专题02 利用空间向量研究立体几何中的轨迹、截面、动点、范围问题七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第二册）

专题02 利用空间向量研究立体几何中的轨迹、截面、动点、范围问题七种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、动点轨迹形状………………………………………………………………2 类型二、动点轨迹长度………………………………………………………………5 类型三、动点轨迹形成图形面积 10 类型四、范围与最值问题 12 类型五、截面问题 23 类型六、存在与探索问题 27 类型七、轨迹、截面、动点、范围与最值多选题综合 33 压轴能力测评（10题） 41 1.对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题； （2）解答方法：一般是根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （3）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （4）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 2.立体几何中的轨迹问题： （1）由动点保持平行性求轨迹. ①线面平行转化为面面平行得轨迹； ②平行时可利用法向量垂直关系求轨迹. （2）动点保持垂直求轨迹. ①可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹； ②利用空间坐标运算求轨迹； ③利用垂直关系转化为平行关系求轨迹. （3）由动点保持等距（或者定距）求轨迹. ①距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线的定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；②利用空间坐标计算求轨迹. （4）由动点保持等角（或定角）求轨迹. ①直线与面成定角，可能是圆锥侧面； ②直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面； ③利用空间坐标系计算求轨迹. （5）投影求轨迹. ①球的非正投影，可能是椭圆面；②多面体的投影，多为多边形. （6）翻折与动点求轨迹. ①翻折过程中寻求不变的垂直关系求轨迹；②翻折过程中寻求不变的长度关系求轨迹；③利用空间坐标运算求轨迹. 类型一、动点轨迹形状 例．已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ） A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 【答案】C 【解析】以点D为原点，，，为x，y，z的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则，设， 可得，， 因为直线与的所成角为， 则，化简可得， 所以点Q的轨迹为抛物线. 故选：C.    【变式训练1】如图，正四棱柱中，，点是面上的动点，若点到点的距离是点到直线的距离的2倍，则动点的轨迹是（ ）的一部分 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【解析】由题意知，以D为原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系， 则，设， 所以， 因为到的距离是到的距离的2倍， 所以，即， 整理，得， 所以点P的轨迹为双曲线. 故选：C 【变式训练2】（多选）如图，在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．当时，的值最小 B．当时， C．若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆 D．直线与平面所成角的正弦值是 【答案】ABC 【解析】对于A选项，建立如图1所示的空间直角坐标系，    设，则． 设，则． ， ， ， 当，即时，的值最小，故A正确． 对于B选项，， ， ，故B正确． 对于C选项，如图2所示构造圆锥．母线与中轴线的夹角为，然后用平面去截圆锥， 使直线与平面的夹角为，则截口为点的轨迹图形， 由圆锥曲线的定义可知，点的轨迹为椭圆，故C正确． 对于D选项，直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角． 是与平面所成的角，又，则，故D不正确． 故选：ABC． 类型二、动点轨迹长度 例．在棱长为5的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 球心，取的中点，的中点，连接， 则，， ， 故，， 又，平面， 故⊥平面， 故当位于平面与内切球的交线上时，满足， 此时到平面的距离为 ， ，其中为平面截正方体内切球所得截面圆的半径， 故点的轨迹为以为半径的圆， 故点的轨迹长度为. 故选：B 【变式训练1】如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴， 建立空间直角坐标系，，，，，， 故，， ，设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 因为，故平面， 为平面上的动点，直线与直线的夹角为30°， 平面，设垂足为，以为圆心，为半径作圆， 即为点的轨迹，其中， 由对称性可知，，故半径， 故点的轨迹长度为. 故选：C. 【变式训练2】（多选）已知在棱长为4的正方体中，点O为正方形的中心，点P在棱上，下列说法正确的有（ ） A. B. 当直线AP与平面所成角的正切值为时， C. 当时，点到平面的距离是 D. 当时，以O为球心，OP为半径的球面与侧面的交线长为 【答案】ABD 【解析】对于选项A，由正方体得平面，所以, 又. 又,所以, 因为平面, ,所以平面, 所以. 所以该选项正确； 对于选项B，连接,则就直线AP与平面所成角，所以，所以该选项正确； 对于选项C, 建立如图所示的空间直角坐标系，则, 设平面的法向量为，所以， 又.所以该选项错误； 对于选项D，取的中点，由题得, 则截面圆的半径为. 由题得截面圆的圆心为点,在平面内作，且. 以点为圆心，以为半径作圆与棱分别交于. 所以. 所以， 以O为球心，OP为半径的球面与侧面的交线为以点E为圆心，以为半径，圆心角为的扇形的弧长， 所以以O为球心，OP为半径的球面与侧面的交线长. 所以该选项正确. 故选：ABD 类型三、动点轨迹形成图形面积 例．如图所示空间直角坐标系中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线和底面所成角为，则P点轨迹形成图形的面积为__________ 【答案】 【解析】由正三棱柱，且，根据坐标系可得： ，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以， 又平面，所以是平面的一个法向量， 因为直线和底面所成角为， 所以， 整理得，又，所以. 所以P点轨迹形成图形的面积为 故答案为：. 【变式训练1】如图直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则P点轨迹形成图形的面积为__________    【答案】 【解析】直四棱柱的所有棱长都为4，则底面为菱形， 又，则和都是等边三角形， 设与相交于点，由，以为原点，为轴，为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则有，， 点在四边形及其内部运动，设，， 由，有， 即， 所以点的轨迹为平面内，以为圆心，2为半径的半圆弧， 所以P点轨迹形成图形的面积为 故答案为：. 【变式训练2】在棱长为的正方体中，点分别为棱，的中点．已知动点在该正方体的表面上，且，则点轨迹形成图形的面积为__________ 【答案】 【解析】因为，故P点轨迹为以为直径的球， 如图，易知中点即为正方体中心，球心在每个面上的射影为面的中心， 设在底面上的射影为，又正方体的棱长为，所以， 易知，，又动点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹是六个半径为a的圆，所以P点轨迹形成图形的面积为 故答案为：. 类型四、范围与最值问题 例．（多选）如图，正方形ABCD的边长为2，和都与平面垂直，，点P在棱DE上，则下列说法正确的有（ ） A. 四面体外接球的表面积为 B. 四面体外接球的球心到直线AE的距离为 C. 当点P为DE的中点时，点到平面的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ACD 【解析】因为与平面垂直，平面， 所以， 因为四边形为正方形，所以， 以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设四面体外接球球心的坐标为，则 ， 所以， 化简可得， 所以， 所以球心的坐标为， 所以球的半径， 所以四面体外接球的表面积，A正确； 直线的方向向量，又， 所以向量在向量上的投影向量的模的大小为， 所以点到直线的距离为，B错误； 设平面的法向量为， 则，又，， 所以， 取,则， 所以为平面的一个法向量， 若点P为DE的中点，则点的坐标为， 所以， 所以点到平面的距离为，C正确； 设，，则， 又，， 设平面的法向量为， 则，所以， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以， 设，，则，， 所以， 由基本不等式可得当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当点为棱的靠近点的三分点时， 直线与平面所成角的正弦值的最大，最大值为，D正确； 故选：ACD . 【变式训练1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别在棱，上． （1）当为棱中点时，求证：； （2）当为棱中点时，求平面与平面所成的二面角余弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】（1）因为底面为正方形，所以，又因为平面，，平面， 所以，．以为正交基底建立空间坐标系， 则，，，，． 当为棱中点时，，设， 则，， 所以，所以． （2）当为棱中点时，，设， 则，，，． 设平面的法向量为，则 取，则是平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则 取，则是平面的一个法向量． 设平面与平面所成角为， 则． 令，则， 所以当，即时，取最大值． 所以平面与平面所成的二面角余弦值的最大值为 【变式训练2】（多选）正方体的棱长为1，点为底面正方形上一动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角的正弦值为 B. 若点为中点，点为中点，则直线和夹角的余弦值为 C. 若，则的最小值为 D. 若点在上，点在上，则的长度最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A，对于正方体，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为，故A错误； 对于B，如图所示， 则，则， 所以直线和夹角余弦值为，故B正确； 对于C， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 所以在以为圆心，为半径的圆上（正方形内的部分）， 取的中点， 则， 由于，所以， 则的最小值为，故C正确； 对于D，若点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 设为直线和的法向量， 又因为， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为，故D正确. 故选：BCD 【变式训练3】如图，在直三棱柱中，，，D为AC的中点.请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题： （1）求二面角所成角的正弦值； （2）点P是矩形（包含边界）内任一点，且，求CP与平面所成角正弦值的取值范围. 条件①：平面的面积为；条件②：；条件③：点到平面的距离为. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为直三棱柱，所以平面ABC，又CA，平面ABC， 所以，，又. 以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，（，）， 则，，，，，. 选①② 因为直三棱柱中，平面平面且平面平面又，平面,又平面，. 则又由①得平面的面积为， 由②得， 解得，.所以，，， 设平面一个法向量为， 则，，取，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设二面角所成角的平面角为， 所以，因为，所以， 所以二面角所成角的正弦值为. 选①③ 因为直三棱柱中，平面平面且平面平面又，平面,又平面，. 又由①得平面的面积为， 由①③得，即，解得，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，，取，则， 设平面的一个法向量为， 则,，取，则 设二面角所成角的平面角为， 所以 因为，所以， 所以二面角所成角的正弦值为. 选②③， 由②得， 由②③得，即，解得，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，，取，则， 设平面的一个法向量为， 则,，取，则 设二面角所成角的平面角为， 所以， 因为，所以， 所以二面角所成角的正弦值为. （2）解法一：取AB中点Q，连接PQ，CQ， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以， 所以点P的轨迹是以Q为圆心，半径为1的半圆，设点，所以， 因为，，所以，所以， 设CP与平面所成角为，由及平面的一个法向量为知 ， 因为，所以， 所以CP与平面所成角的正弦值的取值范围为. 解法二：设， 由得， 因为，所以，即，所以. 设CP与平面所成角为，， 又由（1）知，平面的一个法向量为， 所以，，因为，所以. 所以CP与平面所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为：；. 类型五、截面问题 例．(多选)如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得 C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为 D．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 【答案】ABD 【解析】对于A，由等体积法，三棱锥的高为， 底面积，所以， 所以三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，，， ，， 若，则， 即，取，此时点与点重合，满足题意， 所以存在点，使得，B正确； 对于C，，若， ，即， 所以点的轨迹就是线段， 轨迹长为，C错误； 对于D，如图取中点，连接， 由题可得，平面， 连接，因为，平面， 则，，又，     平面，则平面， 又取中点为，则， 有四点共面，则平面即为平面， 又由两平面平行性质可知，，，， 又都是中点，故是中点，是中点， 则平面截正方体的截面为正六边形， 又正方体棱长为，则， 故截面面积为，D正确. 故选：ABD 【变式训练1】在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AC＝2AB＝2AD＝4，CD⊥AD，CB⊥AB，G为PC的中点，过AG的平面与棱PB、PD分别交于点E、F．若EF∥平面ABCD，则截面AEGF的面积为______． 【答案】 【解析】∵AC＝2AB＝2AD，CD⊥AD，CB⊥AB， ∴∠DAC=∠BAC=60°， 则根据向量加法法则易知，， 即，则． 根据共面向量定理的推论知，，其中x＋y＋z＝1． 连接BD， ∵EF∥平面ABCD，EF平面PBD，平面PBD∩平面ABCD=BD，∴EF∥BD， 设，则，又G为PC的中点，∴， 则，，解得，AB=2，BD=2×ABsin60°=，则． 连接AG，∵PA＝AC＝4，G为PC的中点，故．易知BD⊥AC，BD⊥PA，，故BD⊥平面PAC，又平面PAC，∴BD⊥AG，∴AG⊥EF，因此． 故答案为：． 【变式训练2】已知正方体的外接球表面积为，点E为棱的中点，且平面，点平面，则平面截正方体所得的截面图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该正方体外接球的半径为R， 依题意，，解得，故，，故. 分别取棱，的中点F，G，连接，，，，根据正方体的性质可知：四边形为等腰梯形， 建立如图所示空间直角坐标系，，， ，所以，由于， 所以平面，即截面为等腰梯形.由题可知，， 所以等腰梯形的高为，故截面图形的面积为 故选：D 类型六、存在与探索问题 例．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）设. ①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. ②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）①或；②不存点，理由见解析 【解析】（1）在四棱锥中，平面平面，， 平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示直角空间坐标系， 设，则，由， ，，， 则，，因，则，， 所以， ①设平面的法向量为，由，，得： ，可取 设直线与平面所成角为， 则有：，， 即：，化简得：， 解得或，即或. ②如图，假设在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上， 由，得，所以， 所以， 又得，，所以， 由得，即， 亦即（*）， 因为，所以方程（*）无实数解， 所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上. 【变式训练1】已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求 （1）与所成角的余弦值； （2）与平面所成角的正弦值； （3）直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】（1）在平面ABC内过B作垂直于BC的直线BE，因为平面ABC与平面BDC垂直， 且平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以BE，BD，BC两两垂直，建立如图空间直角坐标系 则 ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为; （2）平面BCD的法向量， 所以， 则与平面所成角的正弦值为； （3）假设存，设， 设平面CDP的法向量， ，取，则，， 则， 所以或 则点P存在 所以或. 【变式训练2】如图所示，在等腰梯形中，，，，E为CD中点，AE与BD相交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面）． (1)求证：平面平面PBC； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面所成角的正弦值为，若存在，求Q在线段PB上的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)存在，Q是PB的中点． 【解析】（1）如图，在原图中连接BE，由于，，， 所以四边形ABED是平行四边形． 由于，所以四边形ABED是菱形，所以． 由于，，所以四边形ABCE是平行四边形， 所以，所以． 在翻折过程中，，保持不变， 即，保持不变． 由于，OP，平面POB， 所以平面POB，由于平面PBC， 所以平面平面PBC； （2）由上述分析可知，在原图中，， 所以，所以． 折叠后，若，则，所以， 由于，，平面ABCE， 所以平面ABCE．所以OE，OB，PO两两相互垂直． 由此以O为原点， 分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，，，， 设，，， ，， 设平面AEQ的法向量为， 则，令得， 故， 设直线PC与平面AEQ所成角为θ，则 ， 所以，， ，解得， 所以，因为，， 、的中点坐标为， 即Q是PB的中点． 类型七、轨迹、截面、动点、范围与最值多选题综合 例．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 平面平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 周长最小值为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】AD 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系 对于A，，，，， 则，，， 设平面法向量，则，令，则， 设平面法向量，则，令，则， 所以，即，则平面平面，故A正确； 对于B，，，，则， 所以与不垂直，则与平面不平行，所以当在运动时，到平面的距离不是定值， 底面的面积为定值，则三棱锥的体积不是定值，所以B不正确； 对于C，由图可知 ，，所以周长最小值必定大于，故C错误； 对于D，可知正方体的球心，球的半径 ，，当时，， 所以，设平面法向量为， 所以，令，则 所以球心到平面的距离，， 所以平面截该正方体的外接球所得截面圆的半径， 则平面截该正方体的外接球所得截面的面积为，故D正确. 故选：AD 【变式训练1】（多选）已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 若直线与平面所成角为，则点的轨迹是椭圆 C. 存在点，使得 D. 正方体的外接球被平面所截得的截面面积为 【答案】ACD 【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，， 所以，，， 所以，，所以，， 即，，又，平面， 所以平面，故A正确； 设，则，又平面的法向量可以为， 依题意，所以， 所以直线与平面所成角为，则点的轨迹是圆，故B错误； 因为， ，所以当时满足，故C正确； 正方体的外接球的直径为正方体的体对角线， 则外接球的半径，球心为的中点，设为，则， 由平面，所以平面的一个法向量为， 又， 所以点到平面的距离， 设平面被外接球所截的截面圆的半径为， 则， 所以截面圆的面积，故D正确. 故选：ACD 【变式训练2】（多选）在棱台中，底面分别是边长为4和2的正方形，侧面和侧面均为直角梯形，且平面，点为棱台表面上的一动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 二面角余弦值为 B. 棱台的体积为26 C. 若点在侧面内运动，则四棱锥体积的最小值为 D. 点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】A选项，因为平面，平面， 所以， 又底面分别是边长为4和2的正方形， 故， 故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系， 则， 平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，，故， 则， 又从图形可看出二面角为锐角， 故二面角余弦值为，A正确； B选项，棱台的体积为，B错误； C选项，若点在侧面内运动，， 设，则， 整理得， 故点轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分， 如图所示，圆弧即为所求， 过点作⊥于点，与圆弧交于点， 此时点到平面的距离最短， 由勾股定理得， 因为，， ， 故点到平面的最短距离为， 因为与平行，且⊥平面， 又平面，所以⊥， 故四边形为直角梯形，故面积为， 则四棱锥体积的最小值为，C正确； D选项，由C选项可知，当点在侧面内运动时，轨迹为圆弧， 设其圆心角为，则，故， 所以圆弧的长度为， 当点在面内运动时，， 设，则， 整理得， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分， 如图所示，圆弧即为所求轨迹，其中，故， 则圆弧长度， 若点在面内运动时，， 设，则， 整理得， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分， 如图所示，圆弧即为所求，此时圆心角， 故圆弧长度为， 经检验，当点在其他面上运动时，均不合要求， 综上，点的轨迹长度为，D正确. 故选：ACD 在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方形内部及其边界上运动，若平面，则长度的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【解析】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则有，，设，，， ，，， 则，，令平面的法向量为， 则有，可令，则，即， 由平面，则有， 即，则 ， 故选：D 2．设A、B是半径为的球体O表面上的两定点，且，球体O表面上动点M满足，则点M的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以所在的平面建立平面直角坐标系，为x轴，垂直平分线为y轴， 则易知， 设 ，由，可得， 故M的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 转化到空间M的轨迹为以C为球心，为半径的球，同时M在球O上， 故M在两球的交线上，轨迹为圆. 又，，易求得，即为直角三角形， 则对应圆的半径为， M的轨迹长度即对应圆的周长为. 故选：B． 3．（多选）在长方体中，，，为棱上任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 长方体表面积的最大值为6 B. 长方体外接球表面积的最小值为 C. 到平面的距离的最大值为 D. 三棱锥体积的最大值为 【答案】AD 【解析】对于A，设，（），则该长方体表面积为 ， 所以当时，取得最大值6， 即长方体表面积的最大值为6，所以A正确， 对于B，设，（），设长方体外接球半径为， 则， 所以当时，上式取得最小值3，此时的最小值为， 所以长方体外接球表面积的最小值为，所以B错误， 对于C，设点到平面的距离为，即点到平面的距离为， 因为，所以， ， 所以， 设，（），则 所以， 因为，所以， 所以到平面的距离无最大值，所以C错误， 对于D，， 当且仅当，即时取等号， 所以三棱锥体积的最大值为，所以D正确， 故选：AD 4．（多选）在正方体中，动点满足，其中，，且，则（ ） A. 对于任意的，且，都有平面平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，存在点，使得 D. 当时，存在点，使得平面 【答案】AB 【解析】对于A选项，设正方体的棱长为， 以点A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，     则， 设平面的法向量为， ，取，可得， ， 因为， 设平面ACP的法向量为, 则，取，可得， 因为，所以， 所以，对于任意的且，都有平面平面，故A对； 对于B选项，当时，点， 设平面的法向量为， ，， 则，取，可得，且， 所以，点P到平面的距离为， 又因为的面积为定值，故三棱的体积为定值，故B对； 对于C选项，当时，， 则， ， 所以，当时，不存在点，使得，故C错； 对于D选项，当时，， 假设存在点P，使得平面PCD，因为平面PCD，则， ，则，可得，与题设条件不符， 假设不成立，故当时，不存在点P，使得平面PCD，故D错误. 故选：AB． 5．（多选）如图，是棱长为1正方体的表面上一个动点，为棱的中点，为侧面的中心.下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面所成角的余弦值为 C. 若点在各棱上，且到平面的距离为，则满足条件的点有9个 D. 若点在侧面内运动，且满足，则存在点，使得与所成角为 【答案】AC 【解析】 对A，如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则，所以，即， 所以平面，故A正确； 对B，设与平面所成的角为， 则，故B错误； 对C，因为正方体的棱长为1，所以正的边长为， 正方体的对角线， 设到平面的距离为，由， 则，则， 则到平面的距离为， 因为， 所以在以为顶点的棱上，满足条件的点共有3个， 又与平面所成角的正弦值为， 所以到平面的距离为， 因为，所以在棱上都存在满足条件的点， 同理在都存在满足条件的点， 而棱到平面最近的距离为，所以不存在满足条件的点， 所以满足条件的点共有9个，故C正确； 对D，设，则，又， 所以，即， 则点在侧面内，以为圆心，为半径的一段圆弧上运动， 而当点和或重合时与所成角为，故D错误. 故选：AC. 6．（多选）在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，经过点的正方体截面面积的取值范围为 【答案】BCD 【解析】对A，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以，， 则，，设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即平面的一个法向量为， 若平面，则，即， 由，则，即P为中点时，有平面，且，A错误； 对B，因为平面，连接，则即为与平面所成角， 若与平面所成角为，则，所以， 即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B正确； 对C，如图，将平面与平面沿展成平面图形， 线段即为的最小值，利用余弦定理可知，所以，故C正确； 对D，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时对应截面面积为， 设的中点为H，由图形的变化得，当点P在DH和运动时，所得截面对称相同， 于是当时，的面积取最小值，此时对应截面面积为， 所以截面面积的取值范围为，故D正确. 故选：BCD 7．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是 ． 【答案】 【解析】设直线与所成角为，设是中点，由已知得，如图，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，，，作于，翻折过程中，始终与垂直，，则，，因此可设，则，与平行的单位向量为， 所以＝，所以时，取最大值． 故答案为：． 8．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是______． 【答案】 【解析】如图，七面体为正方体截去三棱锥的图形， 由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时， 该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设球心， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 则球心到平面的距离为， 因为球与三个正方形面和等边三角形面相切， 所以，解得， 所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是. 故答案为： 9．如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. （1）求证：： （2）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）或. 【解析】（1）由矩形，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又面，于是， 而，，平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）取的中点，作，连接，由（1）知，平面， 而平面，则，又，，则，即两两垂直， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系， 假定在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，设， 则， ， 设平面法向量，则，令，得， 于是，整理得，解得或， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，此时或. 10.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直， . 分别是 的中点，点 在直线 上，且 . （1）证明： ； （2）当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值. （3）是否存在点，使得平面与平面 所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2），2；（3）存在， 【解析】（1）证明: 如图，以 原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 则 ， ，即 ， ， 所以无论 取何值， （2） 是平面的一个法向量. 当 时， 取得最大值， 此时 . （3）假设存在，则，因为， 设 是平面的一个法向量. 则 ，解得 ，令 ，得， ， , 化简得，解得， 存在点使得平面与平面所成的二面角正弦值为，此时点的位置在 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 利用空间向量研究立体几何中的轨迹、截面、动点、范围问题七种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、动点轨迹形状………………………………………………………………2 类型二、动点轨迹长度………………………………………………………………5 类型三、动点轨迹形成图形面积 10 类型四、范围与最值问题 12 类型五、截面问题 23 类型六、存在与探索问题 27 类型七、轨迹、截面、动点、范围与最值多选题综合 33 压轴能力测评（10题） 41 1.对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题； （2）解答方法：一般是根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （3）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （4）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 2.立体几何中的轨迹问题： （1）由动点保持平行性求轨迹. ①线面平行转化为面面平行得轨迹； ②平行时可利用法向量垂直关系求轨迹. （2）动点保持垂直求轨迹. ①可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹； ②利用空间坐标运算求轨迹； ③利用垂直关系转化为平行关系求轨迹. （3）由动点保持等距（或者定距）求轨迹. ①距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线的定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；②利用空间坐标计算求轨迹. （4）由动点保持等角（或定角）求轨迹. ①直线与面成定角，可能是圆锥侧面； ②直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面； ③利用空间坐标系计算求轨迹. （5）投影求轨迹. ①球的非正投影，可能是椭圆面；②多面体的投影，多为多边形. （6）翻折与动点求轨迹. ①翻折过程中寻求不变的垂直关系求轨迹；②翻折过程中寻求不变的长度关系求轨迹；③利用空间坐标运算求轨迹. 类型一、动点轨迹形状 例．已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ） A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 【变式训练1】如图，正四棱柱中，，点是面上的动点，若点到点的距离是点到直线的距离的2倍，则动点的轨迹是（ ）的一部分 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式训练2】（多选）如图，在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．当时，的值最小 B．当时， C．若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆 D．直线与平面所成角的正弦值是 类型二、动点轨迹长度 例．在棱长为5的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】（多选）已知在棱长为4的正方体中，点O为正方形的中心，点P在棱上，下列说法正确的有（ ） A. B. 当直线AP与平面所成角的正切值为时， C. 当时，点到平面的距离是 D. 当时，以O为球心，OP为半径的球面与侧面的交线长为 类型三、动点轨迹形成图形面积 例．如图所示空间直角坐标系中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线和底面所成角为，则P点轨迹形成图形的面积为__________ 【变式训练1】如图直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则P点轨迹形成图形的面积为__________    【变式训练2】在棱长为的正方体中，点分别为棱，的中点．已知动点在该正方体的表面上，且，则点轨迹形成图形的面积为__________ 类型四、范围与最值问题 例．（多选）如图，正方形ABCD的边长为2，和都与平面垂直，，点P在棱DE上，则下列说法正确的有（ ） A. 四面体外接球的表面积为 B. 四面体外接球的球心到直线AE的距离为 C. 当点P为DE的中点时，点到平面的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【变式训练1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别在棱，上． （1）当为棱中点时，求证：； （2）当为棱中点时，求平面与平面所成的二面角余弦值的最大值． 【变式训练2】（多选）正方体的棱长为1，点为底面正方形上一动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角的正弦值为 B. 若点为中点，点为中点，则直线和夹角的余弦值为 C. 若，则的最小值为 D. 若点在上，点在上，则的长度最小值为 【变式训练3】如图，在直三棱柱中，，，D为AC的中点.请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题： （1）求二面角所成角的正弦值； （2）点P是矩形（包含边界）内任一点，且，求CP与平面所成角正弦值的取值范围. 条件①：平面的面积为；条件②：；条件③：点到平面的距离为. 类型五、截面问题 例．(多选)如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得 C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为 D．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 【变式训练1】在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AC＝2AB＝2AD＝4，CD⊥AD，CB⊥AB，G为PC的中点，过AG的平面与棱PB、PD分别交于点E、F．若EF∥平面ABCD，则截面AEGF的面积为______． 【变式训练2】已知正方体的外接球表面积为，点E为棱的中点，且平面，点平面，则平面截正方体所得的截面图形的面积为（ ） A． B． C． D． 类型六、存在与探索问题 例．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）设. ①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. ②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 【变式训练1】已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求 （1）与所成角的余弦值； （2）与平面所成角的正弦值； （3）直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由. 【变式训练2】如图所示，在等腰梯形中，，，，E为CD中点，AE与BD相交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面）． (1)求证：平面平面PBC； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面所成角的正弦值为，若存在，求Q在线段PB上的位置；若不存在，说明理由． 类型七、轨迹、截面、动点、范围与最值多选题综合 例．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 平面平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 周长最小值为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【变式训练1】（多选）已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 若直线与平面所成角为，则点的轨迹是椭圆 C. 存在点，使得 D. 正方体的外接球被平面所截得的截面面积为 【变式训练2】（多选）在棱台中，底面分别是边长为4和2的正方形，侧面和侧面均为直角梯形，且平面，点为棱台表面上的一动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 二面角余弦值为 B. 棱台的体积为26 C. 若点在侧面内运动，则四棱锥体积的最小值为 D. 点的轨迹长度为 在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方形内部及其边界上运动，若平面，则长度的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D． 2．设A、B是半径为的球体O表面上的两定点，且，球体O表面上动点M满足，则点M的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 3．（多选）在长方体中，，，为棱上任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 长方体表面积的最大值为6 B. 长方体外接球表面积的最小值为 C. 到平面的距离的最大值为 D. 三棱锥体积的最大值为 4．（多选）在正方体中，动点满足，其中，，且，则（ ） A. 对于任意的，且，都有平面平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，存在点，使得 D. 当时，存在点，使得平面 5．（多选）如图，是棱长为1正方体的表面上一个动点，为棱的中点，为侧面的中心.下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面所成角的余弦值为 C. 若点在各棱上，且到平面的距离为，则满足条件的点有9个 D. 若点在侧面内运动，且满足，则存在点，使得与所成角为 6．（多选）在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，经过点的正方体截面面积的取值范围为 7．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是 ． 8．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是______． 9．如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. （1）求证：： （2）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 10.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直， . 分别是 的中点，点 在直线 上，且 . （1）证明： ； （2）当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值. （3）是否存在点，使得平面与平面 所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$