第02讲 二次根式的乘除 （2个知识点+7大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（人教版）

第02讲 二次根式的乘除（2个知识点+7大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 最简二次根式的判断 题型五 化为最简二次根式 题型六 已知最简二次根式求参数 题型七 二次根式乘除法中的新定义问题 知识点01 二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点02 二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【核心考点一 二次根式的乘法】 【例1】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）估计的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理原式，因为，则，故，即可作答． 【详解】解：， ∵，且， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·山西长治·阶段练习）化简的正确结果是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的乘法运算法则． 利用二次根式的乘法进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 【例3】（24-25八年级下·全国·期中）写出二次根式的一个有理化因式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化． 二次根式的有理化的目的就是去掉根号，利用平方差公式可以得到的一个有理化因式是． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式是． 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）在实数中，的平方等于另外两个数的积，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算以及求平方根的运算，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）（1）若有意义，则满足条件__________． （2）若，，求下列式子的值： ①； ② 【答案】（1） ；（2）①1；②15 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式乘法运算，理解相关知识是解答关键． （1）根据二次根式的被开方数不能为负数来求解； （2）根据二次根式的乘法运算法则求解；先变形为完全平方式，再代入求解． 【详解】解：（1）有意义， ， 故答案为：． （2），， ． 【核心考点二 二次根式的除法】 【例1】（24-25八年级下·河南平顶山·阶段练习）若 ，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，根据乘法的意义可得. 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 【例2】 （24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）小明在进行二次根式运算时发现：；；；，由此猜想，上述探究过程蕴含的思想方法是（   ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式的除法、数学思想，根据题意确定蕴含的思想方法． 【详解】解：题目先是从特殊情况算起，再总结一般性的规律，探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般， 故选：A． 【例3】（24-25八年级下·上海·期中）假设长方形的面积为，相邻两边长分别为，，已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握分母有理化是解题的关键．根据题意得：，将，代入即可得到的值． 【详解】解：长方形的面积为，相邻两边长分别为，， ， ，， ， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·全国·假期作业）的立方根的相反数为 ，的平方根的绝对值为 ，的倒数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了立方根的定义、平方根的定义、倒数、相反数、绝对值的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 直接利用立方根的定义、平方根的定义、倒数、相反数、绝对值的定义分别得出答案即可． 【详解】解：①∵， ∴的立方根为，相反数为； ②的平方根为，的绝对值为； ③∵， ∴的倒数是； 故答案为：①；②；③． 【例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）计算下列各式： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法运算； （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可； （3）先计算二次根式的乘方，再化简二次根式，最后合并即可； （4）直接计算二次根式的乘方运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 【核心考点三 二次根式的乘除混合运算】 【例1】（2024·河北邢台·模拟预测）计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先变除法为乘法，再根据二次根式乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选C． 【例2】（23-24八年级下·四川宜宾·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，注意平方差公式的应用． 先将原式变形，再根据平方差公式计算即可． 【详解】 故选：． 【例3】（24-25八年级下·四川眉山·期中）化简 ． 【答案】 【分析】该题考查了二次根式的乘除法运算，主要是掌握二次根式乘除法运算法则，注意化为最简二次根式． 根据二次根式乘除法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·山西·阶段练习）计算：① ．② ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解：①， ②， 故答案为：，． 【例5】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的乘除混合运算．解题的关键是掌握相关运算法则． （1）首先计算完全平方公式，然后合并同类项即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【核心考点四 最简二次根式的判断】 【例1】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）下列二次根式中的最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，掌握满足最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是关键．利用最简二次根式的概念判断每个选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判别．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数中不能含有分母；②被开方数不能含有开得尽的因数或因式．根据最简二次根式的定义，依次作出判断即可． 【详解】解：A．被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项错误； B．是最简二次根式，故该选项正确； C．被开方数含有开的尽的因数，故该选项错误； D．被开方数含有分母，故该选项错误． 故选：B． 【例3】（23-24八年级下·四川成都·期末）在、、、、、中，是最简二次根式的是 ． 【答案】 【分析】本题是对最简二次根式的考查，熟练掌握最简二次根式定义是解决本题的关键．根据被开方数不含分母，不含开得尽方的因数或因式分析判断即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 不是二次根式， 是最简二次根式； 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·上海宝山·期中）下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键． 根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可． 【详解】 解：，因此是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是，； (2)是； (3)不是，． 【分析】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． （1）含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，然后化简即可； （2）根据定义判断是最简二次根式； （3）被开方数中含有分母，不是最简二次根式，化简即可． 【详解】（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，； （2），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式． （3），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式， ． 【核心考点五 化为最简二次根式】 【例1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）下列属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，最简二次根式的判定，理解最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简，分母有理化的计算，根据最简二次的概念“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数中不含分母”进行判定即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B ． 【例2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列式子中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判定，在判断最简二次根式的过程中要注意：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B． 【例3】（23-24八年级下·湖北宜昌·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的除法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先将两数化简成最简二次根式，然后根据二次根式的除法计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ， ， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·江苏南通·期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式进行化简即可． 【详解】解： ∴是型无理数． 故答案为：． 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 【答案】是最简二次根式；其余的式子都不是最简二次根式，化简见解析 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解： 是最简二次根式 【核心考点六 已知最简二次根式求参数】 【例1】（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵ 是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选B 【例2】（23-24八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． 【例3】（24-25八年级下·全国·单元测试）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若和都是最简二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根，如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： ∴ 故答案为： 【例5】（23-24八年级·全国·假期作业）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可； 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴（a+b）a＝（0+2）0＝1； 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键． 【核心考点七 二次根式乘除法中的新定义问题】 【例1】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义计算，二次根式乘法运算，根据题意列出算式，利用二次根式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【例2】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）定义新运算“”，规定，则的运算结果为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算、新定义运算等知识点，先根据新定义运算列出算式，然后根据二次根式的运算法则计算即可；掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选D． 【例3】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）对于任意不相等的两个实数a，b（a＞b）定义一种新运算a※b＝，如3※2＝，那么12※3＝ ． 【答案】/ 【分析】根据运算规则，将a=12，b=3代入计算即可． 【详解】解：由题意得： 12※4＝＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，二次根式的除法．审清题意，根据新运算a※b＝代入计算是解题的关键． 【例4】（23-24八年级下·广东江门·期中）定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．若 与是关于2的共轭二次根式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】根据共轭二次根式的定义列等式即可得出m的值； 【详解】解：∵ 与是关于2的共轭二次根式， ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会用二次根据的性质进行计算． 【例5】（23-24八年级·全国·假期作业）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．问题解决： (1)若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝　 　； (2)若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式计算可得a的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式解出m的值． 【详解】（1）解：∵a与2是关于6的共轭二次根式， ∴2a＝6， ∴a＝＝， 故答案为：； （2）∵4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式， ∴（4+）（8﹣m）＝26， ∴8﹣m＝＝＝8﹣2， ∴m＝2． 【点睛】本题通过新定义共轭二次根式考查了二次根式，关键在于理解新定义的含义，并会灵活运用和用二次根式的性质进行计算． 【变式训练1 二次根式的乘法】 1．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）估计的值应在（    ） A．7与8之间 B．8与9之间 C．9与10之间 D．10与11之间 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算及无理数的估算是解题的关键；由题意可得出，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴； 故选B． 2．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）估计的值应在（   ） A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算．先利用二次根式的乘法得出，再估算出的取值范围，进而得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 估计的值应在5到6之间， 故选：B． 3．（24-25八年级下·上海宝山·期中）的一个有理化因式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子． 一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．据此即可求解． 【详解】解：∵ ∴的一个有理化因式是． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，等边三角形和长方形有一条公共边，长方形内有一个正方形，其四个顶点都在长方形的边上．若等边三角形的边长是，正方形的面积是2，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、二次根式运算的应用，解题关键在于求出正方形的边长． 首先由正方形的面积是2求出正方形的边长为，然后用长方形的面积减去正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积是2， ∴正方形的边长为 ∵等边三角形的边长是， ∴长方形的长为， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：D． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，二次根式的乘法运算，先利用乘法公式与单项式乘以多项式计算乘法运算，再合并同类项，最后把，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【变式训练2 二次根式的除法】 1．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·期中）估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式除法以及无理数的大小估算，先运算二次根式除法得出，再结合，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴． 故选：B 2．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）有下列计算：①；②；③，④．其中错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的乘除法和二次根式的性质，根据二次根式的乘除法法则分别计算． 【详解】①，故①正确； ②，故②正确； ③，故③错误； ④，故④正确． 故选：C． 3．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）已知等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简．熟练掌握二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简是解题的关键． 由题意知，，，计算求解即可． 【详解】解：∵等式成立， ∴，， 解得，， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）化简 （1）      （2）      （3） 【答案】 6 【分析】此题考查了二次根式的除法和乘法，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的除法运算法则求解即可； （2）根据二次根式的除法运算法则求解即可； （3）根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 5．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）先化简，再求值，请你从中选一合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题关键．根据分式的混合运算法则计算化简，然后根据分式有意义的条件得到，，再将代入化简后的式子求值即可． 【详解】 ， ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 【变式训练3 二次根式的乘除混合运算】 1．（23-24八年级下·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．把，分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可． 【详解】解：∵，， ∴，故甲正确， ，故乙正确； ，故丙正确； 故选：D． 2．（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）以下各式：①，②，③，④，其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质，二次根式有意义的条件判断； 【详解】解： ，无意义，①错误； ，②错误； 成立的前提是，③错误；④，④正确； 故选：B 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简；掌握二次根式的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【解析】略 4．（23-24八年级下·山东滨州·期中）有一个密码系统，其原理如下面的框图所示，当输出的值为时，输入的 ． 【答案】/ 【分析】根据框图得出方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 两边同时乘以得：， 右边计算得：， 移项得：， ∴当输出为时，则输入的． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，二次根式的乘除法，读懂框图，正确列出方程是解答的关键． 5．（24-25八年级下·福建三明·期中）计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂是解决问题的关键； （1）先根据乘方的意义、零指数幂的意义计算，然后进行有理数的加减运算； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，根据二次根式的乘法法则运算和二次根式的除法法则运算即可； （3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （4）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 【变式训练4 最简二次根式的判断】 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，熟知最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义进行逐一判断即可：（1）被开方数不能含有开得尽方的因数或因式，（2）被开方数不能含有分母． 【详解】解：、，被开方数含有开的尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）下列二次根式中属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解决问题的关键．根据最简二次根式的定义对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：， 选项A不符合题意 ， 选项B不符合题意； 已是最简二次根式， 选项C符合题意； 选项D不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·广东佛山·期中）下列各式中是最简二次根式的有 个． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 则只有是最简二次根式． 故答案为： 4．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 先化简，再结合同类二次根式的定义（被开方数相同），即可作答． 【详解】∵， ∴与可以进行合并的最简二次根式，即为与可以进行合并的最简二次根式， ∴这个二次根式可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一） 5．（23-24八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【变式训练5 化为最简二次根式】 1．（24-25八年级下·四川眉山·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因数或因式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 2．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件找出隐含条件，即，再根据对原式进行化简即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则， 即：， 解得：， 原式， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，不等式的性质，解一元一次不等式，化为最简二次根式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件及二次根式的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）将根式，，，，中是最简二次根式的填在横线上 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． 【详解】解：和是最简二次根式， 不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 故答案为：，． 4．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．这个公式称为海伦-秦九韶公式，在中，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，练掌握二次根式的性质是解题的关键．代入公式，进行二次根式的化简即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算零次幂，负整数指数幂，立方根，再合并即可； （2）把除法化为乘法运算，再约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 【点睛】本题考查的是零次幂与负整数指数幂的含义，立方根的运算，分式的除法运算，熟记相关的运算法则是解本题的关键． 【变式训练6 已知最简二次根式求参数】 1．（23-24八年级下·广西贺州·期中）已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可． 【详解】根据题意可知， 解得：， ∴． 故选D． 【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键． 2．（2024·四川南充·三模）若二次根式与可以合并，则的值可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】把a的值依次代入即可判断求解． 【详解】当a=6时，=，不能与可以合并， 当a=5时，=，能与可以合并， 当a=4时，=，不能与可以合并， 当a=2时，=，不能与可以合并， 故选B． 【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的化简方法． 3．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可. 【详解】根据题意得： 解得 故答案为：，． 4．（2024八年级下·江苏·专题练习）两个最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】5 【分析】根据最简二次根式的定义即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴， 但当时，，不是最简二次根式，应舍去， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键． 5．（23-24八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 【变式训练7 二次根式乘除法中的新定义问题】 1．（23-24八年级下·山东泰安·阶段练习）对于非零的两个实数x，y，定义运算“”的运算法则为：则（    ） A．6 B．8 C．7 D．5 【答案】A 【分析】根据新定义的运算法则求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A. 【点睛】本题以新定义为载体，主要考查了二次根式的运算，正确理解新定义的法则是关键. 3．（24-25八年级下·广西百色·期中）对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的除法运算，根据新定义，结合二次根式的运算计算即可得出答案，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·河南商丘·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么 ． 【答案】 【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可； 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运算的相应的法则的掌握． 4．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意列出式子，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 所以 解得 即m的值为． 1．（23-24八年级下·河南郑州·期中）计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的运算，积的乘方的逆用，平方差公式，将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式性质化简，根据最简二次根式的性质逐项化简判断即可． 【详解】解：A、，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； B、，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； C、，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； D、为最简二次根式，符合题意， 故选：D． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）下列是关于无理数的叙述，不准确的选项是（   ） A．不带根号的数一定是有理数 B．一个无理数的平方可能是无理数 C．开方开不尽的数是无理数 D．无理数是除整数部分外小数部分是无限不循环小数的实数 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的运算和无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像这样有特殊结构的数和无限不循环小数． 根据无理数和有理数的概念判定选项即可． 【详解】解：不带根号的数不一定是有理数，如是无理数，故A符合题意； 一个无理数的平方可能是无理数，例如是无理数，也是无理数，B不符合题意； 开方开不尽的数是无理数，故C不符合题意； 无理数是除整数部分外小数部分是无限不循环小数的实数，故D不符合题意； 故选：A． 5．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）下列各式①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（   ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】此题考查最简二次根式，根据最简二次根式条件进行判断即可，熟记最简二次根式满足的条件即可正确解题． 【详解】解：①， 故①不符合题意； ②，故②不符合题意； ③，故③不符合题意； ④是最简二次根式，故④符合题意； ⑤是最简二次根式，故⑤符合题意； ∴最简二次根式的有两个， 故选：C． 6．（24-25八年级下·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川眉山·阶段练习）把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）设的整数部分为，小数部分为，则 ，的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，先利用夹逼法求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 9．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数类规律题，观察可知，第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：，第四个数为：，进而可得得出若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：，最后代入50求解即可． 【详解】解：第一个数为：， 第二个数为：， 第三个数为：， 第四个数为：， ∴若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：， ∴第50个数为：， 故答案为：． 10．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，将，，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，为第排第列的数为，则与表示的两个数的积是 ． 1 第一排 第二排 第三排 第四排 第五排 第五列 第四列 第三列 第二列 第一列 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化类，实数的运算，由题意得出将，，三这三个数循环出现，且第排有个数，再根据表示第排第列的数，即第个数，根据规律计算出表示的数；用同样的方法求出表示的数，即可求出答案，根据题意得出每三个数一循环是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，这三个数循环出现，且第排有个数， ∵表示第排第列的数， ∴表示的数是第个数， ∴， ∴表示的数是， ∵表示第排第列的数， ∴表示的数是第个数， ∴， ∴表示的数是， 故与表示的两个数的积是， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·河南开封·期中）计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，实数的混合运算，二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据平方差公式进行计算即可求解； （2）先计算乘方、立方根、二次根式的乘法，再进行加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)14 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值 （1）先计算出， 再利用完全平方公式得到，进而即可得解； （2）由（1）知出，再算出，然后利用平方差公式化简即可得解； 熟练掌握二次根式的运算法则是解决此题的关键． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）知 ， ∵， ． 13．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即， 的整数部分为2．小数部分为． 请解答：已知整数部分是，小数部分是，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算；熟练掌握用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．仿照题中给出的方法求出m、n的值，即可求出x的值． 【详解】解：，即， 的整数部分为4，小数部分为， ，， ∵， ， 解得：． 14．（2024八年级下·河南安阳·学业考试）（1）计算：； （2）通过学习，我们知道，乘积为1的两个数互为倒数． 在计算时，小明发现直接计算比较麻烦，但是计算比较简单，而且在求得结果后，只需要取其倒数，就可得出原式的结果． 利用小明的方法先化简，并在，，1，2中选择一个你喜欢的数作为x的值代入求代数式的值． 【答案】（1）；（2），当时，原式．当时，原式 【分析】此题考查了负整数指数幂，二次根式的乘法，分式的混合运算以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算负整数指数幂，二次根式的乘法，然后计算加减即可求解； （2）首先根据分式的混合运算法则化简，然后根据分式有意义的条件得到，，然后将代入求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∴原式 ∵ ∴，， ∴当时，原式 当时，原式 15．（24-25八年级下·山西晋城·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1)当时， (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法与性质， （1）根据阅读材料中的例题，即可解答； （2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 熟练掌握二次根式的乘法法则和性质是关键． 【详解】（1）根据阅读材料中的例题得，当时，； （2）①， ②； （3）由题意，得长方形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次根式的乘除（2个知识点+7大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 最简二次根式的判断 题型五 化为最简二次根式 题型六 已知最简二次根式求参数 题型七 二次根式乘除法中的新定义问题 知识点01 二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点02 二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【核心考点一 二次根式的乘法】 【例1】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）估计的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【例2】（24-25八年级下·山西长治·阶段练习）化简的正确结果是（   ） A．2 B． C． D．3 【例3】（24-25八年级下·全国·期中）写出二次根式的一个有理化因式是 ． 【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）在实数中，的平方等于另外两个数的积，那么的值是 ． 【例5】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）（1）若有意义，则满足条件__________． （2）若，，求下列式子的值： ①； ② 【核心考点二 二次根式的除法】 【例1】（24-25八年级下·河南平顶山·阶段练习）若 ，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）小明在进行二次根式运算时发现：；；；，由此猜想，上述探究过程蕴含的思想方法是（   ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 【例3】（24-25八年级下·上海·期中）假设长方形的面积为，相邻两边长分别为，，已知，，则 ． 【例4】（24-25八年级下·全国·假期作业）的立方根的相反数为 ，的平方根的绝对值为 ，的倒数为 ． 【例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）计算下列各式： (1)． (2)． (3)． (4)． 【核心考点三 二次根式的乘除混合运算】 【例1】（2024·河北邢台·模拟预测）计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 【例2】（23-24八年级下·四川宜宾·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·四川眉山·期中）化简 ． 【例4】（24-25八年级下·山西·阶段练习）计算：① ．② ． 【例5】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 【核心考点四 最简二次根式的判断】 【例1】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）下列二次根式中的最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·四川成都·期末）在、、、、、中，是最简二次根式的是 ． 【例4】（24-25八年级下·上海宝山·期中）下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 【例5】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 【核心考点五 化为最简二次根式】 【例1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）下列属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列式子中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·湖北宜昌·期末） ． 【例4】（23-24八年级下·江苏南通·期中）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数． 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 【核心考点六 已知最简二次根式求参数】 【例1】（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【例2】（23-24八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【例3】（24-25八年级下·全国·单元测试）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【例4】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若和都是最简二次根式，则 ． 【例5】（23-24八年级·全国·假期作业）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【核心考点七 二次根式乘除法中的新定义问题】 【例1】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）定义新运算“”，规定，则的运算结果为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【例3】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）对于任意不相等的两个实数a，b（a＞b）定义一种新运算a※b＝，如3※2＝，那么12※3＝ ． 【例4】（23-24八年级下·广东江门·期中）定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．若 与是关于2的共轭二次根式，则m的值为 ． 【例5】（23-24八年级·全国·假期作业）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．问题解决： (1)若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝　 　； (2)若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值． 【变式训练1 二次根式的乘法】 1．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）估计的值应在（    ） A．7与8之间 B．8与9之间 C．9与10之间 D．10与11之间 2．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）估计的值应在（   ） A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间 3．（24-25八年级下·上海宝山·期中）的一个有理化因式是 ． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，等边三角形和长方形有一条公共边，长方形内有一个正方形，其四个顶点都在长方形的边上．若等边三角形的边长是，正方形的面积是2，则图中阴影部分的面积是 ． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练2 二次根式的除法】 1．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·期中）估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 2．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）有下列计算：①；②；③，④．其中错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）已知等式成立，则的取值范围是 ． 4．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）化简 （1）      （2）      （3） 5．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）先化简，再求值，请你从中选一合适的数代入求值． 【变式训练3 二次根式的乘除混合运算】 1．（23-24八年级下·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 2．（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）以下各式：①，②，③，④，其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： （1） ． （2） ． 4．（23-24八年级下·山东滨州·期中）有一个密码系统，其原理如下面的框图所示，当输出的值为时，输入的 ． 5．（24-25八年级下·福建三明·期中）计算． (1) (2) (3) (4) 【变式训练4 最简二次根式的判断】 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）下列二次根式中属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东佛山·期中）下列各式中是最简二次根式的有 个． 4．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是 ．（写一个即可） 5．（23-24八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【变式训练5 化为最简二次根式】 1．（24-25八年级下·四川眉山·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）将根式，，，，中是最简二次根式的填在横线上 ． 4．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．这个公式称为海伦-秦九韶公式，在中，，则的面积是 ． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）计算：； （2）化简：． 【变式训练6 已知最简二次根式求参数】 1．（23-24八年级下·广西贺州·期中）已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·四川南充·三模）若二次根式与可以合并，则的值可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 3．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）若和都是最简二次根式，则 ， ． 4．（2024八年级下·江苏·专题练习）两个最简二次根式与可以合并，则 ． 5．（23-24八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【变式训练7 二次根式乘除法中的新定义问题】 1．（23-24八年级下·山东泰安·阶段练习）对于非零的两个实数x，y，定义运算“”的运算法则为：则（    ） A．6 B．8 C．7 D．5 3．（24-25八年级下·广西百色·期中）对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 4．（23-24八年级下·河南商丘·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么 ． 4．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 1．（23-24八年级下·河南郑州·期中）计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：等于（   ） A． B． C． D． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）下列是关于无理数的叙述，不准确的选项是（   ） A．不带根号的数一定是有理数 B．一个无理数的平方可能是无理数 C．开方开不尽的数是无理数 D．无理数是除整数部分外小数部分是无限不循环小数的实数 5．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）下列各式①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（   ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 6．（24-25八年级下·上海·期中）计算： ． 7．（24-25八年级下·四川眉山·阶段练习）把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ． 8．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）设的整数部分为，小数部分为，则 ，的值 ． 9．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 10．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，将，，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，为第排第列的数为，则与表示的两个数的积是 ． 1 第一排 第二排 第三排 第四排 第五排 第五列 第四列 第三列 第二列 第一列 11．（24-25八年级下·河南开封·期中）计算下列各题： (1) (2) 12．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 13．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即， 的整数部分为2．小数部分为． 请解答：已知整数部分是，小数部分是，且，求的值． 14．（2024八年级下·河南安阳·学业考试）（1）计算：； （2）通过学习，我们知道，乘积为1的两个数互为倒数． 在计算时，小明发现直接计算比较麻烦，但是计算比较简单，而且在求得结果后，只需要取其倒数，就可得出原式的结果． 利用小明的方法先化简，并在，，1，2中选择一个你喜欢的数作为x的值代入求代数式的值． 15．（24-25八年级下·山西晋城·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$