2.3 二次函数的实际应用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

2.3 二次函数的实际应用 【考点1 运动类（1）落地模型】 【考点2 运动类（2）最值模型】 【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】 【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】 【考点5面积类】 【考点6拱桥类】 考点1 ：运动类 （1）落地模型 （2） 最值模型 【考点1 运动类（1）落地模型】 【典例1】如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方2m的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足二次函数关系式，当与点的水平距离为时，达到最高点，已知球网与点的水平距离为9m，高度为，球场的边界距点的水平距离为．    (1)求y与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． 【答案】(1) (2)球能越过球网；球会出界；理由见解析 【分析】本题是二次函数的应用，考查了求函数解析式，图象与x轴的交点坐标，求函数值等知识；把实际问题抽象为数学模型、求出函数解析式是解题的关键． （1）由题意知，函数图象经过点及点，利用待定系数法即可求解； （2）求出当时的函数值，与球网高度比较即可判断球能否越过球网；求出时的自变量值，根据正自变量的值即可判断球是否出界． 【详解】（1）解：由题意知，，抛物线最高点坐标为， 由抛物线知，； 把A点坐标代入中，得， 解得：， ∴； （2）解：球能越过球网；球会出界； 理由如下： 当时，， 而， ∴球能越过球网； 令， 解得：（舍去）； ∵， ∴， ∴球会出界． 【变式1-1】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，成绩就是当高度时x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：当时，， 解之得（不合题意，舍去）， 所以推铅球的距离是10米． 故选：D． 【变式1-2】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用．先将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数性质即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为45． 故选：A． 【变式1-3】如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系． (1)求小球飞行时的高度； (2)小球的飞行高度能否达到？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意建立方程是解决问题的关键． （1）把代入函数关系式解方程即可得到结论； （2）把代入函数关系式可得方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴小球飞行时的高度为； （2）解：小球的飞行高度能达到， 理由：当时，， 整理得， 解得， ∴当时，小球的飞行高度达到． 【考点2 运动类（2）最值模型】 【典例2】某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（    ）m． A．6 B．45 C．35 D．25 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数性质的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s的值． 【详解】解：根据二次函数解析式 可知，汽车的刹车时间为， 当时， 故选：B 【变式2-1】年月1日当天晚上，澳门进行了烟花秀表演．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 ． 【答案】8 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点． 【详解】解：由题可得：． ， 二次函数图象开口向下， 当时，升到最高点， 故答案为：8． 变式2-2】汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是．则汽车从刹车到停止所用时间为 秒． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 当汽车停下来时，最大，故将写成顶点式，则顶点横坐标值即为所求． 【详解】解：∵， ∴当秒时，S取得最大值，即汽车停下来． 故答案为：2． 【变式2-3】汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进的距离是 m． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法求二次函数的最值即可． 【详解】解：， 当时，取得最大值， 即汽车刹车后到停下来前进的距离是． 故答案为：． 考点2 ：经济类 销售问题常用等量关系 ： 利润=收入-成本； 总利润=单件利润×销量 ； 【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】 【典例3】某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于35元/千克．经市场调查发现：每天的销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)直接写出与的函数关系式，及自变量的取值范围； (2)当该商店销售这款商品每天获得的销售利润为128元时，求此时商品的销售价格； (3)当商品的销售价格定为多少元时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 【答案】(1)，自变量的取值范围为 (2)为24元/千克 (3)当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的应用、一元二次方程的应用，正确解读题意，列出关系式是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出方程求解即可； （3）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把，代入，得 ， 解得， ∴， 自变量的取值范围为； （2）解：根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：当商品的销售价格为24元/千克时，每天获得的销售利润为128元； （3）解：设每天获得的销售利润元， 根据题意，得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为200， ∴当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元． 【变式是3-1】某超市购入一批进价为12元/盒的巧克力进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x … 20 22 24 … 销售量y … 40 36 32 … (1)求y与x的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒巧克力向顾客赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种巧克力日销售获得的最大利润为288元，求m的值． 【答案】(1) (2)销售单价定为26元时，所获日销售利润最大，最大利润是392元 (3) 【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的实际应用； （1）设，把，代入再计算即可； （2）设日销售利润为w元，结合单件利润乘以销售量等于总利润，再建立函数解析式求解即可； （3）由单件利润乘以销售量等于总利润，再建立函数解析式求解即可； 【详解】（1）解：设，由题意得 ， 解得， 所以y与x的函数表达式为． （2）解：设日销售利润为w元，由题意得 ， ∴当时，w有最大值392元． 即当销售单价定为26元时，所获日销售利润最大，最大利润是392元． （3）解：由题意得， 当时， ，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，w有最大值288元． ∴． 解得，． 当时，，每盒巧克力的利润， ∴不合题意，舍去． ∴． 【变式3-2】某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示． (1)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ (2)设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每件商品的销售价应定为30元； (2)售价定38元/件时，每天最大利润为768元 【分析】本题主要考查一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式． （1）利用待定系数法可求是y与x之间的函数关系式；再根据等量关系得，解方程即可求解； （2）根据题意得，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由所给函数图象可知：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； 根据题意得：， 整理，得：， 解得：或（舍去）， 答：每件商品的销售价应定为30元； （2）解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴售价定38元/件时，每天最大利润为768元． 【变式3-3】某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 40 60 80 日销售量y（件） 80 60 40 (1)求y与x之间的解析式； (2)若公司销售该商品获得的日利润（日利润=每件利润×日销售量）为w（元），求w与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围，然后求出w的最大值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目． （1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式； （2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值． 【详解】（1）设解析式为， 将和代入， 可得， 解得：， 所以与的关系式为：； （2）解：由题意得：， ，， ， ， 抛物线开口向下，函数有最大值． 当时，． 答：公司销售该商品获得的最大日利润是2025元． 【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】 【典例4】自夏季伊始，我国南方地区由于强降雨或持续降雨的影响，多地出现洪涝、山体滑坡、泥石流等严重灾害．某商家为支援灾区，决定将一个月获得的利润全部捐出，已知该商家购进一批产品，成本为20元/件．原定的售价为每件40元，每月可销售300件，市场调查发现：若这种产品在原定售价的基础上每增加1元，则每月的销量将减少10件，商家决定该产品每件的售价高于40元但不超过50元，设每件产品售价为x元，每月的销售利润为w元． (1)求w与x的函数关系式； (2)该产品的销售单价定为多少时，能使每月售出产品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（） (2)45元；6250元 【分析】本题考查二次函数解决实际问题，解题的关键是列出二次函数，并根据二次函数的性质解答． （1）设每件产品售价为x元，则每月销售量为件，单件利润为元，根据“每月的销售利润＝单件利润×销售量”即可解答； （2）根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：由题意，每月销售量为件，即件，单件利润为元， 则， ∴w与x的函数关系式是（）． （2）解：∵， ∴当时，w有最大值，为， ∴该产品的销售单价定为45元时，能使每月售出产品的利润最大，最大利润是6250元． 【变式4-1】某商店销售一种成本为40元/的水产品，若按50元/销售，一个月可售出，售价每涨1元，月销售量就减少． (1)写出月销售利润y（元）与售价x（元/）之间的函数表达式； (2)当售价定为多少元时，该商店月销售利润为8000元？ (3)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】(1) (2)当售价定为60元或80元时，该商店月销售利润为8000元 (3)当售价为70元，利润最大，最大利润是9000元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用及解一元二次方程． （1）由月销售利润每千克的利润可卖出千克数，把相关数值代入化简即可； （2）根据“月销售利润为8000元”列出一元二次方程，解之可得答案； （3）将函数解析式配方成顶点式可得二次函数的最值，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，可卖出千克数为：， ∴月销售利润， y与x的函数表达式为：； （2）解：由题意得：， 解得：或， 答：当售价定为60元或80元时，该商店月销售利润为8000元； （3）解：∵， ∴当时，利润最大为9000元． 答：当售价为70元，利润最大，最大利润是9000元． 【变式4-2】世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为ⅹ元． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ (3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？ 【答案】(1)， (2)50元 (3)52元 【分析】本题主要考查了二次函数、一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则销售单价上涨了元，每天销售量减少本，所以，然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于确定的范围，进而得解； （2）依据题意，利用每本的利润乘以销售量等于总利润，从而，然后解方程后利用的范围确定销售单价； （3）依据题意，利用每本的利润乘以销售量等于总利润，故，再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到时最大，从而计算出时对应的的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 即：； 销售单价不低于44元，且获利不高于， 最高价为元，即， 故：． （2）解：由题意可得：， ，， 又结合（1）， ， 答：每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元； （3）解：由题意，商店每天销售纪念册获得的利润为 ， 又，图象开口向下， 当时，随的增大而增大， 又， 当时，有最大值，最大值为， 答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大． 【变式4-3】麻花是我国的一种特色油炸面食小吃，其色、香、味俱全，品种多样，十分畅销．阳光超市购进了一批麻花礼盒进行销售，成本价为30元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为40元/件时，每天的销售量为300件，销售单价每提高10元/件，将少售出50件． (1)求超市销售该麻花礼盒每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出自变量取值范围； (2)当销售单价定为多少时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当销售单价定为65元时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大，最大利润为6125元； 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据每天的销售量为300件，销售单价每提高10元/件，将少售出50件求解即可； （2）设利润为w，求出关于w的二次函数，根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）设利润为w元，由题意得 ， ∴当时，w最大为6125， ∴当销售单价定为65元时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大，最大利润为6125元； 考点4 ：面积类 【考点5面积类】 【典例5】如图，小明利用围墙的一段（围墙最长可利用8米），再砌三面墙，围成一个矩形菜园，并在段留有1米宽的门（该处不消耗墙的材料），现在已经备足可以砌15米长的墙的材料． (1)要使菜园的面积为30平方米，不计墙的厚度，求段的长． (2)请问为多长时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，并求出最大值． 【答案】(1)的长为5米； (2)当为4米时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，最大值为32平方米． 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设的长为米，则的长为米，根据菜园的面积为30平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合围墙最长可利用8米，即可得出结论； （2）设矩形面积为S平方米，根据题意表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设的长为米，则的长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：的长为5米； （2）解：设矩形面积为S平方米， 根据题意得，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S有最大值32， 当时，，符合题意． ∴当为4米时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，最大值为32平方米． 【变式5-1】为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙.另三边用总长为的栅栏围住（如图）若设绿化带的边长为，绿化带的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，满足条件的绿化带面积最大． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法． （1）根据矩形面积公式即可求得y与x的函数关系式，结合墙长即可得到x的取值范围； （2）根据函数的性质以及x的取值范围求最大值． 【详解】（1）解：由题意得：， 自变量的取值范围是； （2）解：， ，， 当时，有最大值，为平方米， 即当时，满足条件的绿化带面积最大． 【变式5-2】如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为．设花圃的宽为，面积为． (1)求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）利用矩形的面积公式，列出函数关系式即可； （2）利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设花圃的宽为，则， 根据题意得： ∵， ∴． （2）， ，， 当时，． 答：当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是 【变式5-3】如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米． (1)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，诸说明理由； (3)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在请说明理由． 【答案】(1)10米 (2)不可能，理由见解析 (3)存在， 【分析】（1）先表示出的长，再根据矩形围栏面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （2）根据矩形围栏面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏面积不可能达到240平方米； （3）设矩形围栏面积为S，首先得到，然后表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵设栅栏长为x米 ∴， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米； （2）解：不可能，理由如下： 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏面积不可能达到240平方米； （3）解：设矩形围栏面积为S 根据题意得， ∴ ∴ ∵ ∴当时，即米时，S有最大值． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是掌握以上知识点． 考点4：拱桥类 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 【考点6拱桥类】 【典例6】如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为∶ (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． （1）设拱桥抛物线的函数表达式为：，根据题目可知抛物线经过的两点的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （3）令求得的值，再与3.2比较大小即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，图象过原点，设拱桥抛物线的函数表达式为：， 相邻两支柱间的距离均为， ， ，两点都在抛物线上， ， ， ． （2）解：由于中间绿化带的宽两米，即绿化带到或的距离为9米，三辆车并排宽共6米， 因此只需考虑当时，的值与3.2的大小即可判定， 当时，， 不能并排行驶宽、高的三辆汽车． 【变式6-1】图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线．    (1)以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 【答案】(1) (2)需要，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）计算出时对应的x的值，进而计算出水面宽度，即可判断． 【详解】（1）解：由题意知，，， ，，顶点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得， 拱桥所在抛物线的表达式为； （2）解：需要，理由如下： ， 将代入，得：， 解得， 水面宽度为， 需要采取紧急措施． 【变式6-2】如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高m、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)m (3)这辆货车能通过该隧道，理由见解析 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． （1）根据题意可以设出抛物线的顶点式，根据题中信息可知点，代入即可求得抛物线的解析式； （2）把代入解析式，即可得解； （3）根据题意可以求得当时的得值，然后与比较，即可解答本题； 【详解】（1）解：根据题意，得点，，， 设抛物线的解析式为：， 将点代入， 得到， 解得：； ∴抛物线的解析式为：． （2）在中，令， 得到， 解得：， ， 故在距离地面高处，隧道的宽度是； （3）这辆货车能通过该隧道，理由如下： ， 将代入， 得到：， ， 故这辆货车能通过该隧道． 【变式6-3】现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段A．表示水平的路面，O为的中点，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度米，该抛物线的顶点P到的距离为9米． (1)求抛物线的解析式； (2)现需在这一隧道内整上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点M，N处分别安装照明灯．已知照明灯M，N 的水平距离为10米，求照明灯距地面的高度； (3)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米、宽度为3米的电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙紧需各留至少1米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 【答案】(1) (2)米 (3)满足安装设计要求，过程见详解． 【分析】本题考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出，代入求解即可作答． （2）由二次函数的图象性质得代入，进行计算即可作答． （3）先作图：延长交抛物线于一点H，然后令，则，把，代入，得，故点到地面距离为（米），因为，所以满足安装设计要求． 【详解】（1）解：依题意，设抛物线的解析式为， ∵抛物线底面宽度米，且O为的中点， ∴（米）， ∴， 把代入，得， ∴． ∴抛物线的解析式为． （2）解：依题意，∵照明灯M，N 的水平距离为10米且在同一高度， ∴ 把代入， ∴， ∴照明灯距地面的高度为米； （3）解：满足安装设计要求，过程如下： 依题意，电子显示屏是矩形， ∴（米），（米）， 如图：延长交抛物线于一点H， ∵电子显示屏，为确保行车安全，距左右墙紧需各留至少1米的安全距离 ∴令， 则， 把，代入， 得， 即点， ∴点到地面距离为（米）， ∵， ∴满足安装设计要求． 1．已知长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积长宽列出函数关系式．此题主要考查列二次函数关系式；得到长方形的另一边长是解决本题的易错点． 【详解】解：长方形的周长为，其中一边为， ∴， 长方形的另一边长为， 故选：D． 2．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．飞机滑行多长时间才能停下来?（    ） A．18s B．10s C．20s D．15s 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．将函数解析式写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，s取最大值，且最大值是600． 即飞机滑行才能停下来． 故选：C． 3．慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降元时，日销售量会增加盒．已知每盒印花糕的成本为元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可查了根据实际问题列二次函数关系式，由“利润销售额成本”则可列出（元）与实际销售价（件）的函数关系式，解题的关键是熟练掌握根据数量关系列函数关系式． 【详解】解：由题意得：， 故选：． 4．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，若两点分别从两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的应用，设同时出发后经过，的面积为， 则，，进而得出的表达式，将其化为顶点式，再结合的取值范围即可得出答案，根据题意列出二次函数是解此题的关键． 【详解】解：设同时出发后经过，的面积为， 则，， 则， ，点的运动速度为，点的运动速度为， ， ， 时，有最大值，即的最大面积为． 故选：C． 5．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，如果水面下降，那么水面宽度增加（    ）m． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y经过中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点， 由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和可求出为的一半2米，抛物线顶点C坐标为， ∴点B的坐标为， ∴通过以上条件可设顶点式， 把点B坐标代入到抛物线解析式得：, ∴， ∴抛物线解析式为， 当水面下降0.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出：， 解得：   ∴水面宽度增加到米， ∴比原先的宽度当然是增加了米， 故选：B． 6．某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中x为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 ． 【答案】170元 【分析】本题考查函数模型的构建，配方法求函数的最值，设某商店销售A款商品x袋，则销售B款商品袋，根据利润函数表示出利润，再利用配方法求出函数的最值． 【详解】解：设某商店销售A款商品x袋，则销售B款商品袋， ∴总利润， ∵，，x为正整数， ∴当或时，y有最大值， 即能获得的最大利润为170元， 故答案为：170元． 7．行驶中的汽车刹车后，由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离与车速之间的函数关系式是，若该车以的速度行驶，则该车的刹车距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意求时的函数值是解题的关键． 将代入求解即可． 【详解】根据题意得， 将代入关系式中， 得． 故答案为：． 8．小致以二次函数的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款抛物线形的葡萄酒杯，如图为杯子的设计稿，杯口宽cm，杯柄高cm，当葡萄酒液面宽cm时，液面与杯口的距离cm，则杯子的高为 cm． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，设杯子的高为，以点作为坐标原点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据已知确定点坐标，再利用待定系数法求出解析式，求出点B坐标即可解答． 【详解】设杯子的高为，以点作为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系， 依题意得：，，，，， ，， 设葡萄酒杯的抛物线解析式为，将、代入得： ，解得 ∴，杯子的高为． 故答案为：23． 9．材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好，它的成本C（元）与生产量x（个）的关系式为： (1)求该工艺品的固定成本和可变成本． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销量单价（元/个）之间的对应关系如下图所示：    ①销量与销量单价之间的函数关系式． ②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少? 【答案】(1)固定成本为元，可变成本为元 (2)①；②售价为20或21元时，最大利润是26340元． 【分析】本题考查了二次函数的最大利润问题，一次函数的解析式等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数”，以及“可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用”，即可作答． （2）①运用待定系数法求解销量与销量单价之间的函数关系式； ②经分析列式得，结合二次函数的性质，得出开口向下，在有最大值，考虑为整数，得出或时，有最大值，再代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ∵它的成本C（元）与生产量x（个）的关系式为：，且可变成本与该产品生产的件数有关， ∴该工艺品的固定成本为元，可变成本为元 （2）解：①设销量与销量单价之间的函数关系式 把代入 得 解得 ∴ 设利润为 依题意，得出 整理得出 ∵ ∴开口向下，在有最大值， ∵为整数， ∴或时，有最大值 ∴ 则当售价为20或21元时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是26340元． 10．为准备年中考体育加试，小明和小亮周日下午去训练场进行实心球的练习，实心球的飞行路线可近似看作二次函数图象的一部分，如图所示是小明同学掷的实心球运动的路线，如图建立平面直角坐标系，小明的出手点为，点为实心球飞行轨迹的最高点. (1)求小明投掷实心球的飞行路线的解析式； (2)请计算小明的投掷距离； (3)小亮的出手点为，且飞行路线的最高点仍为点，问小明和小亮谁的投掷距离远，远多少？（精确到.参考数据：，） 【答案】(1)； (2)米远； (3)小亮掷的实心球位置会比小明的远，远米. 【分析】（）用顶点式解答即可求解； （）把代入（）所得的函数解析式，解方程即可求解； （）用顶点式求出小亮实心球飞行路线的抛物线解析式，同理（）求出小亮的投掷距离，即可判断出谁投掷的距离远，进而可求出远的距离； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，正确求出二次函数解析式是解题的关键. 【详解】（1）解：由图象知，抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为，把代入解析式得，， 解得 ， ∴， ∴实心球所经过路线的函数解析式为； （2）解：令， 则， 解得，(不合题意，舍去)， ∴实心球的落地点离小明米远； （3）解：设小亮实心球飞行路线的抛物线解析式为， 把代入解析式得，， 解得， ∴， 令，则， 解得，(不合题意，舍去)， ∴实心球的落地点离小亮米远， ∵， ∴小亮的投掷距离远，两者相差 米 ， ∴小亮掷的实心球位置会比小明的远，远米. 11．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米． (1)设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，所围矩形苗圃的面积为． 【答案】(1) (2)4或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列二次函数的表达式， （1）根据题意列出函数关系式； （2）根据题意列出方程解决即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ， ， ； （2）， 解得：，． 答：当为4或5时，所围矩形花圃的面积为． 12．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明； (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 【答案】(1)解析式，自变量x的取值范围为： (2)能，说明见解析 (3)20米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用． （1）根据题意，可得点及抛物线顶点的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）由题知，当时，，而，即可得出结论； （3）设，则，根据矩形的性质得出，，设，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为米，宽度为米，现在点为原点， ∴点，顶点， 设抛物线的解析式为． 把点，点代入得： 解得 ∴抛物线的解析式为 ，， 自变量x的取值范围为：； （2）解：当时，， 能同时并行两辆宽米、高5米的特种车辆． （3）解：设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则   ∴ ∵， ∴当时，l有最大值为． 答：三根木杆的长度和的最大值是米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 二次函数的实际应用 【考点1 运动类（1）落地模型】 【考点2 运动类（2）最值模型】 【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】 【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】 【考点5面积类】 【考点6拱桥类】 考点1 ：运动类 （1）落地模型 （2） 最值模型 【考点1 运动类（1）落地模型】 【典例1】如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方2m的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足二次函数关系式，当与点的水平距离为时，达到最高点，已知球网与点的水平距离为9m，高度为，球场的边界距点的水平距离为．    (1)求y与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． 【变式1-1】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系． (1)求小球飞行时的高度； (2)小球的飞行高度能否达到？请说明理由． 【考点2 运动类（2）最值模型】 【典例2】某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（    ）m． A．6 B．45 C．35 D．25 【变式2-1】年月1日当天晚上，澳门进行了烟花秀表演．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 ． 【变式2-2】汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是．则汽车从刹车到停止所用时间为 秒． 【变式2-3】汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进的距离是 m． 考点2 ：经济类 销售问题常用等量关系 ： 利润=收入-成本； 总利润=单件利润×销量 ； 【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】 【典例3】某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于35元/千克．经市场调查发现：每天的销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)直接写出与的函数关系式，及自变量的取值范围； (2)当该商店销售这款商品每天获得的销售利润为128元时，求此时商品的销售价格； (3)当商品的销售价格定为多少元时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 【变式是3-1】某超市购入一批进价为12元/盒的巧克力进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x … 20 22 24 … 销售量y … 40 36 32 … (1)求y与x的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒巧克力向顾客赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种巧克力日销售获得的最大利润为288元，求m的值． 【变式3-2】某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示． (1)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ (2)设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式3-3】某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 40 60 80 日销售量y（件） 80 60 40 (1)求y与x之间的解析式； (2)若公司销售该商品获得的日利润（日利润=每件利润×日销售量）为w（元），求w与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围，然后求出w的最大值． 【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】 【典例4】自夏季伊始，我国南方地区由于强降雨或持续降雨的影响，多地出现洪涝、山体滑坡、泥石流等严重灾害．某商家为支援灾区，决定将一个月获得的利润全部捐出，已知该商家购进一批产品，成本为20元/件．原定的售价为每件40元，每月可销售300件，市场调查发现：若这种产品在原定售价的基础上每增加1元，则每月的销量将减少10件，商家决定该产品每件的售价高于40元但不超过50元，设每件产品售价为x元，每月的销售利润为w元． (1)求w与x的函数关系式； (2)该产品的销售单价定为多少时，能使每月售出产品的利润最大？最大利润是多少？ 【变式4-1】某商店销售一种成本为40元/的水产品，若按50元/销售，一个月可售出，售价每涨1元，月销售量就减少． (1)写出月销售利润y（元）与售价x（元/）之间的函数表达式； (2)当售价定为多少元时，该商店月销售利润为8000元？ (3)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【变式4-2】世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为ⅹ元． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ (3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？ 【变式4-3】麻花是我国的一种特色油炸面食小吃，其色、香、味俱全，品种多样，十分畅销．阳光超市购进了一批麻花礼盒进行销售，成本价为30元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为40元/件时，每天的销售量为300件，销售单价每提高10元/件，将少售出50件． (1)求超市销售该麻花礼盒每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出自变量取值范围； (2)当销售单价定为多少时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润． 考点4 ：面积类 【考点5面积类】 【典例5】如图，小明利用围墙的一段（围墙最长可利用8米），再砌三面墙，围成一个矩形菜园，并在段留有1米宽的门（该处不消耗墙的材料），现在已经备足可以砌15米长的墙的材料． (1)要使菜园的面积为30平方米，不计墙的厚度，求段的长． (2)请问为多长时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，并求出最大值． 【变式5-1】为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙.另三边用总长为的栅栏围住（如图）若设绿化带的边长为，绿化带的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，满足条件的绿化带面积最大． 【变式5-2】如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为．设花圃的宽为，面积为． (1)求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ 【变式5-3】如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米． (1)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，诸说明理由； (3)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在请说明理由． 考点4：拱桥类 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 【考点6拱桥类】 【典例6】如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为∶ (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 【变式6-1】图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线．    (1)以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 【变式6-2】如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高m、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【变式6-3】现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段A．表示水平的路面，O为的中点，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度米，该抛物线的顶点P到的距离为9米． (1)求抛物线的解析式； (2)现需在这一隧道内整上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点M，N处分别安装照明灯．已知照明灯M，N 的水平距离为10米，求照明灯距地面的高度； (3)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米、宽度为3米的电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙紧需各留至少1米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 1．已知长方形的周长为，其中一条边长为，面积为，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．飞机滑行多长时间才能停下来?（    ） A．18s B．10s C．20s D．15s 3．慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降元时，日销售量会增加盒．已知每盒印花糕的成本为元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为（  ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，若两点分别从两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（    ）    A． B． C． D． 5．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，如果水面下降，那么水面宽度增加（    ）m． A． B． C． D． 6．某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中x为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 ． 7．行驶中的汽车刹车后，由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离与车速之间的函数关系式是，若该车以的速度行驶，则该车的刹车距离为 ． 8．小致以二次函数的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款抛物线形的葡萄酒杯，如图为杯子的设计稿，杯口宽cm，杯柄高cm，当葡萄酒液面宽cm时，液面与杯口的距离cm，则杯子的高为 cm． 9．材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好，它的成本C（元）与生产量x（个）的关系式为： (1)求该工艺品的固定成本和可变成本． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销量单价（元/个）之间的对应关系如下图所示：    ①销量与销量单价之间的函数关系式． ②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少? 10．为准备年中考体育加试，小明和小亮周日下午去训练场进行实心球的练习，实心球的飞行路线可近似看作二次函数图象的一部分，如图所示是小明同学掷的实心球运动的路线，如图建立平面直角坐标系，小明的出手点为，点为实心球飞行轨迹的最高点. (1)求小明投掷实心球的飞行路线的解析式； (2)请计算小明的投掷距离； (3)小亮的出手点为，且飞行路线的最高点仍为点，问小明和小亮谁的投掷距离远，远多少？（精确到.参考数据：，） 11．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米． (1)设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，所围矩形苗圃的面积为． 12．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明； (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$