4.3.3 等比数列 课时3 等比数列的前n项和公式、性质及应用课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

4.3等比数列 第四章 数列 课时3 等比数列的前项和公式、性质及其应用 新知探究 探究一：等比数列的前项和公式 情境设置 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么.发 明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,第2个格子里放上2颗麦粒,第3个格子里放上4颗麦粒⋯⋯依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高,就欣然同意了. 2 新知探究 探究一：等比数列的前项和公式 情境设置 问题：一般地,如何求一个等比数列的前项和呢? 【解析】设等比数列的首项为,公比为,则的前项和是 ① 根据等比数列的通项公式,上式可写成 ② 我们发现,如果用公比乘(1)的两边,可得 (1)(2)两式的右边有很多相同的项,用(1)的两边分别减去(2)的两边,就可以消去这些相同的项,可得,即 因此,当时,我们就得到了等比数列的前项和公式(1) 因为,所以公式(1)还可以写成(2) 3 新知生成 知识点一 等比数列的前项和公式 1.首项、公比与项数 2.首项、末项与公比 3.首项 、公比与项数 注意： (1)等比数列求和时，应考虑和两种情况； (2)推导等比数列前项和公式的方法：错位相减. 4 新知生成 判断正误 (1) (2) (3) (4) 5 一、等比数列的前项和公式 例题1 在等比数列中，为其前项和，为其公比. (1) 若，，求 ； (2) 若，，求 ； (3) 若，，，求 . 【解析】(1) 由题意知 解得或 所以或 . (2) 由题意知解得 所以 . (3) 因为，， 所以，是方程的两个根，解得或 又，所以或 . 6 一、等比数列的前项和公式 P35例题7 已知数列是等比数列. (1)若,求; (2)若,求; (3)若,求. 【解析】(1)因为,所以 (2)由,可得 即,又由,得所以 (3)把代入,得 整理,得解得 7 反思感悟 方法总结 (1)在等比数列的五个量，，，，中，已知其中的三个量，通过列 方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． (2)在解决与前𝑛项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 8 新知运用 跟踪训练1 在等比数列中，为其前项和，为其公比. (1) 若，求 ； (2) 若，，，求和 . 【解析】设数列的首项为 . (，， ， . (2)(法一)由， ，得解得 (法二)由 ，得，解得 . 又 ，，解得 . 9 新知探究 探究二：等比数列的前项和的性质 情境设置 问题1: 已知数列在等差数列中，我们知道，，，仍组成等差数列.在等比数列中，如果连续项的和不等于0，那么，，，仍组成等比数列吗？为什么？ 问题2：若数列是项数为偶数的等比数列，且 ， ，则等于何值？ 10 新知生成 知识点二 等比数列的前项和的性质 1.若是公比为的等比数列，则 ． 2.当或且为奇数时，，，，仍成等比数列，其 公比为 ． 3.在等比数列中，若项数为，则；若项数为 ，则 ． 11 二、等比数列的前项和的性质 例题2 (1)设等比数列的前项和为，若，则 _____. (2)已知等比数列共有项，其和为 ，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 ___． 【解析】(1)由等比数列的性质得，，仍成等比数列，所以 ，不妨令，则，代入解得 ， 故 ． (2)由题意知 解得故公比 ． 12 二、等比数列的前项和的性质 P36例题8 已知等比数列的首项为,前项和为.若,求公比. 【解析】若,则 所以 当时,由,得 整理,得 即 所以 13 二、等比数列的前项和的性质 例题3 已知数列的前项和.求的通项公式,并判断 是否为等比数列. 【解析】当时， . 当时， ，不适合上式. 故 易知，，，显然，，不是等比数列，即 不是等比数列. 14 反思感悟 方法总结 1.已知，则可通过求数列的通项公式，注意当 时， . 2.若数列的前项和，其中，且，则是等 比数列. 15 新知运用 跟踪训练2 (1) 设等比数列的前项和为，若，则 ( ) . A.2 B. C. D.3 (2) 已知等比数列的公比，前100 项和为 ，则其偶数项和 ( ) . A.15 B.30 C.45 D.60 【解析】(1) 设公比为，由题意知，根据等比数列前项和的性质，得 ，解得．于是 ． (2) 设，则 . 因为，所以，解得 ， 所以 ． B D 16 三、等差数列、等比数列及前𝒏 项和的综合应用 例题4 已知数列为等差数列，公差为，且.数列为各项均为正数的等 比数列，， . (1)求数列和的通项公式； (2) 若，求数列的前项和 . 【解析】(1) 数列为等差数列，公差为， ， . 又 数列为各项均为正数的等比数列，设公比为， ， ， . 又， ， . (2)由(1)得 ，则 . 17 反思感悟 方法总结 求解由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成的一个数 列的前𝑛 项和的步骤 18 新知运用 跟踪训练4 已知数列满足，， 是公差为1的等差数列． (1) 证明： 是等比数列. (2) 求数列的前项和 ． 【解析】(1)根据题意，有，即 ，解得 ，所以，故 ，所以 是首项为2，公比为2的等比数列． (2)由(1)可知， ，所以 ， 所以 ， ． 19 随堂检测 1.设数列的前项和为，则 ( ) . A. B. C. D. 2. 等比数列的前项和为，已知，，则 ( ) . A. B. C. D. 3. 已知等比数列的前项和为，若，，则 _____． C D 210 20 随堂检测 4.已知为数列的前项和，且 ． (1)求数列的通项公式； (2) 记求数列 的前12项和． 【解析】(1)因为 ，所以当时，，解得 ， 当时，，，所以 ， 即 ，所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列 的通项公式为 ． (2) 由(1)知，所以记数列的前12项和为 ， 所以 ． 21 课堂小结 1.知识清单： (1)等比数列的前𝒏项和公式； (2)等比数列的前𝒏项和的性质； (3)等差数列、等比数列及前𝒏 项和的综合应用. 22 $$