九年级数学开学摸底考（湖北武汉专用）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A D B C D A C B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．-4 12． 13．10cm 14．60°或 120° 15．①②/②① 16．2 三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 【详解】（1）解：，，， 方程有两个不等的实数根 解得，．（4分） （2）解： 因式分解，得， 或． 解得，．（8分） 18． （8分） 【详解】（1）解：的一元二次方程有两个实数根 ，即 解得：且 的取值范围为且．（4分） （2）解：由（1）可得取最大整数为2，代入原方程有 即 解得： 当取最大整数时，此时方程的根为1．（8分） 19． （8分） 【详解】（1）证明：连接 ， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴垂直平分，即垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线．（4分） （2）解：如图： ∵， ∴， 又∵， ∴， 由（1）知，是的切线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即的半径为．（8分） 【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，综合运用所学知识成为解答本题的关键． 20． （8分） 【详解】（1）都有可能；（3分） （2）不一样大，黑球的可能性大．（5分） 验证：答案不唯一，假设全班学生共45人， 汇总全班同学摸球的结果并把结果填在下表中． 球的颜色 黑球 白球 摸取次数 30 15 根据等可能性的概率，试验结果和事先判断一致；试验结果一致．（8分） 故答案为：30,15（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了事件的可能性，简单概率的求法，掌握比较事件的可能性是解题的关键． 21． （8分） 【详解】（1）解：如图所示， （4分） 作出的中点（即圆心）， 作射线交圆与点，线段就为所求作的直径， 利用网格平行线找到的中点， 过此点和点作射线交圆与点， 此点即为所求作的点； （2）解：如图所示， 找到格线与圆的交点，连，，此时就为所求作的点， ∵， ∴， 找到格点点，连，交圆一点，此点就为所求作的点， （8分） 理由如下，过点作交于点， 在中，， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，圆周角定理，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22． （10分） 【详解】解：（1）在和中， ， ∴，故选D；（2分） （2）∵， ∴， 在中， ， ∴ ∴；（4分） （3）延长到M，使，连接，    ∵，， ∴， ∵AD是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即；（7分） （4）线段之间的等量关系为：． 证明：如图，延长到点G，使，连结，    ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴中，， ∴．（10分） 23． （10分） 【详解】（1）解：设，把与代入得 ， 解得：， 则；（3分） （2）解：设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是元，根据题意得 则， 整理得：， 解得：，， ∵， ， 答：每本纪念册的销售单价是25元；（6分） （3）解：由题意可得： ， ∵， 当时，最大，（元）， 答：该纪念册销售单价定为30元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元．（10分） 24．（12分） 【详解】（1）解：抛物线经过，两点 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为：；（3分） （2）如图，在线段上取或，经过点或点时符合题意，    过点分别作的垂线，垂足分别为，则， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴，； 由，当时，即 解得：， ∴， ①当经过点时，设的直线方程为， ∴，解得： ∴的直线方程为：； 与抛物线方程 联立可得，解得，． ∴点的坐标为；（5分） ②当经过点时， 设的直线方程为， ∴，解得： 的直线方程为：；与抛物线方程 联立可得，解得， ∴点的坐标为；（7分） ∴符合条件的点的坐标为或． （3）解：如图所示，取点，连接，过点作于点，      ∵，，则， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ 在中， ∴ ∵， 如图所示，设交轴于点，则      ∴，则 设直线解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 根据对称性可得当点在负半轴时，，（10分） 设直线解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 综上所述，点的横坐标为或．（12分） 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，面积问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（    ） A．摸到黑球是不可能事件 B．摸到白球是必然事件 C．摸到红球与摸到白球的可能性相等 D．摸到红球比摸到白球的可能性大 3．已知⊙O的半径为3 cm，点P是直线上一点，OP长为5 cm，则直线与⊙O的位置关系为(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交、相切、相离都有可能 4．若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为（    ） A． B．或6 C．或 D． 5．将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（    ） A． B． C． D． 6．下列一元二次方程中，两根之和是-1的方程是（   ） A． B． C． D． 7．在一个布袋里装有2个红球,1个黄球,3个黑球,它们除颜色外其他都相同,从布袋中任意摸出一个球,则摸到黑球的概率为(　　) A． B． C． D．0 8．用一个直径为的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线与相切于点，不倒翁的顶点到桌面的最大距离是.若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（  ） A． B． C． D． 9．已知抛物线的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） ①，②，③，④当时，x的取值范围是或． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，，点M在以点为圆心，3为半径的圆上，点N在直线上，若是的切线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．点P的坐标为，其关于原点对称的点的坐标为，则 ． 12．如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 ． 13．一个正方形的边长减少3 cm后，它的面积比原面积的一半还少1 cm2，则原来的边长为 ． 14．在直径为4cm的⊙O中，长度为的弦BC所对的圆周角的度数为 . 15．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … －2 －1 0 1 2 … … －2 －2 … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②－2和3是关于的方程的两个根；③，其中正确结论的是 （填正确的序号）． 16．如图，、、、依次为一直线上个点，，为等腰直角三角形，且，过点、、，且弧的度数，则的值是 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 解下列方程： (1)； (2)． 18． （8分） 已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数时，求此时方程的根． 19． （8分） 如图，是△ABC的外接圆，，点D是的中点，连接，过点A作的垂线交的延长线于点E，连接，并延长与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线： (2)若，，求的半径． 20． （8分） 袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球． （1）这个球是白球还是黑球？ （2）如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？ 为了验证你的想法，动手摸一下吧！每名同学随机从袋子中摸出1个球，记下球的颜色，然后把球重新放回袋子并摇匀．汇总全班同学摸球的结果并把结果填在下表中． 球的颜色 黑球 白球 摸取次数 比较表中记录的数字的大小，结果与你事先的判断一致吗？ 在上面的摸球活动中，“摸出黑球”和“摸出白球”是两个随机事件．一次摸球可能发生“摸出黑球”，也可能发生“摸出白球”，事先不能确定哪个事件发生．由于两种球的数量不等，所以“摸出黑球”与“摸出白球”的可能性的大小不一样，“摸出黑球”的可能性大于“摸出白球”的可能性．你们的试验结果也是这样吗？ 21． （8分） 如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，C为格点，B是以为直径的圆与格线的交点，M为圆外一格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)画出圆的直径，并画出劣弧的中点E； (2)先在圆上画点 F，使 ，再在圆上画点 N，使 为圆的一条切线． 22． （10分） 【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若， ，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：    （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是___________． A．SSS    B．ASA    C．AAS    D．SAS （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是△ABC的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【灵活运用】 （4）如图3，在△ABC中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段，，三者之间的等量关系，并证明你的结论． 23． （10分） 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 24．（12分） 如图，已知抛物线经过，两点．与轴另一个交点为．    (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上在直线上方一点，连接，直线把分成面积比为的两部分，请求出符合条件的点坐标； (3)在抛物线上找符合条件的点，使，并求出点的横坐标． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2．一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（    ） A．摸到黑球是不可能事件 B．摸到白球是必然事件 C．摸到红球与摸到白球的可能性相等 D．摸到红球比摸到白球的可能性大 【答案】A 【分析】不可能事件是概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件，人们通常用来表示不可能事件发生的可能性；必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，必然事件发生的概率为，但概率为的事件不一定为必然事件，根据随机事件的分类及概率的计算即可求解． 【详解】解：选项，装有个红球和个白球，不可能摸到黑球，是不可能事件，符合题意； 选项，装有个红球和个白球，可能摸到白球，也可能摸到红球，是随机事件，不符合题意； 选项，装有个红球和个白球，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，概率不同，不符合题意； 选项，装有个红球和个白球，摸到红球的概率小于摸到白球的概率，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查随机事件及概率，理解随机事件的分类，概率的计算方法是解题的关键． 3．已知⊙O的半径为3 cm，点P是直线上一点，OP长为5 cm，则直线与⊙O的位置关系为(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交、相切、相离都有可能 【答案】D 【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系： 若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【详解】因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于5. 此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切、相离都有可能. 故答案为相切，相交或相离. 【点睛】考查直线和圆的位置关系，需要求出圆心到直线的距离，与半径进行比较即可得出结论. 4．若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为（    ） A． B．或6 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据完全平方式的结构，而，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程的左边可以写成一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故选B． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 5．将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】解：由题意得，将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是，即， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 6．下列一元二次方程中，两根之和是-1的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据根的判别式，判断有无实数根的情况，再根据根与系数的关系，利用x1+x2=-计算即可． 【详解】A、∵x2-x+6=0， ∴△=b2-4ac=-23＜0， ∴此方程没有实数根，故此选项错误； B、∵x2-x-6=0， ∴△=b2-4ac=25＞0， ∴此方程有实数根，x1+x2=1，故此选项错误； C、∵x2+x+6=0， ∴△=b2-4ac=-23<0， ∴此方程没有实数根，故此选项错误； D、∵x2+x-6=0， ∴△=b2-4ac=25＞0， ∴此方程有实数根， 根据根与系数的关系可求x1+x2=-1， 故此选项正确． 故选D． 【点睛】此题考查了根与系数的关系．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．以及根的判别式的运用，注意若△＜0，则方程没有实数根；若△≥0，则方程有实数根． 7．在一个布袋里装有2个红球,1个黄球,3个黑球,它们除颜色外其他都相同,从布袋中任意摸出一个球,则摸到黑球的概率为(　　) A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】用黑球除以小球总个数即可得出得到黑球的概率． 【详解】∵在一个布袋里放有2个红球，1个黄球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同，∴从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率为：． 故选A． 【点睛】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 8．用一个直径为的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线与相切于点，不倒翁的顶点到桌面的最大距离是.若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，如图，利用切线的性质得，在中利用勾股定理得，利用面积法求得，然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公式计算圆锥形纸帽的表面． 【详解】解：连接，作于，如图， 圆锥的母线与相切于点， ， 在中，，， ， ， ， 圆锥形纸帽的底面圆的半径为，母线长为12， 形纸帽的表面． 故选：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆锥的计算． 9．已知抛物线的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） ①，②，③，④当时，x的取值范围是或． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向上可知，抛物线与y轴交于点，对称轴为，抛物线与x轴的一个交点为，根据对称性可知另一个交点为：，据此结合图像即可作答． 【详解】根据抛物线开口向上可知，即正确； 抛物线与y轴交于点， 即当时，，即正确； 对称轴为， 即：，可得：，即错误； 抛物线与x轴的一个交点为，根据对称性可知另一个交点为：， 同理点关于抛物线对称轴对称的点为：， 由图可知：当时，有， 则根据抛物线的对称性可知：当时，同样有，故正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与性质，注重数形结合是解答本题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，，点M在以点为圆心，3为半径的圆上，点N在直线上，若是的切线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质，坐标与图形，勾股定理等知识，连接由点A的坐标可求出由得，由是的切线知，由勾股定理得，因为所以当最小时最小，即时最小，运用等积法求出，代入可得结论． 【详解】解：连接如图， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵是的切线， ∴， ∴ ∵， ∴当最小时最小，即时最小， ∵ ， 又 ∴， ∴， 故选：C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．点P的坐标为，其关于原点对称的点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得，，解可得x、y的值，即可求得结果． 【详解】∵P、两点关于原点对称， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查关于原点对称的两点的坐标特征，代数式求值，掌握这个特征并建立方程是解题的关键． 12．如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 ． 【答案】． 【详解】因为共有13种等可能的情况,其中3处涂黑得到黑色部分的图形是轴对称图形,如图, 所以涂黑任意一个白色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同）,使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率=,故答案为. 13．一个正方形的边长减少3 cm后，它的面积比原面积的一半还少1 cm2，则原来的边长为 ． 【答案】10cm 【分析】设原来的边长为x，则减少后边长为x-3，然后根据题意列式并逆运用完全平方公式进行求解． 【详解】设原来的边长为xcm，则x2-（x-3）2=1， ∴x2+12x-20=0， 解得x1=10，x2=2(不符合题意，舍去)． 所以，原来的边长为10cm. 故答案为10cm． 【点睛】本题主要考查了灵活选用方法解一元二次方程，理解题意列出一元二次方程是解题的关键． 14．在直径为4cm的⊙O中，长度为的弦BC所对的圆周角的度数为 . 【答案】60°或 120° 【分析】如下图所示，分两种情况考虑：D点在优弧CDB上或E点在劣弧BC上时，根据三角函数可求出∠OCF的大小，进而求出∠BOC的大小，再由圆周角定理可求出∠D、∠E大小，进而得到弦BC所对的圆周角． 【详解】解：分两种情况考虑：D在优弧CDB上或E在劣弧BC上时，可得弦BC所对的圆周角为∠D或∠E，如下图所示， 作OF⊥BC，由垂径定理可知，F为BC的中点， ∴CF=BF=BC=， 又直径为4cm， ∴OC=2cm， 在Rt△AOC中，cos∠OCF=， ∴∠OCF=30°， ∵OC=OB， ∴∠OCF=∠OBF=30°， ∴∠COB=120°， ∴∠D=∠COB=60°， 又圆内接四边形的对角互补， ∴∠E=120°， 则弦BC所对的圆周角为60°或120°． 故答案为：60°或120°． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键． 15．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … －2 －1 0 1 2 … … －2 －2 … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②－2和3是关于的方程的两个根；③，其中正确结论的是 （填正确的序号）． 【答案】①②/②① 【分析】①根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可判断；②根据二次函数的对称性即可判断；③根据抛物线的对称轴确定a与b的关系式，再根据已知条件求出a的取值范围即可判断． 【详解】解：①根据图表可知： 二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2）， ∴对称轴为直线x＝，c＝﹣2， ∵当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0， 在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∴a＞0，b＜0， ∴函数图象的顶点在第四象限内；①正确； ②根据二次函数的对称性可知： （﹣2，t）关于对称轴x＝的对称点为（3，t）， 即﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，②正确； ∵对称轴为直线x＝， ∴﹣， ∴b＝﹣a， ∵当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0， ∴a﹣b﹣2＞0，即a+a﹣2＞0， ∴a＞． ∵对称轴为直线x＝，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，m）（2，n）， ∴m＝n，当x＝﹣1时，m＝a﹣b+c＝a+a﹣2＝2a﹣2， ∴m+n＝4a﹣4， ∵a＞． 4a﹣4＞，③错误． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解决本题的关键是从表格中获得正确信息，准确进行推理判断． 16．如图，、、、依次为一直线上个点，，为等腰直角三角形，且，过点、、，且弧的度数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，弧与圆心角的关系，矩形的性质，勾股定理，正确作辅助线是解题关键；连接，延长交分别为，得到是等腰直角三角形，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，设，则，进而表示出，根据勾股定理建立关系式，整理得出，即可求解． 【详解】如图所示，连接，延长交分别为， ∵，为等腰直角三角形 ∴， ∵弧的度数， ∴是等腰直角三角形， 则四边形是矩形，是等腰直角三角形， 设，则， ∴， 在中， ∴ 即 整理得， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）找出a，b，c的值，代入求根公式计算即可 ． （2）利用提取公因式法提取公因式求解即可． 【详解】（1）解：，，， 方程有两个不等的实数根 解得，．（4分） （2）解： 因式分解，得， 或． 解得，．（8分） 18． （8分） 已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数时，求此时方程的根． 【答案】(1)且 (2)1 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式及解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题关键． （1）根据一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，以及方程有两个实数根时建立不等式，解之即可得到的取值范围； （2）根据（1）的结论得到满足条件时的最大整数，代入原方程求出原方程的根即可． 【详解】（1）解：的一元二次方程有两个实数根 ，即 解得：且 的取值范围为且．（4分） （2）解：由（1）可得取最大整数为2，代入原方程有 即 解得： 当取最大整数时，此时方程的根为1．（8分） 19． （8分） 如图，是△ABC的外接圆，，点D是的中点，连接，过点A作的垂线交的延长线于点E，连接，并延长与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线： (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）连接，先说明垂直平分得到，再证得到，即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质得到，再根据是的切线可得，进而得到即是等边三角形，进而得到即可解答． 【详解】（1）证明：连接 ， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴垂直平分，即垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线．（4分） （2）解：如图： ∵， ∴， 又∵， ∴， 由（1）知，是的切线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即的半径为．（8分） 【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，综合运用所学知识成为解答本题的关键． 20． （8分） 袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球． （1）这个球是白球还是黑球？ （2）如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？ 为了验证你的想法，动手摸一下吧！每名同学随机从袋子中摸出1个球，记下球的颜色，然后把球重新放回袋子并摇匀．汇总全班同学摸球的结果并把结果填在下表中． 球的颜色 黑球 白球 摸取次数 比较表中记录的数字的大小，结果与你事先的判断一致吗？ 在上面的摸球活动中，“摸出黑球”和“摸出白球”是两个随机事件．一次摸球可能发生“摸出黑球”，也可能发生“摸出白球”，事先不能确定哪个事件发生．由于两种球的数量不等，所以“摸出黑球”与“摸出白球”的可能性的大小不一样，“摸出黑球”的可能性大于“摸出白球”的可能性．你们的试验结果也是这样吗？ 【答案】（1）都有可能；（2）不一样大，黑球的可能性大；验证：30,15（答案不唯一）；结果和事先判断一致，试验结果一致 【分析】（1）根据随机事件的定义可知； （2）根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】（1）都有可能；（3分） （2）不一样大，黑球的可能性大．（5分） 验证：答案不唯一，假设全班学生共45人， 汇总全班同学摸球的结果并把结果填在下表中． 球的颜色 黑球 白球 摸取次数 30 15 根据等可能性的概率，试验结果和事先判断一致；试验结果一致．（8分） 故答案为：30,15（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了事件的可能性，简单概率的求法，掌握比较事件的可能性是解题的关键． 21． （8分） 如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，C为格点，B是以为直径的圆与格线的交点，M为圆外一格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)画出圆的直径，并画出劣弧的中点E； (2)先在圆上画点 F，使 ，再在圆上画点 N，使 为圆的一条切线． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）找到圆心，然后过点和圆心作射线交圆于点，即可得解，利用网格平行线找到的中点，过此点和点作射线交圆与点，即可得解； （2）找到格线与圆的交点，连，，此时就为所求作的点，找到格线点，连，交圆一点，此点就为所求作的点． 【详解】（1）解：如图所示， （4分） 作出的中点（即圆心）， 作射线交圆与点，线段就为所求作的直径， 利用网格平行线找到的中点， 过此点和点作射线交圆与点， 此点即为所求作的点； （2）解：如图所示， 找到格线与圆的交点，连，，此时就为所求作的点， ∵， ∴， 找到格点点，连，交圆一点，此点就为所求作的点， （8分） 理由如下，过点作交于点， 在中，， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，圆周角定理，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22． （10分） 【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若， ，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：    （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是___________． A．SSS    B．ASA    C．AAS    D．SAS （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是△ABC的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【灵活运用】 （4）如图3，在△ABC中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段，，三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）D；（2）；（3）；（4）线段、，之间的等量关系为： 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法证明即可解答； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的三边关系计算即可； （3）延长到M，使，连接BM，证明，根据全等三角形的性质解答； （4）延长到点G，使，连结，证明，得到，根据勾股定理解答． 【详解】解：（1）在和中， ， ∴，故选D；（2分） （2）∵， ∴， 在中， ， ∴ ∴；（4分） （3）延长到M，使，连接，    ∵，， ∴， ∵AD是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即；（7分） （4）线段之间的等量关系为：． 证明：如图，延长到点G，使，连结，    ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴中，， ∴．（10分） 23． （10分） 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)25 (3)该纪念册销售单价定为30元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识； （1）设，根据题意，利用待定系数法确定出与的函数关系式即可； （2）根据题意结合销量每本的利润，进而求出答案； （3）根据题意结合销量每本的利润，进而利用二次函数增减性求出答案． 正确利用销量每本的利润得出函数关系式是解题关键． 【详解】（1）解：设，把与代入得 ， 解得：， 则；（3分） （2）解：设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是元，根据题意得 则， 整理得：， 解得：，， ∵， ， 答：每本纪念册的销售单价是25元；（6分） （3）解：由题意可得： ， ∵， 当时，最大，（元）， 答：该纪念册销售单价定为30元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元．（10分） 24．（12分） 如图，已知抛物线经过，两点．与轴另一个交点为．    (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上在直线上方一点，连接，直线把分成面积比为的两部分，请求出符合条件的点坐标； (3)在抛物线上找符合条件的点，使，并求出点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）在线段上取或，经过点或点时符合题意，证明，得出，，进而分情况讨论即可求解； （3）取点，连接，过点作于点，则，设交轴于点，则，进而得出则，根据对称性可得当点在负半轴时，，求得直线与抛物线的交点的横坐标即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为：；（3分） （2）如图，在线段上取或，经过点或点时符合题意，    过点分别作的垂线，垂足分别为，则， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴，； 由，当时，即 解得：， ∴， ①当经过点时，设的直线方程为， ∴，解得： ∴的直线方程为：； 与抛物线方程 联立可得，解得，． ∴点的坐标为；（5分） ②当经过点时， 设的直线方程为， ∴，解得： 的直线方程为：；与抛物线方程 联立可得，解得， ∴点的坐标为；（7分） ∴符合条件的点的坐标为或． （3）解：如图所示，取点，连接，过点作于点，      ∵，，则， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ 在中， ∴ ∵， 如图所示，设交轴于点，则      ∴，则 设直线解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 根据对称性可得当点在负半轴时，，（10分） 设直线解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 综上所述，点的横坐标为或．（12分） 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，面积问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年下学期开学摸底考试卷 九年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 3 分，共 3 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题3分，共18分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16 ． ____________________ 三 、解答题（共72分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 17．（ 8 分） (1) ； (2) ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（ 8 分） 19．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20. （8分） 球的颜色 黑球 白球 摸取次数 21.（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22． （ 10分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （ 10分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （ 12分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$