专题2.3 直线与圆的位置关系（中考真题分类专题）（专项练习）-2024-2025学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.3 直线与圆的位置关系（中考真题分类专题）（题型梳理与考点分类讲解） 【题型目录】 【考点1】判断直线与圆位置关系.....................................................................................................1 【考点2】圆心到直线距离、半径、直线与圆位置三者关系............................................................2 【考点3】切线性质定理....................................................................................................................5 【考点4】切线的证明........................................................................................................................9 【考点5】切线的性质与判定...........................................................................................................15 【考点6】切线长定理求解...............................................................................................................25 【考点7】切线长定理证明...............................................................................................................29 【考点8】三角形内切圆与外接圆....................................................................................................33 【考点9】三角形周长、面积和内切圆半径关系.............................................................................35 【考点10】圆的综合问题.................................................................................................................39 【考点1】判断直线与圆位置关系 【1-1】（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（      ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A在⊙O外．点B在⊙O上， ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【1-2】（2020·广东广州·中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据中，， ，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC与半径r的大小，即可得出与的位置关系． 解：∵中，， ， ∴cosA= ∵， ∴AC=4 ∴BC= 当时，与的位置关系是：相切 故选：B 【点拨】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC是解题的关键． 【考点2】圆心到直线距离、半径、直线与圆位置三者关系； 【2-1】（2023·江苏镇江·中考真题）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 ． 【答案】2 【分析】由的图像经过第一、二、四象限，可知，由过定点，可知当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，进而可得r的最小值是2． 解：∵的图像经过第一、二、四象限， ∴，随的增大而减小， ∵过定点， ∴当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点， ∴r的临界点是2， ∴r的最小值是2， 故答案为：2． 【点拨】本题考查了一次函数图像，直线与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【2-2】（2021·湖南娄底·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论． 解：如下图所示，连接，过点作， 此时点坐标可表示为， ∴，， 在中，， 又∵半径为5， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∵左右两侧都有相切的可能， ∴A点坐标为， 故选：D． 【点拨】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 【2-3】（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解． 解：∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小， 过C作于N， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键． 【考点3】切线性质定理； 【3-1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解． 解：（1）证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， ∵， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴半径的长为3 【点拨】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 【3-2】（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：D． 【3-3】（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6， 故答案为：． 【3-4】（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答． 解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【考点4】切线的证明； 【4-1】（2024·西藏·中考真题）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据圆周角定理得出，证明，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论； （2）根据，得出，解直角三角形得出，证明，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，最后求出结果即可． 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【4-2】（2023·四川资阳·中考真题）如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结． (1)若，求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长为3 【分析】（1）连接，则，所以，由切线的性质得，则，而，所以，即可推导出，进而证明是的切线； （2）由，得，由是的直径，得，由，，得，而，即可证明，得，则，于是得，求得，则的半径长为3． 解：（1）证明：连接，则， ∴， ∵的圆心O在上，且与边相切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的半径长为3． 【点拨】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、切线的判定与性质、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质等知识．综合运用以上知识是解题的关键． 【4-3】（2024·内蒙古·中考真题）如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的长； ②求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②． 【分析】（）连接，则，可得，由可得，进而由等腰三角形的性质可得，得到，即可求证； （）①证明得到，据此即可求解；②由①可得，进而得，，利用勾股定理得，再证明，得到，即可得，求出即可求解． 解：（1）证明：连接，则， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：①∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点拨】本题考查了圆周角定理，切线的性质和判定，余角性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【考点5】切线的性质与判定； 4．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证； （2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案． 解：（1）证明：连接、，作交于，如图 为等腰三角形，是底边的中点 ，平分 与半圆相切于点 由 是半圆的切线 （2）解：由（1）可知， ， ， 又， 在中，， ， 解得： 【4-4】（2024·四川德阳·中考真题）已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点． (1)证明：点为上一定点； (2)过点作的平行线交的延长线于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若为锐角三角形，求的取值范围． (2)①与相切，理由见解析；②的取值范围为． 【分析】（1）由的平分线交于点，，可得，结合是上两定点，可得结论； （2）①如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论； ②分情况讨论：如图，当时，可得；如图，连接，当，可得，从而可得答案． 解：（1）证明：∵的平分线交于点，， ∴， ∴， ∵是上两定点， ∴点为的中点，是一定点； （2）解：①如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； ②如图，当时， ∴为直径，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴； 如图，连接，当， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当为锐角三角形，的取值范围为． 【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【4-5】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，求的半径． (3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）方法一：连接，过点作于点，四边形是正方形，是正方形的对角线，得出，进而可得为的半径，又，即可得证； 方法二：连接，过点作于点，根据正方形的性质证明得出，同方法一即可得证； 方法三：过点作于点，连接．得出四边形为正方形，则，同方法一即可得证； （2）根据与相切于点，得出，由（1）可知，设，在中，勾股定理得出，在中，勾股定理求得，进而根据建立方程，解方程，即可求解． （3）方法一：连接，设，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，结合题意得出，即可得出； 方法二：连接，证明得出，进而可得，同理可得 方法三：连接，证明得出，设，则，进而可得，进而同方法一，即可求解． 解：（1）方法一：证明：连接，过点作于点， 与相切于点， ． 四边形是正方形，是正方形的对角线， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 与相切． 方法二： 证明：连接，过点作于点， 与相切于点，， ， 四边形是正方形， ， 又， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 与相切． 方法三： 证明：过点作于点，连接． 与相切，为半径， ， ， ， ， 又四边形为正方形， ， 四边形为矩形， 又为正方形的对角线， ， ， 矩形为正方形， ． 又为的半径， 为的半径， 又， 与相切． （2）解：为正方形的对角线， ， 与相切于点， ， 由（1）可知，设， 在中， ， ， ，， 又正方形的边长为． 在中， ， ， ， ． ∴的半径为． （3）方法一： 解：连接，设， ， ， ， ． 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 又， ． ． 方法二： 解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 方法三： 解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ． 又， ， ． 【点拨】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 【考点6】切线长定理求解； 【6-1】（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 【答案】(1)；；1 (2)见解析 【分析】（1）根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案； （2）证明，推出，，，求得，，根据，列式求得，根据切线的判定定理，即可得到是的切线． 解：（1）解：连接，设半径为， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，； 在四边形中，， 四边形为矩形， 又因为， 四边形为正方形． 则，则，， 在中，由勾股定理得， ∴，即， 解得， 故答案为：；；1； （2）证明：连接，，，作于点， 设半径为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴是的切线． 【点拨】本题考查切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，三角形的内切圆及勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【6-2】（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，是的切线，根据切线长定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【6-3】（2023·内蒙古通辽·中考真题）某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，则主视图的面积为 ．      【答案】 【分析】根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点A，B．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据主视图的面积为计算即可． 解：设圆心为O，过O作，，和相交于点，连接，如图，    ∵，分别与所在圆相切于点A，B． ∴， ∵， ∴，， ∴优弧对应的圆心角为，， ∵该圆半径是， ∴， ∴主视图的面积为 ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，求扇形面积，牢记扇形面积公式是解题的关键． 【考点7】切线长定理证明； 【7-1】（2023·山东·中考真题）如图，已知是的直径，，切于点，过点作交于点，若．   (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据，是半径，可得是的切线，根据是的切线，由切线长定理可得，进而根据，得出，，根据得出，根据垂径定理的推论得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，即可证明； （2）延长至使得，连接，，根据圆内接四边形对角互补得出，证明，结合已知条件证明，进而证明，得出，即可得出结论． 解：（1）证明：∵，是半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 延长至使得，连接，，如图所示   ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， 又是直径，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴，     ∴． 即． 【点拨】本题考查了切线的判定，切线长定理，垂径定理的推论，全等三角形的性质与判定，根据特殊角的三角函数值求角度，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【7-2】（2020·湖南永州·中考真题）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④． 解：如图， 是的两条切线， 故①正确， 故②正确， 是的两条切线， 取的中点，连接， 则 所以：以为圆心，为半径作圆，则共圆，故③正确， M是外接圆的圆心， 与题干提供的条件不符，故④错误， 综上：正确的说法是个， 故选C． 【点拨】本题考查的是切线长定理，三角形的外接圆，四边形的外接圆，掌握以上知识是解题的关键． 【考点8】三角形内切圆与外接圆； 【8-1】（2023·四川攀枝花·中考真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，，由面积关系可求解． 解：如图，设内切圆与相切于点，点，点，连接，，，，，， 切于， ，， ， 同理：， ， ， ， ， 故选A 【点拨】本题考查了三角形的内切圆与内心，掌握内切圆的性质是解题的关键． 【8-2】（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）    【答案】6 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径． 解：根据勾股定理得：斜边为， 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步， 故答案为：6． 【点拨】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握中，两直角边分别为、，斜边为，其内切圆半径是解题的关键． 【8-3】（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理； 连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可． 解：如图，连接，，作于G，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即它的内切圆半径为， 故选：D． 【考点9】三角形周长、面积和内切圆半径关系； 【9-1】（2019·四川乐山·中考真题）已知关于的一元二次方程. （1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值； （3）若△的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径. 【答案】（1）详见解析；（2）2；（3）1 【分析】（1）将二次项系数，一次项系数，常数项分别代入根的判别式△中，并进行整理，可得，恒大于等于0，故此一元二次方程无论为任何实数时，此方程总有两个实数根 （2）根据根与系数的关系可知，，将进行分式的加法，再将，代入即可求得k. （3）解一元二次方程可得，，由题意△的斜边为5，通过勾股定理可求得，k=4，根据直角三角形中的内切圆半径为r=（a+b-c）/2 (a,b为直角边，c为斜边)，代入即可求得半径. 解：（1）证明：∵， 无论为任何实数时，此方程总有两个实数根. （2）由题意得：，， 即，   解得：；            （3） 解：    解方程得：， 根据题意得：，即 设直角三角形的内切圆半径为，如图， 由切线长定理可得：， 直角三角形的内切圆半径=； 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，直角三角形内切圆的半径，解本题的关键是掌握根据直角三角形三边求其内切圆的半径公式. 【9-2】（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm． 【答案】 【分析】连接，作的平分线交于点 ，作于 ，如图求得 ，则 ， ，所以平分 和 ，加上平分 ，根据角平分线性质得到点到四边形的各边的距离相等，则得到是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为，接着证明为等腰直角三角形得到，设，则，，然后证明 ，利用相似比可计算出． 解：连接，作的平分线，交于点O，作 于， 在和 中， ， ∴， ∴ ， 平分 和 ， 平分 ， 点到四边形的各边的距离相等， ∴是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则，， ∵，， ∴， ， 即 ， ． 即的半径为， ∴圆形纸片的半径为． 故答案为： 【点拨】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切圆是所求的面积最大的圆是解题的关键． 【9-3】（2019·湖北荆门·中考真题）已知锐角的外接圆圆心为，半径为． （1）求证：； （2）若中，求的长及的值． 【答案】（1）见解析；（2）BC= ,sinC=； 【分析】（1）如图1，连接并延长交于，连接，于是得到，根据三角函数的定义即可得到结论； （2）由，同理可得：，于是得到，即可得到，如图2，过作于，解直角三角形即可得到结论． 解：（1）如图1，连接并延长交于，连接， 则， ， ； （2）， 同理可得：， ， ， 如图2，过作于， ， ， 【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 【考点10】圆的综合问题 【10-1】（2014·广西桂林·中考真题）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G． （1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：AG2=AF·AB； （3）若⊙O的直径为10，AC=2，AB=4，求△AFG的面积. 【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3. 【分析】（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，推导得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切． （2）连接BG，通过证明△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，即可证得结论. （3）连接BD，由AG2=AF•AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案． 解：（1）如图1，连接CD， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ACD=90°. ∴∠D+∠CAD=90°. ∵∠B=∠D，∠PAC=∠B， ∴∠PAC=∠D ∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA. ∵点A在圆上， ∴PA与⊙O相切； （2）如图2，连接BG， ∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD， ∴. ∴∠AGF=∠ABG. ∵∠GAF=∠BAG， ∴△AGF∽△ABG. ∴AG：AB=AF：AG. ∴AG2=AF•AB； （3）如图3，连接BD， ∵AD是直径， ∴∠ABD=90°. ∵AG2=AF•AB，AG=AC=2，AB=4， ∴AF=. ∵CG⊥AD， ∴∠AEF=∠ABD=90°. ∵∠EAF=∠BAD， ∴△AEF∽△ABD. ∴，即， ∴AE=2. ∴. ∵， ∴. ∴． 【点拨】本题考查了圆、直角三角形两锐角互余、相似三角形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、切线、垂径定理、相似三角形的性质，从而完成求解． 【10-2】（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，．   (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2) (3) 【分析】（1）连接，由圆周角定理得到，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得，由等腰三角形的性质得到，根据，得到，由切线的判定即可证得与相切； （2）由直角三角形斜边中线的性质求出，根据三角函数的定义即可求出；， （3）设的边高为，由可得，即可得出当取最大值时，取最大值，根据进而求解即可． 解：（1）证明：连接，如图所示，    ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：由（1）知，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵在中，，即：， ∴（负值以舍去）， ∴； （3）设的边高为，    由（2）可知， 又∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴当取最大值时，也取最大值， 又∵， ∴当取最大值时，取最大值， 此时边高为取最大值为半径， ∴， ∴ ∴， ∴， 综上所述：的最大值为． 【点拨】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定以及直角三角形的性质，解题的关键是：（1）熟练掌握切线的判定方法；（2）通过解直角三角形斜边中线的性质证得．（3）将的最大值转化为的面积最大值． 【10-3】（2023·四川德阳·中考真题）如图，的直径，是弦，，，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接．下列结论中正确的个数是（    ） ①； ②是的切线； ③B，E两点间的距离是； ④．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接、、，过点作交延长线于，于．①根据已知、垂径定理和圆内接四边形证，，即可得到；②根据已知、垂径定理、中垂线定理证，推出，不垂直，即可判断不是的切线；③证，结合、，计算出、、，最后根据勾股定理计算即可；④先计算出，推理出，设，用含的代数式表示和，代入求解即可． 解：如图，连接、、，过点作交延长线于，于   的直径，， ，， ，， 是弦，，， （垂直于弦的直径平分弦所对的弧）， ，即， ， ， ， （圆内接四边形的一个外角等于它的内对角）， ， 故结论①正确 ， ， 又（同弧所对圆周角是圆心角的一半）， ， ， ，于， ， ， ， ， ， 故结论③正确 ，， ， ， 平分（垂直于弦的直径平分弦）， 是的中垂线， ， ， ， ， ，即， 是弦， 是锐角， 是钝角， 是钝角，， 不垂直，不是的切线， 故结论②不正确 ，， ，， ， ，， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故结论④不正确 综上，①和③这2个结论正确， 故选：B． 【点拨】本题考查了圆的性质综合，结合判断切线、勾股定理、三角函数解直角三角形知识点，熟练掌握、综合运用知识点推理证明和计算是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 直线与圆的位置关系（中考真题分类专题）（题型梳理与考点分类讲解） 【考点目录】 【考点1】判断直线与圆位置关系....................................................................................................1 【考点2】圆心到直线距离、半径、直线与圆位置三者关系..........................................................1 【考点3】切线性质定理..................................................................................................................2 【考点4】切线的证明......................................................................................................................3 【考点5】切线的性质与判定...........................................................................................................4 【考点6】切线长定理求解...............................................................................................................5 【考点7】切线长定理证明...............................................................................................................6 【考点8】三角形内切圆与外接圆....................................................................................................7 【考点9】三角形周长、面积和内切圆半径关系.............................................................................7 【考点10】圆的综合问题.................................................................................................................8 【考点1】判断直线与圆位置关系； 【1-1】（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（      ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【1-2】（2020·广东广州·中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【考点2】圆心到直线距离、半径、直线与圆位置三者关系； 【2-1】（2023·江苏镇江·中考真题）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 ． 【2-2】（2021·湖南娄底·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【2-3】（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 【考点3】切线性质定理； 【3-1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【3-2】（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【3-3】（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 【3-4】（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    【考点4】切线的证明； 【4-1】（2024·西藏·中考真题）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【4-2】（2023·四川资阳·中考真题）如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结． (1)若，求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【4-3】（2024·内蒙古·中考真题）如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的长； ②求的半径． 【考点5】切线的性质与判定； 4．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 【4-4】（2024·四川德阳·中考真题）已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点． (1)证明：点为上一定点； (2)过点作的平行线交的延长线于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若为锐角三角形，求的取值范围． 【4-5】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，求的半径． (3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长． 【考点6】切线长定理求解； 【6-1】（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 【6-2】（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【6-3】（2023·内蒙古通辽·中考真题）某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，则主视图的面积为 ．      【考点7】切线长定理证明； 【7-1】（2023·山东·中考真题）如图，已知是的直径，，切于点，过点作交于点，若．   (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【7-2】（2020·湖南永州·中考真题）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点8】三角形内切圆与外接圆； 【8-1】（2023·四川攀枝花·中考真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【8-2】（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）    【8-3】（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【考点9】三角形周长、面积和内切圆半径关系； 【9-1】（2019·四川乐山·中考真题）已知关于的一元二次方程. （1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值； （3）若△的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径. 【9-2】（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm． 【9-3】（2019·湖北荆门·中考真题）已知锐角的外接圆圆心为，半径为． （1）求证：； （2）若中，求的长及的值． 【考点10】圆的综合问题 【10-1】（2014·广西桂林·中考真题）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G． （1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：AG2=AF·AB； （3）若⊙O的直径为10，AC=2，AB=4，求△AFG的面积. 【10-2】（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，．   (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值． 【10-3】（2023·四川德阳·中考真题）如图，的直径，是弦，，，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接．下列结论中正确的个数是（    ） ①； ②是的切线； ③B，E两点间的距离是； ④．    A．1 B．2 C．3 D．4 1 学科网（北京）股份有限公司 $$