2.4 二次函数与一元二次方程（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

2.4 二次函数与一元二次方程 【考点1 二次函数与x轴交点问题】 【考点2 图像法确定一元二次方程的根】 【考点3已知函数值y求X的取值范围】 【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】 【考点5二次函数综合】 考点1 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 注意： 　二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.． 【考点1 二次函数与x轴交点问题】 【典例1】抛物线与x轴的一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】已知抛物线的一部分如图所示，图象与x轴相交，除点外的另一个交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】抛物线与x轴的交点坐标是（　　） A．， B．， C．， D．， 考点2 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 注意： 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根. 【考点2 图像法确定一元二次方程的根】 【典例2】小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象，并求得一个近似根为x＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为（    ）（精确到0.1） A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.3 【变式2-1】根据下列表格的对应值： 0 0.5 1 1.5 2 15 8.75 2 5.25 13 判断方程一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知二次函数的变量x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 … y … 1 2 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点3： 抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 【考点3已知函数值y求X的取值范围】 【典例3】二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（    ） A．3 B．5 C．和5 D．3和 【变式3-1】已知二次函数，当时，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式3-2】已知二次函数的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-3】如图，将抛物线图象中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（实线部分），则新图象与直线的交点个数有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】 【典例4】如图，抛物线与直线相交于点,，，则关于x的不等式的解为 ．    【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的不等式的解集为 ． 【变式4-2】如图，抛物线和直线在同一直角坐标系中．当时，的取值范围是 ． 【考点5二次函数综合】 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，抛物线与y轴交于点C，交x轴于A、B两点（A在B的左边），点E为抛物线第一象限上一动点． (1)直接写出A，B两点坐标； (2)连接，过点E作轴交于点F． ①当时，求点E的坐标； ②连接，，得到，求的面积的最大值． 【变式5-1】如图为抛物线，图像经过点．直线与抛物线交于B，C两点，点A，B在x轴上． (1)求抛物线与直线的函数解析式． (2)求的面积． 【变式5-2】如图，抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点，与x轴相交于点 A、B． (1)求抛物线的表达式，及A、B两点的坐标； (2)点F 是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)求线段的长； (2)若点为抛物线上一点，且，求此时点的坐标． 【变式5-4】如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)时，求的的取值范围； (3)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． 1．若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．二次函数的图象经过平面内的四个象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象顶点在轴上，当图象经过点，时，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 4．若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 5.观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，一次函数与抛物线相交于A、B两点，则关于x的不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 7．二次函数的图象如图所示，下列结论： ； ； 方程有两个不相等的实数根； 不等式的解集是． 其中所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 8．若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 9．已知抛物线与轴的两个交点为，则 ． 10．如图，将抛物线在轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到图像当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是 ． 12．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D为点C关于抛物线对称轴的对称点，作直线，点P为直线上方抛物线上的一个动点． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)连接．求当面积最大时，点P的坐标． 13．已知抛物线． (1)求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与轴总有两个公共点； (2)若点都在抛物线上，且，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 二次函数与一元二次方程 【考点1 二次函数与x轴交点问题】 【考点2 图像法确定一元二次方程的根】 【考点3已知函数值y求X的取值范围】 【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】 【考点5二次函数综合】 考点1 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 注意： 　二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.． 【考点1 二次函数与x轴交点问题】 【典例1】抛物线与x轴的一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，与x轴的交点坐标中，即，解方程求出x即可． 【详解】解：抛物线与x轴相交，则， 解得：或， 抛物线与x轴的交点坐标有：，， 故选：B． 【变式1-1】抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点，熟练二次函数与轴和轴的交点的求法以及仔细审题是解决本题的关键．已知二次函数的解析式，分别令，，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴令，则，故与轴有一个交点， 令，则， ， ∴与轴有两个交点， 即：图象与坐标轴的交点有3个， 故选：D． 【变式1-2】已知抛物线的一部分如图所示，图象与x轴相交，除点外的另一个交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，根据抛物线解析式得出抛物线的对称轴为直线，再根据对称性即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵图象与x轴的一个交点为， ∴根据对称性可得，另一个交点的坐标为，即， 故选：C． 【变式1-3】抛物线与x轴的交点坐标是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点的交点问题，根据题意知，方程的两根就是抛物线与x轴的交点横坐标，解出两根即可得到抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】解：根据题意知，方程的两根就是抛物线与x轴的交点横坐标， 解方程得，． ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， 故选：A． 考点2 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 注意： 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根. 【考点2 图像法确定一元二次方程的根】 【典例2】小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象，并求得一个近似根为x＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为（    ）（精确到0.1） A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.3 【答案】C 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点为（﹣4.3，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣4.3，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1， ∴另一个交点坐标为：（2.3，0）， 则方程的另一个近似根为x＝2.3， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据二次函数图象求方程的近似根，掌握抛物线的对称性是解题的关键． 【变式2-1】根据下列表格的对应值： 0 0.5 1 1.5 2 15 8.75 2 5.25 13 判断方程一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据估算一元二次方程的近似解的方法：由于时，；时，，则在1和1.5之间有一个值能使的值为0，于是可判断方程一个解x的范围为1＜x＜1.5． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴方程一个解x的范围为1＜x＜1.5． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键． 【变式2-2】已知二次函数的变量x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 … y … 1 2 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用表格可知随着x的增大，的值逐渐增大，在和时函数值由负数变为正数，即可得到方程的一个近似解的范围． 【详解】解：观察表格可知，随着x的增大，的值逐渐增大，在和时函数值由负数变为正数， ∴一元二次方程的一个近似解在和之间，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式2-3】根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，，时，； 时，，时，， 可得方程的解取值范围是或． 故选：D． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键． 考点3： 抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 【考点3已知函数值y求X的取值范围】 【典例3】二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（    ） A．3 B．5 C．和5 D．3和 【答案】D 【分析】本题考查了求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由题意得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 解得，或， 故选：D． 【变式3-1】已知二次函数，当时，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求出当时，对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：根据题意可得：当时，即， 解得：， ∵， ∴图象开口向上， ∵， ∴或 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键． 【变式3-2】已知二次函数的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题；求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围． 【详解】根据图象可得，，则的取值范围是， 故选：B． 【变式3-3】如图，将抛物线图象中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（实线部分），则新图象与直线的交点个数有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据已知条件得到抛物线(x-1)2+7，故顶点为(1，7)，根据轴对称的性质得到新图象的顶点坐标为(1，-7)，于是得到结论． 【详解】解：如图，∵抛物线=(x-1)2+7，故顶点为(1，7) ∵将抛物线y=-x2+x+6图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变， ∴新图象的顶点坐标为(1，-7)， ∴直线y=-7经过新图象的顶点并另有两个交点， 故新图象与直线y=-7的交点个数是3个， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键 【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】 【典例4】如图，抛物线与直线相交于点,，，则关于x的不等式的解为 ．    【答案】或 【分析】本题考查根据二次函数图象解不等式，表示直线在抛物线下方，根据函数图象满足条件的图象是在左边和右边两部分，据此求解即可． 【详解】解：根据函数图象可得不等式的解为或，    故答案为：或． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系．根据对称性得出抛物线与轴的另一个交点，据此结合图象进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 根据函数图象可得关于的不等式的解集为或． 故答案为：或． 【变式4-2】如图，抛物线和直线在同一直角坐标系中．当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出两函数交点的横坐标，再利用图象得出时，的取值范围．此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合是解题关键． 【详解】解：∵如图抛物线和直线在同一直角坐标系中 ∴将两函数关系式联立可得： ， 解得：，， 由图象可得：时，的取值范围是：． 故答案为：． 【考点5二次函数综合】 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，抛物线与y轴交于点C，交x轴于A、B两点（A在B的左边），点E为抛物线第一象限上一动点． (1)直接写出A，B两点坐标； (2)连接，过点E作轴交于点F． ①当时，求点E的坐标； ②连接，，得到，求的面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点问题、坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）令，解方程即可求解； （2）①先求得直线的函数表达式和点C坐标，进而得到直线的函数表达式，然后和二次函数表达式联立方程组求解即可； ②设，则，，根据坐标与图形得到 【详解】（1）解：令，由得，， ∴，； （2）解：如图， ①设直线的函数表达式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，，则， ∵ ∴设直线的函数表达式为， 将代入，得， ∴直线的函数表达式为， 联立方程组，解得或， 故点E的坐标为； ②设，则，， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴当时，S有最大值，最大值为． 【变式5-1】如图为抛物线，图像经过点．直线与抛物线交于B，C两点，点A，B在x轴上． (1)求抛物线与直线的函数解析式． (2)求的面积． 【答案】(1)抛物线的解析式为，一次函数解析式为 (2)15 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数交点问题； （1）把代入即可求出抛物线解析式，再求出A，B坐标，最后代入计算即可； （2）联立二次函数与一次函数求出点C坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，图像经过点， ∴把代入代入的，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，解得， ∴，， 把代入得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：联立，解得或， ∵直线与抛物线交于，C两点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式5-2】如图，抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点，与x轴相交于点 A、B． (1)求抛物线的表达式，及A、B两点的坐标； (2)点F 是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与轴的交点，二次函数与特殊的四边形的综合．熟练掌握二次函数的解析式，二次函数与轴的交点，二次函数与特殊的四边形的综合是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，则，可求，则抛物线的表达式为；当时，，计算求解，进而可求； （2）设，由，可知当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，分，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， ∵抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 当时，， 解得，，， ∴； （2）解：设， ∵， ∴当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，分，两种情况求解； 当时，，，如图1， ∴关于对称轴直线对称， ∴； 当时，如图2，记的交点为， ∴， 解得，， ∴，， 综上所述，存在，点F 的坐标为或或． 【变式5-3】如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)求线段的长； (2)若点为抛物线上一点，且，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（）令，解出即可求出点和点坐标，从而求出线段的长； （）设，则的高为，，由列出方程即可求出的值，从而可求出的坐标； 本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与轴的交点问题，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 【详解】（1）当时，， 解得：，， ∴，， ∴； （2）设， 由（）得， 则的高为， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由中， ∴此方程无实数根， 由得，， ∴点的坐标为或． 【变式5-4】如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)时，求的的取值范围； (3)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点 【分析】本题主要查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，两点间线段最短： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出点B的坐标，再观察图象，即可求解； （3）设直线与对称轴的交点为点，求出直线的解析式，可得点，再由抛物线的对称性可得，此时的值最小，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点，对称轴为直线， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵二次函数的图象与轴交于、两点，，对称轴为直线， ∴， ∴当时，， ∴当时，x的取值范围为． （3）解：设直线与对称轴的交点为点， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：； ∴点， ∵直线垂直平分， ∴，， ∴，， 当点与点重合时，，此时有最小值， ∴，此时的值最小， ∵，是定值， ∴当点时，有最小值． 1．若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】根据题意得出一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， 一元二次方程有解， ， 解得：且． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点、一元二次方程定义，根的判别式以及解一元一次不等式，根据根的判别式结合二次项系数非零找出关于的一元一次不等式是解题的关键． 2．二次函数的图象经过平面内的四个象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；由函数解析式确定出抛物线的开口方向与顶点坐标，由题意知，抛物线与y轴交点位于y轴负半轴上时，即可满足题意，则可得a的范围． 【详解】解：， 顶点坐标为，抛物线开口向上， 二次函数的图象经过平面内的四个象限， 抛物线与y轴交点位于y轴负半轴上，且顶点位于第四象限， 即当时，，且， ，且， ； 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象顶点在轴上，当图象经过点，时，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，先求出顶点坐标为，再根据顶点在轴上，得到，解方程得到，则二次函数解析式为，则二次函数开口向上，对称轴为直线，离对称轴越远函数值越大，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数顶点坐标为， ∵顶点在轴上， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数图象经过点，时，， ∴， ∴， 故选：C． 4．若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的交点，分两组情况讨论，当时，两条直线不平行，有交点，当时，抛物线和直线有交点，联立函数得方程有实数解．即，求解即可． 【详解】解：当时，即，，与直线不平行，故有交点， 当时，函数的图象与直线有交点， 即时， ， 综上所述：实数的取值范围是， 故选：B． 5.观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可． 【详解】解：由表格可知， 当时，与时， ∴时，， 故选C． 6．如图，一次函数与抛物线相交于A、B两点，则关于x的不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，根据函数图象得出的取值范围． 【详解】解：观察函数图象可得：或时，抛物线在直线上方， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 7．二次函数的图象如图所示，下列结论： ； ； 方程有两个不相等的实数根； 不等式的解集是． 其中所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线与轴的交点坐标求出对称轴，即可判断；当时，，即可判断；由抛物线与轴有两个不同的交点即可判断；由图象可知，当时，，即可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，抛物线与轴的交点坐标为和， ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∴，故正确； 由图象可得，当时，， ∴，故错误； ∵抛物线与轴有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故正确； 由图象可知，当时，， ∴不等式的解集是，故错误； ∴正确的结论为， 故选：． 8．若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．直接根据图象写出答案即可． 【详解】解：由图象可知，当时，． 故答案为：或． 9．已知抛物线与轴的两个交点为，则 ． 【答案】29 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点．熟练掌握函数与方程的关系，一元二次方程根与系数和关系，根的概念，是解决问题的关键． 根据抛物线与轴的两个交点为，，得到方程的二根为，，根据根与系数的关系和根适合方程得到，， 分别代入化简即得． 【详解】∵抛物线与轴的两个交点为，， ∴方程的二根为，， ∴，， ∴ ， ∴． 故答案为：29． 10．如图，将抛物线在轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到图像当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 (a,b,c是常数，)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用．通过解方程得到A、B的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象沿x轴翻折所得图象的解析式为，然后求出直线与相切b的值，直线过A和过B点所对应的b的值，再利用图象可判断直线与此图象有且只有两个公共点时b的取值范围． 【详解】解：当时，，解得，则， ， 则顶点坐标为， 把图象沿x轴翻折所得图象的解析式为， 如图， 当直线与相切时，直线与新函数图象有三个交点，此时有两个相等的实数解， 方程整理得，， 解得， ∴当时，直线与图像恰有两个公共点， 当直线过时，，解得， 当直线过时，，解得， 所以，当时，直线与此图象有且只有两个公共点． 综上可知，当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是或． 故答案为：或． 11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及对称性，因为与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则，解出，即可作答． 【详解】解：依题意，设这个二次函数图象与x轴另一个交点的横坐标为， ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴， 解饿， 则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是， 故答案为：， 12．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D为点C关于抛物线对称轴的对称点，作直线，点P为直线上方抛物线上的一个动点． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)连接．求当面积最大时，点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)点P的坐标为 【分析】（1）分别令，，代入解析式求解作答即可； （2）如图，过点P作轴，交于点E．由，可知对称轴为直线，则，待定系数法求直线的函数表达式为．设P ，则F，， ，然后根据二次函数的图象与性质求解作答即可． 【详解】（1）解：令，则，即； 令，则， 解得，或， ∴，， ∴，，； （2）解：如图，过点P作轴，交于点E． ∵， ∴对称轴为直线， ∴， 设直线的函数表达式为． 将，代入，得， 解得． ∴直线的函数表达式为． 设P ，则E，， ∴ ． ∵， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数与面积综合，二次函数的图象与性质，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数与坐标轴的交点，二次函数与面积综合，二次函数的图象与性质，一次函数解析式是解题的关键． 13．已知抛物线． (1)求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与轴总有两个公共点； (2)若点都在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2)的取值范围是或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与轴的交点问题，采用数形结合的思想与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意得出，结合得出，再由即可得出，从而得解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，再分情况：当，即时，当，即时；分别画出草图，结合图形求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：由题意得：． ， ． ， 即． 在平面直角坐标系中，该抛物线与轴总有两个公共点． （2）解：点都在抛物线上， 抛物线的对称轴为． 当，即时， ， 可作抛物线草图如图1、2： 由图可知，此时点的横坐标小于0，与题目矛盾，故舍去． 当，即时， ， 可作抛物线草图如图3： 由图可得，， 解得，． 作抛物线草图如图4： 由图可得，， 解得，． 综上所述，的取值范围是或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$