专题03 分式及分式方程（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）

专题03 分式及分式方程 课标要求 考点 考向 1. 了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分;能对简单的分式进行加、减、乘、除运算． 2. 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程; 能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程. 分式 考向一 分式值为0或有意义 考向二 分式的化简计算 考向三 分式化简求值 分式方程 考向四 解分式方程 考向五 分式方程的实际应用 考向六 分式方程与函数、方程的综合应用 考点一 分式 ►考向一 分式值为0或有意义 易错易混 若，应同时满足 . 1.（2024•济南）若分式的值为0，则的值是 ． 2.（2024•烟台）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． ►考向二 分式的化简计算 1.（2024•德州）化简： 2.（2024•东营）计算：． 3.（2024•泰安）化简：． 4.（2024•泰安）计算： ． ►考向三 分式化简求值 易错易混 （1）代入的值，应使得本题算式有意义，而不是只看化简后的式子有意义. （2）有时结合整体的思想，代入求值时更简单. 1.（2024•青岛）先化简，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 2.（2024•日照）先化简，再求值：，其中x满足． 3.（2024•潍坊）先化简，再求值：，其中． 4.（2024•烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 5.（2024•淄博）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    考点二 分式方程 ►考向一 解分式方程 易错易混 求出解后不要忘记检验是否为增根. 1.（2024•济宁）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． ►考向二 分式方程的实际应用 1.（2024•东营）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 2.（2024•泰安）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 3.（2024•泰安）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量． ►考向三 分式方程与一次函数的综合应用 1.（2024•德州）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等． (1)两种棋的单价分别是多少？ (2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 2.（2024•青岛）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 1. （2024•日照）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（   ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．将式子写成分式的形式是 D．分式的分子为0，则分式的值为0 2．（2024·山东临沂·模拟预测）当比多1时，（    ） A．4 B．6 C． D． 二、多选题 3．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）将分式进行变形，变形1是将分式的分子和分母都缩小为原来的，变形2是将分子和分母中x、y的值都扩大到原来的3倍，则关于两种变形说法错误的是（   ） A．变形2的结果是原来的3倍 B．变形1的结果缩小为原来的 C．变形1和变形2的结果相等 D．变形2的结果是变形1结果的12倍 4．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）下面说法中正确的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 C．若a，b满足，且恰好是等腰两条边的长，则的周长为12或15 D．若关于的分式方程会产生增根，则k的值是5 三、填空题 5．（2024八年级·竞赛）已知的小数部分为a．则 ． 6．（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读下列材料： 我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是“假分式”；再如，这样的分式就是“真分式”．“假分式”也可以化为“带分式”．如：． 解决问题：分式是 （填“真分式”“假分式”），“假分式”化为“带分式”为 ． 四、解答题 7．（24-25八年级上·山东烟台·期中）“一题多解”能够培养和锻炼发散思维，在我们解决问题时思路会朝着各种可能的方向扩散，从而灵活的得到创新性的方法．先阅读下列解法，再解答后面的问题： 已知：，求、的值 解法一： 右边整理为： 所以可得：，即，解之得： 解法二： 当时，原等式整理为：，即： 当时，原等式整理为：，即： 所以：即，解之得： 请认真学习材料中的方法，解决下列两个问题．要求两个解法都要用到：若（1）题用解法一，那么（2）题要用解法二；或者（1）题用解法二，那么（2）题要用解法一． (1)若：，请求出：、的值； (2)若：，请求出：、的值 8．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算：． 9．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 10．（2024·山东滨州·一模）（1）先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． （2）①作图题：（尺规作图，保留作图痕迹．） 已知：在中，，，．    求作：点，使点在内部，且，． ②在①的条件下，______． 11．（2024·山东潍坊·一模）先化简再求值：，已知． 12．（24-25八年级上·山东淄博·期中）某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金相同．已知每间房屋的租金第二年比第一年多元，所有房屋出租的租金第一年为万元，第二年为万元．请根据上述情景，提出一个问题，并尝试用分式方程的知识加以解决． 13．（24-25八年级上·山东泰安·期中） 近两年来，中国电动汽车因节能省钱优势，市场占有率和销量连续上升．下图中 分别是某汽车品牌制造企业对公司生产的燃油汽车和电动汽车使用费用y(单位：元)与行驶路程x(单位：百千米)的关系．已知燃油车每百千米所需费用是纯电动汽车每百千米所需费用的5倍还多5 元．请你根据信息计算纯电动汽车每百千米耗电费用是多少元． 14．（24-25八年级上·阶段练习）《花卉装点校园，青春献礼祖国》项目学习方案： 项目情景 国庆将至，向阳中学购买花卉装点校园，向祖国母亲生日献礼．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜3元，用600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用240元购买的种花卉的数量为，由题意得方程： ① ； 小组成员乙设 ② ，由题意得方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求的值 (1)任务一中横线①处应填________，横线②处应填________． (2)完成任务二． 15．（2024·山东聊城·三模）某便利店采购 A，B两种商品的总金额分别是7200元和3200元，A商品比B商品多进了40件，同时A商品进价比B商品进价每件高出 (1)求A，B两种商品的进价分别是多少？ (2)在A，B两种商品的进价不变的条件下，若A的售价为85元/件，B的售价为55元/件， 便利店购进A，B商品共200件，要使总利润不低于4500元的情况下，A商品最少购进多少件？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式及分式方程 课标要求 考点 考向 1. 了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分;能对简单的分式进行加、减、乘、除运算． 2. 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程; 能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程. 分式 考向一 分式值为0或有意义 考向二 分式的化简计算 考向三 分式化简求值 分式方程 考向四 解分式方程 考向五 分式方程的实际应用 考向六 分式方程与函数、方程的综合应用 考点一 分式 ►考向一 分式值为0或有意义 易错易混 若，应同时满足 . 1.（2024•济南）若分式的值为0，则的值是 ． 【答案】1 【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案． 【详解】∵分式的值为0， ∴x−1＝0，2x≠0 解得：x＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分式的相关性质是解题关键． 2.（2024•烟台）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． ►考向二 分式的化简计算 1.（2024•德州）化简： 【答案】； 【分析】先计算分式除法，然后计算分式减法即可； 【详解】解：原式 ； 2.（2024•东营）计算：． 【答案】． 【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查分式的混合运算、特殊三角形函数值、零次幂、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3.（2024•泰安）化简：． 【答案】 【分析】利用分式的运算法则化简即可． 【详解】解： ． 4.（2024•泰安）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的加减，根据同分母分式的加减法则解题即可． 【详解】 ． 故答案为：． ►考向三 分式化简求值 易错易混 （1）代入的值，应使得本题算式有意义，而不是只看化简后的式子有意义. （2）有时结合整体的思想，代入求值时更简单. 1.（2024•青岛）先化简，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【难度】0.65 【分析】 利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，根据分式有意义的条件可知，，，再从和任选一个数代入化简后的结果中计算即可； 【详解】解： 原式 ， ， ， ∵， ∴当时，原式 当时，原式． 2.（2024•日照）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】  ； 【分析】根据分式混合运算规则进行化简，得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解： 原式 ． 当时，， 原式 3.（2024•潍坊）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先括号内通分，分子分解因式，除法换作乘法，约分化简，再代入a值，合并即得． 【详解】 ； 当时， 原式． 4.（2024•烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出的值，把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出的值是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴的平方根为， ∵， ∴， 又∵为的平方根， ∴， ∴原式． 5.（2024•淄博）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得，的值，将原分式化简后代入数值计算即可． 【详解】解：依题意，，且为整数，又，则， ； 当，时，原式． 考点二 分式方程 ►考向一 解分式方程 易错易混 求出解后不要忘记检验是否为增根. 1.（2024•济宁）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理可得： 故选：A． ►考向二 分式方程的实际应用 1.（2024•东营）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可． 【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得： ． 故答案为：． 2.（2024•泰安）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 【答案】甲组有名工人，乙组有名工人 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有名工人，则乙组有名工人．根据题意得，据此即可求解． 【详解】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人． 根据题意得：， 解答：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲组有名工人，乙组有名工人． 3.（2024•泰安）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量． 【答案】千瓦·时 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等列式分式方程求解即可． 【详解】解：设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时， 则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时 整理得 解得 经检验：是原分式方程的解． 答：一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时. ►考向三 分式方程与一次函数的综合应用 1.（2024•德州）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等． (1)两种棋的单价分别是多少？ (2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)五子棋的单价是40元，象棋的单价是元 (2)购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．列出分式方程求解并检验即可； （2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得： 解得：， 经检验是所列分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元； （2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得： ， 解得：， ， ， 随的增大而减小， 在中， 为正整数， 当时，有最小值，最小值为（元）， 则（副） 答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元． 2.（2024•青岛）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； (2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可； （2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； （2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得， ， ∵， ∴y随m增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为， 此时有， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少． 1. （2024•日照）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】(1)1200元；1000元 (2)；购买A种书架8个，B种书架12个 (3)120 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（   ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．将式子写成分式的形式是 D．分式的分子为0，则分式的值为0 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的定义，分式的值，根据与分式相关的概念与性质逐一分析判断即可. 【详解】解：A. 是整式，故不符合题意， B. ∵， ∴对于任意实数，总有意义，故符合题意； C. 将式子写成分式的形式是，故不符合题意； D. 分式的分子为0，分母不为0，则分式的值为0，故不符合题意； 故选：B 2．（2024·山东临沂·模拟预测）当比多1时，（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的运算，根据比多1，进行列式计算，得，即可作答． 【详解】解：∵比多1 ∴ 即 ∴ 经检验是的解 故选：B 二、多选题 3．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）将分式进行变形，变形1是将分式的分子和分母都缩小为原来的，变形2是将分子和分母中x、y的值都扩大到原来的3倍，则关于两种变形说法错误的是（   ） A．变形2的结果是原来的3倍 B．变形1的结果缩小为原来的 C．变形1和变形2的结果相等 D．变形2的结果是变形1结果的12倍 【答案】BCD 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的分子、分母都乘以四分之一然后化简可得变形1的结果，把原分式中的分别用替换，然后化简可得变形2的结果，再根据变形的结果逐一判断即可． 【详解】解：按照变形1变形后的分式为， 按照变形2变形后的分式为， ∴变形1的结果与原分式相等，变形2的结果是原来的3倍， ∴变形2的结果是变形1结果的3倍， ∴四个选项中B、C、D选项的说法错误，符合题意， 故选；BCD． 4．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）下面说法中正确的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 C．若a，b满足，且恰好是等腰两条边的长，则的周长为12或15 D．若关于的分式方程会产生增根，则k的值是5 【答案】BD 【分析】根据平行四边形的判定和性质即可判断A，根据全等三角形的判定与性质可判断B；根据非负数的性质求出a、b的值，然后根据等腰三角形定义和三边关系可判断C；根据分式方程增根的特点，求出的值，判断D． 【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A错误； B．由选项知，为中点，且，如图： 则， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴，故B正确； C．∵， ∴， ∴，， 解得：，， 当3为腰时，等腰三角形的三边为3，3，6， ∵， ∴3，3，6不能构成三角形； 当6为腰时，等腰三角形的三边为3，6，6， ∵， ∴3，6，6能构成三角形， ∴此时三角形的周长为， 综上分析可知，三角形的周长为15，故C错误； D．， ， 去分母得：， 当，即时，分式方程有增根， ∴，故D正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，非负数的性质，解分式方程，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 三、填空题 5．（2024八年级·竞赛）已知的小数部分为a．则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的混合运算，无理数的估算，分母有理化，先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再求出a的值，然后代入化简后的结果计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴的整数部分3， ∴． ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读下列材料： 我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是“假分式”；再如，这样的分式就是“真分式”．“假分式”也可以化为“带分式”．如：． 解决问题：分式是 （填“真分式”“假分式”），“假分式”化为“带分式”为 ． 【答案】 真分式 【分析】本题考查分式的加减运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解“假分式”“带分式”的意义和转化方法是解决问题的关键．根据“真分式”的意义判断即可，根据“假分式”化成“带分式”的方法转化即可 【详解】解：分式的分子的次数是0，分母的次数是1，故是真分式； ． 故答案为：真分式；． 四、解答题 7．（24-25八年级上·山东烟台·期中）“一题多解”能够培养和锻炼发散思维，在我们解决问题时思路会朝着各种可能的方向扩散，从而灵活的得到创新性的方法．先阅读下列解法，再解答后面的问题： 已知：，求、的值 解法一： 右边整理为： 所以可得：，即，解之得： 解法二： 当时，原等式整理为：，即： 当时，原等式整理为：，即： 所以：即，解之得： 请认真学习材料中的方法，解决下列两个问题．要求两个解法都要用到：若（1）题用解法一，那么（2）题要用解法二；或者（1）题用解法二，那么（2）题要用解法一． (1)若：，请求出：、的值； (2)若：，请求出：、的值 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的加减法与乘法运算、二元一次方程组的应用，读懂阅读材料中的两种解法是解题关键． （1）解法一：等式右边通分，去括号化简可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组即可得；解法二：分别取和可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组即可得； （2）解法一：等式右边通分，去分母，去括号化简可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组即可得；解法二：分别取和可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）解：解法一： 右边整理为： ， 所以可得：， 即， 解之得：； 解法二： 当时，原等式整理为：，即：， 当时，原等式整理为：，即：， 所以：即，解之得：； （2）解：解法一： 右边整理为： ， 所以可得：， 即， 解之得：； 解法二： 当时，原等式整理为： 当时，原等式整理为： 所以：即， 解之得：． 8．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 9．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题主要考查了分式的运算， 对于（1），根据分式的乘法，直接约分即可； 对于（2），将除法变为乘法，再计算即可； 对于（3），先算乘方，再按照顺序计算即可； 对于（4），先计算括号内的，再将除法变成乘法计算； 对于（5），先计算括号内的，再将除法变为乘法计算； 对于（6），先计算括号内的，再将除法变为乘法计算； 对于（7）（8），仿照（6）解答． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ； （7）原式 ； （8）原式 ． 10．（2024·山东滨州·一模）（1）先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． （2）①作图题：（尺规作图，保留作图痕迹．） 已知：在中，，，．    求作：点，使点在内部，且，． ②在①的条件下，______． 【答案】（1），当时，原式；（2）①见解析；②4 【分析】此题考查了分式的混合运算求值，尺规作角平分线和垂直平分线，以及角平分线和垂直平分线的性质定理， （1）首先根据分式的混合运算化简，然后根据分式有意义的条件得到，，然后将代入求解即可； （2）①作出线段的垂直平分线、的角平分线，相交于点P即可； ②首先得到为等腰直角三角形，然后由角平分线的性质得到，然后利用代数求解即可． 【详解】（1） ∵， ∴， ∵，且x为整数 ∴当时，原式； （2）①如图所示，点即为所求； ②如图所示，连接，，过点P作交于点G，    由①可得，为线段垂直平分线上的一点， ， ， ， 为等腰直角三角形 ∴ ∵平分， ∴ ∴ ， 故答案为：4． 11．（2024·山东潍坊·一模）先化简再求值：，已知． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再整体代入计算即可求出值． 【详解】解： （2） ， ∵， ∴， ∴原式． 12．（24-25八年级上·山东淄博·期中）某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金相同．已知每间房屋的租金第二年比第一年多元，所有房屋出租的租金第一年为万元，第二年为万元．请根据上述情景，提出一个问题，并尝试用分式方程的知识加以解决． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，提出问题：该单位共有出租房屋多少间？设该单位共出租房屋间，根据单价总价数量结合每间房屋的租金第二年比第一年多元，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：提出问题：该单位共有出租房屋多少间？ 设该单位共出租房屋间， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的根． 答：该单位共出租房屋间． 13．（24-25八年级上·山东泰安·期中） 近两年来，中国电动汽车因节能省钱优势，市场占有率和销量连续上升．下图中 分别是某汽车品牌制造企业对公司生产的燃油汽车和电动汽车使用费用y(单位：元)与行驶路程x(单位：百千米)的关系．已知燃油车每百千米所需费用是纯电动汽车每百千米所需费用的5倍还多5 元．请你根据信息计算纯电动汽车每百千米耗电费用是多少元． 【答案】纯电动汽车每百千米耗电费用是14元 【分析】本题考查了函数图象，分式方程的应用．熟练掌握函数图象，分式方程的应用是解题的关键． 设纯电动汽车每百千米耗电费用是x元，则燃油车每百千米所需费用为元，根据燃油汽车所需费用135元时与燃气汽车所需费用25.2元时的路程相等，列分式方程即可． 【详解】解：设纯电动汽车每百千米耗电费用是x元，则燃油车每百千米所需费用为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：纯电动汽车每百千米耗电费用是14元． 14．（24-25八年级上·阶段练习）《花卉装点校园，青春献礼祖国》项目学习方案： 项目情景 国庆将至，向阳中学购买花卉装点校园，向祖国母亲生日献礼．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜3元，用600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用240元购买的种花卉的数量为，由题意得方程： ① ； 小组成员乙设 ② ，由题意得方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求的值 (1)任务一中横线①处应填________，横线②处应填________． (2)完成任务二． 【答案】(1)，种花卉的单价为元 (2) 【分析】本题考查分式方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程是解题的关键： （1）①由题意，可知：用600元购买的种花卉数量为，根据每枝种花卉比每枝种花卉便宜3元，列出方程即可； ②根据方程可知，等量关系为：600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍，故乙设的是种花卉的单价； （2）根据完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：小组成员甲设用240元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：； ∵表示600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍， ∴乙设的是种花卉的单价为元； 故答案为：；种花卉的单价为元； （2）由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 15．（2024·山东聊城·三模）某便利店采购 A，B两种商品的总金额分别是7200元和3200元，A商品比B商品多进了40件，同时A商品进价比B商品进价每件高出 (1)求A，B两种商品的进价分别是多少？ (2)在A，B两种商品的进价不变的条件下，若A的售价为85元/件，B的售价为55元/件， 便利店购进A，B商品共200件，要使总利润不低于4500元的情况下，A商品最少购进多少件？ 【答案】(1)A、B两种商品的单价分别为60元、40元 (2)A商品最少购进150件 【分析】本题考查了分式方程的应用与一元一次不等式的应用，正确理解题意，根据等量关系与不等关系，分别列出方程与不等式是解题的关键． （1）设B商品的进价为x元，则A商品的进价为元，根据等量关系：A商品比B商品多进了40件，列出分式方程，解之，最后要检验即可； （2）设A商品购进m件，则B商品购进件，根据：总利润不低于4500元，列出不等式，最后求解即可． 【详解】（1）解：设B商品的进价为x元，则A商品的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且满足题意； 所以A商品的单价为（元） 答：A、B两种商品的单价分别为60元、40元； （2）解：设A商品购进m件，则B商品购进件， 由题意得：， 解得：， 由于m为整数，故m最小为150 ； 答：A商品最少购进150件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$