专题04 二次根式（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）

专题04 二次根式 课标要求 考点 考向 了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。 二次根式 考向一 有意义 考向二 二次根式的相关运算 考向三 二次根式中的规律问题 考点 二次根式 ►考向一 有意义 易错易混 对于，a需要满足,二次根式才有意义;对于，a可以取任意实数. 1.（2024•烟台）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． ►考向二 二次根式的相关运算 易错易混 二次根式计算的最后结果应保证所有二次根式是最简二次根式. 1.（2024•济宁）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 2.（2024•泰安）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3.（2024•淄博）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，先化简二次根式，再计算二次根式减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． ►考向三 二次根式中的规律问题 1.（2024•德州）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24九年级下·山东日照·期中）以下说法：①与是同类二次根式；②长度等于半径的弦所对的圆周角为；③若式子有意义，则实数m的取值范围是；④若直线不经过第三象限．则．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义、圆周角定理、二次根式和分式有意义的条件、一次函数的性质分别对每一项进行分析即可． 【详解】解：①，，因此与是同类二次根式，故①正确； ②长度等于半径的弦与两条半径组成等边三角形，所以该弦所对的圆心角为，所对的圆周角为或，故②错误； ③若式子有意义，则且，所以且，故③错误； ④若直线不经过第三象限，则且，所以，故④错误． 故选D． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义、圆周角定理、二次根式和分式有意义的条件、一次函数的性质，熟练掌握圆周角定理、一次函数的性质是解答本题的关键． 2．（2024·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，，向量可表示为．若，，这两个向量互相垂直的条件是．下列三组向量：，；、；、互相垂直的向量有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵， ，， ， ∴ 与垂直． ∵， 、， ， ∴与垂直． ∵， ∴与垂直． 故选：D． 【点睛】本题考查平面向量、零指数幂、二次根式的乘法运算，特殊角的三角函数等知识，解题的关键是掌握题中给出的判定向量垂直的条件以及牢记特殊角的三角函数值，属于中考常考题型． 3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）若边长为的正方形的面积记作，边长为的正方形的面积记作，边长为的正方形的面积记作……按照此规律，的值是（    ） A． B．36 C．38 D．40 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算、数字的规律性问题，先根据正方形面积公式计算出，，，得出，再代入求值即可． 【详解】解：由题意知， ， ， …… 以此类推，， ， 故选C． 二、解答题 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知． (1)计算：当时，___________，___________； 当时，___________，___________； 当时，___________，___________； (2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）； (3)请说明（）中猜想的合理性． 【答案】(1)，；，；， (2) (3)证明见解析 【分析】（）把的值分别代入计算即可求解； （）根据（）所得结果即可判断求解； （）分别求出，再利用作差法比较出的大小，进而即可求证； 本题考查了二次根式运算和性质，掌握二次根式的运算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，，， 故答案为：，； 当时，，， 故答案为：，； 当时，，； 故答案为：，； （2）解：猜想：无论为任何非负数时，， 故答案为：； （3）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 5．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，矩形的边在轴的正半轴上，点坐标为，，，且满足．问取何值时是直角三角形？ 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，勾股定理，矩形的性质． 先根据二次根式的被开方数为非负数求出a的值，进而得到b的值，从而得到，，根据勾股定理即可求出，根据点B的坐标表示出，的长．当是直角三角形时，只能，根据勾股定理有，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴，， ∵在矩形中，， ∴， ∵在轴的正半轴上，点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴在中，， 当是直角三角形时，只能， ∴， 即， 解得：． 6．（23-24八年级下·山东聊城·期末）以下是某同学化简二次根式：的运算过程： 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)上面的运算过程中第一步出现了两个错误，分别是：①______，②______；第二步出现了一个错误：③______． (2)请你写出正确完整的解答过程． 【答案】(1)①；②；③ (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，绝对值的意义以及算术平方根的定义等知识． （1）根据完全平方公式，绝对值的意义以及算术平方根的定义求解即可． （2）按照二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：① ② ③ 故答案为：；； （2） 7．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读下列材料： ，像和这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 请运用上面的知识解决下列问题： (1)指出的有理化因式，并将化简为分母中不含根式的式子； (2)通过化简，比较和的大小关系； (3)已知，． ①求a的值； ②结合①的结果，解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)①2；② 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式，掌握二次根式的混合运算、平方差公式，分母有理化是解题关键． （1）阅读材料可直接得出结果； （2）先把分母有理化，然后比较大小即可； （3）①将已知两等式相乘可得出关于a的方程，然后解方程即可； ②两等式相加可得出，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由①知：， 又， 两等式相加，得， ∴， 解得． 8．（2024·山东青岛·三模）阅读材料，完成下列小题． 集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象．集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素．现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体． 我们把这个抽象的概念具体化：关于1+1= 这个算式答案的集合，我们表示为{2}． 交集指的是两个集合的共同部分，用“∩”表示；比如“小于4大于1的实数”这个集合与“小于5大于2的实数”的交集就是{3} 并集指的是把两个集合合并在一起，用“∪”表示；比如“小于4大于1的实数”这个集合与“小于5大于2的实数”的并集就是{4，3，2} 【开胃小菜】请表示不等式组的解集． 【拓展延伸】集合论在离散数学中有着非常重要的地位．对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数． (1)已知集合，，，若，求的值； (2)记集合，，，为中所有元素之和，n是正整数，求证：； (3)若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． 【知识卡片】“∈”的意思是属于，的意思是正整数． 【答案】(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1），结合集合中的元素满足互异性以及定义可得，，分别是5，7，9，即可求解； （2）根据等差数列求和公式先求出的通项公式，然后再表示出，再利用裂项求和计算即可； （3）设，设，根据不等式的同向可加性得到，可得这里有个元素，则上面为集合的所有元素，同理：，这里有个元素，则上面为集合的所有元素，发现可找出，故，由上得，，同理：，故，因此，故证毕． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵， ∴， 又∵，，，，，是中的元素， ∴，，分别是5，7，9， ∴, ∴， （2）证明：由题意得， ， ， ∴ ∴ ， ∵当无穷大时，趋近于0， ∴， ∴， ∴； （3）证明：设， 设， ∴， ∴这里有个元素， ∵， ∴上面为集合的所有元素， 同理：， ∴这里有个元素， ∴上面为集合的所有元素， ∴， ∴， 由上得，， 同理：， ∴， ∴， ∴若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程，有理数的加法运算，不等式的性质，二次根式的加减运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式 课标要求 考点 考向 了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。 二次根式 考向一 有意义 考向二 二次根式的相关运算 考向三 二次根式中的规律问题 考点 二次根式 ►考向一 有意义 易错易混 对于，a需要满足,二次根式才有意义;对于，a可以取任意实数. 1.（2024•烟台）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． ►考向二 二次根式的相关运算 易错易混 二次根式计算的最后结果应保证所有二次根式是最简二次根式. 1.（2024•济宁）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024•泰安）计算： ． 3.（2024•淄博）计算： ． ►考向三 二次根式中的规律问题 1.（2024•德州）观察下列等式： …… 则的值为 ． 一、单选题 1．（23-24九年级下·山东日照·期中）以下说法：①与是同类二次根式；②长度等于半径的弦所对的圆周角为；③若式子有意义，则实数m的取值范围是；④若直线不经过第三象限．则．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2024·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，，向量可表示为．若，，这两个向量互相垂直的条件是．下列三组向量：，；、；、互相垂直的向量有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）若边长为的正方形的面积记作，边长为的正方形的面积记作，边长为的正方形的面积记作……按照此规律，的值是（    ） A． B．36 C．38 D．40 二、解答题 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知． (1)计算：当时，___________，___________； 当时，___________，___________； 当时，___________，___________； (2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）； (3)请说明（）中猜想的合理性． 5．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，矩形的边在轴的正半轴上，点坐标为，，，且满足．问取何值时是直角三角形？ 6．（23-24八年级下·山东聊城·期末）以下是某同学化简二次根式：的运算过程： 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)上面的运算过程中第一步出现了两个错误，分别是：①______，②______；第二步出现了一个错误：③______． (2)请你写出正确完整的解答过程． 7．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读下列材料： ，像和这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 请运用上面的知识解决下列问题： (1)指出的有理化因式，并将化简为分母中不含根式的式子； (2)通过化简，比较和的大小关系； (3)已知，． ①求a的值； ②结合①的结果，解方程：． 8．（2024·山东青岛·三模）阅读材料，完成下列小题． 集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象．集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素．现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体． 我们把这个抽象的概念具体化：关于1+1= 这个算式答案的集合，我们表示为{2}． 交集指的是两个集合的共同部分，用“∩”表示；比如“小于4大于1的实数”这个集合与“小于5大于2的实数”的交集就是{3} 并集指的是把两个集合合并在一起，用“∪”表示；比如“小于4大于1的实数”这个集合与“小于5大于2的实数”的并集就是{4，3，2} 【开胃小菜】请表示不等式组的解集． 【拓展延伸】集合论在离散数学中有着非常重要的地位．对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数． (1)已知集合，，，若，求的值； (2)记集合，，，为中所有元素之和，n是正整数，求证：； (3)若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． 【知识卡片】“∈”的意思是属于，的意思是正整数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$