4.3.4 等比数列的前n项和公式的综合应用 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

4.3等比数列 第四章 数列 课时4 等比数列的前项和公式的综合应用 自学检测 1.某件产品的成本预计每年降低，若三年后的成本为 ，则现在的成本是( ) . A. B. C. D. 2. (多选题)小正方形按照如图所示的规律排列:每个图中的小正方形的个数构成一个数列 ，则以下结论正确的是( ) . A. B.数列 是一个等差数列 C.数列是一个等比数列 D.数列的递推公式为 【解析】(1) 设现在的成本为，则，故 . (2) 由图可得，所以数列 不是等差数列，也不是等比数列. 由递推公式，得.故选 ． C AD 2 自学检测 3. 数列的前项和为_____________． 4.如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图(2).如此继续下去，得到图(3)……第5个图形的边长为_______；第𝑛 个图形的周长为________. 【解析】(3) 数列的前项和 . (4) 由题意可知，第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为 ，第3个图形的边长为 个图形的边长为 ， 第5个图形的边长为 . 第1个图形边的数量为3，第2个图形边的数量为12，第3个图形边的数量为依此可知第个图形边的数量为 ， 第个图形的周长为 . 3 一、等比数列前𝒏项和公式在平面几何中的应用 例题1 已知数列侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图，它由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上.有人说，如此下去，蜘蛛网的长度将会无限地增大，那么侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设外围第一个正方形的边长是𝑚 ，侏罗纪蜘蛛网的长度为，则( ) . A.无限大 B. C. D.可以取 【解析】由题意可知，从外到内正方形的边长依次为 ， ，， ，则数列是首项 为，公比为的等比数列，所以，由的表达式可知，越大， 趋于 时，趋近于，故 . B 4 反思感悟 方法总结 此类几何问题可以利用等比数列模型求解.利用等比数列的有关知识解题时，要注意步骤的规范性． 5 新知运用 跟踪训练1 如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为2，取正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 各边的中点𝐸，𝐹，𝐺，𝐻，则得到第2个正方形𝐸𝐹𝐺𝐻 ，然后取正方形𝐸𝐹𝐺𝐻各边的中点𝐼，𝐽，𝐾，𝐿 ，则得到第3个正方形𝐼𝐽𝐾𝐿 .依此方法一直继续下去，则第4个正方形的面积是______，从正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 开始，连续8个正方形的面积之和是________． 【解析】已知第1个正方形的边长为2，则其面积为 ， 第2个正方形的边长为，面积为 ， 第3个正方形的边长为，面积为 ， 第4个正方形的边长为，面积为 ， …… 所以这些正方形的面积是以4为首项，为公比的等比数列，所以从正方形 开始，连续8个正方形的面积之和 . 6 二、等比数列前𝒏项和公式在实际问题中的应用 例题2 设小华计划从今年4月开始存钱买车,他第一个月存1万元,以后每个月在前一个月的基础上增加.记小华第一个月(今年4月)存入的金额为万元,小华第 个月当月存入的金额为万元. (1)求小华前3个月的总存款金额; (2) 若小华想购买的汽车售价为11万元,求小华至少要存几个月的钱才能全款购买这辆汽车.(取,,) 【解析】(1)依题意，， ， 则，即数列是首项为 ，公比为1.2的等比数列， 所以，又 ， 所以小华前3个月的总存款金额为 （万元）. (2)因为，设数列的前项和为 ， 所以，由，可得 . 又,，所以 ， 即小华至少要存7个月的钱才能全款购买这辆汽车. 7 反思感悟 方法总结 解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学(数列)问题，弄清该数列的结构和特征． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到实际问题中． 注意:判断数列类型的两个关键词：“平均变化量是常数”→ 等差数列；“平均变化率是常数”→ 等比数列. 8 新知运用 跟踪训练2 某地投入资金进行生态环境建设，并同时发展旅游产业.根据规划，本年度 投入800万元，以后每年的投入将比上一年度减少 ，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业有促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年度增长.设年内(本年度为第一年)生态环境建设的总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式. 【解析】因为第1年投入800万元，第2年投入万元……第年投入 万元，所以总投入 (万元).因为第1年收入为400万元，第2年收入为万元……第年收入为万元.所以总收入 (万元).综上 ，， . 9 三、递推公式在实际问题中的应用 例题3 (多选题)某牧场2024年年初牛的存栏数为500，预计以后每年存栏数的增长率为 ，且在每年年底卖出60头牛．设牧场从2024年起每年年初的计划存栏数依次为，，， ，，其中 ，则下列结论正确的是( ) . (附：，，， ) A. B.与的递推公式为 C.2030年年初存栏数首次突破1000 D.令，则 【解析】由题意得 ，故B正确； 已知，则 ，故A正确； 设，则，又, ，得 ，， 即数列是首项为 ，公比为1.2的等比数列， ，即 ， 令，得 ， ， ，，即 ，故2031年年初存栏数首次突破1000，故C错误； ，故D正确. ABD 10 反思感悟 方法总结 求解较复杂的与数列模型相关的问题时，一般需要对数列模型进行分析，利用递推公式或等式两边同加或者同减某数，配凑出我们熟悉的数列模型. 11 新知运用 跟踪训练3 已知某公司从2023年初开始生产某种高科技产品，初始投入资金为1000万元，到年底资金增长 .预计以后每年的资金增长率与第一年相同，但每年年底公司要扣除消费资金𝑥万元，余下的资金再投入下一年的生产.设第𝑛 年年底扣除消费资金后的剩余资金为万元. (1) 用表示，，并写出与的关系式； (2) 若企业希望经过5年后，企业剩余资金达到3000万元，试确定每年年底扣除的消费资金𝑥 的值(精确到万元). 【解析】(1) 由题意知， ， ， . (2) 由(1)可得， ，则 ， 即 ，，即 ， 解得 .故当该企业每年年底扣除的消费资金为348万元时，5年后企业剩余资金为3000万元. 12 随堂检测 1.据统计，某小镇在今年年底有20万人，预计人数年平均增长率为1% ，则5年后这个小镇有( ) 万人. A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，已知点，，，连接各边的中点得到，连接各边的中点得到 ,如此无限继续下去，得到一系列三角形：,,， .这一系列三角形的面积之和无限趋近于常数( ) . A. B.5 C.10 D.15 3.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研竞赛获奖人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以此类推，每人都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位需拿出______万元资金奖励获奖人员.（参考数据： =1024，=2048 ） C A 2046 13 随堂检测 4.已有边长为1的正方形，取其对角线的一半作边，构成新的正方形，再取新正方形对角 线的一半作边，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列． (1)从原始的正方形开始计数，到第2次构成新正方形时，共有3个正方形，则第3个正方形的边长为__； (2)将这一过程延续下去，记前𝑛个正方形面积的和为．若， ，则整数的最小值为___． 【解析】(1) 原正方形的边长为1，第1次构成的正方形的边长为 ， 第2次构成的新正方形的边长为，即第3个正方形的边长为 . (2)设原正方形的面积为，新正方形的面积依次为，， ， ，易知 ，，， ， ， 是一个等比数列. ， 若，，则整数 的最小值为2． 2 14 课堂小结 1.知识清单： (1)等比数列前𝒏项和公式在平面几何中的应用； (2)等比数列前𝒏项和公式在实际问题中的应用； (3)递推公式在实际问题中的应用. 15 $$