7.1.2 两条直线垂直（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

人教版（2024）七年级数学下册 第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 7.1.2 两条直线垂直 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 理解垂线的有关概念、性质及画法. 2. 知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会解决 相关问题. 情景导入 日常生活里，有图中位置关系的两条直线很常见，你能再举出其他例子吗？ 新知探究 如图，固定木条a，转动木条b. 当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化. a b α α α α α b b b 当∠α=90°时，两根木条垂直. a α 新知探究 一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b相互垂直，记作“a⊥b”. 两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 在下图中，AB⊥CD，垂足为 O. 新知探究 由上可知，如果两条直线相交所成的四个角中有一个角等于90°，那么这两条直线互相垂直. 在图中，如果直线AB，CD相交于点O， ∠AOD=90°， 那么AB⊥CD. 这个推理过程可以写成下面的形式： 因为∠AOD=90°， 所以AB⊥CD. 反之， 因为 AB⊥CD， 所以 ∠AOD=90°. 在日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，例如下图中窗户上互相垂直的木条、网球拍上互相垂直的网线．你能再举出其他例子吗？ 接下来我们研究互相垂直的两条直线的性质． 探究 l A 1条 （1）经过直线上一点 A 画 l 的垂线， 这样的垂线能画几条？ 如图，用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线. l B 1条 （2）经过直线外一点 B 画 l 的垂线， 这样的垂线能画几条？ 可以发现，经过一点（在已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线．由此得到关于垂线的基本事实： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 例题讲解 例2 如图，过点 P 画出射线 AB 或线段 AB 的垂线. A B P (1) A B P (2) A B P (3) 画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线． 思考 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处，如何让挖渠能使渠道最短？ 探究 如图，P点是直线 l 外一点，PO⊥l，垂足为O，称PO为点 P 到直线 l 的垂线段. P l O A是直线l上除点O外一点，连接PA，测量并比较线段PO与PA的长度，你能得出什么结论？ A 改变点A的位置呢？ 你也可以利用信息技术工具，在直线 l 上拖动点A，改变点A的位置，探究PO与PA的长度关系． P l O A 可以发现，连接直线外一点与直线上各点的所有线段，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 线段 PO 的长度是点 P 到直线 l 的距离 课堂练习 1. 当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？ 两条直线相交做成的四个角的和为360°，四个角相等，即每个角都等于90°，根据垂直的定义，这两条直线互相垂直. 2. 如图，分别过点P画直线AB，CD的垂线，并量出点P到直线AB的距离. A C B D P O 线段PO的长度即位点P到直线AB的距离. 3.如图，在三角形ABC中，∠C=90°. （1）分别指出点A到直线CB，点B到直线AC 的距离是哪些线段的长度； （2）三条边 AB，AC，CB中哪条边最长？为什么？ A C B （1）点A到直线BC的距离、点B到直线 AC的距离分别是线段AC，BC的长; （2）根据“垂线段最短”，可知线段AB最长. 分层练习 1.如图，已知，若 ，则 的度数为( ) B （第1题） A.B. C. D. （第2题） 2.[2024· 北京] 如图，直线和相交于点 ， .若 ，则 的大小为 ( ) B A. B. C. D. （第3题） 3.[2024· 广州南沙区期末] 如图，已知直线 ，相交于点， 下列条件中不能说明 的是( ) C A. B. C. D. 4. 下列选项中，用三角尺过点画的垂线 ，放法正确 的是( ) C A B C D 5.如图，点与直线上的四个点，，， 的所有连线中，最短 的线段是( ) B （第5题） A.B.C.D. 6. 下列图形中线段的长度表示点到直线 的距离的是( ) C A B C D 7. [2024· 福州晋安区期末] 如图是小林同学一次立 定跳远的示意图，小林从点起跳，落在点 处， 经测量， ，那么小林实际的跳远成绩 可能是( ) A A. B. C. D. （第8题） 8. 如图，王师傅为了检验门框 是 否垂直于地面，在门框的上端 处用细线悬挂一铅 锤，看门框是否与铅锤线重合.若门框 垂直于地 面，则会与重合，否则与 不重合.请你用 所学的数学知识说明道理：______________________ _______________________________. 在同一平面内，过一 点有且只有一条直线与已知直线垂直 9. 如图，直线，相交于点，，平分，则 的度数是_____. （第9题） 10. 如图，已知和一点，过点画 两边的垂线. 解：画图如图所示. 11.如图， ，，垂足为 ，则下面的结论中， 不正确的是( ) A A.点到的垂线段是线段 B.与 互相垂直 C.与 互相垂直 D.线段的长度是点到 的距离 （第12题） 12. 如图，于点 ，于点 ， 下列关系式中一定成立的是( ) C A. B. C. D. （第13题） 13. 如图是光的反射定律示意图，，， 分别是入射光线、反射光线和法线, 为反射面 （提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射 光线与法线的夹角，且反射角等于入射角，法线 垂直于反射面）.若，则 的度数为_____. [解析] 点拨：由光的反射定律可知法线垂直于反射面，即 ， 所以 . 因为，所以 ， 所以 ， 所以 . 14. 如图，平原上有，， ， 四个村庄， 为解决当地缺水问题，政府准备投资修建 一个蓄水池. （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 的位置，使它到四个村庄的距离之和最小； 解：如图，点 即为蓄水池的位置. （2）计划把河水引入蓄水池 中，怎样开渠最短？画图并说明理由. 解：如图， 即为所求.理由：连接直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线段最短. 15.如图，已知直线,，相交于点 ， ,且平分， . （1）求 的度数； 解：因为,相交于点 ,所以 . 因为,所以 , 即 ,所以 . （2）是 的平分线吗？说明你的理由. 解：是 的平分线,理由: 因为是的平分线,所以 . 又因为 ,所以 , 所以,所以是 的平分线. 16. 按如图的方法折纸，然后回答问题： （1）与 垂直吗？为什么？ 解：.理由如下：由折叠可知 . 又因为 ，所以 ， 即 .所以 . （2）与 有何关系？ 解：由（1）知 ，故与 互余. （3）与，与 分别有何关系？ 解：与互补，与 互补. 课堂小结 垂线 垂线的定义 垂线 基本事实：在同一平面内，过一点 直线与已知直线垂直 性质:垂线段 . 垂线的画法 一放二靠三移四画 最短 有且只有一条 $$