专题01 实数及其运算（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）

专题01 实数及其运算 课标要求 考点 考向 1．理解负数的意义理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小. 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法. 3．理解乘方的意义. 4．掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）;理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算. 5．能运用有理数的运算解决简单的问题． 6．能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小. 7．能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值. 8. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根. 9. 了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根，会用计算器计算平方根和立方根. 10. 能用有理数估计一个无理数的大致范围. 11. 了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算. 有理数 考向一 正负数的意义 考向二 相反数、绝对值 考向三 数轴 考向四 科学记数法 实数 考向一 无理数的涵义 考向二 实数的大小比较 考向三 实数的运算 考点一 有理数 ►考向一 正负数的意义 1.（2024•威海）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． ►考向二 相反数、绝对值 易错易混提醒 (1)a与-a互为相反数;a-b与b-a互为相反数;a+b与-a-b互为相反数. (2)去绝对值号时，必须根据绝对值号中的数与0的大小关系，即 . 1.（2024•济南）9的相反数是（    ） A． B． C．9 D． 2.（2024•东营）的绝对值是（   ） A．3 B． C． D． ►考向三 数轴 解题技巧/易错易混提醒 （1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点） （2）任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 （3）数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数. （4）在数轴上表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，且与原点的距离相等. 1.（2024•德州）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（2024•青岛）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（    ） A．a B．b C．c D．d 3.（2024•烟台）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． ►考向四 科学记数法 解题技巧 常见的记数单位: 2.（2024•济南）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3.（2024•威海）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4.（2024•烟台）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一，已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 5.（2024•淄博）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 考点二 实数 ►考向一 无理数的涵义 解题技巧/易错易混 无理数：无限不循环小数. 常见分类：（1）开方开不尽的数； （2）含π,e的数； （3）有规律但并不循环的小数； 有理数：可以写成(A,B均是整数)的数. 1.（2024•日照）实数中无理数是（    ） A． B．0 C． D．1.732 2.（2024•烟台）下列实数中的无理数是（    ） A． B．3.14 C． D． ►考向二 实数的大小比较 1.（2024•德州）在0，，，这四个数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 2.（2024•泰安）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． ►考向三 实数的运算 解题技巧 （1）表示的是a的算术平方根; 表示的是a的平方根. （2） （3），指数中的负号有时可以看做是对底数取了倒数. 1.（2024•东营）计算：； 2.（2024•济南）计算：． 3.（2024•泰安）计算：； 4.（2024•淄博）下列运算结果是正数的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25七年级上·山东临沂·期中）（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）若，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·山东济南·模拟预测）提到央视新闻 2023 年度十大弹幕热词之一“遥遥领先”，人们就会想到被美国技术封锁了四年的华为手机；2024年4月，华为Pura 70手机发售，其搭载的华为麒麟9010芯片是华为自主研发的最新款处理器，它集成了多项创新技术；其性能达到了高档的3纳米水平；为用户带来了前所未有的使用体验。请将3纳米（1纳米米）用科学记数法表示为（   ）米． A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25·山东烟台·期中）学校图书馆平均每天借出图书50册，如果某天借出53册记作；那么某天借出40册记作 ． 5．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的有 （只填写序号） ① 任何有理数的绝对值都是正数； ② 数轴上的两个有理数，绝对值大的离原点远； ③ 若，则a是非正数；   ④ 两个互为相反数的数绝对值相等； ⑤ 有理数可分为正数、负数；     ⑥ 1是最小的正数； ⑦ 带“号”和带“”号的数互为相反数； ⑧是2的相反数． 6．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）若，则 ． 7．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习） ． 8．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）一种少年儿童的标准体重（单位：千克）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是六位11岁同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 则这六位同学的总体重是 千克． 9．（24-25七年级上·山东枣庄·期中）实施乡村振兴党中央面向全中国的重大战略决策， 2023年末，中国农村监测户人口346万人，用科学记数法表示为 人． 10．（2024九年级上·山东济南·专题练习）写出一个取值范围为到2之间的根式 ． 11．（2024·山东·模拟预测）若，则．若，，，则将a、b、c按从大到小的顺序排列： ． 三、解答题 12．（24-25七年级上·山东济南·期中）类比是应用过去的经验去解决新问题的一种思维过程． 【回顾·反思】 数学兴趣小组在研究的最小值问题时，利用“一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离”这一概念，发现就是x和所对应的两个点之间的距离，就是x和7所对应的两个点之间的距离．同学们用和7这两个数所对应的点将数轴分为三个部分，然后分别在这三个部分上探究x到与x到7的距离之和，并运用数形结合的思想解决了这个问题： 在数轴上， ①如图1，若x代表的数在的左侧，则x到与x到7的距离之和大于11； ②如图2，若x代表的数在与7之间，则x到与x到7的距离之和等于11； ③如图3，若x代表的数在7的右侧，则x到与x到7的距离之和大于11； ④若，则x到与x到7的距离之和等于11； ⑤若，则x到与x到7的距离之和等于11； 综合以上各种情况，的最小值为11． 【操作·思考】 数学兴趣小组的同学们想通过类比学习的方式探究的最大值问题． 就是x和 所对应的两个点之间的距离，就是x和 所对应的两个点之间的距离，这两个数所对应的点可以将数轴分为三个部分，分别在三个部分上进行探究，可以得出的最大值为 ； 【尝试·思考】 当或b时，代数式的值为相等的正数，则 ． 13．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是a、b，其中a、b满足，点A与点B之间的距离表示为． (1)__________； (2)若点C从点A出发向右运动，在运动过程中，当A、B、C三点中有一点是以另两点为端点的线段的中点时，点C表示的数是__________； (3)点M、N是数轴上两动点，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发，点N以每秒2个单位长度的速度从点B出发，若点M、N同时出发，运动时间为t秒，当运动多少秒时，点M、N两点间的距离为12个单位长度． 14．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）计算题 15．（2024·山东济宁·济宁学院附属中学校考一模）计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 实数及其运算 课标要求 考点 考向 1．理解负数的意义理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小. 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法. 3．理解乘方的意义. 4．掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）;理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算. 5．能运用有理数的运算解决简单的问题． 6．能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小. 7．能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值. 8. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根. 9. 了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根，会用计算器计算平方根和立方根. 10. 能用有理数估计一个无理数的大致范围. 11. 了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算. 有理数 考向一 正负数的意义 考向二 相反数、绝对值 考向三 数轴 考向四 科学记数法 实数 考向一 无理数的涵义 考向二 实数的大小比较 考向三 实数的运算 考点一 有理数 ►考向一 正负数的意义 1.（2024•威海）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示． ∴ ∴最接近标准质量的是 故选：C． ►考向二 相反数、绝对值 易错易混提醒 (1)a与-a互为相反数;a-b与b-a互为相反数;a+b与-a-b互为相反数. (2)去绝对值号时，必须根据绝对值号中的数与0的大小关系，即 . 1.（2024•济南）9的相反数是（    ） A． B． C．9 D． 【答案】D 【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案． 【详解】解：9的相反数是， 故选：． 【点睛】本题主要考查了相反数，解题的关键是掌握相反数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数）的概念． 2.（2024•东营）的绝对值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值求法．绝对值是指一个数在数轴上对应的点与原点的距离，正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】， 故选：A． ►考向三 数轴 解题技巧/易错易混提醒 （1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点） （2）任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 （3）数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数. （4）在数轴上表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，且与原点的距离相等. 1.（2024•德州）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 【详解】解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 2.（2024•青岛）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据绝对值的几何意义可知，一个实数的绝对值表示的是这个实数在数轴上与原点的距离，故离原点越近，其绝对值越小，据此可得答案． 【详解】解：由数轴上点的位置可知，， ∴这四个实数中绝对值最小的是， 故选：C． 3.（2024•烟台）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断，，的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判，，的正负． 【详解】由数轴可得，，，， 、，原选项判断错误，不符合题意， 、，原选项判断正确，符合题意， 、根据数轴可知：，原选项判断错误，不符合题意， 、根据数轴可知：，则，原选项判断错误，不符合题意， 故选：． ►考向四 科学记数法 解题技巧 常见的记数单位: 1.（2024•东营）从2024年一季度GDP增速看，东营市增速位居山东16市“第一方阵”，一季度全市生产总值达到957.2亿元，同比增长，957.2亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此即可完成作答． 【详解】解：957.2亿， 故答案为：． 2.（2024•济南）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 根据科学记数法定义，这里，． 【详解】． 故选：B． 3.（2024•威海）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：百万分之一． 故选：B． 【点睛】 4.（2024•烟台）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一，已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数进行表示即可． 【详解】解：0.015毫米纳米； 故选B． 【点睛】 5.（2024•淄博）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同， 【详解】解：万， 则， 故选：B． 【点睛】 考点二 实数 ►考向一 无理数的涵义 解题技巧/易错易混 无理数：无限不循环小数. 常见分类：（1）开方开不尽的数； （2）含π,e的数； （3）有规律但并不循环的小数； 有理数：可以写成(A,B均是整数)的数. 1.（2024•日照）实数中无理数是（    ） A． B．0 C． D．1.732 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：都是有理数，是无理数． 故选：C 【点睛】 2.（2024•烟台）下列实数中的无理数是（    ） A． B．3.14 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、3.14是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选C． 【点睛】 ►考向二 实数的大小比较 1.（2024•德州）在0，，，这四个数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的比较大小，熟练掌握实数比较大小的规则即可．根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，判断即可． 【详解】解：因为和大于0，小于0， 所以最小， 故选：C． 【点睛】 2.（2024•泰安）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴最小的数是 故选：A． 【点睛】 ►考向三 实数的运算 解题技巧 （1）表示的是a的算术平方根; 表示的是a的平方根. （2） （3），指数中的负号有时可以看做是对底数取了倒数. 1.（2024•东营）计算：； 【答案】1； 【分析】先化简，然后计算乘法，最后算加减法即可； 【详解】解： ； 【点睛】本题考查分式的混合运算、特殊三角形函数值、零次幂、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2.（2024•济南）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键． 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【详解】解：原式． 【点睛】 3.（2024•泰安）计算：； 【答案】7； 【分析】本题考查了实数的运算和分式的化简，实数运算涉及特殊角的三角函数，负指数幂，二次根式和绝对值，熟练掌握相关的法则是解题的关键． 利用特殊角的三角函数，负指数幂，二次根式和绝对值进行实数的运算； 【详解】解： ； ； 【点睛】 4.（2024•淄博）下列运算结果是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可． 【详解】解：A、是正数，符合题意； B、是负数，不符合题意； C、是负数，不符合题意； D、是负数，不符合题意； 故选：A． 【点睛】 一、单选题 1．（24-25七年级上·山东临沂·期中）（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】主要考查了化简多重符号，熟知化简多重符号的方法是解题的关键．根据相反数的意义求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）若，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值，比较两个数的大小，先求出各数的绝对值，再根据“正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小”进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，． 故选：A 3．（2024·山东济南·模拟预测）提到央视新闻 2023 年度十大弹幕热词之一“遥遥领先”，人们就会想到被美国技术封锁了四年的华为手机；2024年4月，华为Pura 70手机发售，其搭载的华为麒麟9010芯片是华为自主研发的最新款处理器，它集成了多项创新技术；其性能达到了高档的3纳米水平；为用户带来了前所未有的使用体验。请将3纳米（1纳米米）用科学记数法表示为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：3纳米米米， 故选：C. 二、填空题 4．（24-25·山东烟台·期中）学校图书馆平均每天借出图书50册，如果某天借出53册记作；那么某天借出40册记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的实际应用，理解题目中正负数的含义是解题关键．根据超出50册记为正，不足50册记为负，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，超出50册记为正，不足50册记为负， 那么某天借出40册记作， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的有 （只填写序号） ① 任何有理数的绝对值都是正数； ② 数轴上的两个有理数，绝对值大的离原点远； ③ 若，则a是非正数；   ④ 两个互为相反数的数绝对值相等； ⑤ 有理数可分为正数、负数；     ⑥ 1是最小的正数； ⑦ 带“号”和带“”号的数互为相反数； ⑧是2的相反数． 【答案】②③④ 【分析】此题考查绝对值、相反数、有理数的分类、化简多重符号等知识．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：① 任何有理数的绝对值都是正数和0，故原说法错误； ② 数轴上的两个有理数，绝对值大的离原点远，说法正确； ③ 若，则a是非正数，说法正确；    ④ 两个互为相反数的数绝对值相等，说法正确； ⑤ 有理数可分为正有理数、负有理数和0，故原说法错误；      ⑥ 1是最小的正整数，没有最小的正数，故原说法错误； ⑦ 带“号”和带“”号的数不一定互为相反数，故原说法错误； ⑧，则和2相等，但不是相反数，故原说法错误． 综上可知说法正确的有②③④， 故答案为：②③④． 6．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，根据，得出，所以，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，根据整数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0解题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）一种少年儿童的标准体重（单位：千克）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是六位11岁同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 则这六位同学的总体重是 千克． 【答案】215 【分析】本题主要考查正负数的应用，有理数的运算的实际应用，首先求出11岁同学的标准体重，然后根据表格中的数据列出算式求解即可． 【详解】解：根据题意得，11岁同学的标准体重（千克）， ∴（千克）． ∴这六位同学的总体重是215千克． 故答案为：215． 9．（24-25七年级上·山东枣庄·期中）实施乡村振兴党中央面向全中国的重大战略决策， 2023年末，中国农村监测户人口346万人，用科学记数法表示为 人． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：346万人即， ， 故答案为：． 10．（2024九年级上·山东济南·专题练习）写出一个取值范围为到2之间的根式 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，因为，所以满足条件，即可作答． 【详解】解：∵ ∴的范围为到2之间的根式， 故答案为：（答案不唯一） 11．（2024·山东·模拟预测）若，则．若，，，则将a、b、c按从大到小的顺序排列： ． 【答案】当时，，当时，， 【分析】本题考查对题干对数函数运算公式的理解，不等式性质，以及实数比较大小，根据对数函数运算公式得到，的值，分情况讨论，当时，以及当时，再与进行比较，即可解题． 【详解】解：， ，解得， ， 或， ， 又， ， 当时，， 当时，． 三、解答题 12．（24-25七年级上·山东济南·期中）类比是应用过去的经验去解决新问题的一种思维过程． 【回顾·反思】 数学兴趣小组在研究的最小值问题时，利用“一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离”这一概念，发现就是x和所对应的两个点之间的距离，就是x和7所对应的两个点之间的距离．同学们用和7这两个数所对应的点将数轴分为三个部分，然后分别在这三个部分上探究x到与x到7的距离之和，并运用数形结合的思想解决了这个问题： 在数轴上， ①如图1，若x代表的数在的左侧，则x到与x到7的距离之和大于11； ②如图2，若x代表的数在与7之间，则x到与x到7的距离之和等于11； ③如图3，若x代表的数在7的右侧，则x到与x到7的距离之和大于11； ④若，则x到与x到7的距离之和等于11； ⑤若，则x到与x到7的距离之和等于11； 综合以上各种情况，的最小值为11． 【操作·思考】 数学兴趣小组的同学们想通过类比学习的方式探究的最大值问题． 就是x和 所对应的两个点之间的距离，就是x和 所对应的两个点之间的距离，这两个数所对应的点可以将数轴分为三个部分，分别在三个部分上进行探究，可以得出的最大值为 ； 【尝试·思考】 当或b时，代数式的值为相等的正数，则 ． 【答案】【操作·思考】，3，5；【尝试·思考】12． 【分析】【操作·思考】根据题干可知前两空为和3，在画出数轴，根据范围分类讨论即可得解； 【尝试·思考】根据题干和第一问可知一定会利用数形结合，所以先画出数轴，然后分类讨论观察结果为正还是负，所以，当在2到6和6到10这两段时其值为正数，最后在根据等式建立方程求解即可． 【详解】解：【操作·思考】根据题干可知是和所对应的两个点的距离， 是是3两个点所对应的距离， 如图所示， ①当时， ； ②当时， ，在此范围内， 当时，最大； ③当时， ， 综上，最大值为5； 故答案为：，3，5； 【尝试思考】 如图所示， ①当时， ，为负数，不合题意； ②当时， ，为负数，不合题意； ③当时， ，为正数，符合题意； ④当时， ， 此时要想满足其值为正数，则还要小于10， 所以，当在2到6和6到10这两段时其值为正数， 即可以在和6之间，则在6和10之间， 当在和6之间时，， 当在6和10之间时，， 所以， 所以． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义，整式的加减得应用，等内容，数形结合和分类讨论是解决本题得关键． 13．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是a、b，其中a、b满足，点A与点B之间的距离表示为． (1)__________； (2)若点C从点A出发向右运动，在运动过程中，当A、B、C三点中有一点是以另两点为端点的线段的中点时，点C表示的数是__________； (3)点M、N是数轴上两动点，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发，点N以每秒2个单位长度的速度从点B出发，若点M、N同时出发，运动时间为t秒，当运动多少秒时，点M、N两点间的距离为12个单位长度． 【答案】(1) (2)或 (3)点M、N是同时向右运动时，秒，点M、N是同时向左运动时，秒，点M、N是分别向右、向左运动时，秒，点M、N是分别向左、向右运动时，秒，点M、N两点间的距离为12个单位长度． 【分析】本题主要考查的是数轴与一元一次方程的综合运用，能够依据题意列出方程并进行求解是解题的关键，需要注意分情况进行讨论． （1）根据绝对值和偶次方的非负性，解出a、b的值，即可求出； （2）设点C表示的数为，分点C是的中点和点是的中点两种情况列出方程，再进行解方程即可； （3）分点M、N是同时向右运动，点M、N是同时向左运动，点M、N是分别向右、向左运动，点M、N是分别向左、向右运动四种情况，依据题意用代数式表示出点M与点N表示的数，列出方程，进行解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设点C表示的数为， 当点C是的中点时， 则， ∴； 当点是的中点时， 则， ∴； 综上，点C表示的数是或； （3）解：当点M、N是同时向右运动时， 依据题意：点M表示的数为：，点N表示的数为：， 则，即， 解得：或（舍去）； 当点M、N是同时向左运动时， 依据题意：点M表示的数为：，点N表示的数为：， 则，即， 解得：或（舍去）； 当点M、N是分别向右、向左运动时， 依据题意：点M表示的数为：，点N表示的数为：， 则，即， 解得：或（舍去）； 当点M、N是分别向左、向右运动时， 依据题意：点M表示的数为：，点N表示的数为：， 则，即， 解得：或（舍去）； 综上，点M、N是同时向右运动时，秒，点M、N是同时向左运动时，秒，点M、N是分别向右、向左运动时，秒，点M、N是分别向左、向右运动时，秒，点M、N两点间的距离为12个单位长度． 14．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）计算题 【答案】 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、乘方、三角函数值、绝对值、开立方等知识点化简，再进行计算即可． 【详解】（4）解：， ， ， ． 15．（2024·山东济宁·济宁学院附属中学校考一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先去绝对值，进行零指数幂，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值的计算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$