7.1.3 两条直线被第三条直线所截（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

人教版（2024）七年级数学下册 第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 7.1.3 两条直线被第三条直线所截 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 理解同位角、内错角、同旁内角的概念. 2. 结合图形识别同位角、内错角、同旁内角. 3. 从复杂图形分解为基本图形的过程中，体会化繁为简、化难为易的化归思想. 情景导入 直线 AB 和 EF 相交，能形成具有什么关系的角？ B A F E 1 4 2 3 情景导入 邻补角： B A F E 1 2 B A F E 1 4 B A F E 2 3 B A F E 4 3 对顶角： B A F E 4 2 B A F E 1 3 新知探究 前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的情形，接下来，我们进一步研究同一平面内一条直线与两条直线分别相交的情形． B A F E 1 4 2 3 D C 5 8 6 7 如图，直线AB，CD与EF相交（也可以说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截）， 构成八个角.我们已经学习了有公共顶点的角的关系，下面我们看那些没有公共顶点的两个角的关系． 新知探究 B A F E 1 4 2 3 D C 5 8 6 7 先看图中的∠1和∠5，这两个角分别 在直线AB，CD的同一侧（上方），并且都在直线EF的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫作同位角. (1) ∠2和∠6是同位角吗？ (2) 图中还有没有其他同位角？ (1) ∠2和∠6是同位角. (2) ∠3和∠7 ，∠4和∠8是同位角. 新知探究 B A F E 1 4 2 3 D C 5 8 6 7 再看∠3和∠5，这两个角都在直线AB，CD 之间，并且分别在直线EF的两侧（∠3在直线EF的左侧，∠5在直线EF的右侧），具有这种位置关系的一对角叫作内错角． ∠3和∠6虽然也都在直线AB，CD之间，但是它们在直线EF的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角. 图中还有没有其他内错角与同旁内角？ 内错角：∠4 和∠6. 同旁内角：∠4 和∠5. 例题讲解 例3 如图，直线DE，BC 被直线AB所截. （1）∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位置关系的角？ 解：（1）∠1和∠2是内错角， ∠1和∠3是同旁内角， ∠1和∠4是同位角. （2）如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？ 解：（2）如果∠1=∠4，又由对顶角相等，可得∠2=∠4，因此∠1=∠2. 因为∠4和∠3互补，所以∠4+∠3=180°. 又因为∠1=∠4，所以∠1+∠3=180°， 即∠1和∠3互补. 课堂练习 1. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角. a b c c a b 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 8 7 （1） （2） 课堂练习 1. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角. 同位角： 内错角： 同旁内角： ∠1与∠5， ∠2与∠6， ∠3与∠7， ∠4与∠8； ∠3与∠5， ∠4与∠6； ∠3与∠6， ∠4与∠5； （1） a b c 1 2 3 4 5 6 8 7 （1） c a b 1 2 3 4 （2） 同位角： 同旁内角： ∠1与∠3， ∠2与∠4， ∠2与∠3; （2） 2. 如图，∠B与哪个角是内错角？与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？对∠C进行同样的讨论. A B C D E ∠B与∠DAB是内错角； ∠B与∠C，∠BAE，∠BAC 是同旁内角. ∠C与∠EAC是内错角， ∠C与∠DAC，∠BAC，∠B是同旁内角. 分层练习 1. 如图，直线,被直线所截，则与 是( ) A （第1题） A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 邻补角 2. 如图，下列说法中，不正确的是( ) A （第2题） A. 和 是同位角 B. 和 是对顶角 C. 和 是同旁内角 D. 和 是内错角 3. 下列数字中，与 是内错角的是( ) C A. B. C. D. 4.下列手势表示的角分别是__________________________. 同位角、内错角、同旁内角 5. 看图填空： （1）和 是直线_________被直线 ____所截得的________； 和 同位角 （2）和 是直线_________被直线____所截得的________； （3）和 是直线_________被直线____所截得的__________. 和 内错角 和 同旁内角 6. 如图所示，把一根筷子 的一端放在水里，一端露出水面，筷子变 弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光 的折射现象，光从空气中射入水中，光的 传播方向发生了改变. （1）请指出与 是同位角的有哪些角？ 【解】，， . （2）请指出与 是同旁内角的有哪些角？ 【解】，， . （第7题） 7. 阳江风筝，流传于广东省阳江市的传统手 工技艺，已有1400余年的历史.如图所示的风 筝骨架中，与 构成同旁内角的是( ) A A. B. C. D. （第8题） 8.在如图所示的6个角中，同位角 对，内错角 对，同旁内角对，则 的值为___. 0 【点拨】在题图的6个角中，同位角有 与 ，与，共2对，即,内错角有 与 ，与,共2对，即,同旁内角有与， 与 ，与，与,共4对，即 ,所以 . 9.两条直线被第三条直线所截，是的同旁内角， 是 的内错角. （1）画出示意图，标出，， ； 【解】如图所示： （2）若，，求，， 的度数. 【解】因为， ， 所以设，则， . 因为 ， 所以 ，解得 ， 所以 ， ， . 10.如图，已知直线与交于点,与 交 于点,平分,若 , . （1）求 的度数； 【解】因为 , 所以 . 因为平分 , 所以 . （2）写出与 互为同位角的角； 【解】与互为同位角的角是 . （3）求 的度数. 【解】因为 , 所以 . 因为 , 所以 , 所以 . 11. 如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一 个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角.跳动时， 每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上， 例如：写出从起始位置跳到终点位置 的两种不同路径: 路径同旁内角内错角 ; 路径内错角内错角同位角 同旁内角 . 试一试： （1）写出从起始位置跳到终点位置 的一种路径； 【解】内错角同旁内角 .（答案不唯一） （2）从起始位置 依次按同位角、内错 角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位 置 ？若能，请写出其路径. 【解】能.其路径为： 同位角内错角 同旁内 角 . 12. 观察下面表格，并阅读相关文字： 示意图 _________________ _________________ _________________ … 相交 情况 1条直线与2条 互不相交的直 线相交 1条直线与3条 互不相交的直 线相交 1条直线与4条 互不相交的直 线相交 … 同位角 对数 对 对 对 … 内错角 对数 对 对 对 … 同旁内 角对数 对 对 对 … 续表 则由上述规律可知： （1）1条直线与6条互不相交的直线相交产生____对同位角， ____对内错角； （2）1条直线与 条互不相交的直线相交产生 __________对同位角，_________对内错角； 60 30 （3）利用（2）中的结论，解决下列问题：三条直线两两相 交（不交于同一点），可构成同位角的对数是( ) A A. 12对 B. 8对 C. 6对 D. 4对 习题 1. 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O. （1）写出∠AOC，∠BOE 的邻补角； （2）写出∠DOA，∠EOC 的对顶角； （3）如果∠AOC = 50°，求∠BOD，∠COB的度数. 解：（1）∠AOC 的邻补角是 ∠AOD、∠COB；∠BOE 的邻补角是 ∠AOE、∠BOF； （2）∠DOA 的对顶角是 ∠BOC；∠EOC 的对顶角是 ∠DOF； （3）因为∠BOD 与∠AOC 是对顶角， 所以∠BOD =∠AOC = 50°. 因为∠COB 与∠AOC 互为邻补角， 所以∠COB +∠AOC = 180°. 则∠COB = 180°-∠AOC = 180°-50°= 130°. 2. 如图，在一张半透明的纸上画一条直线 l ，在 l 上任取一点 P，在 l 外任取一点 Q，折出过点P 且与 l 垂直的直线.这样的直线能折出几条？为什么？过点 Q 呢？ 解：过点 P 且与 l 垂直的直线只能折出一条，因为过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 过点 Q 且与 l 垂直的直线也只能折出一条， 理由同上. 3. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，EO ⊥ AB，垂足为 O，∠EOC = 35°.求∠AOD 的度数. 解：因为EO⊥AB，所以∠AOE = 90°， 所以∠AOC +∠EOC =∠AOE = 90°， 所以∠AOC = 90°-∠EOC = 90°-35°= 55°， 又因为∠AOC +∠AOD = 180°， 所以∠AOD = 180°-∠AOC = 125°. 4. 如图，画 AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F. 解：AE 和 CF 如图中虚线所示. E F A B C D 5. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC. （1）若∠EOC = 70°，求∠BOD 的度数； （2）若∠EOC∶∠EOD = 2∶3，求∠BOD 的度数. 解：（1）因为 OA 平分∠EOC 且∠EOC = 70°， 所以∠AOC = ∠EOC = ×70°= 35°. 因为直线 AB、CD 相交于点 O， 所以∠BOD 与∠AOC 是对顶角. 故∠BOD = ∠AOC = 35°. （2）因为∠EOC∶∠EOD = 2∶3， 又因为∠EOC +∠EOD = 180°， 所以∠EOC = 180°× = 72°， 因为 OA 平分∠EOC， 所以∠AOC = ∠EOC =36°， 所以∠BOD =∠AOC = 36°. 6. 如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少（比例尺为1∶160）？ 解：经测量起跳线到右脚后跟的距离为 2.5 cm，设李明实际跳了 x cm，依题意，得 2.5∶x = 1∶160， x = 400. 因为 400 cm = 4 m. 所以李明的跳远成绩是 4 m. 7.如图，∠1 和∠2，∠3 和∠4 各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么位置关系的角？ 解：（1）∠1 和∠2 是直线 AB、CD 被直线BD 所截形成的，是内错角；∠3 和∠4 是直线 AD、BC 被直线 BD 所截形成的，是内错角. （2）∠1 和∠2 是直线 AB、CD 被直线 BC 所截形成的，是同旁内角；∠3 和∠4 是直线 AD、BC 被直线 AE 所截形成的，是同位角. 8. 如图，AB⊥l ，CB⊥l ，B 为垂足，那么A，B，C 三点在同一条直线上吗？请说明理由. 解：A、B、C 三点在同一条直线上. 因为过一点 B 有且只有一条直线与 l 垂直. 9.直线 AB，CD 相交于点 O. （1）OE，OF 分别是∠AOC，∠BOD 的平分线. 画出这个图形. （2）射线 OE，OF 在同一条直线上吗？为什么？ 解：（1）如图所示. （2）射线 OE、OF 在同一条直线上.理由如下：由角的平分线定义可知 ∠COE = ∠AOC，∠DOF = ∠DOB. 由对顶角相等，可得∠AOC =∠DOB， 所以∠COE =∠DOF. 由平角的定义，可知∠COD = 180°，即∠EOC +∠EOD = 180°. 所以∠DOF + ∠EOD = 180°， 即∠EOF = 180°， 所以射线 OE、OF 在同一条直线上. 课堂小结 同位角、内错角、同旁内角 图中判断三线八角(描图法) 把两个角描出来 找到两个角的公共直线 结构特征 内错角：___型 同旁内角：___型 同位角：___型 “F ” “Z ” “U ” 观察判断两个角类型 $$