专题03 条件概率与事件的独立性（3大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第二册）

专题02 条件概率与事件的独立性 目录 解题知识必备 2 压轴题型讲练 2 类型一、条件概率 2 类型二、事件的独立性 4 类型三、全概率和贝叶斯公式 5 压轴能力测评（10题） 7 一、条件概率 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2） 已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 二、相互独立与条件概率的关系 （一）相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． （二）事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 三、全概率公式 （一）全概率公式 （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． （二）贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 类型一、条件概率 【变式训练1】某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（多选）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（多选）豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为的分值（一星分，二星分，三星分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是分，截止至年月日，共计有人参与评分，豆瓣评分表如图.根据猫眼实时数据，该片的票房为亿元，按照平均票价元来计算，大约有亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有的评价不低于二星，则下列说法正确的是（   ） A．的值是 B．随机抽取名观众，则不一定有人评价五星 C．若以频率当作概率，记事件为“评价是一星”，事件为“评价不高于二星”，则 D．若从已作评价的观众中随机抽出人，则事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件 【变式训练4】对于随机事件，若，，，则 . 【变式训练5】（多选）某校进行一项问卷调查，为了调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.学校设置了3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球质地均匀，大小相同，其中红色箱子放有2个红球，2个黄球，2个绿球，黄色箱子放有2个黄球，1个绿球，绿色箱子放有1个黄球，2个绿球.参与者先从红色箱子中随机抽取1个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取1个小球，如此重复，抽取3个小球，抽奖结束.若抽取的3个小球颜色全不相同为一等奖，3个小球颜色全部相同为二等奖，其他情况没有奖品.已知甲同学参与了问卷调查，则（    ） A．甲第一次取到红球的条件下，获得一等奖的概率为 B．甲第一次取到黄球的条件下，获得二等奖的概率为 C．甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为 D．甲第一次取球取到红球获奖的概率最大 【变式训练6】（多选）在信道内传输，，信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两种字母的信号的概率均为．输入五个相同的信号，，的概率均为．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，则（    ） A．若输入信号，则输出的信号只有三个的概率为 B． C． D． 类型二、事件的独立性 【变式训练1】将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与相互独立 【变式训练2】有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【变式训练3】金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（   ） A．A与C是对立事件 B．C与D相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D不互斥 【变式训练4】已知，下列说法①若，则；②若，则；③若，则；④若事件A，B相互独立，则；⑤若事件A，B相互独立，则；正确的有（    ） A．①②④ B．①④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【变式训练5】（多选）设随机事件A，B满足，，，则（   ） A． B．，相互独立 C． D． 【变式训练6】（多选）某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件B相互独立 C． D． 类型三、全概率和贝叶斯公式 【变式训练1】已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】（多选）在某班中，男生占40%，女生占60%，在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（    ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为 【变式训练5】在秋冬季节，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状.则任意一位病人有症状的概率为 ，病人有症状时患疾病的概率为 （症状只在患有疾病，，时出现） 【变式训练6】某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在，两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子． (1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率． 1.设A，B为两个随机事件， ①若A，B是互斥事件，，则； ②若A，B是对立事件，则； ③若A，B是独立事件，，，则； ④若，，且，则A，B是独立事件. 以上4个命题，正确的序号选项为（    ）. A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 2．已知，，则事件与事件（   ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．以上均不正确 3.（多选）某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知小李参加了3次课外实践活动，则（   ） A．“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件 B．若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为 C．若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为 D．“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立 4.（多选）现有一颗质地均匀的骰子，将其先后抣掷两次，表示事件“第一次掷出点数为2”，表示事件“第二次掷出点数为4”，表示事件“两次掷出点数之和是8”，表示事件“两次掷出点数之差的绝对值为0”，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C． D． 5．（多选）已知函数，其中分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数．设“函数的值域为”为事件，“函数为偶函数”为事件，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大 D．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变 7.科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． (1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； (2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 8.南昌二中一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”：每届高考结束后，各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享．2024届高三年级班号依次为0，1，2，…，27，高三0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会；第一场分享会的4名学生嘉宾是从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同形成，第二场分享会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同形成，…，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会． (1)求在第一场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率； (2)求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率． 9.将一个骰子在桌面上连续独立地抛次（为正整数）：设为与桌面接触的数字为奇数的次数，为掷骰子一次与桌面接触的数字为奇数的概率. (1)当时，若骰子的质地是均匀的，求Y的数学期望和方差. (2)若骰子有瑕疵，即，设是掷骰子次中与桌面接触的数字为奇数出现偶数次的概率，求证：. 10．夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤） (1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率 (2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率； (3)记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 条件概率与事件的独立性 目录 解题知识必备 2 压轴题型讲练 2 类型一、条件概率 2 类型二、事件的独立性 7 类型三、全概率和贝叶斯公式 11 压轴能力测评（10题） 13 一、条件概率 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2） 已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 二、相互独立与条件概率的关系 （一）相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． （二）事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 三、全概率公式 （一）全概率公式 （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． （二）贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 类型一、条件概率 【变式训练1】某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件， 则，， 故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为. 故选：B. 【变式训练2】（多选）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】A.，所以，， 所以，故A错误； B.，故B错误； C.，故C正确； D.，， 所以，，故D正确. 故选：CD 【变式训练3】（多选）豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为的分值（一星分，二星分，三星分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是分，截止至年月日，共计有人参与评分，豆瓣评分表如图.根据猫眼实时数据，该片的票房为亿元，按照平均票价元来计算，大约有亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有的评价不低于二星，则下列说法正确的是（   ） A．的值是 B．随机抽取名观众，则不一定有人评价五星 C．若以频率当作概率，记事件为“评价是一星”，事件为“评价不高于二星”，则 D．若从已作评价的观众中随机抽出人，则事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件 【答案】ABD 【详解】对A选项，参与评价的观众中有的评价不低于二星， 则，所以，故A正确； 对B选项，随机抽取名观众，可能有人评价五星，但不是一定的，故B正确； 对C选项，因为，则，故C错误； 对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知， 事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确. 故选：ABD. 【变式训练4】对于随机事件，若，，，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 则， 所以， 又， 所以，解得. 故答案为：. 【变式训练5】（多选）某校进行一项问卷调查，为了调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.学校设置了3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球质地均匀，大小相同，其中红色箱子放有2个红球，2个黄球，2个绿球，黄色箱子放有2个黄球，1个绿球，绿色箱子放有1个黄球，2个绿球.参与者先从红色箱子中随机抽取1个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取1个小球，如此重复，抽取3个小球，抽奖结束.若抽取的3个小球颜色全不相同为一等奖，3个小球颜色全部相同为二等奖，其他情况没有奖品.已知甲同学参与了问卷调查，则（    ） A．甲第一次取到红球的条件下，获得一等奖的概率为 B．甲第一次取到黄球的条件下，获得二等奖的概率为 C．甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为 D．甲第一次取球取到红球获奖的概率最大 【答案】ABC 【详解】设分别表示第一次抽取到的是红球，黄球，绿球， 分别表示获得一等奖，二等奖， 对于，所以A正确； 对于，所以B正确； 对于C，设甲获奖为事件，甲获得一等奖的概率为 甲获得二等奖的概率为，所以， 甲第一次取到绿球且获奖的概率为， 所以甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为，故C正确； 对于D，甲第一次取球取到红球获奖的概率为， 甲第一次取球取到黄球获奖的概率为， 甲第一次取球取到绿球获奖的概率为， 则甲第一次取球取到绿球或者黄球获奖的概率最大，故D错误. 故选：ABC. 【变式训练6】（多选）在信道内传输，，信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两种字母的信号的概率均为．输入五个相同的信号，，的概率均为．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，则（    ） A．若输入信号，则输出的信号只有三个的概率为 B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，当输入时，收到的概率为，收到，的概率分别为， 故收到的信号字母变的概率为．又信号的传输相互独立， 从而当输入时，输出的信号只有三个的概率为，故A错误． 对于B，，故B错误． 对于C，，故C正确． 对于D，， ， 所以，故D正确． 故选：CD． 类型二、事件的独立性 【变式训练1】将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与相互独立 【答案】D 【详解】对于A：将一枚均匀的骰子掷两次基本事件共有个， 事件包括，2个基本事件，所以，故A错误； 对于B：因为不互斥，，， 所以，故B错误； 对于C：事件包括4个基本事件，所以， ，故C错误； 对于D：事件为“第一次出现偶数点”， ，， ，与相互独立，故D正确； 故选：D. 【变式训练2】有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】B 【详解】设甲乙丙丁对应的的概率分别为， 由题意可得， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，情况分为， 所以， 丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，情况分为， 所以， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：B. 【变式训练3】金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（   ） A．A与C是对立事件 B．C与D相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D不互斥 【答案】C 【详解】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有： （1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213）， （1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314）， （2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224）， （1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36种， 其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，D有9种情况，则，，，. 由可得A与C不是对立事件，选项A错误. ，C与D不相互独立，选项B错误. ，A与D相互独立，选项C正确. 由B与D不可能同时发生可知B与D互斥，选项D错误. 故选：C. 【变式训练4】已知，下列说法①若，则；②若，则；③若，则；④若事件A，B相互独立，则；⑤若事件A，B相互独立，则；正确的有（    ） A．①②④ B．①④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【详解】因为， ①若，则，故①正确； ②若，，因为的值不确定，故②错误； ③若，则，即③错误； ④若事件A，B相互独立，则，所以④正确； ⑤若事件A，B相互独立，则，可知⑤正确. 故选：D 【变式训练5】（多选）设随机事件A，B满足，，，则（   ） A． B．，相互独立 C． D． 【答案】ABD 【详解】随机事件A，B满足，，， 又， 所以，又， 所以，相互独立，故A,B正确； ，故C不正确； 因为，所以，又因为，相互独立，则也相互独立， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【变式训练6】（多选）某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件B相互独立 C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意知，不可能同时发生，所以互斥，故A正确； ，，故C正确； 所以，， 所以， 则， 所以事件与事件B不相互独立，故B错误，D正确. 故选：ACD. 类型三、全概率和贝叶斯公式 【变式训练1】已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意：，，. 所以. . 又事件、为对立事件，所以. 故选：C 【变式训练2】某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若表示乘地铁，表示乘汽车，则， 若表示5:45到5:49到家，则， 所以， 所以. 故选：C 【变式训练3】设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应） 则,且两两互斥. 由题意可得：, . 故选：A. 【变式训练4】（多选）在某班中，男生占40%，女生占60%，在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（    ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为 【答案】ABD 【详解】用，分别表示抽到学生是男生、女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼， 由题意得，，，， 则， 由全概率公式得，故A、B正确； ，，故C错误，D正确； 故选：ABD 【变式训练5】在秋冬季节，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状，疾病的发病率为，病人中表现出症状.则任意一位病人有症状的概率为 ，病人有症状时患疾病的概率为 （症状只在患有疾病，，时出现） 【答案】 【详解】由题意可知：，，， ，，， 由全概率公式可知： ， 即任意一位病人有症状的概率为， 由贝叶斯公式可知： ， 即病人有症状时患疾病的概率为. 故答案为：，. 【变式训练6】某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在，两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子． (1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件表示“甲第次从箱中取到论述题”，， 则； （2）设事件为“丙从箱中取出的第一道题是选择题”， 事件为“乙从箱中取出2道选择题”， 事件为“乙从箱中取出1道选择题和1道论述题”， 事件为“乙从箱中取出2道论述题”， 则，，， 则 ， 即丙取出的第一道题是选择题的概率为. 1.设A，B为两个随机事件， ①若A，B是互斥事件，，则； ②若A，B是对立事件，则； ③若A，B是独立事件，，，则； ④若，，且，则A，B是独立事件. 以上4个命题，正确的序号选项为（    ）. A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【详解】①：由是互斥事件，则，故①错误； ②：由是对立事件，则为必然事件，即，故②正确； ③：由是独立事件，则也是互相独立的， 即，故③正确； ④：由，， 则相互独立，即相互独立，故④正确. 故选：D. 2．已知，，则事件与事件（   ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．以上均不正确 【答案】D 【详解】由，又，则， 若与互斥或对立，则，即，而矛盾； 若与相互独立，则，故时两事件不独立； 故选：D 3.（多选）某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知小李参加了3次课外实践活动，则（   ） A．“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件 B．若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为 C．若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为 D．“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立 【答案】AB 【详解】A项，事件“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”不可能同时发生，所以互斥，故A正确； B项，若第一次评定为不合格，设事件“第次评定为合格”，. 则事件“小李获得0.4学分”即事件， 由概率乘法公式得， ，故B正确； C项，若第一次评定为合格，设事件“第次评定为合格”，“第次评定为不合格”，. 则由全概率公式得， ，故C错误； D项，由C项知； 若第一次评定为不合格，设事件“第次评定为合格”，“第次评定为不合格”，. 由全概率公式可得 ； 即； 所以，即第一次评定是否合格对第三次评定合格的概率有影响， 故“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”不相互独立，故D错误. 故选：AB. 4.（多选）现有一颗质地均匀的骰子，将其先后抣掷两次，表示事件“第一次掷出点数为2”，表示事件“第二次掷出点数为4”，表示事件“两次掷出点数之和是8”，表示事件“两次掷出点数之差的绝对值为0”，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C． D． 【答案】BC 【详解】事件B与事件D可以同时发生，即第一次、第二次均掷出4点， 故事件B与事件D不互斥，A错误． 又， 从而事件A与事件D相互独立，B正确． 又，成立，C正确． ，，则，D错误． 故选：BC 5．（多选）已知函数，其中分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数．设“函数的值域为”为事件，“函数为偶函数”为事件，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷两次出现的点数共有种情况， 由函数的值域为， 则，即， 满足的有，，共2种情况， 则，. 由函数为偶函数，得， 满足的有，，，，，，共6种情况， 则. 对于A，满足事件A，B同时发生的有，共1种情况， 则，故A错误； 对于B，事件包含的有，，，，，，，共7种情况， 因此，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，满足事件，B同时发生的有，，，，，共5种情况， 因此，则，故D错误． 故选：BC. 6．（多选）现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大 D．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变 【答案】BC 【详解】对于A，甲选择1号箱，奖品在2号箱里，主持人打开3号箱的概率为1，即，A错误； 对于B，，，，， 则， 因此，B正确； 对于CD，若继续选择1号箱，获得奖品的概率为，主持人打开了无奖品的箱子， 若换号，选择剩下的那个箱子，获得奖品的概率为，甲换号后中奖概率增大，C正确，D错误. 故选：BC 7.科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． (1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； (2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 【答案】(1)（i）；（i i） (2) 【详解】（1）（i）设事件为“取出的人的档案中有女生档案”，则为“取出的人的档案中没有女生档案”. 第一个档案袋内有份男生档案和份女生档案，总共份档案. 第一次取到男生档案的概率为，因为不放回，此时剩下份档案， 其中男生有份，所以第二次取到男生档案的概率为，那么. 所以.   （ii）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率 设事件为“第次取出的档案是女生”，事件为“取出的人的档案中有女生档案”. 根据条件概率公式. 计算，即取出的人档案中有女生且第次取出的是女生的概率. 分两种情况：第一种情况，第一次取男生第二次取女生，概率为； 第二种情况，第一次取女生第二次取女生，概率为. 所以. 已知，则. （2）设事件为“从第二个档案中取出的档案是女生”. 分两种情况： 若从第一个档案袋中取出的是男生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 若从第一个档案袋中取出的是女生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 所以. 8.南昌二中一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”：每届高考结束后，各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享．2024届高三年级班号依次为0，1，2，…，27，高三0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会；第一场分享会的4名学生嘉宾是从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同形成，第二场分享会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同形成，…，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会． (1)求在第一场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率； (2)求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设第场分享会学生嘉宾中有1名男生为事件，有2名男生为事件，有3名男生为事件， 第一场分享会学生嘉宾中有2名男生，则需从高三0班推荐2名男生中选1人，2名女生中选1人， 则； （2）在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生，分三种情况， 第一场分享会有1男3女，2男2女和3男1女， ． 9.将一个骰子在桌面上连续独立地抛次（为正整数）：设为与桌面接触的数字为奇数的次数，为掷骰子一次与桌面接触的数字为奇数的概率. (1)当时，若骰子的质地是均匀的，求Y的数学期望和方差. (2)若骰子有瑕疵，即，设是掷骰子次中与桌面接触的数字为奇数出现偶数次的概率，求证：. 【答案】(1)数学期望为，方差为. (2)证明详见解析 【详解】（1）若骰子的质地是均匀的，则， 依题意可知， 所以. （2）若骰子有瑕疵，即， 而是掷骰子次中与桌面接触的数字为奇数出现偶数次的概率， 根据全概率公式可知， 整理得. 10．夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤） (1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率 (2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率； (3)记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为； （2）设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹， 根据题意得，， 所以． （3）设表示第天选择绿豆汤，则， 根据题意得，， 由全概率公式得，， 即，整理得，，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以，所以.. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$