高二数学期末考试模拟卷（范围：人教A版2019选择性必修第一册全部+数列）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019）

2024-2025学年高二数学期末考试模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 范围：人教A版2019选择性必修第一册全部+选二数列 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．在等差数列中，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据等差数列项的性质计算即可. 【详解】因为是等差数列， 所以,所以. 故选：D. 2．经过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可. 【详解】由于直线AB的倾斜角为，则该直线AB的斜率为， 又因为，，所以，解得． 故选:B． 3．已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出抛物线的焦点的坐标，利用平面内两点间的距离公式求出的值，即可得出该抛物线的准线的方程. 【详解】抛物线的焦点为， 则，且，解得， 故该抛物线的准线方程为. 故选：C. 4．空间直角坐标系中，平行四边形的三点坐标分别为，，，则D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用在平行四边形中有，计算即可. 【详解】结合题意：设D的坐标为， 因为，，， 所以,， 因为在平行四边形中有， 所以，解得，所以D的坐标为. 故选：B. 5．已知等比数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求得等比数列的公比，进而求得. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，则，所以， 所以，， 所以，所以. 故选：B 6．已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上一点，，点到直线的距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设于，则由已知条件可求出，，再利用椭圆的定义可求出，然后在中利用勾股定理列方程可求出离心率. 【详解】如图，设于， 则由题意得，， ∴，， 由椭圆定义可得， ∴， 在中，由勾股定理得， 可得. 故选：A 7．已知直线与相交于点P，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得到，过定点，过定点，从而得到点轨迹为圆，作线段，先求得，求得 的最小值，再由可得答案. 【详解】设圆的半径为，直线与 垂直， 又过定点，过定点，从而得到点轨迹为圆， 设圆心为，半径为， 作垂直线段，则， ， 的最小值为. 故选：B 8．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点．则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建系，求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】如图，以A为坐标原点，为轴所在直线，建立空间直角坐标系， 则， 因为点分别为的中点．则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．离心率 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据点F到两条渐近线的距离相等，结合对称性几面积关系即可判断A；根据长度关系可求得，进而可判断；根据渐近线的斜率可算出离心率，进而了判断C；解三角形可得，所以，，，求出直角三角形的面积，列出方程即可判定D. 【详解】 如图，∵，∴，， ∵点F到两条渐近线的距离相等，∴，故A正确； ∵AB⊥OA，，∴，，，，故B正确； 由B知，一条渐近线的斜率，则，故C不正确； 由C知，，所以，，，∴，∴，，，故D正确， 故选：ABD． 10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，……．，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．已知数列，，，（），记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用数列易得，判断A；计算可得判断B；计算可得判断C；由，可判断D. 【详解】由题意知1，2，3，5，8，13，故，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ∵， ，，故D选项正确． 故选：CD. 11. 在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是（    ） A．当平面时，可能垂直 B．当时，的最小值为 C．若与平面所成的角为，则点的轨迹的长度为 D．当时，正方体经过点的截面面积的取值范围为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量研究线面关系可判定A，将图形展开成平面图形，结合余弦定理计算即可判定B，利用线面角及圆的概念可判定C，利用空间向量计算点到线的距离公式及图形的对称性可计算面积判定D. 【详解】根据平面向量共面定理可知点P位于侧面正方形上（包含四边）， 对于选项：建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即平面的一个法向量为， 若平面，则，即， 则当时，， 即为中点时，有平面，且，故A正确； 选项：如图，将平面与平面沿展成平面图形，    线段即为的最小值， 由余弦定理可知， 所以，故B错误； 选项：因为平面，连接， 则即为与平面所成角， 若与平面所成角为， 则，所以， 即点的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点的轨迹长度为，故正确；    选项：当时，可知P在上，设， 正方体经过点的截面为平行四边形， 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以， 所以点到直线的距离为 ， 于是当时，的面积取最小值，则此时截面面积为； 当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，故正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，且共面，则 ． 【答案】/0.8 【分析】由共面可知存在实数使得，结合向量的坐标表示建立方程组，解之即可. 【详解】由题意知，共面， 则存在实数使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知数列满足，，为数列的前n项和，则满足不等式的n的最大值为 . 【答案】8 【分析】已知递推关系凑配一个等比数列，从而可得通项公式，再由分组求得法及等比数列的前项和公式求得，化简不等式后求解即得． 【详解】由得，又，从而， 所以是等比数列，所以， ，所以， ，由得（因为是正整数）， 所以的最大值是8. 故答案为：8. 【点睛】方法点睛：在已知递推关系的数列，一般用凑配法得出等比数列，从而求得其通项公式：设，则，由此有，在时，因此只要，则数列是等比数列（，数列是等差数列，，数列是常数列）． 14．在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身；平面曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线定义为曲线的“伴随曲线”，则下列命题： ①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点； ②圆心在原点的单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 真命题的序号是______. 【答案】②③ 【分析】对①，由定义求得的“伴随点”，化简即可判断；对②，任取单位圆上一点，则为单位圆上的点，的轨迹为单位圆；对③，任取曲线关于轴对称的两点，判断其伴随点是否关于y轴对称；对④，任取不过原点的直线上的三点，验证其对应的伴随点不在一条线上. 【详解】对①，设点，则，则的 “伴随点”为，即，不为点A，①错； 对②，任取单位圆上一点，则为单位圆上的点，的轨迹为单位圆，②对； 对③，任取曲线关于轴对称的两点，则伴随点为，关于y轴对称，③对； 对④，不妨取直线上的三个点，对应的伴随点为， 由，故对应的伴随点不在一条线上，故一条直线的“伴随曲线”不一定是一条直线，④错. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知等差数列中，，前n项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，． (1)求与； (2)定义新数列满足，，求前20项的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出公差和公比，根据等差数列和等比数列的基本量运算，列出方程组，解之即得数列通项； （2）根据数列的奇偶性特征，运用分组求和法计算，利用等差数列和等比数列的求和公式计算即得. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 则由可得，， 解得：故 （2）由（1）得，，， 则 16．（15分）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是双曲线的右顶点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线 与抛物线相交于A、B两点，解决下列问题： （i）求弦长； （ii）求证：. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求出双曲线右顶点，再求出抛物线的方程即得. （2）把直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合弦长公式及数量积的坐标表示求解即得. 【详解】（1）双曲线，即，其右顶点为，则抛物线的焦点为， 而抛物线的顶点是坐标原点，所以抛物线的方程：. （2）（i）设，， 由消去x得：，则，， 于是， 所以. （ii）显然，， 则，显然，即， 所以.    17．（15分）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面的中心，平面.    (1)求证：平面； (2)求平面和平面的夹角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线面垂直的性质得到，由线面垂直的判定定理得平面，由线面垂直的性质得；再利用勾股定理及线线平行垂直的性质得到；最后利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，先求出平面和平面的法向量；再利用空间夹角的向量求法运算即可得解. 【详解】（1）   证明：因为平面，且平面. 所以，. 因为四边形为正方形，. 所以，且. 又因为 所以平面. 因为平面 故. 因为在中，，O为AC的中点. 所以， 则，即. 又因为， 所以. 又平面，且平面，且 所以平面. （2）因为两两垂直 则以为原点，分别以向量的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：    ， . . 由可得， 则. 设平面的一个法向量为 则，得 取，得. 设平面的一个法向量为 又 则，得， 取，得 所以. 平面和平面的夹角的余弦值为,夹角的正弦值为. 平面和平面的夹角的正切值为. 18．（17分）已知椭圆的离心率，且上的点到点的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为. ①试证直线恒过定点； ②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据椭圆的离心率及距离的最大值，列出方程组求解即得. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得； （ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再利用函数的单调性求出最大值. 【详解】（1）由的离心率，则， ，设上的点， 则， ， ①当，即时，的最大值为， 由，则， 又，所以，所以此时椭圆的方程为 ②当，即时，的最大值为， 由， 即，解得，不合题意. 综上可知，的方程为. （2）①当直线斜率存在时，设直线的方程为， ，则， 由得， ，即 ， 直线方程为， 当时， ， 故直线恒过定点. 当直线斜率不存在时，直线方程为也过. 故直线恒过定点. ②由题意知，此时的斜率一定存在. ， 由及， 所以 ， 因为，令， 所以在上单调递增. 故的取值范围为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 19．（17分）设有穷数列的项数为，若（为常数，且），则称该数列为等积数列，叫做该数列的公共积. (1)若是公共积为的等积数列，求该数列的公共积及； (2)若是公共积为的等积数列，且（且为常数），证明：当时，对任意给定的，数列中一定存在相等的两项； (3)若是公共积为1的等积数列，且是奇数，对任意的都存在正整数，使得，求证：是等比数列. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据等积数列定义求解可得答案； （2）当时，根据等积数列的定义，、及可得答案； （3）设，利用是公共积为1的等积数列得，存在正整数，使得，必有，再有，得是公比为的等比数列可得答案. 【详解】（1）为等积数列，. ； （2）当时， 是公共积为的等积数列，， 又. 又， ，即原命题得证； （3）设 是公共积为1的等积数列，且， 对任意的，都存在正整数，使得， ，这项均为中的项， 由题可知，， 必有， 又， 是公比为的等比数列. 是公比为的等比数列. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用等积数列的定义和等比数列的定义求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学期末考试模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 范围：人教A版2019选择性必修第一册全部+选二数列 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．在等差数列中，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．经过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 4．空间直角坐标系中，平行四边形的三点坐标分别为，，，则D的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知等比数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上一点，，点到直线的距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与相交于点P，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点．则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．离心率 D．若，则 10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，……．，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．已知数列，，，（），记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11. 在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是（    ） A．当平面时，可能垂直 B．当时，的最小值为 C．若与平面所成的角为，则点的轨迹的长度为 D．当时，正方体经过点的截面面积的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，且共面，则 ． 13. 已知数列满足，，为数列的前n项和，则满足不等式的n的最大值为 . 14．在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身；平面曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线定义为曲线的“伴随曲线”，则下列命题： ①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点； ②圆心在原点的单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 真命题的序号是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知等差数列中，，前n项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，． (1)求与； (2)定义新数列满足，，求前20项的和． 16．（15分）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是双曲线的右顶点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线 与抛物线相交于A、B两点，解决下列问题： （i）求弦长； （ii）求证：. 17．（15分）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面的中心，平面.    (1)求证：平面； (2)求平面和平面的夹角的正切值. 18．（17分）已知椭圆的离心率，且上的点到点的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为. ①试证直线恒过定点； ②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围. 19．（17分）设有穷数列的项数为，若（为常数，且），则称该数列为等积数列，叫做该数列的公共积. (1)若是公共积为的等积数列，求该数列的公共积及； (2)若是公共积为的等积数列，且（且为常数），证明：当时，对任意给定的，数列中一定存在相等的两项； (3)若是公共积为1的等积数列，且是奇数，对任意的都存在正整数，使得，求证：是等比数列. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$