专题05 一元一次方程与二元一次方程组（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）

专题05 一元一次方程与二元一次方程组 课标要求 考点 考向 1．能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程;理解方程解的意义，经历估计方程解的过程． 2．掌握等式的基本性质;能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程． 3．掌握消元法，能解二元一次方程组． 一元一次方程 考向一 一元一次方程的应用 考向二 一元一次方程的实际应用 二元一次方程组 考向一 解二元一次方程组 考向二 二元一次方程组的应用——古代问题 考向二 二元一次方程组的应用——现代问题 考点一 一元一次方程 ►考向一 一元一次方程的应用 易错易混 去分母时，不要漏乘不含分母的项;分子是多项式时，去分母后应该加上括号. 1.（2024•泰安）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 【答案】(1)过4秒或6秒 (2)3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是： （1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可； （2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为， 根据题意，得， 解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． ►考向二 一元一次方程的实际应用 解题技巧 常见的等量关系： （1） 行程问题：速度×时间=路程; （2） 变积形问题：变形前的体积（面积）=变形后的体积（面积）; （3） 工程问题：工作效率×工作时间=工作量; （4） 销售问题：单价×数量=总价; 利润=利润率×进价 利润=总收入-总支出 利润=一件利润×数量-支出 1.（2024•日照）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】(1)1200元；1000元 (2)；购买A种书架8个，B种书架12个 (3)120 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． 2.（2024•烟台）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 考点二 二元一次方程组 ►考向一 解二元一次方程组 1.（2024•德州）解方程组： 【答案】． 【分析】利用加减消元法求出解即可； 【详解】解： 得：， 得：，解得：， 把代入得：，解得：， ∴二元一次方程组的解为：． ►考向二 二元一次方程组的应用——古代问题 1.（2024•淄博）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题列方程组、勾股定理，设门的高和宽分别是尺和尺，根据“已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈”结合勾股定理列出方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组是解此题的关键． 【详解】解：设门的高和宽分别是尺和尺， 由题意得：， 故选：D． 2.（2024•泰安）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组．正确理解题意，找准等量关系解题的关键． 【详解】解：设绳长x尺，井深y尺， 依题意，得：． 故选：C． 3.（2024•泰安）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 【答案】D 【分析】根据可得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱， 【详解】解：根据，可得甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：D 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系． 4.（2024•日照）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 【详解】解：由题意得 故选A． ►考向三 二元一次方程组的应用——现代问题 解题技巧 学会将等量关系用运算符号和未知数表示，即可列出方程（组）. 1.（2024•东营）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； (2)方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得， 答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； （2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人， 由题意得， 解得：， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，，； ∴线路的年均载客总量为与的关系式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次） ∴（辆） ∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次， 2.（2024•济南）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． (1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1)修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元 (2)修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可； （2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得， 解得 答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元． （2）解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时（万元）， 答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 一、单选题 1．（24-25七年级上·山东济南·开学考试）淘宝“618年中大促”活动，某网店所有商品打五折销售．明明的妈妈在该网店购买一件冲锋衣，加上邮费（邮费相当于原价的）共付132元，这件冲锋衣的原价是（　　） A．264 B．240 C．260 D．269 【答案】B 【分析】设这件冲锋衣的原价是x元，根据明明的妈妈在淘宝“618年中大促”活动中购买一件冲锋衣加上邮费（邮费相当于原价的）共付132元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设这件冲锋衣的原价是x元， 根据题意得：， 解得：， ∴这件冲锋衣的原价是240元． 故选：B． 2．（2024·山东东营·模拟预测）聪聪买一套本装的《西游记》和本《童活故事》共用去元．如果本《童话故事》的价钱是本《西游记》的倍，这本童话故事是（    ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设本《西游记》的价钱是元，则本《童话故事》的价钱是元，根据“买一套本装的《西游记》和本《童活故事》共用去元”列出方程求解后可得结论．正确理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设本《西游记》的价钱是元，则本《童话故事》的价钱是元， 依题意，得：， 解得：， （元）， ∴这本童话故事是元． 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．本题的等量关系为：生产茶杯人数+生产茶壶人数；茶壶量茶杯量，据此求解即可． 【详解】解：设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人． ， 故选：C． 4．（七年级下·期中）中国文化博大精深，源远流长，其中一些诗歌、对联里所蕴含的数学知识也十分丰富有趣，如：笼中装满鹅和兔，七十二双眼睛露；数脚正好二百六，多少鹅来多少兔？这首诗歌所含的问题中，如果设鹅有x只，兔有y只，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设鹅有x只，兔有y只，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】设鹅有x只，兔有y只，根据题意可列方程组为 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 5．（七年级下·期中）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 【答案】D 【分析】根据可得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱， 【详解】解：根据，可得甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：D 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；时看里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的5倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意可得时看到的数字为，时看到的数字为，时看到的数字为，再根据相同时间内所走的路程相同建立方程组即可． 【详解】解：设时看到的个位数字是x，十位数字是y， 由题意得，， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是a、b，其中a、b满足，点A与点B之间的距离表示为． (1)__________； (2)若点C从点A出发向右运动，在运动过程中，当A、B、C三点中有一点是以另两点为端点的线段的中点时，点C表示的数是__________； (3)点M、N是数轴上两动点，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发，点N以每秒2个单位长度的速度从点B出发，若点M、N同时出发，运动时间为t秒，当运动多少秒时，点M、N两点间的距离为12个单位长度． 【答案】(1) (2)或 (3)点M、N是同时向右运动时，秒，点M、N是同时向左运动时，秒，点M、N是分别向右、向左运动时，秒，点M、N是分别向左、向右运动时，秒，点M、N两点间的距离为12个单位长度． 【分析】本题主要考查的是数轴与一元一次方程的综合运用，能够依据题意列出方程并进行求解是解题的关键，需要注意分情况进行讨论． （1）根据绝对值和偶次方的非负性，解出a、b的值，即可求出； （2）设点C表示的数为，分点C是的中点和点是的中点两种情况列出方程，再进行解方程即可； （3）分点M、N是同时向右运动，点M、N是同时向左运动，点M、N是分别向右、向左运动，点M、N是分别向左、向右运动四种情况，依据题意用代数式表示出点M与点N表示的数，列出方程，进行解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设点C表示的数为， 当点C是的中点时， 则， ∴； 当点是的中点时， 则， ∴； 综上，点C表示的数是或； （3）解：当点M、N是同时向右运动时， 依据题意：点M表示的数为：，点N表示的数为：， 则，即， 解得：或（舍去）； 当点M、N是同时向左运动时， 依据题意：点M表示的数为：，点N表示的数为：， 则，即， 解得：或（舍去）； 当点M、N是分别向右、向左运动时， 依据题意：点M表示的数为：，点N表示的数为：， 则，即， 解得：或（舍去）； 当点M、N是分别向左、向右运动时， 依据题意：点M表示的数为：，点N表示的数为：， 则，即， 解得：或（舍去）； 综上，点M、N是同时向右运动时，秒，点M、N是同时向左运动时，秒，点M、N是分别向右、向左运动时，秒，点M、N是分别向左、向右运动时，秒，点M、N两点间的距离为12个单位长度． 8．（23-24七年级上·山东滨州·期末）某家具厂专业生产学生座椅，其中每把学生座椅由4条椅腿、4根撑杆、2个扶手、1个椅面和1个靠背组成．根据实际生产能力，每个工人每天能够生产椅腿20条，或撑杆40根，或扶手30个，或椅面30个，或靠背30个． (1)若安排35名工人专门生产椅腿和椅面，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套？ (2)若安排全厂91名工人生产这种学生座椅，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿、撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套？ 【答案】(1)30 (2)42 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）根据题意，找到正确的数量关系列出方程求解即可． （2）设安排x人生产椅腿，撑杆人数为y，扶手的人数为m，椅面的人数为n，靠背的人数为z才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套，根据题意列出各岗位工人与生产椅腿工人的数量关系，根据全厂91名工人列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套． 解得， 答：安排30人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套． （2）解：设安排x人生产椅腿，撑杆人数为y，扶手的人数为m，椅面的人数为n，靠背的人数为z才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套． ∴，，， 解得，，，． ∴， ， 答：应该安排42人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿、撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套 9．（2024·山东日照·二模）端午节吃粽子是中国的传统习俗，某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，若购进甲种粽子500个和乙种粽子400个共需6200元． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)甲、乙两种粽子的原售价分别为8元/个和11元/个，为减少库存，超市将这两种粽子搭配成“粽情端午”礼包（每个礼包含甲、乙共20个粽子），并且按原价八折促销，若使每个礼包利润不低于14元，则每个礼包中至少含乙种粽子多少个？ 【答案】(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是元、元； (2)每个礼包中至少含乙种粽子个． 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设甲种粽子每个的进价是元，则乙种粽子每个的进价是元，列出方程求解即可； （2）设每个礼包中至少含乙种粽子个，则甲种粽子个，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种粽子每个的进价是元，则乙种粽子每个的进价是元，依题意得： ， 解得：， ∴（元）， ∴甲、乙两种粽子每个的进价分别是元、元． （2）解：设每个礼包中至少含乙种粽子个，则甲种粽子个，依题意得： ， 整理得：， 解得：， ∴每个礼包中至少含乙种粽子个，使每个礼包利润不低于元， 10．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了84分，她做对了几题？ 【答案】18道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．设她答对了道题，根据晓蕾同学在该知识竞赛中的得分是84分，列方程求解即可． 【详解】解：设她答对了道题，则答错道题． 根据题意，得． 解得． 答：她答对了18道题． 11．（24-25七年级上·山东临沂·开学考试）马拉松（）长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目．2024南通马拉松吸引了近2.5万名来自世界各地的跑友相聚．本次赛事共设全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑三个项目．全程马拉松全长约42千米，比欢乐跑全长的7倍少3.5千米．欢乐跑全长多少千米？（列方程解答） 【答案】欢乐跑全长6.5千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决这类问题主要找出题里面蕴含的数量关系，由此列出方程解决问题．由题意可知，欢乐跑的全长全程马拉松的全长，设欢乐跑全长千米，列出方程解答即可． 【详解】解：设欢乐跑全长x千米． ， 解得： 答：欢乐跑全长6.5千米． 12．（2024·山东青岛·模拟预测）父亲节来临，惠客超市购进、两款男士服装．已知购进2件款和3件款共需720元，购进3件款和1件款共需660元． (1)、两款服装的进价各是多少元？ (2)由于该服装畅销，惠客超市计划用24000元再次进货、两款男士服装分别为和件，请解决： ①求和的关系式； ②惠客超市计划款服装每件定价250元售价，款产品每件定价180元销售，同时要求进货时款服装数量不少于款服装的二分之三．超市怎样进货，当两款服装按定价全部售完后能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)A，B两款男士服装的进价分别为180元，120元 (2)①；②超市进A款男装2件，B款男装197件，当两款服装按定价全部售完后能获得最大利润，最大利润是11960元 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用和一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，设A，B两款男士服装的进价分别为x元，y元，进而可得方程组，求x，y即可得解； （2）①根据超市计划用24000元再次进货、两款男士服装可得，即可得出和的关系式； ②设利润为w元，故，再结合购进款服装数量不少于款服装的二分之三，得m的范围，又结合一次函数的性质即可判断得解． 【详解】（1）解：设A，B两款男士服装的进价分别为x元，y元，根据题意得， ， 解得， 答：A，B两款男士服装的进价分别为180元，120元 （2）解：①根据题意得， ， ∴； ②设利润为w元，则 ∵， ∴ ∵， ∴随的增大而减小， ∵ ∴ ∴， ∵为整数， ∴当时，有最大值，最大值为， 所以，超市进A款男装2件，B款男装197件，当两款服装按定价全部售完后能获得最大利润，最大利润是11960元 13．（2024·山东滨州·模拟预测）小明带10元钱想买一盒饼干和一袋牛奶，可是售货员阿姨说：本来10元钱够一盒饼干的，但再买一袋牛奶就不够了，今天是儿童节给你的饼干打9折，两样东西拿好，再找你8角钱，饼干的标价可是整数哦，请你帮小明算出牛奶和饼干的标价． 【答案】牛奶和饼干的标价分别为1.1元和9元 【分析】本题主要考查了一元一次方程，掌握不等式和方程的解法，根据题意列出方程和不等式是解决本题的关键． 根据题意先列出方程和不等式，求解即可． 【详解】解：设饼干的标价是元，牛奶的标价是元． 由题意，得， 解得． 由于饼干的标价是整数， 所以（元）． 当时，（元）． 答：牛奶和饼干的标价分别为1.1元和9元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次方程与二元一次方程组 课标要求 考点 考向 1．能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程;理解方程解的意义，经历估计方程解的过程． 2．掌握等式的基本性质;能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程． 3．掌握消元法，能解二元一次方程组． 一元一次方程 考向一 一元一次方程的应用 考向二 一元一次方程的实际应用 二元一次方程组 考向一 解二元一次方程组 考向二 二元一次方程组的应用——古代问题 考向二 二元一次方程组的应用——现代问题 考点一 一元一次方程 ►考向一 一元一次方程的应用 易错易混 去分母时，不要漏乘不含分母的项;分子是多项式时，去分母后应该加上括号. 1.（2024•泰安）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． ►考向二 一元一次方程的实际应用 解题技巧 常见的等量关系： （1） 行程问题：速度×时间=路程; （2） 变积形问题：变形前的体积（面积）=变形后的体积（面积）; （3） 工程问题：工作效率×工作时间=工作量; （4） 销售问题：单价×数量=总价; 利润=利润率×进价 利润=总收入-总支出 利润=一件利润×数量-支出 1.（2024•日照）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 2.（2024•烟台）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 考点二 二元一次方程组 ►考向一 解二元一次方程组 1.（2024•德州）解方程组： ►考向二 二元一次方程组的应用——古代问题 1.（2024•淄博）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024•泰安）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 3.（2024•泰安）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 4.（2024•日照）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． ►考向三 二元一次方程组的应用——现代问题 解题技巧 学会将等量关系用运算符号和未知数表示，即可列出方程（组）. 1.（2024•东营）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 2.（2024•济南）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． (1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 一、单选题 1．（24-25七年级上·山东济南·开学考试）淘宝“618年中大促”活动，某网店所有商品打五折销售．明明的妈妈在该网店购买一件冲锋衣，加上邮费（邮费相当于原价的）共付132元，这件冲锋衣的原价是（　　） A．264 B．240 C．260 D．269 2．（2024·山东东营·模拟预测）聪聪买一套本装的《西游记》和本《童活故事》共用去元．如果本《童话故事》的价钱是本《西游记》的倍，这本童话故事是（    ）． A．元 B．元 C．元 D．元 3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（七年级下·期中）中国文化博大精深，源远流长，其中一些诗歌、对联里所蕴含的数学知识也十分丰富有趣，如：笼中装满鹅和兔，七十二双眼睛露；数脚正好二百六，多少鹅来多少兔？这首诗歌所含的问题中，如果设鹅有x只，兔有y只，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5．（七年级下·期中）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；时看里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的5倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组 ． 三、解答题 7．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是a、b，其中a、b满足，点A与点B之间的距离表示为． (1)__________； (2)若点C从点A出发向右运动，在运动过程中，当A、B、C三点中有一点是以另两点为端点的线段的中点时，点C表示的数是__________； (3)点M、N是数轴上两动点，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发，点N以每秒2个单位长度的速度从点B出发，若点M、N同时出发，运动时间为t秒，当运动多少秒时，点M、N两点间的距离为12个单位长度． 8．（23-24七年级上·山东滨州·期末）某家具厂专业生产学生座椅，其中每把学生座椅由4条椅腿、4根撑杆、2个扶手、1个椅面和1个靠背组成．根据实际生产能力，每个工人每天能够生产椅腿20条，或撑杆40根，或扶手30个，或椅面30个，或靠背30个． (1)若安排35名工人专门生产椅腿和椅面，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套？ (2)若安排全厂91名工人生产这种学生座椅，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿、撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套？ 9．（2024·山东日照·二模）端午节吃粽子是中国的传统习俗，某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，若购进甲种粽子500个和乙种粽子400个共需6200元． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)甲、乙两种粽子的原售价分别为8元/个和11元/个，为减少库存，超市将这两种粽子搭配成“粽情端午”礼包（每个礼包含甲、乙共20个粽子），并且按原价八折促销，若使每个礼包利润不低于14元，则每个礼包中至少含乙种粽子多少个？ 10．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了84分，她做对了几题？ 11．（24-25七年级上·山东临沂·开学考试）马拉松（）长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目．2024南通马拉松吸引了近2.5万名来自世界各地的跑友相聚．本次赛事共设全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑三个项目．全程马拉松全长约42千米，比欢乐跑全长的7倍少3.5千米．欢乐跑全长多少千米？（列方程解答） 12．（2024·山东青岛·模拟预测）父亲节来临，惠客超市购进、两款男士服装．已知购进2件款和3件款共需720元，购进3件款和1件款共需660元． (1)、两款服装的进价各是多少元？ (2)由于该服装畅销，惠客超市计划用24000元再次进货、两款男士服装分别为和件，请解决： ①求和的关系式； ②惠客超市计划款服装每件定价250元售价，款产品每件定价180元销售，同时要求进货时款服装数量不少于款服装的二分之三．超市怎样进货，当两款服装按定价全部售完后能获得最大利润，最大利润是多少？ 13．（2024·山东滨州·模拟预测）小明带10元钱想买一盒饼干和一袋牛奶，可是售货员阿姨说：本来10元钱够一盒饼干的，但再买一袋牛奶就不够了，今天是儿童节给你的饼干打9折，两样东西拿好，再找你8角钱，饼干的标价可是整数哦，请你帮小明算出牛奶和饼干的标价． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$