专题08 平面直角坐标系与函数基础（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）

专题08 平面直角坐标系与函数基础 课标要求 考点 考向 1．在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系． 2．在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系． 3．在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化． 4．在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的. 5．探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例． 6．能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析． 7．能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值． 8．能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义． 9．结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论． 图形与坐标 考向一 坐标与图形变换 考向二 平面直角坐标系 函数基础 考向一 函数基础知识——函数图象的应用 考向二 函数基础知识——动点问题 考点一 图形与坐标 ►考向一 坐标与图形变换 解题技巧 （1）关于x轴对称点为；关于y轴对称点为；关于原点对称点为； （2）向右平移h（h>0）个单位为，向左平移h（h>0）个单位为，向上平移k（k>0）个单位为，向下平移k（k>0）个单位为. 1.（2024•青岛）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2.（2024•淄博）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ． ►考向二 平面直角坐标系 1.（2024•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 考点二 函数基础 ►考向一 函数基础知识——函数图象的应用 1.（2024•泰安）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（    ） A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息分钟 2.（2024•潍坊）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 3.（2024•淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ ►考向二 函数基础知识——动点问题 1.（2024•泰安）如图，在菱形中，，，为对角线上一动点，以为一边作，交射线于点，连接．点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止．设的面积为，点的运动时间为秒． 求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 2.（2024•烟台）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作轴于点B，连接，作关于直线的对称图形，得到，交x轴于点F，则点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东汕头·期中）将平移得到，若已知对应点和，则的对应点B1的坐标为（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（22-23七年级上·山东烟台·期末）下列判断正确的是（    ） A．点关于轴的对称点坐标为点 B．点关于轴的对称点坐标为点 C．点与点关于轴的对称 D．点与点关于轴的对称 4．（24-25九年级上·山东泰安·期中）根据所学知识，你推测函数的函数图象最可能是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·山东临沂·开学考试）从小我们就熟知各种成语或寓言故事，如图最符合下面（   ）中描绘的场景．    A．水落石出 B．刻舟求剑 C．司马光砸缸 D．乌鸦喝水 6．（24-25九年级上·山东淄博·开学考试）明明从家出发去书店买书．当他走到一半路程时，突然发现忘记带钱，于是他返回家中取钱后立即去书店，买好书后就开心地回家了．下面能反映明明活动情况的是图（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级下·山东聊城·期中）小亮和大刚利用周末进行跑步锻炼图中的函数图象表示了两人跑步的过程（x表示小亮和大刚从起点出发所跑的时间，，分别表示小亮和大刚所跑的路程）．下列说法：①两人出发后拉开的最大距离为米；②两人第一次相遇的时间是第40分钟；③两人两次相遇的时间间隔13分钟；④两人第二次相遇时所走的路程是米．其中全部正确的一项是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 8．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是 ． 9．（24-25九年级上·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，在直线上依次取点，，…，使，，，…，，分别过点，，…作的垂线，交x轴于点，，…，依次连接，，…．若的面积为1，则的面积 ．    10．（2024·山东聊城·一模）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为，把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，猴山的坐标为，孔雀园的坐标为． (1)车站的坐标为 ； (2)现要建一个小凉亭，到猴山、大门、车站的距离都相等，则小凉亭的坐标为 ； (3)在（2）的条件下，若一位游客游玩路线为：大门→小凉亭→虎山→孔雀园→车站，则这一总路线的长度为 单位长度． 12．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）已知，在直角坐标系中，点A是x轴上的一点，且点A的坐标为． (1)如图1，点B的坐标为，以A点为顶点，为腰在第三象限作等腰直角三角形．求点C的坐标； (2)如图2，P是y轴负半轴上任意一点，点P的坐标为．以P为直角顶点，为腰作等腰直角三角形，且点D在第四象限，点D的纵坐标为n，请猜想m与n的等量关系并证明． 13．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）小慧和小钰同学在学习二次函数时，在平面直角坐标系中，画出了如下四个二次函数的图象（其中） 抛物线，抛物线，抛物线，抛物线．发现这四条抛物线之间有丰富的平移、轴对称和中心对称关系： (1)可以通过_________得到（填平移、轴对称或中心对称）； (2)在下面的说法中，正确的是_________（填序号） ①和关于原点中心对称； ②和关于点中心对称； ③和关于直线轴对称，但不成中心对称． 14．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图是小亮放学回家的路程与时间之间的关系折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程．请根据图像回答下面的问题： (1)这个折线图反映了哪两个变量之间的关系； (2)求当时的s值； (3)当时，对应的s值是多少？并说明它的实际意义； (4)学校离家有多远？小亮放学回家共用了几分钟？ 15．（23-24七年级下·山东威海·期末）一条笔直的公路上依次有三地，两地相距．甲、乙两车同时出发驶往地，甲车中途修车一段时间．设甲、乙出发后与地的距离用表示．根据函数图象回答下列问题．    (1)乙车的函数图象是________；（或） (2)若甲从地出发，两地距离________； (3)点坐标 ________； (4)求甲、乙两车距离不超过时的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 平面直角坐标系与函数基础 课标要求 考点 考向 1．在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系． 2．在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系． 3．在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化． 4．在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的. 5．探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例． 6．能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析． 7．能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值． 8．能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义． 9．结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论． 图形与坐标 考向一 坐标与图形变换 考向二 平面直角坐标系 函数基础 考向一 函数基础知识——函数图象的应用 考向二 函数基础知识——动点问题 考点一 图形与坐标 ►考向一 坐标与图形变换 解题技巧 （1）关于x轴对称点为；关于y轴对称点为；关于原点对称点为； （2）向右平移h（h>0）个单位为，向左平移h（h>0）个单位为，向上平移k（k>0）个单位为，向下平移k（k>0）个单位为. 1.（2024•青岛）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为；如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明，得到，则，即点A的对应点的坐标是． 【详解】解：由题意得，平移前， ∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合， ∴平移方式为向右平移3个单位长度， ∴平移后点A的对应点坐标为， 如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A的对应点的坐标是， 故选：A． 2.（2024•淄博）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点，的坐标，知点的横坐标加上了1，纵坐标加1，则的坐标的变化规律与点相同，即可得到答案． 【详解】解：平移后对应点C的坐标为， 点的横坐标加上了4，纵坐标加1， , 点坐标为， 即， 故答案为：． ►考向二 平面直角坐标系 1.（2024•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点H， 均在直线上， ， ， ，， ， ， ， ， ， 同理，， ， 同理， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． 考点二 函数基础 ►考向一 函数基础知识——函数图象的应用 1.（2024•泰安）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（    ） A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息分钟 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象结合选项，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得两地之间的距离为（） 两车行驶了小时，同时到达地， 如图所示，在小时时，两车同向运动，在第2小时，即点时，两车距离发生改变，此时乙车休息， 点的意义是两车相遇，点意义是乙车休息后再出发， ∴乙车休息了1小时，故D不正确， 设甲车的速度为，乙车的速度为， 根据题意，乙车休息后两车同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢， ∵ 即 在时，乙车不动，则甲车的速度是， ∴乙车速度为，故C不正确， ∴的距离为千米，故B不正确， 设小时两辆车相遇，依题意得， 解得：即小时时，两车相遇，故A正确 故选：A． 2.（2024•潍坊）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实验数据的分析和解读，从图中获取信息是解题的关键．根据图像即可得到最佳时间和温度． 【详解】解：由图像可知，在时提取率最高， 时提取率最高， 故最佳的提取时间和提取温度分别为， 故选B． 3.（2024•淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．(    ) 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为； ②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ④，两地之间的距离是． 其中正确的结论有： A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发及当时第一次为，可得出乙出发时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速度为，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的之，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；④利用路程速度时间，即可求出，两地之间的距离是． 【详解】解：①乙比甲晚出发，且当时，， 乙出发时，两人第一次相遇， 既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确； ②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为， 甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确； ③设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误； ④， ，两地之间的距离是，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． ►考向二 函数基础知识——动点问题 1.（2024•泰安）如图，在菱形中，，，为对角线上一动点，以为一边作，交射线于点，连接．点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止．设的面积为，点的运动时间为秒． 求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 【答案】； 【分析】过点作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三线合一可得，即可由三角形面积公式得到与的函数表达式，最后由，可得自变量的取值范围； 【详解】解：过点作于，则， ∵， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 2.（2024•烟台）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵菱形，， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴ ∴ ∴ 当时，重合部分为， 如图所示， 依题意，为等边三角形， 运动时间为，则， ∴ 当时，如图所示， 依题意，，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时， 当时，同理可得， 当时，同理可得， 综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 故选：D． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作轴于点B，连接，作关于直线的对称图形，得到，交x轴于点F，则点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形与坐标，勾股定理，轴对称的性质，由对称可知，，，，，得，则，设，在中，，列出方程求解即可． 【详解】解：点A的坐标为，过点A作轴于点B， ∴，，轴，则， 由对称可知，，，，， ∴，则， 设，则， 在中，，即：， 解得：， ∴点的坐标为， 故选：B． 2．（23-24七年级下·广东汕头·期中）将平移得到，若已知对应点和，则的对应点B1的坐标为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化——平移，根据点A平移前后坐标判断出平移方式，即可求解． 【详解】解：点的对应点为，即， 点向右平移了m个单位，向上平移了n个单位， 的对应点B1的坐标为， 故选B． 3．（22-23七年级上·山东烟台·期末）下列判断正确的是（    ） A．点关于轴的对称点坐标为点 B．点关于轴的对称点坐标为点 C．点与点关于轴的对称 D．点与点关于轴的对称 【答案】C 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数．据此逐个判断即可． 【详解】解：A、点关于轴的对称点坐标为点，故A不正确； B、点关于轴的对称点坐标为点，故B不正确； C、点与点关于轴的对称，故C正确； D、点与点不关于轴的对称，故D不正确； 故选：C． 4．（24-25九年级上·山东泰安·期中）根据所学知识，你推测函数的函数图象最可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象类型知识的推理，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式进行推理即可求解． 【详解】解：∵在函数中，在分母上， ∴， 当时，，越大，的值越小； 当是，，越大，的值越小； ∴函数的图象形如反比例函数的图象， 故选：A ． 5．（24-25七年级上·山东临沂·开学考试）从小我们就熟知各种成语或寓言故事，如图最符合下面（   ）中描绘的场景．    A．水落石出 B．刻舟求剑 C．司马光砸缸 D．乌鸦喝水 【答案】D 【分析】本题主要考查了折线统计图，根据统计图中水面随时间的变化关系，结合成语，逐项进行判断即可． 【详解】解：图象表示水面先升高再不变，最后再逐渐减小，水落石出和司马光砸缸表示水面随时间逐渐降低，刻舟求剑水面随时间是不发生改变的，乌鸦喝水是水面先升高，当水面到达瓶口后不再发生改变，然后乌鸦喝了部分水后，水面再逐渐降低，故选项D符合题意． 故选：D． 6．（24-25九年级上·山东淄博·开学考试）明明从家出发去书店买书．当他走到一半路程时，突然发现忘记带钱，于是他返回家中取钱后立即去书店，买好书后就开心地回家了．下面能反映明明活动情况的是图（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据描述可知，小明从家出发到回到家经过了六个阶段，分别是从家出发、返回家、在家拿钱、再从家出发、买书、回家，分别求出六个阶段路程与时间的关系即可得到答案． 【详解】解：小明刚出发时，路程随时间增大而增大，返回家取钱途中，路程随时间增大而减小，直到小明第一次返回家中时路程变为0，在家中取钱的过程中路程一直为0，再出发去书店时路程随时间增大而增大，到达书店后买书的过程中路程保持不变，从书店返回家中的过程中路程随时间的增加而减小，故符合明明活动情况的图象如下； 故选：B． 7．（23-24九年级下·山东聊城·期中）小亮和大刚利用周末进行跑步锻炼图中的函数图象表示了两人跑步的过程（x表示小亮和大刚从起点出发所跑的时间，，分别表示小亮和大刚所跑的路程）．下列说法：①两人出发后拉开的最大距离为米；②两人第一次相遇的时间是第40分钟；③两人两次相遇的时间间隔13分钟；④两人第二次相遇时所走的路程是米．其中全部正确的一项是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据图中数据求出小亮和大刚在整个过程中的速度，然后逐项计算即可．本题考查一次函数的应用，能够从函数图象中获取解答问题的信息是解答本题的关键． 【详解】解：根据图象分析： 分钟，小亮跑完3000米， 速度为（米分钟）， 分钟，大刚跑完2500米， 速度为（米分钟）， 分钟，小亮停止运动， 分钟，小亮跑到5000米， 速度为（米分钟）， 分钟，大刚跑到5000米， 速度为（米分钟）， ①根据图中和相差最大时的值为10， 此时米，米， （米， 故①正确； ②根据图象两人第一次在3000米处相遇， 此时小亮在停止阶段，大刚在分之间， （分钟）， 故②正确； ③两人第二次相遇时均处于运动状态，设此时时间为， ， ， ， 解得， 根据②中计算，两次相遇间隔时间为（分钟）， 故③错误； ④根据③中计算，在第分钟时， （米， 故④正确． 综上，正确的选项为①②④． 故选：B． 二、填空题 8．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，在直线上依次取点，，…，使，，，…，，分别过点，，…作的垂线，交x轴于点，，…，依次连接，，…．若的面积为1，则的面积 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，相似三角形的性质与判定，先求出，再证明得到，根据三角形面积计算公式得到，则． 【详解】解：∵，，…， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2024·山东聊城·一模）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为，把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．根据旋转角度为，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点在第三象限，且，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，点A的坐标为， ∴， ∵每次旋转角度为， ∴6次旋转， 第一次旋转后，在第四象限，， 第二次旋转后，在第三象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第二象限，， 第五次旋转后，在第一象限，， 第六次旋转后，在轴x正半轴，， ……如此循环，每旋转6次，点的对应点又回到x轴正半轴， ∵， ∴点在第三象限，且， 如图，过点作轴于点H， 在中，， ∴， ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，猴山的坐标为，孔雀园的坐标为． (1)车站的坐标为 ； (2)现要建一个小凉亭，到猴山、大门、车站的距离都相等，则小凉亭的坐标为 ； (3)在（2）的条件下，若一位游客游玩路线为：大门→小凉亭→虎山→孔雀园→车站，则这一总路线的长度为 单位长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，两点间距离公式，线段垂直平分线的判定，解题关键是根据已知条件，画出平面直角坐标系． （1）根据猴山的坐标确定坐标原点，然后根据坐标原点画出平面直角坐标系，观察就能得出答案； （2）可知小凉亭在猴山、大门确定的线段垂直平分线和大门、车站确定的线段的垂直平分线的交点，即可求解； （3）根据两点间距离公式求出各路线长，再相加即可． 【详解】（1）解：由题意得，建立平面直角坐标系，如图： ∴车站的坐标为， 故答案为：； （2）解：∵小凉亭到猴山、大门、车站的距离都相等， ∴小凉亭在猴山、大门确定的线段垂直平分线和大门、车站确定的线段的垂直平分线的交点， ∴小凉亭的坐标为， 故答案为： （3）解：由坐标系得大门坐标为，虎山坐标为，而孔雀园坐标，车站的坐标，小凉亭的坐标 ∴大门到小游亭的距离为：，小游亭到虎山的距离为：，虎山到孔雀园的距离为：，孔雀园到车站的距离为：， ∴总路线的长度为：， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）已知，在直角坐标系中，点A是x轴上的一点，且点A的坐标为． (1)如图1，点B的坐标为，以A点为顶点，为腰在第三象限作等腰直角三角形．求点C的坐标； (2)如图2，P是y轴负半轴上任意一点，点P的坐标为．以P为直角顶点，为腰作等腰直角三角形，且点D在第四象限，点D的纵坐标为n，请猜想m与n的等量关系并证明． 【答案】(1)，详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识， （1）过C作轴于M点，由“”证明，可得出，，即可求点C坐标； （2）如图2，如图2，过D作于Q点，可证四边形是矩形，可得，，即，由“”可明，可得，进而代入即可得； 正确作出辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴，， 过C作轴于M点，如图1， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； （2）如图2，过D作于Q点， ∵，轴交x轴于点E，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵D在第四象限，点D的纵坐标为n， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）小慧和小钰同学在学习二次函数时，在平面直角坐标系中，画出了如下四个二次函数的图象（其中） 抛物线，抛物线，抛物线，抛物线．发现这四条抛物线之间有丰富的平移、轴对称和中心对称关系： (1)可以通过_________得到（填平移、轴对称或中心对称）； (2)在下面的说法中，正确的是_________（填序号） ①和关于原点中心对称； ②和关于点中心对称； ③和关于直线轴对称，但不成中心对称． 【答案】(1)平移 (2)①② 【分析】本题考查二次函数图象及几何变换，涉及二次函数性质，解题的关键是会求一个点关于某点（或直线）的对称点． （1）观察解析式可得答案； （2）根据一个点关于某点（或直线）的对称点坐标逐项判断即可． 【详解】（1）解：可以通过平移得到， 故答案为：平移； （2）抛物线关于原点对称的抛物线解析式为，即， 和关于原点中心对称，故①正确； 设为抛物线上任意一点，其关于的对称点坐标为， ， 在抛物线上， 即抛物线上任意一点关于的对称点都在上， 和关于点中心对称，故②正确； 设为抛物线上任意一点，其关于直线的对称点为， 在抛物线上， 和关于直线轴对称， 为抛物线上任意一点，其关于的对称点为， ， 在抛物线上， 即抛物线上任意一点，其关于的对称点都在抛物线上， 抛物线和抛物线关于对称，故③错误； 正确的有①②， 故答案为：①②． 14．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图是小亮放学回家的路程与时间之间的关系折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程．请根据图像回答下面的问题： (1)这个折线图反映了哪两个变量之间的关系； (2)求当时的s值； (3)当时，对应的s值是多少？并说明它的实际意义； (4)学校离家有多远？小亮放学回家共用了几分钟？ 【答案】(1)时间和距离 (2) (3)；实际意义见解析 (4)；分钟 【分析】本题考查了图象的图象的应用，涉及函数图象的性质、函数值，结合图象上的数据解决实际问题是解题的关键． （1）由题意直接得出答案； （2）根据图象直接得出答案； （3）由图象可得出对应的函数值，离开学校的距离没变； （4）根据图象可得出学校离家的距离，以及回家所用的时间． 【详解】（1）解：折线图反映了时间和距离两个变量之间的关系； （2）解：由图象得出当时，函数值为； （3）解：当时，对应的函数值是，它的实际意义离学校的距离不变，即在回家路上停留； （4）解：学校离家，小明放学回家共用了分钟． 15．（23-24七年级下·山东威海·期末）一条笔直的公路上依次有三地，两地相距．甲、乙两车同时出发驶往地，甲车中途修车一段时间．设甲、乙出发后与地的距离用表示．根据函数图象回答下列问题．    (1)乙车的函数图象是________；（或） (2)若甲从地出发，两地距离________； (3)点坐标 ________； (4)求甲、乙两车距离不超过时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)（，） (4)或 【分析】（1）根据函数图象可知是乙车的函数图象； （2）根据函数图象可知，即可解答； （3）根据函数图象可知点表示的意义是：此时甲乙两车到地的距离相等即可解答； （4）根据函数图象可分当甲车在之间，乙车在之间时，甲乙两车都在之间两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵甲车中途修车一段时间， ∴甲车的函数图象应出现时间变化，路程无变化的情况． ∴是甲车的函数图象． ∴是乙车的函数图象． 故答案为：． （2）解：∵当时，， ∴甲从地出发，距离地，乙从地出发， ∴． ∵两地相距， ∴． ∵一条笔直的公路上依次有三地， ∴两地距离为：． 故答案为：； （3）解：点表示的意义是：此时甲乙两车到B地的距离相等． ∵甲车行驶了，乙车行驶了， ∴甲车的速度为，乙车的速度为． 设过了秒甲乙两车到地的距离相等．    ∴． ∴． ∴（）． ∴． 故答案为：． （4）解：设行驶两车距离， ①当甲车在之间，乙车在之间时， ． ，不合题意． ②甲乙两车都在之间． Ⅰ、甲车未修车前，两车距离不超过． ． 解得：． Ⅱ、第小时甲车开始修车，此时距离地，乙车此时距离地，两车相距30km． 甲乙两车正好相距的时间（）． ∴． ③乙车到达地，甲乙两车恰好相距时， ∴甲车的速度为, ∴甲车所用的时间为：． ∴甲、乙两车距离不超过时的取值范围为：． 综上：甲、乙两车距离不超过时的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了从函数图象读取信息，速度，路程，时间，不等式与实际问题，能从函数图象读取信息是解题的关键． 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