16.2 二次根式的乘除十大题型解题技巧--2024-2025学年八年级数学下册题型技巧培优系列（人教版）

2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《二次根式》 16.2 二次根式的乘除十大题型解题技巧（解析版） 知识要点归纳 知识点一 二次根式的乘法法则 1.二次根式乘法法则： 即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 （1） 法则中的被开方数a、b既可以是数，也可以是式子，但必须是非负的。 （2） 如果没有特别说明，本章所有字母表示正数。 （3） 二次根式的结果是一个二次根式或一个有理式。 （4） 法则对几个二次根式相乘同样适用。 （5） 乘法运算律在二次根式中同样适用。 2.积的算术平方根的性质： 即：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积； 运用积的算术平方根的性质，可以将二次根式化简。 知识点二、二次根式的除法法则 1. 如果，那么； 2. 语言描述：两个二次根式相除，将它们的被开方数（式）相除，二次根号不变。 （1）法则中的被开方数可以是数也可以是式子，但必须a是非负数，b必须是正数。 （2）进行二次根式相除时，若两个被开方数能够整除，直接应用除法法则进行计算，若两个二次根式不能整除，可以对二次根式进行化简后再相除。 3.商的算术平方根 即：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 利用它可以将二次根式化简 知识点三、最简二次根式 1. 最简二次根式 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽的因数和因式。 2. 把二次根式化成最简二次根式的一般方法 （1） 将被开方数中能开方开得尽的因数或因式进行开方。 （2） 被开方数是分数或小数：应先将小数化为分数。 （3） 被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形式。 （4） 被开方数是多项式的要进行因式分解。 3. 分母有理化 （1） 分母有理化：当分母中含有根式时，可根据分式的基本性质化去分母中的根号，这种化去分母中根号的方法叫做分母有理化。 （2） 去掉分母中根号的方法 ①当分母是或b的形式时，分子分母同乘以 ②当分母是a+时，分子分母同乘以a- ③当分母是 的形式时，分子与分母同乘以. 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 二次根式乘除法则成立的条件】 【例1-1】=成立的条件是　　(　　) A．x≥0 B．x<1 C．0≤x<1 D．x≥0且x≠1 【答案】C 【解析】试题解析：由 得 ,所以 故选C. 【例1-2】若等式成立，则字母应满足条件（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的意义可以得知，构成不等式组就可以求出其的取值范围． 【详解】解：， ， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件及不等式组的解法，根据二次根式有意义的条件列出不等式组是解答关键． 【变式1-1】式子成立的x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， 解得：， 故选A． 【变式1-2】当时，下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质以及二次根式和分式的有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：A．当时，，故，选项错误； B．当时，，故，选项错误； C．当时，，，故，符合题意； D．当时，，分母为0，根式无意义，选项错误，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 【题型2 二次根式乘除法】 【例2-1】．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）解：原式= = =. （2）解：原式 =. 【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法 【解析】【分析】（1）根据二次根式乘法计算法则和二次根式的性质“、”计算即可求解； （2）根据多项式乘以多项式和二次根式乘法计算法则计算即可求解． 【例2-2】．计算： （1）． （2）． 【答案】（1）解：原式=9×5=45. （2）解：原式= =. 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法 【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质“”和积的乘方法则计算即可求解； （2）根据二次根式的性质“”计算即可求解. 【变式2-1】．计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）解：原式= = =3. （2）解：原式= = =8×102=800. （3）解：原式= ==. （4）解：原式= = =30. 【知识点】二次根式的乘除法 【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质“、”计算即可求解； （2）根据二次根式的性质“、”计算即可求解； （3）根据二次根式的性质“、”计算即可求解； （4）根据二次根式的性质“、”计算即可求解. ​​​​​​​ 【变式2-2】．计算： （1）2 （2） 【答案】（1）解： （2）解： 【知识点】二次根式的乘除法 【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除混合运算得运算顺序，计算求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算得运算顺序，先算括号，再算乘除，计算求解即可. 【变式2-3】．计算：． 【答案】解：原式 ． 【知识点】二次根式的乘除法 【解析】【分析】根据二次根式的乘法，除法法则进行计算，并把所得结果进行化简。 6．计算： 【答案】解： 【知识点】二次根式的乘除法 【解析】【分析】先根据二次根式的除法法则把除法转化为乘法，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可。 【变式2-4】．计算：　 　． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除法 【解析】【解答】解：∵，， ∴b>0，a≠0. ∴ 故答案为：. 【分析】根据二次根式的运算法则运算即可.在运算前先判断a和b的正负. 【题型3 最简二次根式】 【例3-1】．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误； B、被开方数含分母，故B错误； C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误； D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确； 故选：D． 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【例3-2】．在下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解：A、∵，∴此选项二次根式中含有开得尽方的因数，故选项中二次根式不是最简二次根式，此选项不符合题意； B、∵的被开方数含有分母，故选项中二次根式不是最简二次根式，此选项不符合题意； C、∵，∴此选项二次根式中含有开得尽方的因数，故选项中二次根式不是最简二次根式，此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故D选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】满足①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断得出答案. 【变式3-1】．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解：A、，选项不是最简二次根式， B、C、D选项均为最简二次根式， 故答案为：A． 【分析】根据最简二次根式的含义求出答案即可。 【变式3-2】．下列各式是最简二次根式的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】A选项中，13是质数，故为最简二次根式；B选项中，12中含有因数4，故不是最简二次根式；C选项中，中a2为完全平方式，故不是最简二次根式；D选项中，中含有分数，不是最简二次根式； 答案：A. 【分析】直接由二次根式的定义观察各选项即可判断. 【变式3-3】．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解：A.=，不符合题意； B.，不符合题意； C.，不符合题意； D.是最简根式，符合题意； 故答案为：D. 【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数中不含分母，②被开方数中不能含有开方开的尽的因数或因式；据此判断即可. 【题型4 把二次根式化为最简二次根式】 【例4-1】．化简：﹣a 化成最简二次根式． 【答案】解：﹣a 化成最简二次根式为 ， 【知识点】最简二次根式 【解析】【分析】根据二次根式的性质，可得答案． 14．将化为最简二次根式的结果为　 　； 【答案】 【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式 【解析】【解答】解：∵ 故答案为：． 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据二次根式的性质进行化简即可. 【例4-2】． 把化成最简二次根式得　 　． 【答案】​​​​​​​ 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解：， 故答案为：. 【分析】先分解质因数，再开方. 【变式4-1】．化简的结果为　 　 【答案】 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】 【分析】分母有理化求解即可。 【变式4-2】．将化为最简二次根式是　 　． 【答案】 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解：. 故答案为：． 【分析】分母有理化，被开方数中的分子分母同时乘以3，求解即可． 【变式4-3】．若，则二次根式 化为最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、利用二次根式性质化简等知识，先由二次根式有意义的条件判断，再由二次根式性质化简即可得到答案，熟练掌握二次根式有意义的条件、二次根式性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次根式中，， ， ， 故答案为：． 【题型5 由最简二次根式概念求值】 【例5-1】．化简后与最简二次根式有相同的被开方数，求x的值 【答案】解：，化简后与最简二次根式有相同的被开方数，=． 3x+1=7．x=2. 【知识点】最简二次根式 【解析】【分析】先化简，因为是最简二次根式，所以有3x+1=7.解一元一次方程即可得x的值. 【例5-2】．已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的的取值范围； （2）已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 【答案】（1）解：∵二次根式有意义， ∴， 解得： （2）解：， ∵与可以合并， ∴， 解得：； 由得：， ， ． 【知识点】二次根式有意义的条件；最简二次根式；二次根式的乘除法 【解析】【分析】（1）满足二次根式有意义的，即被开方数≥0. （2）①根据最简二次根式的定义，得出x+1=10，求出x=9. ②根据①所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可. 【变式5-1】． 若与最简二次根式可以合并，则　 　． 【答案】2 【知识点】最简二次根式；同类二次根式 【解析】【解答】由题可知m+1=3，解得m=2； 正确答案：2. 【分析】因为两二次根式可以合并，故是同类二次根式；且，可得m的方程，求解即可。 【变式5-2】．写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是　 　． 【答案】1（答案不唯一） 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】当n=1时，， 是最简二次根式， 故答案为：1 （答案不唯一） . 【分析】利用最简二次根式的定义及性质分析求解即可. 【变式5-3】．． 若 是正整数， 是最简二次根式，则 的最小值为　 　． 【答案】3 【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式 【解析】【解答】解：∵ 是正整数， 是最简二次根式， ∴当m=1时，不是最简二次根式， 当m=2时，不是最简二次根式， 当m=3时，是最简二次根式， ∴m的最小值为3， 故答案为：3 【分析】根据m是正整数结合最简二次根式的定义列举m的值，进而即可求解。 【题型6 由积的算术平方根性质化简】 【例6-1】．能使成立的所有整数a的和是　 　． 【答案】6 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法 【解析】【解答】∵成立， ∴a≥0，3－a≥0. 解得0≤a≤3. 所以满足条件的整数a有：0，1，2，3，和为1+2+3=6. 故答案为：6. 【分析】根据“”，可得a的取值范围，从而可得整数a的取值，问题即可解决. 【例6-2】．化简： ＝　 　． 【答案】9.9 【知识点】二次根式的乘除法 【解析】【解答】解： ＝11×0.9＝9.9， 故答案为：9.9． 【分析】根据 （a≥0，b≥0）进行计算即可． 【变式6-1】．化简： 的结果为　 　 【答案】240 【知识点】二次根式的乘除法 【解析】【解答】原式=6 ×20 =240 【分析】正确运用二次根式乘法法则进行计算是解题的基本方法 【变式6-2】已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　） A．23 B．21 C．15 D．5 【答案】D 【分析】由，且与是同类二次根式知23﹣a＝2n2，分别取n＝1、2、3即可得答案． 【详解】解：∵，且与是同类二次根式， ∴23﹣a＝2时，a＝21； 23﹣a＝8时，a＝15； 23﹣a＝18时，a＝5； 23﹣a＝32时，a＝﹣9（不符合题意，舍）； ∴符合条件的正整数a的值为5、15、21． ∴a的最小值为5． 故选D． 【点睛】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念． 【变式6-3】若是最简二次根式，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：当时，是最简二次根式， 故答案为：3（答案不唯一）． 【题型7 将根号外的因式移在根号内】 【例7-1】．把( －2) 根号外的因式移到根号内后，其结果是　 　. 【答案】－ 【知识点】二次根式的乘除法 【解析】【解答】解：根据题意可知，2-a＞0 ∴a＜2 ∴原式=-。 故答案为：-。 【分析】根据二次函数有意义的条件，即可得到a的取值范围，根据二次根式的性质将根号外的因式移动即可。 【例7-2】． 阅读材料： 将等式 反过来，可得到 ． 根据这个思路，我们可以把根号外的因式 “移人”根号内， 用于根式的化简．例如： ．请你仿照上面的方法， 化简下列各式： （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】（1）解：3== （2）解：​​​​​​​ （3）解：​​​​​​​ 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法 【解析】【分析】将根号外的因式 “移人”根号内，关键在于利用二次根式的性质，将根号外的因式转化成二次根式，然后结合二次根式的乘法法则“合并”成一个根式，视情况可进一步化简. 【变式7-1】把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式．解题的关键是掌握二次根式的性质并能够正确利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 【变式7-2】把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法法则解答即可. 【详解】解：原式=×=， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，掌握解答的方法是关键. 【变式7-3】把下列根号外的因式移到根号内. (1)a; (2)·(x>y>0); (3)ab(0<a<b). 【答案】（1）;（2）;（3）. 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可知a>0，利用二次根式的乘法法则化简； （2）(3)利用二次根式的乘法法则求解即可． 【详解】(1)  ∵>0,∴a>0,a=,∴a·; (2)  ∵x>y>0,∴x-y>0,xy>0,即>0. ∴, ∴··; (3)  ∵0<a<b,∴ab>0, b-a＞0,∴ab=, ∴ab·. 【点睛】本题考查了二次根式的化简，正确确定a、b和x的范围是关键． 【题型8 由商的算术平方根性质化简】 【例8-1】．若，则x的取值范围是　 　． 【答案】-3≤x<5 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法 【解析】【解答】解：∵， ∴ 解之：-3≤x<5. 故答案为：-3≤x<5 【分析】利用（a≥0，b＞0），可得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集. 【例8-2】．化简 的结果是 　 　. 【答案】 【知识点】二次根式的乘除法 【解析】【解答】 ＝ ＝ . 故答案为： 【分析】根据二次根式的除法法则进行化简即可. 【变式8-1】．已知等式成立，化简|x－6|＋的值． 【答案】解：等式成立， |x－6|＋ 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法 【解析】【分析】利用二次根式的除法法则，可得到关于x的不等式组，求出不等式组的解集，可得到x的取值范围，可得到x-6＜0，x-2＞0，再化简绝对值，然后合并同类项. 【变式8-2】化简： （1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式8-3】已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得： ， 故选D． 【题型9 二次根式乘除法实际应用】 【例9-1】．已知长方形的面积为，相邻两边分别为，已知，则的长为　 　． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除法；矩形的性质 【解析】【解答】解：∵长方形的面积为，相邻两边分别为， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：. 【分析】利用长方形的面积公式求出，再利用二次根式的除法法则计算求解即可。 【例9-2】．若一个长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，则它的体积为 　 　 cm3． 【答案】12 【知识点】二次根式的乘除法 【解析】【解答】解：依题意得，正方体的体积为： 2 × × =12cm3． 故答案为：12． 【分析】首先根据正方体的体积列出计算式，然后利用二次根式的乘除法法则计算即可求解． 【变式9-1】．如图，从一个大正方形裁去面积为15cm²和24cm²的两个小正方形，则留下的部分的面积为　 　cm². 【答案】 【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的应用 【解析】【解答】由题意得，两个小正方形的边长分别为 ， 由长方形的面积公式得：留下部分的面积为 故答案为： . 【分析】先求出两个小正方形的边长，再根据长方形的面积公式即可得. 【变式9-2】．如图所示是工人师傅做的一块三角形铁板材料，BC边的长为2 cm，BC边上的高AD为 cm，求该三角形铁板的面积． 【答案】解：解：根据题意可知，S△ABC=BCAD =2 = =14 故三角形铁板的面积为14 cm2 【知识点】二次根式的乘除法 【解析】【分析】根据三角形的面积公式列式，运用二次根式乘法的相关知识进行作答即可。 【变式9-3】安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，） (1)求从高空抛物到落地的时间； (2)已知高空拋物动能（单位：）（单位：）物体质量（单位）高度（单位：），某质量为的玩具在高空被抛出后经过后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要的动能） 【答案】(1)3秒 (2)正确，计算见详解 【分析】（1）将代入计算即可； （2）将代入计算求出，再将及物体质量的值代入高空抛物动能计算即可． 此题考查了二次根式的应用，二次根式的化简，二次根式的混合计算，正确理解题意代入求值是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，当时， ， （2）解：正确，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下： 当时，， 解得， 高空抛物动能， 这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【题型10 二次根式中的规律探究】 【例10-1】．观察下列各式及其验证过程： ；. 验证：； . （1）按照上面结论猜想的结果，并写出验证过程； （2）根据上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数，且）表示的等式，并给出验证过程. 答案：（1）. 验证：. （2）. 验证：. 【例10-2】．将一组数，2，，2，，…，2按图中的方法排列： ，2，，2，，2 ，4，，2，，2 ，2，，4，，6 若3的位置记为（2，3），2的位置记为（3，2），则这组数中最大有理数的位置记为 　 　． 【答案】（17，6） 【知识点】二次根式的乘除法；探索数与式的规律 【解析】【解答】解：由题意可知，最大数为，最大数是第102个数，每行数有6个，且102÷6=17，恰好除尽，则最大数的位置（17，6） 【分析】观察分析这组数发现规律为：(n为正整数)，由此可将最大数变化为此形式，即，得到最大数是第102个数，又每一行有六个数字组成，则可求出最大数的位置。 【变式10-1】． 观察以下式子的化简过程： ①， ②， ③， ④， …… 根据以上式子的化简过程，得出规律．完成下列问题： （1）如果n为正整数，那么的值为　 　； （2）根据以上规律计算：的值． 【答案】（1） （2）解：原式 ． 【知识点】分母有理化 【解析】【解答】解：由题意可得： 【分析】（1）根据题意直接进行分母有理化即可求解； （2）先进性分母有理化，再依次合并即可求解. 【变式10-2】．阅读材料，请你补充完整： （1）具体运算，发现规律．，，，，则　 　． （2）观察、归纳，猜想若n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　 　． （3）应用运算规律，求的值． 【答案】（1） （2） （3）解： 【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；用代数式表示数值变化规律 【解析】【解答】解：（1）观察可得： ， 故答案为：. （2）∵， ， ， ， ... ∴， 故答案为：. 【分析】（1）根据前面4个数可以发现第5个数即与的和的倒数等于的差. （2）根据前面5个数可以发现第n个数与的和的倒数等于的差. （3）利用规律对各数进行分母有理化，并进行加减运算. 【变式10-3】观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________________． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并给出证明过程． 【解析】（1）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． （2）由（1）可得：第n个等式为：（n为正整数） 证明如下： 左边 右边． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《二次根式》 16.2 二次根式的乘除十大题型解题技巧 知识要点归纳 知识点一 二次根式的乘法法则 1.二次根式乘法法则： 即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 （1） 法则中的被开方数a、b既可以是数，也可以是式子，但必须是非负的。 （2） 如果没有特别说明，本章所有字母表示正数。 （3） 二次根式的结果是一个二次根式或一个有理式。 （4） 法则对几个二次根式相乘同样适用。 （5） 乘法运算律在二次根式中同样适用。 2.积的算术平方根的性质： 即：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积； 运用积的算术平方根的性质，可以将二次根式化简。 知识点二、二次根式的除法法则 1. 如果，那么； 2. 语言描述：两个二次根式相除，将它们的被开方数（式）相除，二次根号不变。 （1）法则中的被开方数可以是数也可以是式子，但必须a是非负数，b必须是正数。 （2）进行二次根式相除时，若两个被开方数能够整除，直接应用除法法则进行计算，若两个二次根式不能整除，可以对二次根式进行化简后再相除。 3.商的算术平方根 即：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 利用它可以将二次根式化简 知识点三、最简二次根式 1. 最简二次根式 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽的因数和因式。 2. 把二次根式化成最简二次根式的一般方法 （1） 将被开方数中能开方开得尽的因数或因式进行开方。 （2） 被开方数是分数或小数：应先将小数化为分数。 （3） 被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形式。 （4） 被开方数是多项式的要进行因式分解。 3. 分母有理化 （1） 分母有理化：当分母中含有根式时，可根据分式的基本性质化去分母中的根号，这种化去分母中根号的方法叫做分母有理化。 （2） 去掉分母中根号的方法 ①当分母是或b的形式时，分子分母同乘以 ②当分母是a+时，分子分母同乘以a- ③当分母是 的形式时，分子与分母同乘以. 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 二次根式乘除法则成立的条件】 【例1-1】=成立的条件是　　(　　) A．x≥0 B．x<1 C．0≤x<1 D．x≥0且x≠1 【例1-2】若等式成立，则字母应满足条件（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】式子成立的x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】当时，下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 二次根式乘除法】 【例2-1】．计算： （1）； （2）． 【例2-2】．计算： （1）． （2）． 【变式2-1】．计算： （1）． （2）． （3）． （4）． ​​​​​​​ 【变式2-2】．计算： （1）2 （2） 【变式2-3】．计算：． 【变式2-4】．计算：　 　． 【题型3 最简二次根式】 【例3-1】．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【例3-2】．在下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】．下列各式是最简二次根式的是(　　) A． B． C． D． 【变式3-3】．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【题型4 把二次根式化为最简二次根式】 【例4-1】．化简：﹣a 化成最简二次根式． 【例4-2】． 把化成最简二次根式得　 　． 【变式4-1】．化简的结果为　 　 【变式4-2】．将化为最简二次根式是　 　． 【变式4-3】．若，则二次根式 化为最简二次根式为 ． 【题型5 由最简二次根式概念求值】 【例5-1】．化简后与最简二次根式有相同的被开方数，求x的值 【例5-2】．已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的的取值范围； （2）已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 【变式5-1】． 若与最简二次根式可以合并，则　 　． 【变式5-2】．写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是　 　． 【变式5-3】．． 若 是正整数， 是最简二次根式，则 的最小值为　 　． 【题型6 由积的算术平方根性质化简】 【例6-1】．能使成立的所有整数a的和是　 　． 【例6-2】．化简： ＝　 　． 【变式6-1】．化简： 的结果为　 　 【变式6-2】已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　） A．23 B．21 C．15 D．5 【变式6-3】若是最简二次根式，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【题型7 将根号外的因式移在根号内】 【例7-1】．把( －2) 根号外的因式移到根号内后，其结果是　 　. 【例7-2】． 阅读材料： 将等式 反过来，可得到 ． 根据这个思路，我们可以把根号外的因式 “移人”根号内， 用于根式的化简．例如： ．请你仿照上面的方法， 化简下列各式： （1） ． （2） ． （3） ． 【变式7-1】把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】把下列根号外的因式移到根号内. (1)a; (2)·(x>y>0); (3)ab(0<a<b). 【题型8 由商的算术平方根性质化简】 【例8-1】．若，则x的取值范围是　 　． 【例8-2】．化简 的结果是 　 　. 【变式8-1】．已知等式成立，化简|x－6|＋的值． 【变式8-2】化简： （1）；（2）；（3）；（4）． 【变式8-3】已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【题型9 二次根式乘除法实际应用】 【例9-1】．已知长方形的面积为，相邻两边分别为，已知，则的长为　 　． 【例9-2】．若一个长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，则它的体积为 　 　 cm3． 【变式9-1】．如图，从一个大正方形裁去面积为15cm²和24cm²的两个小正方形，则留下的部分的面积为　 　cm². 【变式9-2】．如图所示是工人师傅做的一块三角形铁板材料，BC边的长为2 cm，BC边上的高AD为 cm，求该三角形铁板的面积． 【变式9-3】安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，） (1)求从高空抛物到落地的时间； (2)已知高空拋物动能（单位：）（单位：）物体质量（单位）高度（单位：），某质量为的玩具在高空被抛出后经过后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要的动能） 【题型10 二次根式中的规律探究】 【例10-1】．观察下列各式及其验证过程： ；. 验证：； . （1）按照上面结论猜想的结果，并写出验证过程； （2）根据上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数，且）表示的等式，并给出验证过程. 【例10-2】．将一组数，2，，2，，…，2按图中的方法排列： ，2，，2，，2 ，4，，2，，2 ，2，，4，，6 若3的位置记为（2，3），2的位置记为（3，2），则这组数中最大有理数的位置记为 　 　． 【变式10-1】． 观察以下式子的化简过程： ①， ②， ③， ④， …… 根据以上式子的化简过程，得出规律．完成下列问题： （1）如果n为正整数，那么的值为　 　； （2）根据以上规律计算：的值． 【变式10-2】．阅读材料，请你补充完整： （1）具体运算，发现规律．，，，，则　 　． （2）观察、归纳，猜想若n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　 　． （3）应用运算规律，求的值． 【变式10-3】观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________________． (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并给出证明过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$