专题06 一元二次方程（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）

专题06 一元二次方程 课标要求 考点 考向 1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程． 2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等． 3．了解一元二次方程的根与系数的关系． 4．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 一元二次方程 考向一 一元二次方程的解法——配方法 考向二 判断一元二次方程根的情况 考向三 由根的情况求参数 考向四 根与系数的关系 考向五 一元二次方程的实际应用 考向六 一元二次方程与二次函数的综合 考点 一元二次方程 ►考向一 一元二次方程的解法——配方法 易错易混 （1）运用配方法解方程时，通过移项、二次项系数化1后，整理成的形式，等号两边同时加，配成完全平方式. （2）在配方时，等号右边不要忘记加. 1.（2024•东营）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 ►考向二 判断一元二次方程根的情况 解题技巧 （1）：①时，方程有两个不相等的实数根;②时，方程有两个相等的实数根;③时，方程没有实数根; （2）在运用根的判别式判定根的情况时，首先要确定该方程是一元二次方程. 1.（2024•潍坊）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 ►考向三 由根的情况求参数 解题技巧 （1）只有在明确方程是一元二次方程时，才能用; （2）方程有实数根，则若是一元二次方程，则;若是一元一次方程，则方程可化为，其中，或时; （3）方程有两个实数根，则可以确定①该方程是一元二次方程;②. 1.（2024•济南）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2024•泰安）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►考向四 根与系数的关系 解题技巧 常见变形如下： （1）； （2）； （3） 1.（2024•烟台） 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 2.（2024•德州） 已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 3.（2024•日照） 已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． ►考向五 一元二次方程的实际应用 1.（2024•青岛）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．    2.（2024•淄博）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． ►考向六 一元二次方程与二次函数的综合 解题技巧 （1）图象与x轴交点的横坐标等于的解； （2）解的个数即是图象与x轴交点的个数； （3）的解满足； 1.（2024•泰安）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 一、单选题 1．（2024·山东济南·模拟预测）已知抛物线，，．抛物线与线段（包括A、B两点），有两个交点，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零件制造．已知该企业生产某种零件的成本为10元/个，且规定该零件的售价不能超过35元/个．经市场调研发现，该零件每周的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数，若要使该企业每周销售这种零件可获利6000元，则每个零件的售价应定为（    ）元． A．25 B．20或40 C．40 D．20 二、填空题 3．（24-25九年级上·山东青岛·期中）商店销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本为64元，在成本价的基础上经过两次价格调整后售价定为100元．若每次价格调整的增长率相同，则增长率为 ． 三、解答题 4．（24-25八年级上·山东淄博·期中）小丽看到课本《因式分解》一章中的“读一读”写到：利用多项式的乘法法则，可以得到，反过来，则有．智慧的小丽受“读一读”的启发，运用该方法解出了方程的解，小丽的解法如下： 因为，， 又因为，， 所以，， 所以，，或， 所以，，或， 所以，原方程的解为． 应用上面小丽的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)解关于的方程：（是常数，且都不为零）； (3)若关于的方程的两个解分别为（其中），请求的值． 5．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：试求二次三项式．最小值． 解：， ， ，即．的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求y的最大（或最小）值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： ①如图，学校打算用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，来饲养两只萌萌的羊驼，仓库一面靠墙（墙足够长），为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，请尝试用“配方法”求出如何围，使仓库面积虽大？最大值是多少？ ②如图，在正方形中，，点E、F分别为上的动点，且，与交于点O，点P为的中点．设，用含x的代数式表示，则的最小值为多少．（直接写出答案） 6．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）计算题 (1) (2)（配方法） (3)（公式法） 7．（2024·山东青岛·一模）小明、小红和小亮三位同学对问题“关于的方程有实数根，求实数的取值范围”提出了自己的解题思路： ［辨析与解答] 小明说：“只需分类讨论，将方程中的绝对值去掉，讨论关于的一元二次方程根的情况．” 小红说：“用函数思想，设，只须在的取值范围内．” 小亮说：“可以数形结合，把方程两边分别看成关于的函数，利用函数图像解决．” 结合上述解题思路综合考量，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即实数的取值范围是______．请写出你的解题过程． ［应用与拓展] （1）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______． （2）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______． 8．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 9．（23-24八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 10．（2024·山东日照·二模）我们知道，对于关于x的一元二次方程，如果该方程有两个实数根和，那么这两个根与方程的系数之间满足以下关系：①；②．此外，根与方程的系数的关系还可以推广到一元n次方程：对于方程，其中是方程的n个实数根，其中所有根的和为；所有根的积为，请结合上述材料，解答下列问题： (1)方程的一个实数根是，则________；方程的两个根，，则第三个根________． (2)若m，n是关于x的一元二次方程两个实数根，且m，n满足，求k的值． (3)在平面直角坐标系内，一次函数与反比例函数（，）图象的两个交点A、B的横坐标分别是、，设的面积是S．当t取何值时，S有最大值． 11．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，某儿童乐园的场地是长宽分别为，的矩形．儿童乐园进行改造升级，场地也进行扩充，将场地的长、宽增加相同的长度后，新场地仍是一个矩形． (1)若扩充后的矩形场地面积为，求新的矩形场地的长与宽； (2)儿童乐园改造升级后，经过调查发现，票价30元/人时游客数为每天500人，票价每提高1元，则游客减少10人，要使得儿童乐园日营业额达到1.6万元，票价应定为多少元？ 12．（24-25九年级上·山东青岛·期中）阅读下列材料，并完成相应的任务． 探究：一元二次方程的几何解法 通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．下面是9世纪阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求解的过程： 解：，如图①，分别以和为两边构造一个长方形；如图②，把长方形分成一个面积是的正方形和两个面积是的长方形；将图②分割、拼接成图③的图形，则图③阴影部分的面积是________，这样就将两条边长分别为和的长方形变成一个边长是的正方形． 根据图③可以得到：________； 所以，方程的正数解________． 几何法求解一元二次方程，只能得到正数解． 任务：根据上述材料，请你用几何方法求方程的正数解．要求如下： （1）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． （2）根据（1）所画图形直接写出方程的正数解是________． 拓展： 根据阅读探究，你能否用“立体图形的组合”，求特殊的一元三次方程的正根？ 如：求方程的正根： 类比平面图形的研究，可将此问题转化成正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块； 需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块； 需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的正根________． 13．（24-25九年级上·山东青岛·期中）面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．下表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 (1)求该款车销量的月平均增长率． (2)青岛一个该品牌店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该店决定降价促销，若该店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 14．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）某企业决定投资生产某种产品，已知投资生产该产品的有关数据如下： 年固定成本（万元） 每件成本（万元） 每件售价（万元） 每年最大产销量（件） 50 8 18 110 其中年固定成本与生产的件数无关，另外年销售x件该产品时需上交万元的特别关税． (1)若产销该产品的年利润分别为y万元，每年产销x件，直接写出y与x的函数关系式； (2)问年产销多少件产品时，年利润为370万元； (3)当年产销量为多少件时，获得最大年利润？最大年利润是多少万元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元二次方程 课标要求 考点 考向 1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程． 2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等． 3．了解一元二次方程的根与系数的关系． 4．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 一元二次方程 考向一 一元二次方程的解法——配方法 考向二 判断一元二次方程根的情况 考向三 由根的情况求参数 考向四 根与系数的关系 考向五 一元二次方程的实际应用 考向六 一元二次方程与二次函数的综合 考点 一元二次方程 ►考向一 一元二次方程的解法——配方法 易错易混 （1）运用配方法解方程时，通过移项、二次项系数化1后，整理成的形式，等号两边同时加，配成完全平方式. （2）在配方时，等号右边不要忘记加. 1.（2024•东营）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． ►考向二 判断一元二次方程根的情况 解题技巧 （1）：①时，方程有两个不相等的实数根;②时，方程有两个相等的实数根;③时，方程没有实数根; （2）在运用根的判别式判定根的情况时，首先要确定该方程是一元二次方程. 1.（2024•潍坊）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论． 【详解】解： ∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． ►考向三 由根的情况求参数 解题技巧 （1）只有在明确方程是一元二次方程时，才能用; （2）方程有实数根，则若是一元二次方程，则;若是一元一次方程，则方程可化为，其中，或时; （3）方程有两个实数根，则可以确定①该方程是一元二次方程;②. 1.（2024•济南）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 2.（2024•泰安）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根的条件是，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，解得． 故选B． ►考向四 根与系数的关系 解题技巧 常见变形如下： （1）； （2）； （3） 1.（2024•烟台） 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 2.（2024•德州） 已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】2028 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 3.（2024•日照） 已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ， ， ∴ ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． ►考向五 一元二次方程的实际应用 1.（2024•青岛）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．    【答案】 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 2.（2024•淄博）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． ►考向六 一元二次方程与二次函数的综合 解题技巧 （1）图象与x轴交点的横坐标等于的解； （2）解的个数即是图象与x轴交点的个数； （3）的解满足； 1.（2024•泰安）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)；；； (2) (3)b的值为或． 【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质． （1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③． （2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题； （3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下情况①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 与x轴交点的坐标分别为，，且． 即向上平移1个单位， ，且， ①； ， ，即②； ，即③． 故答案为；；；； （2）解：，， ， ， ； （3）解：抛物线顶点坐标为， 对称轴为； 当时，， 当时，， ①当在取得最大值，在取得最小值时， 有 ，解得（舍去）； ②当在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（舍去）或， ③当在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（舍去）或； 综上所述，b的值为或． 一、单选题 1．（2024·山东济南·模拟预测）已知抛物线，，．抛物线与线段（包括A、B两点），有两个交点，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、二次函数与一次函数的交点问题、根据一元二次方程的根的情况求参数，利用待定系数法求得线段的解析式为，联立方程组可得可看作定抛物线与过定点的动直线有两个交点，画图可得动直线在直线、之间时，定抛物线与过定点的动直线有两个交点，当动直线过点时，求得，当动直线为直线时，定抛物线与过定点的动直线有一个交点，利用判别式列方程求解即可． 【详解】解：设线段的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴线段的解析式为， ∵抛物线与线段（包括A、B两点），有两个交点， 联立方程组得，，即， ∵该方程在时有两个根， ∴可看作定抛物线与过定点的动直线有两个交点， 令，得；令，得； ∴定抛物线过点、， 如图，动直线在直线、之间时，定抛物线与过定点的动直线有两个交点， 当动直线过点时，， 解得， 当动直线为直线时，定抛物线与过定点的动直线有一个交点， 则，即， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故选：B．    2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零件制造．已知该企业生产某种零件的成本为10元/个，且规定该零件的售价不能超过35元/个．经市场调研发现，该零件每周的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数，若要使该企业每周销售这种零件可获利6000元，则每个零件的售价应定为（    ）元． A．25 B．20或40 C．40 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，根据“企业每周销售这种零件可获利6000元”列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得，， 又售价不能超过35元/个， ∴， 即每个零件的售价应定为20元， 故选：D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·山东青岛·期中）商店销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本为64元，在成本价的基础上经过两次价格调整后售价定为100元．若每次价格调整的增长率相同，则增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每次价格调整的增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设每次价格调整的增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次价格调整的增长率相同，则增长率为， 故答案为：． 三、解答题 4．（24-25八年级上·山东淄博·期中）小丽看到课本《因式分解》一章中的“读一读”写到：利用多项式的乘法法则，可以得到，反过来，则有．智慧的小丽受“读一读”的启发，运用该方法解出了方程的解，小丽的解法如下： 因为，， 又因为，， 所以，， 所以，，或， 所以，，或， 所以，原方程的解为． 应用上面小丽的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)解关于的方程：（是常数，且都不为零）； (3)若关于的方程的两个解分别为（其中），请求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程： （1）方程两边同乘，得，再仿照题意因式分解得到，据此仿照题意求解，最后检验即可； （2）方程两边同乘，得，则，再利用十字相乘法分解因式得到，据此仿照题意解方程，并检验即可； （3）先去分母得到，再利用十字相乘法分解因式得到，再仿照题意求解并检验即可； 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，，或， 所以，，或， 检验：当或时，， 所以，原方程的解为． （2）解： 方程两边同乘，得， 所以，， 因为，， 所以， 所以，，或， 所以，，或， 检验：因为，是常数，且都不为零，所以，当或时，， 所以，原方程的解为． （3）解： 方程两边同乘，得， 所以，， 因为，， ∴， 所以，，或， 所以，，或， 检验：当或时，，因为，， 所以，， 所以，原方程的解为， 所以，； 5．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：试求二次三项式．最小值． 解：， ， ，即．的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求y的最大（或最小）值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： ①如图，学校打算用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，来饲养两只萌萌的羊驼，仓库一面靠墙（墙足够长），为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，请尝试用“配方法”求出如何围，使仓库面积虽大？最大值是多少？ ②如图，在正方形中，，点E、F分别为上的动点，且，与交于点O，点P为的中点．设，用含x的代数式表示，则的最小值为多少．（直接写出答案） 【答案】(1)y的最大值是30 (2)，理由见解析 (3)①当仓库的宽为时，仓库的面积最大，最大为平方米；② 【分析】（1）利用配方法解答，即可求解； （2）把两式作差，然后利用配方法解答，即可求解； （3）①设仓库的宽为x米，则长为米，根据题意可得仓库的面积，然后利用配方法解答，即可求解；②证明，可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，然后在中，根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】（1）解：解：， ， ∴， ∴， ∴， 即y的最大值是30； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①设仓库的宽为x米，则长为米，根据题意得： 仓库的面积为 ， ∵， ∴， 即当时，仓库的面积最大，最大值为， 答：当仓库的宽为时，仓库的面积最大，最大为平方米； ②在正方形中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P为的中点， ∴， 在中，， ， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题主要查了配方法的应用，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，理解配方法是解题的关键． 6．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）计算题 (1) (2)（配方法） (3)（公式法） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法以及实数的混合运算，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先将常数移到右边，两边同时除以，再根据平方根的定义即可求解； （2）先将二次项系数化为，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将方程左边配成完全平方式，右边是常数，再利用直接开平方法求解即可； （3）找出、、，求出，再根据求根公式代入即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ， ，； （3）解：， ， ，，，， ， ，； 7．（2024·山东青岛·一模）小明、小红和小亮三位同学对问题“关于的方程有实数根，求实数的取值范围”提出了自己的解题思路： ［辨析与解答] 小明说：“只需分类讨论，将方程中的绝对值去掉，讨论关于的一元二次方程根的情况．” 小红说：“用函数思想，设，只须在的取值范围内．” 小亮说：“可以数形结合，把方程两边分别看成关于的函数，利用函数图像解决．” 结合上述解题思路综合考量，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即实数的取值范围是______．请写出你的解题过程． ［应用与拓展] （1）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______． （2）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】［辨析与解答]，过程见解析；［应用与拓展]（1）；（2） 【分析】［辨析与解答] 小明的方法：先将方程中的绝对值去掉，然后根据一元二次方程跟的判别式求解即可； 小红的方法：设，则，即可求解； 小亮的方法：令，，，画出函数图像，利用数形结合的思想即可求解； ［应用与拓展] （1）观察小亮方法中的图像即可求解； （2）令，，画出函数图像，利用数形结合的思想即可求解． 【详解】解∶［辨析与解答] 小明的方法：当时，原方程为，即， ∵方程有实数根， ∴， 解得； 当时，原方程为，即， ∵方程有实数根， ∴， 解得， 综上，； 小红的方法：设， 则， ∴； 小亮的方法：令，， 当与的图像有交点时，方程有实数根， 画出函数图像，如下： 观察图像知，当时，与的图像有交点， ∴当时，方程有实数根； 故答案为：； ［应用与拓展] （1）观察小亮的方法中函数图像知，当时，与的图像有四个不同的交点， ∴当时，方程有四个不同的实数根， 故答案为：； （2）令，， 画出函数图像，如下： 当时，， ∴图中点D坐标为， 观察图像，知当时，，的图像有四个不同的交点， ∴当时，方程有四个不同的实数根， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程跟的判别式，二次函数的图像与性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 9．（23-24八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】(1)倍根方程 (2)c的值是8 (3)方程的两个根是，或， 【分析】（1）求出方程的解，再判断是否为倍根方程； （2）设方程的两个根为，，由倍根方程”的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （3）设一元二次方程，的两个实数根分别为、，由题意可知，或，，即可得到方程的根是2、4或、． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”或“方根方程”的意义，理解“倍根方程”或“方根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】（1）解：解方程得： ，， ， 方程是倍根方程； 故答案为：“倍根方程”； （2）解：程的两个根为，， 一元二次方程是“倍根方程”， ， ，， ，， ， ； （3）解：元二次方程，的两个实数根分别为、， 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， ，， ， 解得或（舍去）， ， 或，， ， 解得或（舍去）， ， 这个方程的根是2、4或、． 10．（2024·山东日照·二模）我们知道，对于关于x的一元二次方程，如果该方程有两个实数根和，那么这两个根与方程的系数之间满足以下关系：①；②．此外，根与方程的系数的关系还可以推广到一元n次方程：对于方程，其中是方程的n个实数根，其中所有根的和为；所有根的积为，请结合上述材料，解答下列问题： (1)方程的一个实数根是，则________；方程的两个根，，则第三个根________． (2)若m，n是关于x的一元二次方程两个实数根，且m，n满足，求k的值． (3)在平面直角坐标系内，一次函数与反比例函数（，）图象的两个交点A、B的横坐标分别是、，设的面积是S．当t取何值时，S有最大值． 【答案】(1)，2 (2)4 (3) 【分析】（1）由，可得，计算求解即可；由，可得，计算求解即可； （2）由题意知，，，则，整理得，，计算求解，然后作答即可； （3）由，可知，则反比例函数图象在第一、三象限，如图，设一次函数与轴的交点为，则，联立得，整理得，，则，，，由，可得，当时，，求最大值；当时，，求最大值，然后判断作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：，2； （2）解：由题意知，，， ∴，整理得，， ∴， 解得，（此时方程无解，舍去）或； ∴的值为4； （3）解：∵， ∴，反比例函数图象在第一、三象限， 如图，设一次函数与轴的交点为，则， 联立，得，整理得，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 当时，， 当时，； 当时，， 当时，； 综上所述，当时，有最大值4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，反比例函数与一次函数综合，二次函数的图象与性质等知识．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，反比例函数与一次函数综合，二次函数的图象与性质是解题的关键． 11．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，某儿童乐园的场地是长宽分别为，的矩形．儿童乐园进行改造升级，场地也进行扩充，将场地的长、宽增加相同的长度后，新场地仍是一个矩形． (1)若扩充后的矩形场地面积为，求新的矩形场地的长与宽； (2)儿童乐园改造升级后，经过调查发现，票价30元/人时游客数为每天500人，票价每提高1元，则游客减少10人，要使得儿童乐园日营业额达到1.6万元，票价应定为多少元？ 【答案】(1)新的矩形场地的长为，宽为； (2)票价应定为40元/人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设场地的长、宽增加，则新的矩形场地的长为，宽为，根据扩充后的矩形场地面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其符合题意的值代入及中，即可求出结论； （2）设票价应定为元人，则游客数为每天人，利用儿童乐园日营业额票价日游客数，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设场地的长、宽增加，则新的矩形场地的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， ． 答：新的矩形场地的长为，宽为； （2）解：设票价应定为元人，则游客数为每天人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：票价应定为40元人． 12．（24-25九年级上·山东青岛·期中）阅读下列材料，并完成相应的任务． 探究：一元二次方程的几何解法 通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．下面是9世纪阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求解的过程： 解：，如图①，分别以和为两边构造一个长方形；如图②，把长方形分成一个面积是的正方形和两个面积是的长方形；将图②分割、拼接成图③的图形，则图③阴影部分的面积是________，这样就将两条边长分别为和的长方形变成一个边长是的正方形． 根据图③可以得到：________； 所以，方程的正数解________． 几何法求解一元二次方程，只能得到正数解． 任务：根据上述材料，请你用几何方法求方程的正数解．要求如下： （1）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． （2）根据（1）所画图形直接写出方程的正数解是________． 拓展： 根据阅读探究，你能否用“立体图形的组合”，求特殊的一元三次方程的正根？ 如：求方程的正根： 类比平面图形的研究，可将此问题转化成正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块； 需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块； 需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的正根________． 【答案】（1）图见解析；（2）4；（3）1，3，3，1，7 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，明确一元二次方程的几何解法是解题的关键 （1）由，作图即可； （2）由题意知，，即，进而可求正数解； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块；则，进而可求正数根． 【详解】（1）解：∵， ∴作图如下； （2）解：由题意知，，即， ∴方程的正数解是， 故答案为：4； （3）解：由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块； ∴， ∴方程的正根， 故答案为：1，3，3，1，7． 13．（24-25九年级上·山东青岛·期中）面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．下表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 (1)求该款车销量的月平均增长率． (2)青岛一个该品牌店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该店决定降价促销，若该店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 【答案】(1)该款车销量的月平均增长率为 (2)下调后每辆汽车的售价为7万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款车销量的月平均增长率为，可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，利用该店销售该款汽车平均每周的销售利润每辆的销售利润每周的销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该款车销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该款车销量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵为了扩大销量， ， 答：下调后每辆汽车的售价为7万元． 14．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）某企业决定投资生产某种产品，已知投资生产该产品的有关数据如下： 年固定成本（万元） 每件成本（万元） 每件售价（万元） 每年最大产销量（件） 50 8 18 110 其中年固定成本与生产的件数无关，另外年销售x件该产品时需上交万元的特别关税． (1)若产销该产品的年利润分别为y万元，每年产销x件，直接写出y与x的函数关系式； (2)问年产销多少件产品时，年利润为370万元； (3)当年产销量为多少件时，获得最大年利润？最大年利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)年产销60件产品时，年利润为370万元； (3)当年产销量为100件时，获得最大年利润，最大年利润是450万元 【分析】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式求解是解题关键． （1）根据题意直接列出函数关系式即可； （2）根据（1）中结果得出方程求解即可； （3）根据（1）中结果化简为顶点式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）由（1）得，当时， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴年产销60件产品时，年利润为370万元； （3）由（1）得，， ∵， ∴开口向下，存在最大值， 当时，最大值为450， ∴当年产销量为100件时，获得最大年利润，最大年利润是450万元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$