(思维训练)四 长方体（二）-【训练达人】2024-2025学年五年级下册数学（北师大版）

数学思维训练 四 长方体（二) 典例讲解1 将一个长12cm,宽4cm,高4cm的长方体分割成三个一样大的小正方体，三个小正方 体的表面积比原长方体的表面积增加了多少平方厘米？三个小正方体的体积和与原长 方体相比呢？ 4 cm 12cm 【点拨】分成三个小正方体后多出四个面，且体积不变。 举一反三1 1.如图：一个长方体切去一个长为8cm,宽为8cm,高为4cm的小长方体后，表面积和体 积各有什么变化？ 2.一个棱长为10cm的正方体，从上面截去一段，表面积减少了100cm,剩下一段的体积 是多少立方厘米？ 10 cm 3.一个正方体，高先增加4dm,再从下部截去高为2dm的长方体，得到一个新的长方体， 这个新长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了80dm。原来正方体的体积是 多少？ bDp9 小学数学五年级下册 典例讲解2 在一个长80cm,宽50cm的长方体玻璃水缸中，放入一块棱长2dm的正方体铁块，水 面会上升多少厘米？（水未溢出） 【点拨】水面上升的体积就是正方体铁块的体积。 举一反三2 1.一个正方体玻璃容器，从里面量棱长为2dm,向容器中倒入5.5L的水，再把一个苹果 完全浸入水中，这时量得容器中水深15cm。这个苹果的体积是多少立方分米？ 2.一个长方体容器，长20cm、宽15cm、高10cm。容器中装满水后，将两块三角铁同时沉 入水中，有部分水溢出，再将两块三角铁同时取出，这时容器中的水面高度是6cm。一 块三角铁的体积是多少？ 3.如下图所示，长、宽、高分别为10cm、10cm、6cm的长方体容器中盛有深4cm的水，向 容器中放入一个棱长为5cm的正方体铁块，现在容器中的水深变为多少厘米？ 10 cm -l0cm→ 4.在一个长6m、宽5m、高4m的水池中注满水，然后把两根长80cm、宽40cm、高4m 的石柱立着放入水池中，则水池溢出的水的体积是多少？ 10p> 数学思维训练 5.一个长方体容器，底面是边长为60cm的正方形，容器里直立着一个高1m的长方体铁 块，铁块的底面是边长为15cm的正方形，这时容器里的水深50cm(如图一)，现在把 铁块轻轻向上提起24cm(如图二)，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？ 图 ☒ 典例讲解3 把一块不规则的橡皮泥，捏成一个棱长为6cm的正方体。这块橡皮泥的体积是多少立 方厘米？ 【点拨】在捏制过程前后体积是不变的。 举一反三3 1.一个密封的长方体玻璃容器（玻璃厚度不计），长4dm、宽3dm、高8dm,里面水深5dm (如图1)，现在以这个容器的右侧面为底，侧放在桌上（如图2），这时水深多少分米？ 4 8 图1 图2 2.将表面积分别为96cm和216cm2的两个正方体铁块熔成一个大长方体（不计损耗）， 已知大长方体的长是8cm,宽是5cm,求这个大长方体的高。 11 小学数学五年级下册 典例讲解4' 一个零件的形状如下图，求它的体积。（单位：cm) 2 10 【点拨】把原图形转化成一个规则的立体图形。可以通过分割将原图形转化成两个规则 长方体，用加法解答：也可以通过补充将原图形转化成一个规则长方体，用减法解答。 举一反三4) 1.求下面图形的表面积和体积。（单位：cm) 0.5 05 3 2.求下面长方体容器中的水有多少升？（容器厚度忽略不计） 20cm 40 cm 12◆DD小学数学五年级1下册 第一个月制作的数量占计划的子，是把计划 四 长方体（二） 制作的数量看作单位“1”，第二个月制作的 典例讲解1 数量占第一个月的子，把第一个月制作的数 【思路分析】正方体可以理解成长、宽、高均相 量看作单位“1”。根据上图可以看出把总计 等的长方体，宽和高都为4cm,将长12cm平 划制作的数量平均分成4份，第一个月占其 均分成三等份，就构成棱长为4cm的三个小 中的1份，然后又把第一个月完成的数量平 正方体。分成三个小正方体后，从剖开的地方 均分成3份，第二个月占其中的2份，第二 就会多出四个面，这四个面的面积就是比原来 个月相当于占计划总量的合，然后将两个 长方体增加的面积。图解如下： 月所占计划总量的分率相加即可。 4厘米 【规范解答】}×号-日+日-是 4厘米 答：李先生两个月制作的软木画共占计划 12厘米 多。 2.【思路分析】根据题意画图如下： 4厘米 600kg 4厘米4厘米 4厘米 还剩了 3 少3 4厘米 文进制下的4 4厘米 4厘来 4厘米 4厘米 4厘米 现在有 多出的面积，也可以 多出了4个面，每个 用三个正方体的表而 面都是边长为4厘米 由图可得剩余西瓜的质量为600X1-号) 积之和减去原长方体 的正方形。 的表面积。 kg,再结合又购进所剩西瓜的子，可以求出 【规范解答】 方法一：直接计算。 又购进的西瓜质量为600×(1一 增加的表面积：4×4×4=64(cm2) 最后相加即可。也可以根据所画线段图求 方法二：间接计算。 出剩余西瓜与又购进的西瓜分率之和占原 原长方体的表面积：(12×4十12×4十4×4)× 来单位“1”的几分之几（注意单位“1”的变 2=224(cm2) 化)，再用乘法计算即可。 三个小正方体的表面积之和：4×4×6×3= 【规范解答】600×1-号)+600×1-号) 288(cm2) ×是-350kg 增加的表面积：288一224=64(cm2) 答：三个小正方体的表面积比原长方体的表面 或600X[1-号+1-号)×]=350(ke) 积增加了64cm2。 答：现在该超市有350kg西瓜。 长方体体积：12×4×4=192(cm3) 24D 答案详析围 三个小正方体的体积和：4×4×4×3=192(cm) 剩下长方体的体积： 答：切割前后体积没有增加，所以体积不变，三 10×10×7.5=750(cm3) 个小正方体的体积和与原长方体体积相等。 答：剩下一段的体积是750cm3。 举一反三1 3.【思路分析】原来正方体的高先增加4dm, 再从下部截去高为2dm的长方体，相当于 1.【思路分析】如图： 原来正方体的高增加了2dm,底边长不变。 增加的面积是4个相同的宽为2dm的长方 形的面积，再根据增加的表面积可以求出原 因此，表面积不变，体积减少一个小长方体 正方体的棱长。 的体积。 【规范解答】原来正方体的棱长：80÷4÷ 【规范解答】8×8×4=256(cm) (4-2)=10(dm) 原来正方体的体积：10×10×10=1000(dm3) 答：表面积不变；体积减少256cm3。 答：原来正方体的体积是1000dm3。 2.【思路分析】根据题意，要求剩下一段（长方 典例讲解2 体)的体积，得找到剩下的长方体的高，题中 【思路分析】放入一块棱长为2dm的正方体， 已知截去一段后表面积减少了100cm2,而 水面上升的体积与正方体的体积相等。而水 减少的面积展开后实际是一个长方形，据此 面上升所形成的形状是一个规则的长方体，长 求出长方形的宽，也就是截去长方体的高， 为80cm,宽为50cm。用正方体的体积（也是 由此算出剩下的长方体的体积。图解如下： 水面上升所形成的长方体的体积)与长方体的 最上面的正方体截走后，下 底面积相除，就可求出水面上升的高度。 面的长方体又多出1个完会 一样的正方形，所以最上面 减少的面就是前、 的面没有减少 后、左、右四个面 10厘米 ?厘米 50厘米 10厘米 50厘米7 80厘米3 80厘米 上升水的体积等于 100平方厘米 正方体的体积 10厘米 ?厘米 【规范解答】2dm-20cm 10厘米10厘米10厘米10厘米 20×20×20÷(80×50) 100-(10×4 12.5厘米 =8000÷4000 =2.5(厘米) 10-2.5=7.5(厘米) =2(cm) 10厘米 答：水面会上升2cm. 【规范解答】截去的长方体的高： 举一反三2 100÷(10×4)=2.5(cm) 1.【思路分析】苹果的体积就是加入苹果后水 剩下长方体的高： 的体积减去倒入的水的体积，注意单位 10-2.5=7.5(cm) 换算。 ◆D25 小学数学五年级1下册 【规范解答】5.5L=5.5dm3 15cm=1.5dm 2×2×1.5=6(dm3) 6米 80厘 6 溢出水的体积等于两个石柱的体积。 6-5.5=0.5(dm) 【规范解答】80cm=0.8m 答：这个苹果的体积是0.5dm3。 40cm=0.4m 2.【思路分析】两块三角铁同时沉入水中，溢 0.8×0.4×4×2=2.56(m3) 出的水的体积是两个三角铁的体积。 答：水池溢出的水的体积是2.56m3。 【规范解答】20×15×(10-6)=1200(cm3) 5.【思路分析】由图一可知，容器中水的底面 1200÷2=600(cm) 积=容器的底面积一长方体铁块的底面积， 答：一块三角铁的体积是600cm3。 容器中水的底面积×水的高度（图一）一水 3.【思路分析】首先要判断铁块是否完全浸没 的体积，用V表示。 于水中。如果放人铁块后的水面高度大于 由图二可知，把铁块轻轻向上提起24cm 或等于铁块的高度，是完全浸没于水中，低 后，水面会下降一些，但水的体积不变。把 于铁块的高度，是部分浸入水中。所以先来 水的体积分成两部分，V1表示有铁块的， 判断铁块是否完全浸人水中：如果完全浸人 V,表示没有铁块的，水的底面积也分成两 水中，水深可以用铁块的体积与原来水的体 部分，S,表示有铁块的，S2表示没有铁块的 积之和除以容器的底面积，算出此时的水面 (容器的底面积)，根据题意可知： 高度：如果不完全浸人，需要借助水的体积 V=S1×50=V,+V2=S1×铁块在水中的 不变解决问题。 高度+S2×24, 【规范解答】(10×10×4+5×5×5)÷ 铁块在水中的高度=(S1×50一S,×24)÷ (10×10)=5.25(cm) S,带入计算即可。 5.25>5,此时水面的高度大于铁块的高度， 【规范解答】水的体积： 铁块完全浸入水中。 (60×60-15×15)×50=168750(cm3) 答：现在容器中的水深变为5.25cm。 铁块提起后下面24cm深的水的体积： 4.【思路分析】水池先注满水，任意放一个物 60×60×24=86400(cm3) 体进去都会溢出水来，不管池子有多大，放 50-(168750-86400)÷(60×60-15×15) 一个体积小的物体，溢出的水就会少一些， =25.6(cm) 反之，放一个体积大的，溢出的水就会多一 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长 些。即放进去的物体体积有多大，溢出水的 25.6cm. 体积就有多少。它与池子的大小无关，只要 典例讲解3 物体是全部淹没，求溢出水的体积，就是求 【思路分析】解决此题的关键是抓住题目中的 放进去的物体的体积。 不变量，在捏制过程前后体积是不变的，即求 26 答案详析围 出棱长为6cm的正方体的体积就是这块橡皮 图一的长、宽、高分别是10cm、2cm和4cm; 泥的体积。 图二的长、宽、高分别是10cm、(6一2)cm和 【规范解答】6×6×6=216(cm) 2cm。 答：这块橡皮泥的体积是216cm3。 【规范解答】10×2×4=80(cm3) 举-反三3 10X(6-2)×2=80(cm3) 1.【思路分析】不管怎么放置，水的体积不变， 80+80=160(cm3) 此时的水深=水的体积÷第二个长方体容 答：它的体积是160cm3。 器的底面积。 举一反三4 【规范解答】4×3×5÷(8×3)=2.5(dm) 1.【思路分析】①此题可以用割补法求这个组 答：这时水深为2.5dm。 合图形的表面积，先将小长方体的左面补给 2.【思路分析】已知熔铸前和熔铸后的体积是 大长方体，再将小正方体的右面补给大长方 不变的，然后用体积除以新得到的大长方体 体，这样这个大长方体的2个左右侧面就补 的底面积即可求出它的高，而求出熔铸前的 全了，剩下的小长方体和正方体都剩下4个 每个正方体的边长是解决这个问题关键。 面，分别求出大长方体的表面积、小长方体 具体求法可按照下图中所示步骤进行： 前、后、上、下面的面积和正方体前、后、上、 正方体 一个面 下面的面积，然后相加就得出组合图形的表 棱长 体积 表面积 的面积 面积。 ②这个不规则物体的体积一两个长方体的 【规范解答】96÷6=16(cm2) 体积十一个正方体的体积 因为4×4=16，所以第一个正方体的棱长 是4cm; 216÷6=36(cm2) 3 因为6×6=36，所以第二个正方体的棱长 0.5 0.5 是6cm; 4×4×4+6×6×6=280(cm3) 【规范解答】 280÷(8×5)=7(cm) 表面积：[1×(0.8+0.5)+0.5×(0.8十 答：这个大长方体的高是7cm。 0.5)+1×0.5]×2=4.9(cm2) 典例讲解4 (0.8×0.5+0.5×0.5)×2=1.3(cm2) 【思路分析】可以把零件沿虚线分成两个长方 0.5×0.5×4=1(cm2) 体，先分别求出两个长方体的体积，再加在一 4.9+1.3+1-7.2(cm2) 起就是这个零件的体积，如下图所示： 体积：0.5×0.5×0.8=0.2(cm3) 10 10 1×0.5×(0.8+0.5)=0.65(cm3) 0.5×0.5×0.5=0.125(cm3) (6-2) 图二 0.2+0.65+0.125=0.975(cm3) ◆◆27 小学数学五年级1下册 2.【思路分析】容器中的水正好占长方体容器 【规范解答】1÷(2÷3)÷(3÷4)÷… 的一半，据此解答即可。 ÷(18÷19)÷(19÷20) 【规范解答】40×20×20÷2=8000(cm3) 1÷2÷4÷…÷8÷9 8000cm3=8L 1920 答：长方体容器中的水有8L。 =1× 2x×…×× 分数除法 =10 2.【思路分析】这个问题采用整体约分法解 典例讲解1 决。观察式子发现左半部分和右半部分分 【思路分析】 母一致，每个分数之间的运算符号也相同， 方法一：可以把算式转化成2021乘一个数的 故猜测左半部分的分数中分子之间存在某 形式。 种倍数关系，我们通过变换发现左侧可以化 2021÷2021 2021 2022 =2021÷2021×2022+2021 成6x(片-2+日-}+…+号一品2， 2022 到这里问题就可以迎刃而解了。 =2021÷2021×(2022+1D 【规范解答】 2022 2022 (2+3+4_3+4+5+4+5+6_5+6+7 =2021× 1 2 3 4 2021×(2022+1) 2022 +…+10++12-11+12+13)÷ 9 10 2023 方法二：采用倒数法。 2021÷20212021 2022 =(号-号+5-+…+9-8÷ =1÷(2021 2021 2022 ÷2021) -+++日- -1÷[(2021+802)÷2021] 20221 =39-38+3号-3++3号 =1÷2021× 1 2021× 1 202120222021 3÷1-+日}+…+日-） 9-101 =1÷[1+202] 1 =(9-+-+…+g-品)÷ -1+8器 2022 =2023 =6×1-司 1-1+…+g 3 4 举一反三1 1.【思路分析】本题考查除法算式可以转化成 (1一 11_1十…十 分数的形式，再利用除以一个数等于乘它的 23 4 10 倒数这个性质，再约分即可。 =6 28