质数、合数、分解质因数的综合（讲义）-2024-2025学年五年级下册数学人教版

质数、合数、分解质因数的综合讲义 基础知识部分 【知识概要】 一、因数和倍数 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 二、数的整除 ( 既是2的倍数又是5的倍数：个位为0的整数。 )2的倍数：个位数字是0、2、4、6、8的整数。 5的倍数：个位是0或5的整数。 3的倍数：各个数位上数字的和能被3整除。 9的倍数：各个数位上数字的和能被9整除。 4的倍数：末两位上的数是4的倍数。 25的倍数：末两位上的数是25的倍数。 8的倍数：末三位上的数是8的倍数。 125的倍数：末三位上的数是125的倍数。 11的倍数：奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的差（大减小）是11的倍数。 三、质数和合数 质数：只有1和它本身两个因数的数。（因数个数：2个） 合数：除了1和它本身还有别的因数。（因数个数：2个以上） 1既不是质数也不是合数。（因数个数：1个） 偶数：在自然数中，是2的倍数的数。（0、2、4、6、8……） 奇数：在自然数中，不是2的倍数的数。（1、3、5、7、9……） 两数相加减时，相同为偶，不同为奇。 奇数个奇数的和等于奇数，偶数个奇数的和等于偶数，任意个偶数的和等于偶数。 奇数＋奇数＝偶数 偶数＋偶数＝偶数 奇数＋偶数＝奇数 分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的质因数。 分解质因数我们可以用短除法。 【例1】因数与倍数的复习 1.一个数的因数一定比它的倍数小（ ） 2.一个数是6的因数,那么它一定也是12的因数（ ） 3.一个数既是13的因数,又是13的倍数,这个数是( ) 4.一个数的最大因数是35，这个数是( )，它的最小倍数是( ) 5.一个数既是54的因数，又是9的倍数，同时有因数2和3，这个数可能是( ) A．6 B．9 C．54 6.一个两位数，既是8的倍数，又小于50，这个两位数最大是( ) 【练习】 1.一个两位数既是3的倍数,又是5的倍数,这个数最小是( ),最大是( ) 2.偶数的因数一定比奇数的因数多（ ） 3.用10以内的不同质数组成一个三位数，使它同时是2和3的倍数，这样的三位数是( ) 4.一个四位数是462□，要使它是2的倍数，□里可以填( )；要使它是5的倍数，□里可以填( )；要使它是3的倍数，□里可以填( )。 5.一个数的最大因数和它的最小倍数( ) A相等 B.不相等 C.无法比较 6. 要使24口5是3的倍数,□中可以填（ ） A.3或6 B.1,4或7 C.1或0 7.小玉家的电话号码是一个七位数,并且同时是2、5、3的倍数,已知前三位数是326,后四位数与326组成符合要求的最小的数,你知道小玉家的电话号码是多少吗? 【例2】质数与合数的复习 1. 在10以内的自然数中,( )既是质数又是偶数,( )既是奇数又是合数 2. 既是奇数又是合数的最大两位数是( ) 3. 一个六位数,个位上是最小的质数,十位上是最小的合数，万位上既是质数又是偶数,十万位上的数是一位数中最大的自然数，其余数位上是0，这个六位数是( ) 4. 两个质数的和是19,积是34,它们的差是（ ） 5. 2的倍数一定是合数（ ） 6. 自然数(0除外),按照因数的个数可分（ ） A. 奇数和偶数 B.质数和合数数 C.1、质数和合数 【练习】 1.一个两位数同时是3和5的倍数,这个两位数如果是奇数,则最大是( ); 2.一个自然数,不是质数就是合数,不是偶数就是奇数( ) 3.三个连续奇数的和是33，这三个奇数分别是( )，( )，( )。 4.两个质数相加后,和是( ) A. 奇数 B.偶数 C奇数或偶数 5.1＋2＋3＋4＋…＋3001的结果是( )。 A． 奇数 B．偶数 C．不能确定 例3分解质因数的应用 学校举行跳绳比赛，取得前4名的同学恰好一个比一个大一岁，四人年龄的乘积是11880，这四个同学的年龄各是多少？ 方法总结： 用分解质因数的方法解决具体同题的时候，关键是在进行质因数分解后，根据题中条件将质因数适当合并，组成的形式，从而找到问题的答案。还有一此不容易看出用分解质因数的方法去解答的间题、比如下面两题，请同学们动动小脑筋。 【练习】 5、 把7、14、20、21、28、30这六个数分成两组，每组三个数相乘，使它们的积相等，应如何分组？ 6、a、b、c、d都是大于1的互不相同的自然数其乘积abcd＝660，其和a＋b＋c＋d最大值是多少？最最小值是多少？ 能力提升部分 数的整除性特征 1.能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的整数能被2整除。 2.能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数能被5整除。 3.能被4(或25)整除的数的特征：一个整数的末两位能被4(或25)整除，这个数就能被4(或25)整整除。 4.能被8(或125)整除的数的特征：一个整数的末三位能被8(或125)整除，这个数就能被8(或125)整除。 5.能被3(或9)整除的数的特征：一个整数的各个数位上数字之和能被3(或9)整除，这个数就能被3(或9)整除。 6.能被7、(11或13)整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以以大减小)能被7、(11或13)整除，那么这个数就能被7、(11或13)整除。 7.能被11整除的数的特征：一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(以大减小)能被11整除，那么这个数就能被11整除。 整除性质 1.如果整数a、b都能被整数c整除，那么(a＋b)与(a－b)也能被c整除。 2.几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个整数整除，那么它们的积也能被这个数整除。 3.如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。反过来，如果一个整数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质的数整除。 例1 超市里有六箱货物，分别重16、19、20、18、15、31千克。两顾客买走其中5箱货物，而且一个顾客的货物质量是另个顾客的2倍，超市里剩下的那箱货物是多少千克？ 提示：一个整数如果不能被3(或9)整除，所得的余数等于这个数各位数字的和除以3(或9)所得的余数。 【练习】 七箱油分别是汽油、柴油、机油，它们的容量分别是12升、13升、16升、17升、22升、27升和32升。现在知道汽油有一箱，而柴柴油总量是机油的3倍，但不知道哪箱是什么油。请判断出每只箱里装的各是什么油？ 方法总结：灵活运用数的整除概念、性质及特征，并能进行区别和联系，正确的解决有关的问题。 例2 有一个四位数3aa1，它能被9整除，求a是多少？ 【练习】 已知一个六位数6f6f6f能被11整除，这样的六位数有几个？ 例3 小玲写下一个无重复数字的五位数：3□6□5，其中十位数字和千位数字看不清了，已知它是75的倍数，满足条件的最大五位数是多少？ 【练习】 一个六位数，12□34□是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？ 【课后练习】 基础练习 一 填空。 1.在10以内的自然数中,( )既是质数又是偶数,( )既是奇数又是合数。 2.一个两位数同时是3和5的倍数,这个两位数如果是奇数,则最大是( );如果是偶数,则最小是( )。 3.一个数既是13的因数,又是13的倍数,这个数是( )。 4.既是奇数又是合数的最大两位数是( )。 5.三个连续的奇数,中间一个是a,其他两个分别是( )和( )。 6.( )只有一个因数,( )只有两个因数。 7.两个质数的和是19,积是34,它们的差是( )。 8.一个六位数,个位上是最小的质数,十位上是最小的合数,万位上的数既是质数又是偶数,十万位上的数是一位数中最大的自然数其余数位上的数都是0,这个六位数是( ) 二、判断。（正确的打“√”，错误的打“×”）（10分。） 1、0是所以有非0自然数的因数。     （      ） 2、一个自然数，如果不是质数，就一定是合数。         （      ） 3、2是偶数，也是质数；9是奇数，也是合数。          （      ） 4、一个数的倍数一定比这个数的约数大。               （      ） 5、个位上是0的多位数一定有因数2和5.。                  （      ） 6、有9÷6=1.5的算式中，6能够整除9。                （      ） 7、两个质数的积一定是合数。  （      ） 三、选择。 1.一个数的最大因数和它的最小倍数( )。 A.相等B.不相等C.无法比较 2.自然数(0除外),按照因数的个数可分为( )。 A.奇数和偶数 B.质数和合数 C.1、质数和合数 3.当a是自然数时,2a+1一定是( )。 A.奇数 B.偶数 C.合数 4.两个质数相加后,和是( )。 A.奇数 B.偶数 C.奇数或偶数 5.如果24□5是3的倍数,那么口中可以填（ ） A.3或6 B.1、4或7 C.1或0 拓展练习 1.玲玲是一名中学生，她说：“这次考试，我的名次、年龄和考分的乘积是2910。”你知道她的名次、年龄和考分分别是多少吗？ 2.有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？ 3.一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最少有多少支？ 4.宏基客运有A、B两种车，A车每45分发车一次，B车每1小时发车一次，两车同时由上午6点发车，下一次同时发车是什么时候？ 5.两个互质数的最小公倍数是144，如果这两个数都是合数，则这两个数分别是多少？ 6.在等式A×(B＋C)=110＋C中，A、B、C是三个互不相等的质数，那么A＋B＋C的和是多少？ 7.有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三个数的乘积是42560，求这三个自然数。 8.将14、33、35、30、75、39、143、169八个数平均分成两组，使两组的乘积相等。 ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$