的分子结构模型,其中灰球代 表碳原子,白球代表氢原子.第1种有4个氢 原子,第2种有6个氢原子,第3种有8个氢 原子,第4种有10个氢原子……按照这一规 律,第10种化合物的分子结构模型中氢原 子的个数是 ( ) 第9题 A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 10. (2024·重庆B卷)用菱形按如图所示的规 律拼图案,其中第①个图案中有2个菱形, 第②个图案中有5个菱形,第③个图案中 有8个菱形,第④个图案中有11个菱 形……按此规律拼下去,则第⑧个图案中 菱形的个数是 ( ) 第10题 A. 20 B. 21 C. 23 D. 26 11. (2024·牡丹江)如图所示为由一些同样大 小的三角形按照一定规律组成的图案,第1个 图案中有4个三角形,第2个图案中有7个 三角形,第3个图案中有10个三角形…… 按照此规律排列下去,则第674个图案中 三角形的个数是 ( ) 第11题 A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 二、 填空题 12. (2024·江西)观察a、a2、a3、a4、…,根据这 些式子的变化规律,可得第100个式子为 . 13. (2024·眉山)已知a1=x+1(x≠0且 x≠-1),a2= 1 1-a1 ,a3= 1 1-a2 ,…,an= 1 1-an-1 ,则a2024= (用含x 的代 数式表示). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 235 14. (2024·宁夏)观察下列等式: 第1个:1×2-2=22×0; 第2个:4×3-3=32×1; 第3个:9×4-4=42×2; 第4个:16×5-5=52×3; … 按照以上规律,第n 个等式为 . 15. (2024·枣庄)任取一个正整数,若是奇数, 就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该 数除以2.反复进行上述两种运算,经过有 限次运算后,必进入循环圈1→4→2→1,这 就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系中,将 点(x,y)中的x、y分别按照“冰雹猜想”同 步进行运算得到新的点的横、纵坐标,其中 x、y均为正整数.例如:点(6,3)经过第1次 运算得到点(3,10),经过第2次运算得到 点(10,5)……则点(1,4)经过2024次运算 后得到点 . 16. (2024·青海)如图所示为由火柴棒摆成的 图案,按此规律摆放,第⑦个图案中有 根火柴棒. 第16题 17. (2024·德阳)数学活动课上,甲组同学给 乙组同学出示了一个探究问题:把数1~8 分别填入如图所示的八个圆圈内,使得任 意两个有线段相连的圆圈内的数之差的绝 对值不等于1.经过探究后,乙组的小高同 学填出了图中两个中心圆圈的数a、b,你认 为a可以是 (填一个数即可). 第17题 18. (2024·遂宁)在等边三角形ABC 三边上 分别取点D、E、F,使得AD=BE=CF,连接 三点得到△DEF,易得△ADF≌△BED≌ △CFE,设 S△ABC =1,则 S△DEF =1- 3S△ADF.如图①,当 AD AB= 1 2 时,S△DEF=1- 3×14= 1 4 ;如图②,当ADAB= 1 3 时,S△DEF= 1-3×29= 1 3 ;如图③,当ADAB = 1 4 时, S△DEF=1-3× 3 16= 7 16 ……当AD AB= 1 10 时, △DEF 的面积为 . 第18题 19. (2024·泰安)如图所示为用图形“”和“” 按一定规律摆成的“小屋子”.按照此规律 继续摆下去,第 个“小屋子”中图 形“”的个数是图形“”个数的3倍. 第19题 20. (2024·大庆)如图①,直角三角形的两个 锐角分别是40°和50°,其三边上分别有一 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十六章　新题型专题　　　　 236 个正方形.执行以下操作:由两个小正方形 向外分别作锐角为40°和50°的直角三角 形,再分别以所得到的直角三角形的直角 边为一边作正方形.如图②所示为1次操 作后的图形,如图③是重复上述操作若干 次后得到的图形,人们把它称为“毕达哥拉 斯树”.若图①中的直角三角形的斜边长为 2,则10次操作后图形中所有正方形的面 积和为 . 第20题 21. (2024·绥化)如图,A1(1,- 3)、A2(3, -3)、A3(4,0)、A4(6,0)、A5(7,3)、 A6(9,3)、A7(10,0)、A8(11,- 3)…… 依此规律,则点A2024的坐标为 . 第21题 22. (2024·龙东地区)如图,在平面直角坐标 系中,正方形OMNP 的顶点M 的坐标为 (3,0),△OAB 是等边三角形,点B 的坐标 为(1,0),△OAB 在正方形OMNP 内部紧 靠正方形OMNP 的边(方向为O→M→ N→P→O→M→…)做无滑动滚动,第一 次滚动后,点A 的对应点为A1,点A1的坐 标为(2,0);第二次滚动后,点A1的对应点 为A2,点A2 的坐标为(2,0);第三次滚动 后,点A2 的对应点为A3,点A3 的坐标为 3- 32 ,1 2 ……依此规律,则点A2024的坐 标为 . 第22题 23. (2024·东营)如图,在平面直角坐标系中, 直线l对应的函数表达式为y=x,点A1 的坐标为(2,0),以点O 为圆心,OA1 长 为半径画弧,交直线l于点B1,过点B1 作 直线l的垂线,交x 轴于点A2;以点O 为 圆心,OA2长为半径画弧,交直线l于点B2, 过点B2作直线l的垂线,交x轴于点A3; 以点O 为圆心,OA3长为半径画弧,交直线 l于点B3,过点B3 作直线l 的垂线,交 x轴于点A4……按照这样的规律进行下 去,点A2024的横坐标为 . 第23题 24. (2024·齐齐哈尔)如图,数学活动小组在 用几何画板绘制几何图形时,发现了如“花 朵”形的美丽图案,他们将等腰三角形OBC 置于平面直角坐标系中,点O 的坐标为(0, 0),点B 的坐标为(1,0),点C 在第一象限, ∠OBC=120°.将△OBC 沿x 轴正方向做 无滑动滚动,使它的三边依次与x轴重合, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学 237 第一次滚动后,点O 的对应点为O',点C 的对应点为C',OC 与O'C'的交点为A1,称 点A1为第一个“花朵”的花心,点A2 为第 二个“花朵”的花心……按此规律,△OBC 滚动2024次后停止滚动,则最后一个“花 朵”的花心的坐标为 . 第24题 25. (2024·广安)如图,直线l:y= 3 3x- 3 3 与 x轴相交于点A1,以OA1为边作等边三角 形OA1B1,点B1 在第一象限内,过点B1 作x 轴的平行线与直线l交于点A2,与 y轴交于点C1,以C1A2 为边作等边三角 形C1A2B2(点B2 在点B1 的上方),以同 样的方式依次作等边三角形C2A3B3,等边 三角形C3A4B4,…,则点A2024的横坐标为 . 第25题 三、 解答题 26. (2024·凉山)如图所示为一个三角点阵, 从上向下数有无数多行,其中第1行有1个 点,第2行有2个点,…,第n 行有n 个 点,…,容易发现,三角点阵中前4行的点 数之和为10. (1) 探索:三角点阵中前8行的点数之和为 ,前15行的点数之和为 , 前n行的点数之和为 . (2) 体验:三角点阵中前n 行的点数之和 (填“能”或“不能”)为500. (3) 运用:某广场要摆放若干种造型的盆 景,其中一种造型要用420盆同样规格的 花,按照第一排2盆,第二排4盆,第三排 6盆,…,第n排2n盆的规律摆放而成,则 一共能摆放多少排? 第26题 27. (2024·安徽)数学兴趣小组开展探究活 动,研究了“正整数N 能否表示为x2-y2 (x、y均为自然数)”的问题. (1) 指导教师将学生的发现进行整理,部分 信息如下表(n为正整数): N 奇数 4的倍数 表示结果 1=12-02; 3=22-12; 5=32-22; 7=42-32; 9=52-42; … 4=22-02; 8=32-12; 12=42-22; 16=52-32; 20=62-42; … 一般结论 2n-1=n2-(n-1)2 4n= 按上表规律,完成下面的问题: ① 24=( )2-( )2; ② 4n= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十六章　新题型专题　　　　 238 (2) 该数学兴趣小组还猜测:像2、6、10、 14、…这些形如4n-2(n为正整数)的正整 数N 不能表示为x2-y2(x、y 均为自然 数).师生一起研讨,分析过程如下: 假设4n-2=x2-y2,其中x、y均为自然数. 分下列三种情形分析: ① 若x、y 均为偶数,设x=2k,y=2m,其中 k、m 均为自然数,则 x2-y2=(2k)2- (2m)2=4(k2-m2)为4的倍数.而4n-2不 是4的倍数,矛盾.故x、y不可能均为偶数. ② 若x、y 均为奇数,设x=2k+1,y=2m+ 1,其中k、m 均为自然数,则x2-y2=(2k+ 1)2-(2m+1)2= 为4的倍数. 而4n-2不是4的倍数,矛盾.故x、y 不可能 均为奇数. ③ 若x、y一个是奇数一个是偶数,则x2-y2 为奇数.而4n-2是偶数,矛盾.故x、y不可能 一个是奇数一个是偶数. 由①②③可知,猜测正确. 阅读以上内容,请在情形②的横线上填写 所缺内容. 28. (2023·安徽)【观察思考】 如图. 第28题 【规律发现】 请用含n的式子填空: (1) 第n个图案中“ ”的个数为 ; (2) 第1个图案中“”的个数可表示为 1×2 2 ,第2个图案中“”的个数可表示为 2×3 2 ,第3个图案中“”的个数可表示为 3×4 2 ,第4个图案中“”的个数可表示为 4×5 2 ,…,第n 个图案中“”的个数可表示 为 ; 【规律应用】 (3) 结合图案中“”的排列方式及上述规 律,求正整数n,使得连续的正整数之和 1+2+3+…+n等于第n个图案中“ ”的 个数的2倍. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 ·数学