第03讲 二次根式的加减 （3个知识点+10大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（人教版）

第03讲 二次根式的加减（3个知识点+10大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 分母有理化及其应用 题型五 已知字母的值，化简求值 题型六 已知条件式，化简求值 题型七 比较二次根式的大小 题型八 二次根式的实际应用 题型九 二次根式的新定义问题 题型十 二次根式的阅读理解类问题 知识点01 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点02 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点03 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【核心考点一 同类二次根式】 【例1】（24-25八年级下·全国·期末）与可以合并的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·四川甘孜·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【例4】（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）如最简二次根式与能进行合并，且，化简： ． 【例5】（23-24八年级下·山东东营·开学考试）把二次根式与分别化成最简二次根式后，被开方数相同． (1)如果a是正整数，那么符合条件的a的值有哪些？ (2)如果a是整数，那么符合条件的a的值有多少个？最大值为多少？有没有最小值？ 【核心考点二 二次根式的加减运算】 【例1】（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）计算：（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）化简： ． 【例4】（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）已知实数m，n满足，则 ． 【例5】（24-25八年级下·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【核心考点三 二次根式的混合运算】 【例1】（24-25八年级下·四川达州·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列运算，错误的是（） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·四川宜宾·开学考试）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 【例4】（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值为 ． 5 10 【例5】（24-25八年级下·重庆南岸·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【核心考点四 分母有理化及其应用】 【例1】（24-25八年级下·重庆万州·阶段练习）估计代数式的运算结果应在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【例2】（24-25八年级下·上海徐汇·期中）下列各式中，与互为有理化因式的是（ ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·江西宜春·阶段练习）若，则、两数的关系是 ． 【例4】（24-25八年级下·上海·期中）不等式的解集为 ． 【例5】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）阅读下列运算过程： ①，②． 数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．模仿上述运算过程，完成下列各题： (1)； (2)； (3) 【核心考点五 已知字母的值，化简求值】 【例1】（2024·河北秦皇岛·一模）已知，，则代数式的值为（ ） A． B． C．3 D． 【例2】（23-24八年级下·山东德州·期末）已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·上海·期中）已知，则 ． 【例4】（2024·湖南·模拟预测）斐波那契数列中的第n个数可以用表示．通过计算求出斐波那契数列中的第2个数为 ． 【例5】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【核心考点六 已知条件式，化简求值】 【例1】（23-24八年级下·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 【例2】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2024八年级下·全国·专题练习）边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则的值为 ． 【例4】（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）已知，那么 ． 【例5】（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 【核心考点七 比较二次根式的大小】 【例1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【例2】（2024·河北石家庄·模拟预测）若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）比较大小： （填“”、“”、“”）． 【例4】（24-25八年级下·辽宁沈阳·单元测试）设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是 ． 【例5】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知，． (1)比较a，b的大小，并写出比较过程； (2)求代数式的值． 【核心考点八 二次根式的实际应用】 【例1】（24-25八年级下·广东佛山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为和的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2024八年级下·北京·专题练习）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 【例4】（2024·湖南·模拟预测）我国南宋时期数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即若已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，如图，的边长分别为，，则此三角形面积为 ． 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）已知刹车距离的计算公式为表示车速（单位：），表示刹车距离（单位：m），表示摩擦系数．在一次交通事故中测得，而发生交通事故的路段限速为．请你计算肇事汽车的车速并判断肇事汽车是否违规行驶． 【核心考点九 二次根式的新定义问题】 【例1】（23-24八年级下·广西南宁·期末）定义一种新运算“△”，，则的值为(   ) A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算，则的运算结果为（　　） A． B． C． D．1 【例3】（23-24八年级下·山东潍坊·期末）定义一种新运算：对于任意实数a，b，都有， ． 【例4】（24-25八年级下·河南南阳·期中）对于任意两个和为正数的实数m、n，定义运算※如下：例如．那么 【例5】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）对于实数a，b定义一种新运算“”，规定，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【核心考点十 二次根式的阅读理解类问题】 【例1】（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）阅读下列材料：若一个任意三角形的三边长分别为a，b，c，记则这个三角形的面积 ．古希腊的数学家海伦给出了这个公式的证明，这一公式称为海伦公式．若在海伦公式中，，，， 则（   ） A．10 B． C．6 D． 【例2】（23-24八年级下·湖北荆州·期中）阅读例题：，用上述类似的方法解答问题：若a是的小数部分，则的值为（  ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·山东滨州·期末）阅读材料：如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当a=b时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．根据上述材料，若，则y最小值为 ． 【例4】（2024八年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 参照上面的方法化简： ． 【例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)比较大小：_______．（用“＞”“＜”或“=”填空） (2)已知，，求的值； (3)解方程：．（利用“对偶式”相关知识，提示：令）． 【变式训练1 同类二次根式】 1．（23-24八年级下·河南漯河·期末）下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）若最简二次根式与是同类根式，则 ． 3． （23-24八年级下·山东淄博·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求x，y的值． (2)求的平方根． 【变式训练2 二次根式的加减运算】 1．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，若数轴上点对应的实数分别为和，用圆规在数轴上画点，则点对应的实数是 ． 3． （24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练3 二次根式的混合运算】 1．（24-25八年级下·全国·期末）设的整数部分是a，小数部分是b，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 2．（24-25八年级下·福建宁德·期中）下列说法正确的是 ①若，则； ②若，则； ③两个非零整数相加、相减、相乘、相除运算结果可能是无理数； ④若两个实数相加的结果是无理数，则这两个实数中至少有1个是无理数． 3． （24-25八年级下·山西·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练4 分母有理化及其应用】 1．（24-25八年级下·全国·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东汕头·期中）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是 ． 3． （24-25八年级下·福建宁德·期中）我们已经知道，因此像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以下各小题 (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 【变式训练5 已知字母的值，化简求值】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若，，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 2．（24-25八年级下·上海宝山·期中）已知，，那么的值是 ． 3． （24-25八年级下·上海徐汇·期中）先化简，再求值，已知，求代数式的值； ． 【变式训练6 已知条件式，化简求值】 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24八年级下·北京西城·期中）若，，则的值为 ． 3． （24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：_________； (2)已知：，则_______； (3)计算：________ 【变式训练7 比较二次根式的大小】 1．（23-24八年级下·广东河源·单元测试）2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 2．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）比较大小： ； （填“”或“”或“”） 3． （23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： (1)化简； (2)比较与的大小，并说明理由． 【变式训练8 二次根式的实际应用】 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建三明·期中）李老师在正方形中放入面积分别为27和18的正方形和正方形，重叠部分的面积为3，则剩余部分（阴影部分）的面积为 ． 3．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相同的长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长； (2)除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？ 【变式训练9 二次根式的新定义问题】 1．（23-24八年级下·河南许昌·阶段练习）对于任意的正数x、y定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京石景山·期末）对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算 如下： ，如，那么 8 12 的运算结果为 ． 3． （23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）用定义一种新运算：对于任意实数和，规定：，如：． (1)求． (2)若，求实数的取值范围，并将的取值范围表示在数轴上． 【变式训练10 二次根式的阅读理解类问题】 1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）请阅读材料，并解决实际问题： 海伦—秦九韶公式 海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积，这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202-1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式．它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式．问题：在中，，，，用海伦—秦九韶公式求的面积为（    ） A． B．12 C． D．24 2．（23-24八年级下·四川广元·期末）阅读材料：希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，，则边上的高为 ．    3．（23-24八年级下·四川达州·期末）阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 1．（2024八年级下·四川成都·专题练习）下列二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）已知关于的代数式，判断下列说法正确的有（    ） ①存在实数，使得； ②若，则； ③已知代数式、、满足，，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，它的面积是，，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．361 B．360 C．316 D．315 5．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论： ①； ②若，，则； ③，且，则 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知的整数部分是a，小数部分是b，求的值 ． 7．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为 ． 8．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）数学课上，嘉嘉做了几道计算题：①，②，③，④，⑤；请你当小老师检查一下，嘉嘉做对的题号是 ．（填序号） 9．（2024八年级下·四川成都·专题练习）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点、，称的值为、两点的“直角距离”．若，则，的“直角距离”为 ；若，为直线上任意一点，则，的“直角距离”的最小值为 ． 10．（24-25八年级下·福建泉州·期中）阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务：斐波那契（约1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列），后来人们研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中），这是用无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是 ． 11．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）（1）计算：            （2）解方程组： 12．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）（1）解方程：； （2）计算：； （3）计算：． （4）先化简再求值：，其中x为 13．（23-24八年级下·河南漯河·期末）化简求值 (1)先化简，再从0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值； (2)先化简，再求值，已知，求的值． 14．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ①； ②； ③； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简： ④； (1)请用不同的方法化简：： a：参照③式得 ； b：参照④式得 ； (2)化简； (3)化简：（n为正整数）． 15．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】 （1）既可以从算术平方根的角度理解，也能将其看成是面积为 的正方形的边长； （2）图1、图2是由同一个五边形通过不同的分割法所形成，图1、图2都含有3块全等的直角三角形，已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c． ①图1的面积为 ，②图2的面积为 ． ③由此我们可以得到等式： ； 【类比学习】 探究的近似值（精确到0.001） 凯凯：我们已经知道是介于1.4与1.5之间的一个无理数，设．图3是边长为的正方形，观察图3后写下如下过程：，即，由于x较小，可忽略不计，得：，故 仿照凯凯的方法，探究的近似值（精确到0.001），设计出图形并直接写出结果． （数据参考：） ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次根式的加减（3个知识点+10大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 分母有理化及其应用 题型五 已知字母的值，化简求值 题型六 已知条件式，化简求值 题型七 比较二次根式的大小 题型八 二次根式的实际应用 题型九 二次根式的新定义问题 题型十 二次根式的阅读理解类问题 知识点01 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点02 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点03 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【核心考点一 同类二次根式】 【例1】（24-25八年级下·全国·期末）与可以合并的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式，先对各个选项中的二次根式化简为最简二次根式（被开方数中不含分母且被开方数中不含有开得尽方的因数或因式），再在其中找的同类二次根式（化成最简二次根式后的被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式）． 【详解】解：A、为最简二次根式，且与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B、为最简二次根式，且与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； C、，与是同类二次根式，可以合并，故本选项符合题意； D、为，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，同类二次根式的定义等知识点，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵，，是最简二次根式，， 四个数中，只有与是同类二次根式， 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·四川甘孜·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，化简二次根式，根据同类二次根式的定义可得出，求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）如最简二次根式与能进行合并，且，化简： ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，二次根式的性质化简，整式的加减运算，掌握同类二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键． 同类二次根式指的是根指数相同，被开方数相同，由此可得，解出的值，可确定，再根据绝对值的性质，二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算即可求解． 【详解】解：由题意可知：， 解得，， ， ， ， ． 【例5】（23-24八年级下·山东东营·开学考试）把二次根式与分别化成最简二次根式后，被开方数相同． (1)如果a是正整数，那么符合条件的a的值有哪些？ (2)如果a是整数，那么符合条件的a的值有多少个？最大值为多少？有没有最小值？ 【答案】(1)符合条件的正整数的值为5，15，21 (2)如果是整数，那么符合条件的有无数个．其中的最大值为21，没有最小值． 【分析】本题考查的是最简二次根式的意义及同类二次根式的意义，根据本题的特点，当a为正整数时，a的取值是有限的，当a为整数时，a的取值是无限的，掌握知识点是解题关键． （1）由于a是正整数，所以可得此时的情况有，，三种； （2）当a是整数时，除了（1）中的三种情况，还可以列出无数种，所以此时a值有无数个，没有最小值，最大值是21． 【详解】（1），且与的被开方数相同， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，（不合题意，舍去）． 符合条件的正整数的值为5，15，21． （2）由（1），得当时，； 当时，； …… 如果是整数，那么符合条件的有无数个． 其中的最大值为21，没有最小值． 【核心考点二 二次根式的加减运算】 【例1】（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算，分别根据二次根式的加、减、乘、除法运算法则计算出各选项的结果，再进行判断即可． 【详解】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故选项A不符合题意； B. ，原选项计算错误，故选项B不符合题意； C. ，计算正确，故选项C符合题意； D. ，原选项计算错误，故选项D不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：原式， 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式； 故答案为： 【例4】（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）已知实数m，n满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方和二次根式的非负性，二次根式的化简和加减运算，根据题意求出和的值是解题的关键．根据绝对值和平方的非负性求出和的值，然后代入化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级下·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （2）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （3）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （4）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． 【详解】（1）解： ; （2）解： ; （3）解： ; （4）解： . 【核心考点三 二次根式的混合运算】 【例1】（24-25八年级下·四川达州·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则对各选项进行解答即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列运算，错误的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的性质对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的加法运算对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； В．，所以B选项不符合题意； C．与不能合并，所以C选项符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【例3】（23-24八年级下·四川宜宾·开学考试）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了无理数的估算，平方差公式，由于，可求出a，进而求出b，代入计算即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分为，小数部分为， ∴． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值为 ． 5 10 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据幻方规则和二次根式的混合运算分别求得A、B、C、D，然后代值求解即可． 【详解】解：∵方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等， ∴， ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 【例5】（24-25八年级下·重庆南岸·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，零指数幂等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先化简绝对值，零指数幂，二次根式的除法，然后合并即可求解； （2）根据完全平方公式和平方差公式展开，然后合并即可求解． 【详解】（1） ； （2） ． 【核心考点四 分母有理化及其应用】 【例1】（24-25八年级下·重庆万州·阶段练习）估计代数式的运算结果应在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算及无理数的估算，将原式变形为，估算出的范围即可． 【详解】解：， ， ， 代数式的运算结果应在3到4之间， 故选C． 【例2】（24-25八年级下·上海徐汇·期中）下列各式中，与互为有理化因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了是分母有理化，熟练掌握两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称作互为有理化因式是解题的关键． 根据有理化因式的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，与互为有理化因式的是， 故选：C． 【例3】（24-25八年级下·江西宜春·阶段练习）若，则、两数的关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分母有理化，化简即可求解． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·上海·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式以及分母有理化，先根据解不等式的步骤求解，最后将分母进行有理化即可，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【详解】解： ∴ 即 故答案为：． 【例5】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）阅读下列运算过程： ①，②． 数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．模仿上述运算过程，完成下列各题： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，数字变化类等知识，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）分子、分母都乘以即可； （2）分子、分母都乘以即可； （3）原式变形为，然后再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：原式 . 【核心考点五 已知字母的值，化简求值】 【例1】（2024·河北秦皇岛·一模）已知，，则代数式的值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先根据已知条件，求出和的值，再把所求代数式分解因式，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·山东德州·期末）已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查分式的运算及二次根式的计算求值．先求得和的值，再通分将原式变形，进而整体代入计算得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故选：A． 【例3】（24-25八年级下·上海·期中）已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的性质，正确计算是关键． 将代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：3． 【例4】（2024·湖南·模拟预测）斐波那契数列中的第n个数可以用表示．通过计算求出斐波那契数列中的第2个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算与化简求值，把代入式子计算即可得出答案，熟练掌握运算方法是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：当时， ， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化． （1）先根据分母有理化求出，，即可求出； （2）由，，将原式整理成，再整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 【核心考点六 已知条件式，化简求值】 【例1】（23-24八年级下·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，根据题意得到，进而根据完全平方公式得到，由此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开得到，同理可得，再结合m的范围，判断的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式建立两个式子之间的关系． 【例3】（2024八年级下·全国·专题练习）边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了因式分解的应用，二次根式的化简运算，解题的关键是正确将因式分解． 根据长方形的面积和周长得出，，再利用因式分解将原式化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为，面积为， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）已知，那么 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于”，得到，则，由此求出，据此即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴是负数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值，掌握二次根式有意义的条件、得出是解题的关键． 【例5】（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2)49 【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算． （1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 则． （2）解：∵，， ∴，， 则． 【核心考点七 比较二次根式的大小】 【例1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 【例2】（2024·河北石家庄·模拟预测）若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集为，再求出，由此即可得到答案． 【详解】解： 解不等式得：， ∴， ∵， ∴， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查了求不等式组的解集，比较二次根式的大小，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【例3】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）比较大小： （填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，掌握二次根式的性质是解题的关键． 先把化成，再进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【例4】（24-25八年级下·辽宁沈阳·单元测试）设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分母有理化，比较二次根式的大小．先把把各式化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小． 【详解】解：，， 由，则， 由，则， ∴b最大， 又∵， 则．故． 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知，． (1)比较a，b的大小，并写出比较过程； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用平方法和不等式的性质即可比较出大小； （2）代入和b的值，利用二次根式的混合运算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． 【核心考点八 二次根式的实际应用】 【例1】（24-25八年级下·广东佛山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的应用．根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别为，，的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，且的三边长分别为，，， ，，， ∴的面积为： ， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为和的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的应用，先求出阴影部分的长和宽，再根据长方形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：由图可得，阴影部分的长为， 阴影部分的宽为：， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：A． 【例3】（2024八年级下·北京·专题练习）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．根据题目中的面积公式，可以将的三条边长代入公式中，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， 三边长为：，，，不妨令，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【例4】（2024·湖南·模拟预测）我国南宋时期数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即若已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，如图，的边长分别为，，则此三角形面积为 ． 【答案】12 【分析】先计算，代入公式计算即可． 本题考查了二次根式的应用，熟练掌握公式，精准化简二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：12． 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）已知刹车距离的计算公式为表示车速（单位：），表示刹车距离（单位：m），表示摩擦系数．在一次交通事故中测得，而发生交通事故的路段限速为．请你计算肇事汽车的车速并判断肇事汽车是否违规行驶． 【答案】，肇事汽车违规行驶 【分析】本题考查二次根式的应用，把，代入求出此时的速度，与限速速度进行比较即可得出结论。 【详解】解：． ， 肇事汽车违规行驶． 【核心考点九 二次根式的新定义问题】 【例1】（23-24八年级下·广西南宁·期末）定义一种新运算“△”，，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给的新定义列式计算即可． 【详解】解：由题意得， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，正确理解新定义是解题的关键． 【例2】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算，则的运算结果为（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意所给新运算的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是理解题目所给新运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则． 【例3】（23-24八年级下·山东潍坊·期末）定义一种新运算：对于任意实数a，b，都有， ． 【答案】/ 【分析】先根据新运算的规定把要计算的式子写成实数的运算形式，再利用完全平方公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新运算的规定是解决本题的关键． 【例4】（24-25八年级下·河南南阳·期中）对于任意两个和为正数的实数m、n，定义运算※如下：例如．那么 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，新定义运算，理解新定义，掌握二次根式的运算是关键．按照新定义计算并化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）对于实数a，b定义一种新运算“”，规定，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)4 (2)x的值为 【分析】本题考查了实数的运算和解一元一次方程，二次根式的混合运算，解题关键是掌握实数运算的方法和解一元一次方程的步骤． （1）直接利用新运算的规定列出算式运算即可； （2）先将左边根据规定变形，再解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴的值为4． （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴x的值为． 【核心考点十 二次根式的阅读理解类问题】 【例1】（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）阅读下列材料：若一个任意三角形的三边长分别为a，b，c，记则这个三角形的面积 ．古希腊的数学家海伦给出了这个公式的证明，这一公式称为海伦公式．若在海伦公式中，，，， 则（   ） A．10 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式变形求值，解二元一次方程组，练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据题意得出，然后代入，求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ， 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·湖北荆州·期中）阅读例题：，用上述类似的方法解答问题：若a是的小数部分，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小以及二次根式的分母有理化，正确化简二次根式是解题关键． 先根据a是的小数部分，得到，再运用例题的类似方法化简即可解答． 【详解】解：∵，a是的小数部分， ∴， ∴． 故选：C 【例3】（23-24八年级下·山东滨州·期末）阅读材料：如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当a=b时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．根据上述材料，若，则y最小值为 ． 【答案】 【分析】根据“两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数”可得的最小值． 【详解】解∶∵如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号， ∴即，当且仅当时，等号成立， ∴y的最小值为． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了新定义以及算术平均数与几何平均数之间的关系，正确理解新定义与性质是解题的关键． 【例4】（2024八年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 参照上面的方法化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分母有理化，仿照题意进行求解即可． 【详解】解； , 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)比较大小：_______．（用“＞”“＜”或“=”填空） (2)已知，，求的值； (3)解方程：．（利用“对偶式”相关知识，提示：令）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，，，可得，进而可得结果； （2）由题意知，，，根据，代值求解即可； （3）令，则，即，可求，则，，整理得，，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：由题意知，，， ∴， ∴的值为； （3）解：令， ∴，即， 解得，， ∵， ∴，整理得，， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查了分母有理化，无理数的大小比较，代数式求值，平方差等知识．熟练掌握分母有理化，无理数的大小比较，代数式求值，平方差是解题的关键． 【变式训练1 同类二次根式】 1．（23-24八年级下·河南漯河·期末）下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键，先将各项进行化简，再利用同类二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，此项错误； B、，与是同类二次根式，此项正确； C、，与不是同类二次根式，此项错误； D、，与不是同类二次根式，此项错误； 故选：B． 2．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同类二次根式的概念进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，，， 解得，， ； 故答案为：9． 3． （23-24八年级下·山东淄博·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求x，y的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是同类二次根式的题目，求一个的平方根，算术平方根，解题的关键是掌握同类二次根式的定义． （1）首先由二次根式被开方数为2，可知，据此求出的值；再根据同类二次根式的定义可得，将的值代入计算即可解答； （2）先求出，则，故可求5的平方根． 【详解】（1）解：根据同类二次根式的定义，得，解得． 又， 把代入解得． （2）解：， ∴， ∴5的平方根为：． ∴的平方根为． 【变式训练2 二次根式的加减运算】 1．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查考查二次根式的加法，负整数指数幂，完全平方公式以及单项式除以单项式，分别根据相关运算法则计算出各选项再进行判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B. ，故B不符合题意； C. ，故C不符合题意； D. ，计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，若数轴上点对应的实数分别为和，用圆规在数轴上画点，则点对应的实数是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，，因为，所以，再根据点对应的数，求出点对应的实数．本题考查了二次根式的加减法，实数与数轴，数轴上两个点，对应的实数分别为，则线段．特别的，当点在点的右侧时，． 【详解】解：∵点，对应的实数分别为，． ． 由题图可知，． ． 设点对应的数为． ． 解得． ∴点对应的数为． 故答案为：． 3． （24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3)6 (4) 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键； （1）根据二次根式的乘除运算可进行求解； （2）根据二次根式的加减运算可进行求解； （3）根据二次根式的混合运算及立方根可进行求解； （4）根据平方差公式、完全平方公式及二次根式的运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式训练3 二次根式的混合运算】 1．（24-25八年级下·全国·期末）设的整数部分是a，小数部分是b，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小及二次根式的运算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．依据被开放数越大对应的算术平方根越大可估算出的大致范围，然后可求得的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25八年级下·福建宁德·期中）下列说法正确的是 ①若，则； ②若，则； ③两个非零整数相加、相减、相乘、相除运算结果可能是无理数； ④若两个实数相加的结果是无理数，则这两个实数中至少有1个是无理数． 【答案】②④/④② 【分析】根据立方根、算术平方根的意义可判断①；两边平方可判断②；根据无理数的性质可判断③④． 【详解】解：①若，则或1，故不正确； ②若，，则，正确； ③两个非零整数相加、相减、相乘、相除运算结果不可能是无理数，故不正确； ④若两个实数相加的结果是无理数，则这两个实数中至少有1个是无理数，正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的意义，二次根式的混合运算，无理数的概念，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 3． （24-25八年级下·山西·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先进行除法运算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法运算，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式训练4 分母有理化及其应用】 1．（24-25八年级下·全国·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，注意计算的准确性即可． 【详解】解：A：，符合题意； B：，不符合题意； C：∵，， ∴， ∴，不符合题意； D：∵，， ∴， ∴，不符合题意； 故选：A 2．（23-24八年级下·广东汕头·期中）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，代数式的求值，观察代数式的特点拆分代入是解题的关键． 首先对m这个式子进行分母有理化，然后观察要求值的代数式进行拆分代入运算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：2025． 3． （24-25八年级下·福建宁德·期中）我们已经知道，因此像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以下各小题 (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）分子、分母同时乘以，进行分母有理化即可求解； （2）根据材料提示，将的分子、分母同时乘以分母有理化得，将的分子、分母同时乘以分母有理化得，再将两数作差进行比较即可； （3）根据材料提示，分别进行分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式训练5 已知字母的值，化简求值】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若，，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级下·上海宝山·期中）已知，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3． （24-25八年级下·上海徐汇·期中）先化简，再求值，已知，求代数式的值； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，完全平方公式，先计算出，再利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解： ， ， ． 【变式训练6 已知条件式，化简求值】 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】略 2．（23-24八年级下·北京西城·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先计算出，，的值，再通分和利用平方差公式化简，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：，， ，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，通过先计算，，的值，变形所求代数式，从而使计算变得简便． 3． （24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：_________； (2)已知：，则_______； (3)计算：________ 【答案】(1) (2)2 (3)9 【分析】本题考查了分母有理化的应用，能正确变形是解此题的关键． （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可； （2）根据题干中的步骤进行计算即可； （2）结合题干的方法进行分母有理化，再合并即可得结果． 【详解】（1）； （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∴； （3）根据题意得， ． 【变式训练7 比较二次根式的大小】 1．（23-24八年级下·广东河源·单元测试）2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 【答案】A 【分析】将分别化成，再进行比较即可． 【详解】且 即 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法． 2．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）比较大小： ； （填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据可得第一空答案；根据，则，据此可得第二空答案． 【详解】解：∵， ∴；， ∵， ∴， ∴ 故答案为：；． 3． （23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： (1)化简； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是分母有理化： （1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以，再计算即可得到答案； （2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数 ，再比较大小即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，，且， ∴． 【变式训练8 二次根式的实际应用】 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式应用，将和，代入关系式，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴； 故选C． 2．（24-25八年级下·福建三明·期中）李老师在正方形中放入面积分别为27和18的正方形和正方形，重叠部分的面积为3，则剩余部分（阴影部分）的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的应用，结合图形求出阴影部分的长和宽是解题的关键．根据题中条件分别计算阴影部分的长和宽，再根据面积公式计算即可． 【详解】解：正方形和正方形的面积分别为27和18， ， 由题意得： 正方形和正方形重叠部分为正方形，面积为3， 则重叠部分边长为， 则正方形的边长为， 剩余部分（阴影部分）的面积等于正方形的面积减去两个小正方形的面积，再加上重叠部分的面积， 剩余部分（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相同的长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长； (2)除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？ 【答案】(1)米 (2)元 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式求解即可得到答案； （2）先用大长方形面积减去小长方形的面积，再乘以单价即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，广场的周长为：， 广场的周长为米； （2）解：铺地砖的面积为：（平方米）， 这个广场铺满地砖的费用为：（元）． 【变式训练9 二次根式的新定义问题】 1．（23-24八年级下·河南许昌·阶段练习）对于任意的正数x、y定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是定义新运算，根据定义新运算公式进行计算是解决此题的关键． 先根据定义新运算的公式分别计算，，然后再代入计算即可． 【详解】， ， 故选A． 2．（23-24八年级下·北京石景山·期末）对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算 如下： ，如，那么 8 12 的运算结果为 ． 【答案】 【分析】按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可． 【详解】8 12＝== 故答案为：． 【点睛】此题考查二次根式的化简求值，理解规定的运算顺序与计算方法是解决问题的关键． 3． （23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）用定义一种新运算：对于任意实数和，规定：，如：． (1)求． (2)若，求实数的取值范围，并将的取值范围表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤． （1）根据新定义规定的运算法则列出算式，再进一步计算即可； （2）列出关于的不等式，再依次移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案． 【详解】（1）解：⊕ ； （2）⊕， ， ， 则， 表示在数轴上如下： 【变式训练10 二次根式的阅读理解类问题】 1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）请阅读材料，并解决实际问题： 海伦—秦九韶公式 海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积，这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202-1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式．它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式．问题：在中，，，，用海伦—秦九韶公式求的面积为（    ） A． B．12 C． D．24 【答案】A 【分析】先求出的值，再将各值代入公式进行计算即可得． 【详解】解：在中，，，， ， 的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的几何应用，正确理解海伦—秦九韶公式是解题关键． 2．（23-24八年级下·四川广元·期末）阅读材料：希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，，则边上的高为 ．    【答案】 【分析】根据材料先求出三角形的面积，再根据三角形的面积公式可求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 设边上的高为h， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的面积的求法，二次根式的化简，理解题意是解题的关键． 3．（23-24八年级下·四川达州·期末）阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)1，2 (2)3. (3) 【分析】此题考查了二次根式性质和运算的应用，掌握题目提供的结论是解题的关键． （1）对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．据此即可进行解答； （2）把函数变形为，根据题意进行解答即可； （3）设，则，得到，根据四边形面积，即可得到答案． 【详解】（1）解；当时，， 当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为2. 故答案为：1，2 （2）当时，函数， ∵ 当且仅当即，即时取等号， 当时，有最小值，最小值为3. （3）设， 由题意可知，， 则 则， ∴四边形面积， 当且仅当时，等号成立， ∴四边形面积的最小值为． 1．（2024八年级下·四川成都·专题练习）下列二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．先化简二次根式，再找出同类二次根式即可得． 【详解】解：A、，与是同类二次根式，可以合并，则此项符合题意； B、，与不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意； C、，与不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意； D、，与不是同类二次根式，不可以合并，则此项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·全国·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的估算、代数式求值、二次根式运算等知识，正确确定的值是解题关键．利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）已知关于的代数式，判断下列说法正确的有（    ） ①存在实数，使得； ②若，则； ③已知代数式、、满足，，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用、二次根式的混合运算等知识，掌握完全平方公式及整体代入法是解题的关键．． ①先把左边配方，再根据非负数的性质判断； ②根据的值得到，再将化为，最后整体代入求值即可； ③先把左边分解因式，再整体代入求值； 【详解】解：①∵， ∴不存在实数，使得， 故说法①不正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∴， 故说法②不正确； ③∵，， ∴， ∴ ， 故说法③不正确； ∴说法正确的有个， 故选：A． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，它的面积是，，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．361 B．360 C．316 D．315 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的运用，首先由正方形的面积是，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去，得出宽，进一步利用长减去宽得出正方形的长，再根据大正方形面积减去小正方形面积，即可得出答案． 【详解】解：小正方形的边长为： ， ∴ 故选：B． 5．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论： ①； ②若，，则； ③，且，则 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①根据题干中给出的信息进行分母有理化，即可判断； ②先化简a、b，然后代入求值即可； ③先化简a、b，然后将a、b代入，求出即可． 【详解】解：①，故①正确； ②， ， ∴ ，故②正确； ③ ， ， ∵， ∴， ∴， 即， ， ∴， ∴，故③正确； 综上分析可知，正确的个数是3个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 6．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知的整数部分是a，小数部分是b，求的值 ． 【答案】/ 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，平方差公式，先根据得出a，b的值，再将变形为，将a，b的值代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 的整数部分是a，小数部分是b， ，， ， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 利用新定义得到，，然后利用乘法公式展开后合并即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）数学课上，嘉嘉做了几道计算题：①，②，③，④，⑤；请你当小老师检查一下，嘉嘉做对的题号是 ．（填序号） 【答案】③⑤ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式混合运算的法则进行计算即可，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：①，故①不符合题意； ②与不是同类二次根式，不能合并，故②不符合题意； ③，故③符合题意； ④，故④不符合题意； ⑤，故⑤符合题意； ∴正确的有个，分别是③⑤， 故答案为：③⑤． 9．（2024八年级下·四川成都·专题练习）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点、，称的值为、两点的“直角距离”．若，则，的“直角距离”为 ；若，为直线上任意一点，则，的“直角距离”的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，绝对值的几何意义，二次根式的计算，正确理解题意是解题的关键．根据“直角距离”的定义进行求解即可得出，的“直角距离”；设点Q的坐标为，根据题意得到P，Q的“直角距离”为，据此即可得出，的“直角距离”的最小值． 【详解】解：∵，， ∴，的“直角距离”为 设点Q的坐标为， ∴，的“直角距离”为， ∴当时，， 当时，； 当时，； ∴综上所述，的最小值即为， ∴，的“直角距离”的最小值为， 故答案为：，． 10．（24-25八年级下·福建泉州·期中）阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务：斐波那契（约1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列），后来人们研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中），这是用无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，将代入中结合平方差公式进行运算，即可解题． 【详解】解：第2个数，当时， ， 故答案为：1． 11．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）（1）计算：            （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则和解方程组的方法是解题的关键． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后再计算绝对值和零指数幂，最后合并同类二次根式即可； （2）先整理方程组得，，然后用加减消元法解方程组即可． 【小题1】解：原式 ； 【小题2】解：整理方程组得， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴． 12．（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）（1）解方程：； （2）计算：； （3）计算：． （4）先化简再求值：，其中x为 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了实数的运算、分式的化简求值、解分式方程等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． （1）按照解分式方程的步骤解答即可； （2）先根据立方根、算术平方根、绝对值的知识化简，然后再计算即可； （3）先运用二次根式的乘方法则和平方差公式计算，然后再运用二次根式的加减运算法则计算即可； （4）先运用分式的四则混合运算法则化简，然后代入计算即可． 【详解】（1）， ， ， ， 经检验，是原方程的解； （2） ； （3） ； （4） ， 当时，． 13．（23-24八年级下·河南漯河·期末）化简求值 (1)先化简，再从0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值； (2)先化简，再求值，已知，求的值． 【答案】(1)，当x取1时，原式的值为 (2)， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式有意义的条件，分母有理化； （1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得． （2）先得出，则；进而根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的x的值代入计算可得． 【详解】（1）解： ， 且，， ， 当时，原式． （2）解：∵ ∴ 当时，原式 14．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ①； ②； ③； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简： ④； (1)请用不同的方法化简：： a：参照③式得 ； b：参照④式得 ； (2)化简； (3)化简：（n为正整数）． 【答案】(1)a：；b： (2) (3) 【分析】（1）参照③式，④式，进行计算即可解答； （2）利用分母有理化先化简各式，然后再进行计算即可解答； （3）利用分母有理化先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：a：参照③式得， 故答案为：； b：参照④式得， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】 （1）既可以从算术平方根的角度理解，也能将其看成是面积为 的正方形的边长； （2）图1、图2是由同一个五边形通过不同的分割法所形成，图1、图2都含有3块全等的直角三角形，已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c． ①图1的面积为 ，②图2的面积为 ． ③由此我们可以得到等式： ； 【类比学习】 探究的近似值（精确到0.001） 凯凯：我们已经知道是介于1.4与1.5之间的一个无理数，设．图3是边长为的正方形，观察图3后写下如下过程：，即，由于x较小，可忽略不计，得：，故 仿照凯凯的方法，探究的近似值（精确到0.001），设计出图形并直接写出结果． （数据参考：） ． 【答案】已有认识：（1）2；（2）①，②，③；类比学习： 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，二次根式的应用及整式与几何图形面积的实际应用． 已有认识： （1）根据正方形面积公式，利用算术平方根的定义即可解答； （2）①根据图形用三个直角三角形的面积加上两个正方形的面积即可表示出面积；②用三个直角三角形的面积加上正方形的面积即可表示出面积；③根据两个图形的面积相等，建立等式，根据等式的性质即可解答 类比学习：根据材料设，仿照材料即可解答． 【详解】解：（1）， 也能将其看成是面积为2的正方形的边长； （2）①图1的面积为， ②图2的面积为． ③由此我们可以得到等式：，即； 类比学习： 设， 即， 由于x较小，可忽略不计，得：， ， ，即． 学科网（北京）股份有限公司 $$