重难点13 《几何图形初步》十八大重难点题型-2024-2025学年七年级数学上册期末复习【重点·难点】专练（人教版2024）

重难点13《几何图形初步》十大重难点题型 ▲知识点1.线段、射线、直线 1、线段、射线、直线的表示方法、联系与区别 直线 射线 线段 图形 表示方法 1 用两个大写字母表示： 直线AB或（直线BA） 用它的端点和射线上的另一点来表示：射线OA 用表示端点的两个大写字母表示：线段 AB ( 或线段 BA ) 2 用一个小写字母表示： 直线m 用一个小写字母表 示： 射线d 用一个小写字母示： 线段 a 端点个数 0个 1个 2个 伸展性 向两个方向无限延伸 向一个方向无限延伸 不能延伸 度量 不可度量 不可度量 可度量 ▲知识点2. 两个基本事实和两点间的距离 1、线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短 . 2、两点之间的距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. 3、关于直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 简单说成两点确定一条直线. ▲知识点3. 线段的长度 1、线段比较的方法: 方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较； 方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较； 2、线段的中点： 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. ▲知识点4. 角度 概念和表示方法 1、角的概念：静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角. 动态定义：如图（1）角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. ①如图（2），当射线旋转到起始位置OA与终止位置OB在一条直线上时，形成平角； ②如图（3），继续旋转，OB与OA重合时，又形成周角； 2、角的表示方法： 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下四种： 记作：（1）∠AOB （2） ∠O （3）∠1 （4）∠α ▲知识点5. 角的比较及运算 1、角的比较有两种方法： 方法一：度量法，测量度数大的那个角就大，反之，度数小的那个角就小 . 方法二：叠合法：利用尺规作图把其中的一条边重合，通过观察另一条边的位置作比较 2、角的和、差 ∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和 ，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC； ∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC； 类似地，∠AOC－∠AOB= ∠AOC 3、角的平分线： 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. 因为 OC 是∠AOB 的平分线， 所以∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC. ▲知识点6. 余角和补角的概念及性质 余角的定义：如果两个角的和是一个直角,那么这两个角互为余角,简称互余, 性质：同角（等角）的余角相等. 补角的定义：如果两个角的和是一个平角,那么这两个角互为补角,简称互补, 性质：同角（等角）的补角相等. 【题型一 常见的几何体】 1．（2024秋•肃州区校级期中）下列物体的形状类似于圆柱的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•桑植县期末）下列几何体中，是棱锥的为（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•清流县期中）如图，下列几何体中，是棱柱的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•临海市期末）下列实物中，能抽象成圆柱体的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•岱岳区期末）下面的几何体中，属于棱柱的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型二 平面图形的识别】 1．（2023秋•江州区期末）下列图形属于平面图形的是（　　） A．长方体 B．球 C．圆柱 D．三角形 2．（2023秋•富县期末）下列图形中，属于平面图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•桥西区校级期中）下面的四个几何图形中，表示平面图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•二道区校级期中）下面几种图形中，平面图形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2023秋•麻阳县期末）下面几种几何图形中，属于平面图形的是（　　） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱． A．①②④ B．①②③ C．①②⑥ D．④⑤⑥ 【题型三 几何体的构成元素】 1．（2024•七里河区校级开学）下列说法中正确的是（　　） A．正方体和长方体是特殊的四棱柱，也是特殊的六面体 B．棱柱底面边数和侧面数不一定相等 C．棱柱的侧面可能是三角形 D．长方体是四棱柱，四棱柱是长方体 2．（2024•龙湖区校级一模）下列说法不正确的是（　　） A．长方体是四棱柱； B．八棱柱有16条棱； C．五棱柱有7个面； D．直棱柱的每个侧面都是长方形． 3．观察如图所示的八个几何体． （1）依次写出这八个几何体的名称： ①　 ；②　 　；③　 　；④　 　； ⑤　 　；⑥　 　；⑦　 　；⑧　　 ； （2）若几何体按是否包含曲面分类：（填序号即可） 不含曲面的有 　 　；含曲面的有 　 　． 4．如图是一个直七棱柱，它的底面边长都是2cm，侧棱长是5cm，观察这个棱柱，请回答下列问题： （1）这个七棱柱共有多少个面，它们分别是什么形状？哪些面的形状、面积完全相同？侧面的面积是多少？ （2）这个七棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？ （3）这个七棱柱一共有多少个顶点？ （4）通过对棱柱的观察，你能说出n棱柱的顶点数与n的关系及棱的条数与n的关系吗？ 5．（2023秋•衡山县期末）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有 　 　个面，　 　条棱，　 个顶点，n棱锥有 　 个面，　 　条棱，　 　个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫做多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 　 　． 【题型四 几何体的表面积】 1．已知一个直棱柱共有12条棱，它的底面边长都是3cm，侧棱长都是6cm，则它的侧面积是（　　）cm2． A．108 B．96 C．72 D．18 2．如图，有一个棱长是4cm的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1cm的正方体后，剩下物体的表面积和原来的表面积相比较（　　） A．变大了 B．变小了 C．没变 D．无法确定变化 3．已知一个直棱柱共有10个顶点，它的底面边长都是4cm，侧棱长都是5cm，则它的侧面积（　　）cm2． A．120 B．100 C．80 D．20 4．（2023秋•曲沃县期末）如图的零件是由两个正方体焊接而成，已知大正方体和小正方体的体积分125cm3和27cm3，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面积是（　　）cm2． A．161 B．186 C．195 D．204 5．（2023秋•苍南县期末）小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为22dm2，如图2三个盒子叠一起的表面积为42dm2，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（　　） A．56dm2 B．64dm2 C．68dm2 D．88dm2 【题型五 点动成线，线动成面，面动成体】 1．（2023秋•高碑店市期末）天空划过一道流星，这个过程可用哪个数学原理来解释（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都正确 2．（2024秋•礼泉县期中）中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．在舞枪的过程中，枪尖在空中移动形成的轨迹是一条线；而舞棍的过程中，棍棒在空中移动形成的轨迹是一个面，从数学的角度解释为（　　） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 3．（2024秋•景洪市期中）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 4．（2024•陕西）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 5．下列平面图形中，绕轴旋转一周，能得到如图所示的几何体的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，该图形旋转一周后形成的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【题型六 正方体的展开图】 1．（2024•从江县校级二模）下列图形中不能作为正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•阳江期末）下列图形中不是正方体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•江阴市期末）下列平面图形不能够围成正方体的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•交口县期末）一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，与汉字“建”相对的面上的汉字是（　　） A．文 B．口 C．明 D．交 5．（2023秋•榆阳区期末）如图是一个正方体的展开图，每个面上都标有一个有理数，且相对面上的两个有理数互为相反数，则x+y﹣z的值为（　　） A．﹣10 B．1 C．0 D．10 6．（2024秋•滕州市校级期中）如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对两个面上的数互为相反数，则a﹣b﹣c的值为（　　） A．8 B．0 C．﹣2 D．﹣4 【题型七 其它几何体的展开图】 1．下列图形中，是圆柱展开图的是（　　） A． B． C． D． 2．下面四个图形是多面体的展开图，其中不是棱柱的展开图的是（　　） A． B． C． D． 3．下列图形中是圆锥展开图的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•宣汉县校级期末）如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为（　　） A．圆锥、正方体、三棱柱、圆柱 B．圆柱、正方体、圆锥、三棱柱 C．圆锥、正方体、圆柱、三棱柱 D．圆柱、圆锥、正方体、圆锥 5．（2024•鼓楼区一模）下列图形是三棱柱展开图的（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•铁西区期末）下列图形中，不是三棱柱展开图的是（　　） A． B． C． D． 【题型八 由展开图判断立体图形形状】 1．（2024•朝阳区二模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体 2．（2024•扬州）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（　　） A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体 3．（2024秋•秦淮区期中）能将图（1），（2），（3）中的纸片沿虚线折叠成三棱锥的是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 4．（2024•灞桥区校级模拟）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•松原模拟）下列图形中，能折叠成正方体的是（　　） A． B． C． D． 【题型九 直线、射线、线段的表示方法】 1．（2023秋•杜尔伯特县期末）下列说法错误的是（　　） A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线AB和射线BA表示不同射线 D．射线比直线短 2．（2023秋•合肥期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．如图1，延长线段AB到点C B．如图2，点B在射线CA上 C．如图3，直线AB的延长线与直线CD的延长线相交于点P D．如图4，射线CD和线段AB没有交点 3．（2023秋•襄城县期末）如图，小轩同学根据图形写出了四个结论： ①图中共有2条直线； ②图中共有7条射线； ③图中共有6条线段； ④图中射线BD与射线CD是同一条射线． 其中结论错误的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 4．（2023秋•北京月考）如图中，有 　 　条直线，　 　条射线，　 　条线段． 5．（2023秋•昌黎县期中）如图，能用字母表示的直线有　 　条；能用字母表示的线段有　 　条；在直线EF上的射线有　 　条． 【题型十 直线、线段的基本事实的应用】 1．（2024•长沙一模）值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点的距离最短 D．以上说法都不对 2．（2023秋•海港区期中）书法艺术是中华民族的瑰宝，作为艺术品，经常被人们挂起来欣赏．我们在挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，这里面包含的数学事实是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 3．（2023秋•长春期末）如图是学校花圃的一角，小明同学认为走AB比走折线A﹣C﹣B更近，他的数学依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点之间直线最短 4．（2023秋•霍林郭勒市期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 5．（2024秋•朝阳区期末）有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上； ④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 　 　．（只填序号） 【题型十一 线段长度的计算】 1．（2023秋•东丰县期末）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得AB＝5cm，BC＝3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是（　　） A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm 2．（2023秋•陵水县期末）已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　） A．3cm B．5cm C．3cm或7cm D．5cm或7cm 3．（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，点C在线段AB上，点M是AC的中点，AB＝19，BC＝13． （1）求线段AM的长； （2）在线段BC上取一点N，使得CN：NB＝6：7，求线段MN的长． 4．（2024秋•桥西区校级期中）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的 　 　，AM＝MB＝ 　 AB． 拓展延伸 （2）如图2，线段AC上依次有D，B，E三点，，E是BC的中点，． ①求线段AB的长； ②求线段DE的长． 5．（2023秋•广平县校级期中）直线l上的三个点A，B，C，若满足BCAB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BCAB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2，若M，N，P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm． （1）①当点P在点N的左侧时，求MP的长度； ②当点P在点N的右侧时，求MP的长度； （2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度． 【题型十二 角的概念及表示方法】 1．（2024春•淄川区期末）下列图中的∠1也可以用∠O表示的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•晋源区月考）下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023春•莱西市期中）如图，B，D，C三点在直线l上，点A在直线l外，下列说法正确的是（　　） A．直线BD和直线CD表示的是同一条直线 B．射线BD和射线CD表示的是同一条射线 C．∠A和∠BAD表示的是同一个角 D．∠1和∠B表示的是同一个角 4．（2023秋•泗县期末）如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•北京月考）如图所示，能用一个字母表示的角有 　 个，图中所有小于平角的角 有 　 　个． 【题型十三 角的度量及角度的运算】 1．（2024秋•裕华区校级期中）将23°6'36″化为度是 　 　． 2．下列换算中，错误的是（　　） A．0.25°＝900″ B．16°5′24″＝16.09° C．47.28°＝47°16′48″ D．80.5°＝80°50′ 3．（2023秋•信阳期末）如图，将一个三角板30°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝22°25′，则∠2的大小为（　　） A．7°35′ B．22°25′ C．67°35′ D．82°25′ 4．（2023秋•新华区校级期末）把40°10'12″化为用度表示，下列正确的是（　　） A．40.11° B．40.16° C．40.17° D．40.26° 5．计算．（1）56°18'+61°35' （2）19°26'﹣7°33' （3）78°14'+25°46' （4）108°11'5'﹣22°38'26″ 【题型十四 钟表中的角度问题】 1．（2024春•泰山区期中）如图，1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的度数是（　　） A．120° B．125° C．135° D．150° 2．（2023秋•西山区期末）从下午13：00到当天下午13：30，时钟的分针转过的角度度数是（　　） A．90° B．120° C．180° D．150° 3．（2023秋•乌鲁木齐期末）钟表上的分针和时针经过40分钟，分针和时针旋转的角度分别是（　　） A．40°和20° B．240°和20° C．240°和40° D．40°和40° 4．（2023秋•三明期末）时钟表面2点30分钟时，时针与分针所成的夹角是 　 　度． 5．（2023秋•滕州市校级期末）在时刻10：18，时钟上时针与分针的夹角为（　　） A．105° B．155° C．159° D．157° 【题型十五 角度的计算】 1．（2023秋•宽城区期末）如图，点A、O、B在同一条直线上，OC平分∠DOB．若∠AOE＝35°，∠DOC＝65°，则∠DOE的大小是（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 2．（2023秋•唐县期末）已知∠AOB＝30°，OD平分∠AOB，∠BOC＝50°，则∠DOC的度数为（　　） A．20° B．35° C．20°或80° D．35°或65° 3．（2023秋•微山县期末）如图，长方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，连接DF，EF．将∠C沿DF 折叠，点C落在点G处；将∠B沿EF折叠，点B恰好落在FG的延长线上点H处．若∠BFE＝19°59'，则∠CFD的度数是（　　） A．70°1' B．70°41' C．71°1' D．71°41' 4．（2023秋•未央区校级期末）如图，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，∠AOB：∠BOC＝3：2，若∠BOE＝13°，求∠DOE的度数． 5．（2023秋•公主岭市期末）如图，∠AOB＝90°，OC在∠AOB的内部，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线． （1）当∠BOC＝30°时，∠DOE＝　 　； （2）当∠BOC为任意锐角时，（1）中∠DOE的度数是否发生变化？请说明理由． 【题型十六 余角和补角】 1．小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（　　） A．∠COA＝∠DOB B．∠COA与∠DOA互余 C．∠AOD＝∠B D．∠AOD与∠COB互补 2．（2023秋•黄岩区期末）如果∠α和2∠β互补，且∠α＜2∠β，给出下列四个式子：①90°﹣∠α；②2∠β﹣90°；③；④．其中可以表示∠α余角的式子有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2024春•临清市校级月考）（1）如果一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数． （2）一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数． 4．（2023秋•赤坎区校级期末）如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线． （1）射线OC的方向是 　 　； （2）求∠COD的度数； （3）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数． 5．（2023秋•上蔡县期末）如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOB，在直线AB另一侧以O为顶点作∠DOE＝90°． （1）若∠AOE＝46°，那么∠BOD＝　　 ；∠AOE与∠DOB的关系是 　； （2）∠AOE与∠COD有什么数量关系？请写出你的结论并说明理由． 【题型十七 线段动点的探究问题】 1．（2023秋•兴隆县期末）应用题：如图，已知线段AB＝12cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点． （1）若AC＝4，求DE的长； （2）若C为AB的中点，则AD与AB的数量关系是 　 　； （3）试着说明，不论点C在线段AB上如何运动，只要不与点A和B重合，那么DE的长不变． 2．（2023秋•新抚区期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动． （1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s． ①若2cm＜AP＜14cm，当动点C，D运动了2s时，求AC+PD的值； ②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP：PB； （2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度． 3．（2023秋•驻马店期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． （1）如图1，当AC＝4时，求DE的长． （2）如图2，F为AD的中点： ①点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由，若不会，请求出EF的长． ②当CF＝0.8时，请直接写出线段DE的长． 【题型十八 动角的探究问题】 1．（2023秋•普宁市期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图①，若∠AOC＝30°，求∠COE，∠DOB的度数． （2）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，探究∠AOC与∠DOE的度数之间的数量关系，并说明理由． 2．（2023秋•南京期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝37°． （1）求∠EOB的度数． （2）若射线OF、OD分别绕着点O按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF每分钟转动6°，射线OD每分钟转动0.5°，多少分钟后，射线OF与射线OD第一次重合． （3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若∠FOD＝33°，则两射线同时出发 　 　分钟． 3．（2024秋•裕华区校级期中）如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠COD绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°） （1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，求∠MON； （2）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转；n°（0＜n＜60），则∠MOC＝ 　 　，∠NOD＝ 　 　．（用n的代数式表示） （3）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），则∠MON＝ 　 　． 1．（2023秋•霸州市期末）如图，一个正方体模块，上面留有一个圆柱形孔洞，不可能堵上这个孔洞的几何体是（　　） A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 2．（2023秋•锦江区期末）由6个完全相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则从上面看到的形状是（　　） A． B． C． D． 3．（2023春•莱芜区校级期末）下列说法中，正确的是（　　） A．两条不相交的直线叫做平行线 B．一条直线的平行线有且只有一条 C．在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥c D．若两条线段不相交，则它们互相平行 4．（2023秋•管城区月考）下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则∠1与∠3的关系（　　） A．互余 B．互补 C．相等 D．∠1＝180°+∠3 6．（2024秋•合肥期末）如图，已知AB＝24cm，CD＝10cm，E，F分别为AC，BD的中点，则EF长为（　　）cm． A．7 B．14 C．17 D．34 7．（2023秋•天长市期中）如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOE，∠DOE＝90°，则以下结论：①∠AOD与∠BOE互为余角；②；③∠BOE＝2∠COD；④若∠BOE＝56°，则∠COE＝62°．其中正确的是（　　） A．只有①④ B．只有③④ C．只有①③④ D．①②③④ 8．（2023秋•仪征市期末）小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么∠AOB 　 　∠COD（填“＞”、“＜”或“＝”）． 9．（2024秋•迁安市期中）每天上午9点30分“阳光大课间”都会如约而至，此时时针与分针所夹的角为　 °． 10．（2023秋•凉州区期末）某复兴号列车在哈尔滨和北京之间运行，途中要停靠于3个站点，如果任意两站之间的票价都不同，那么有 　 　种不同的票价，应发行 　 　种不同的车票． 11．计算： （1）180°﹣（25°18′+65°56'）； （2）（31°40′﹣25°4′30″）×3+283°×2． 12．（2023秋•随县期末）如图，点C为线段AB上一点，AC＝12cm，，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长． 13．（2023秋•金寨县期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2． （1）求∠AOC的度数； （2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数． 14．（2023秋•西安区期末）已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图①，∠AOC＝45°，求∠DOE的度数； （2）在图①，∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数；（用含α的代数式表示） （3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系． 15．（2023秋•昌平区期末）已知点C为线段AB上一动点，点D，E分别是线段AC和BC的中点． （1）若线段AB＝10cm，点C恰好是AB的中点，则线段DE＝　 　cm； （2）如图，若线段AB＝10cm，AC＝4cm，求线段DE的长； （3）若线段AB的长为a，则线段DE的长为 　a　（用含a的代数式表示）． 16．（2023秋•柳州期末）【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线． 【知识运用】 （1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝　 　°； （2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②当射线OC、OD相遇后，射线OC、OD中恰好有一条射线是另一条射线的友好线，求此时t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点13《几何图形初步》十大重难点题型 ▲知识点1.线段、射线、直线 1、线段、射线、直线的表示方法、联系与区别 直线 射线 线段 图形 表示方法 1 用两个大写字母表示： 直线AB或（直线BA） 用它的端点和射线上的另一点来表示：射线OA 用表示端点的两个大写字母表示：线段 AB ( 或线段 BA ) 2 用一个小写字母表示： 直线m 用一个小写字母表 示： 射线d 用一个小写字母示： 线段 a 端点个数 0个 1个 2个 伸展性 向两个方向无限延伸 向一个方向无限延伸 不能延伸 度量 不可度量 不可度量 可度量 ▲知识点2. 两个基本事实和两点间的距离 1、线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短 . 2、两点之间的距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. 3、关于直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 简单说成两点确定一条直线. ▲知识点3. 线段的长度 1、线段比较的方法: 方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较； 方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较； 2、线段的中点： 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. ▲知识点4. 角度 概念和表示方法 1、角的概念：静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角. 动态定义：如图（1）角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. ①如图（2），当射线旋转到起始位置OA与终止位置OB在一条直线上时，形成平角； ②如图（3），继续旋转，OB与OA重合时，又形成周角； 2、角的表示方法： 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下四种： 记作：（1）∠AOB （2） ∠O （3）∠1 （4）∠α ▲知识点5. 角的比较及运算 1、角的比较有两种方法： 方法一：度量法，测量度数大的那个角就大，反之，度数小的那个角就小 . 方法二：叠合法：利用尺规作图把其中的一条边重合，通过观察另一条边的位置作比较 2、角的和、差 ∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和 ，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC； ∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC； 类似地，∠AOC－∠AOB= ∠AOC 3、角的平分线： 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. 因为 OC 是∠AOB 的平分线， 所以∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC. ▲知识点6. 余角和补角的概念及性质 余角的定义：如果两个角的和是一个直角,那么这两个角互为余角,简称互余, 性质：同角（等角）的余角相等. 补角的定义：如果两个角的和是一个平角,那么这两个角互为补角,简称互补, 性质：同角（等角）的补角相等. 【题型一 常见的几何体】 1．（2024秋•肃州区校级期中）下列物体的形状类似于圆柱的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆柱、圆锥、球体、正方体的主要特点判断即可； 【解答】解：A是正方体，B是球体，C是圆柱体，D是圆锥体， 故选：C． 【点评】此题主要考查几何体的识别，解题的关键是熟知圆柱体的特点． 2．（2023秋•桑植县期末）下列几何体中，是棱锥的为（　　） A． B． C． D． 【分析】棱锥是有棱的锥体，侧面是三角形组成的，根据四个选项中的几何体可得答案． 【解答】解：A、此几何体是正方体或四棱柱，故此选项错误； B、此几何体是圆锥，故此选项错误； C、此几何体是六棱柱，故此选项错误； D、此几何体是五棱锥，故此选项正确； 故选：D． 【点评】此题主要考查了立体图形，解题的关键是认识常见的立体图形． 3．（2024秋•清流县期中）如图，下列几何体中，是棱柱的是（　　） A． B． C． D． 【分析】上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱；圆柱是由两个大小相等、相互平行的圆形（底面）以及连接两个底面的一个曲面（侧面）围成的几何体；一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体叫做球体；以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．根据各几何体的定义分析判断即可． 【解答】解：A、是圆柱，不是棱柱，不符合题意； B、是棱柱，符合题意； C、是球体，不是棱柱，不符合题意； D、是圆锥，不是棱柱，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了简单几何体的识别，理解并掌握简单几何体的特征是解题关键． 4．（2023秋•临海市期末）下列实物中，能抽象成圆柱体的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据常见几何体的特征逐项判断即可． 【解答】解：A，抽象出来是六棱柱，不合题意； B，抽象出来是球，不合题意； C，抽象出来是圆柱，符合题意； D，抽象出来是圆锥，不合题意． 故选：C． 【点评】本题考查圆柱体的识别，掌握常见几何体的特征是关键． 5．（2023秋•岱岳区期末）下面的几何体中，属于棱柱的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，可得答案． 【解答】解：从左到右依次是长方体，圆柱，棱柱，棱锥，圆锥，棱柱． 故选：C． 【点评】本题考查了认识立体图形，有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱． 【题型二 平面图形的识别】 1．（2023秋•江州区期末）下列图形属于平面图形的是（　　） A．长方体 B．球 C．圆柱 D．三角形 【分析】根据平面图形的概念逐个选项分析判断即可． 【解答】解：A、长方体是立体图形，不是平面图形，此选项不符合题意； B、球是立体图形，不是平面图形，此选项不符合题意； C、圆柱是立体图形，不是平面图形，此选项不符合题意； D、三角形是平面图形，此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了平面图形，解题的关键是掌握平面图形的定义． 2．（2023秋•富县期末）下列图形中，属于平面图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】应用平面图形和立体图形的特征进行判定即可得出答案． 【解答】解：A．三棱锥，是立体图形，不符合题意； B．圆柱，是立体图形，不符合题意； C．圆形，是平面图形，符合题意； D．六棱柱，是立体图形，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了认识平面图形及认识立体图形，熟练掌握平面图形及立体图形的特征进行求解是解决本题的关键． 3．（2024秋•桥西区校级期中）下面的四个几何图形中，表示平面图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】几何体和平面图形的甄别． 【解答】解：A． 是几何体，不符合题意； B． 是几何体，不符合题意； C． 是几何体，不符合题意； D． 是平面图形，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了几何体和平面图形，熟练掌握几何体是解题的关键． 4．（2024秋•二道区校级期中）下面几种图形中，平面图形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据立体图形和平面图形的定义判断即可． 【解答】解：三角形、正方形是平面图形，正方体和球是立体图形，因此平面图形有2个，故B正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了生活中的几何图形，解题的关键是熟练掌握立体图形和平面图形的定义 5．（2023秋•麻阳县期末）下面几种几何图形中，属于平面图形的是（　　） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱． A．①②④ B．①②③ C．①②⑥ D．④⑤⑥ 【分析】根据立体图形和平面图形定义分别进行判断． 【解答】解：①三角形；②长方形；④圆，它们的各部分都在同一个平面内，属于平面图形； ③正方体；⑤四棱锥；⑥圆柱属于立体图形． 故选：A． 【点评】本题考查了认识平面图形．有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 【题型三 几何体的构成元素】 1．（2024•七里河区校级开学）下列说法中正确的是（　　） A．正方体和长方体是特殊的四棱柱，也是特殊的六面体 B．棱柱底面边数和侧面数不一定相等 C．棱柱的侧面可能是三角形 D．长方体是四棱柱，四棱柱是长方体 【分析】根据生活中常见的立体图形的特征分别判断各个选项中的说法是否正确即可． 【解答】解：A．∵正方体和长方体是特殊的四棱柱，共有六个面，∴也是特殊的六面体，故此选项的说法正确，故此选项符合题意； B．∵棱柱底面边数和侧面数相等，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； C．棱柱的侧面是平行四边形，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； D．∵长方体是四棱柱，但四棱柱不一定是长方体，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了立体图形的认识，解题关键是熟练掌握棱柱的相关知识． 2．（2024•龙湖区校级一模）下列说法不正确的是（　　） A．长方体是四棱柱； B．八棱柱有16条棱； C．五棱柱有7个面； D．直棱柱的每个侧面都是长方形． 【分析】根据棱柱的特点可得答案． 【解答】解：A、长方体是四棱柱，选项说法正确，不符合题意； B、八棱柱有8×3=24条棱，选项说法错误，符合题意； C、五棱柱有7个面，选项说法正确，不符合题意； D、直棱柱的每个侧面都是长方形，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了认识立体图形，关键是认识常见的立体图形，掌握棱柱的特点． 3．观察如图所示的八个几何体． （1）依次写出这八个几何体的名称： ①　 ；②　 　；③　 　；④　 　； ⑤　 　；⑥　 　；⑦　 　；⑧　　 ； （2）若几何体按是否包含曲面分类：（填序号即可） 不含曲面的有 　 　；含曲面的有 　 　． 【分析】（1）根据几何体的特点回答即可； （2）根据平面和曲面的区别回答即可． 【解答】解：（1）①圆柱；②圆锥；③长方体；④正方体；⑤四棱柱、⑥五棱柱、⑦球体；⑧三棱柱； 故答案为：圆柱；圆锥；长方体；正方体；四棱柱、五棱柱、球体；三棱柱． （2）不含曲面的有：③④⑤⑥⑧；含曲面的有：①②⑦； 故答案为：③④⑤⑥⑧；①②⑦． 【点评】本题主要考查的是认识立体图形，掌握常见几何体的特点是解题的关键． 4．如图是一个直七棱柱，它的底面边长都是2cm，侧棱长是5cm，观察这个棱柱，请回答下列问题： （1）这个七棱柱共有多少个面，它们分别是什么形状？哪些面的形状、面积完全相同？侧面的面积是多少？ （2）这个七棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？ （3）这个七棱柱一共有多少个顶点？ （4）通过对棱柱的观察，你能说出n棱柱的顶点数与n的关系及棱的条数与n的关系吗？ 【分析】（1）（2）（3）利用直七棱柱的性质进行解答即可； （4）观察上面题目得到的规律，总结出来即可． 【解答】解：（1）这个七棱柱共有9个面，上下两个底面是七边形，侧面是长方形，上、下两个底面的形状相同，面积相等，七个侧面的形状相同，面积相等．侧面积为2×5×7＝70cm2； （2）七棱柱一共有21条棱，它们的侧棱长为5cm，其余棱长为2cm； （3）七棱柱一共有14个顶点； （4）通过观察棱柱可知，n棱柱共有2n个顶点，3n条棱． 【点评】此题考查了认识立体图形，解题的关键是了解这些图形的性质． 5．（2023秋•衡山县期末）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有 　 　个面，　 　条棱，　 个顶点，n棱锥有 　 个面，　 　条棱，　 　个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫做多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 　 　． 【分析】（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为V+F﹣E＝2． 【解答】解：（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点，n棱锥有（n+1）个面，2n条棱，（n+1）个顶点； 故答案为：（n+2），3n，2n，n，（n+1），2n，（n+1）； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数， 如图： 根据上表总结出这个关系为V+F﹣E＝2． 故答案为：V+F﹣E＝2． 【点评】本题考查几何体的认识；能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键． 【题型四 几何体的表面积】 1．已知一个直棱柱共有12条棱，它的底面边长都是3cm，侧棱长都是6cm，则它的侧面积是（　　）cm2． A．108 B．96 C．72 D．18 【分析】根据棱柱的形体特征判断这个直棱柱是直四棱柱，再根据棱柱侧面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：∵这个直棱柱共有12条棱， ∴这个直棱柱是4棱柱， ∵它的底面边长都是3cm，侧棱长都是6cm， ∴这个四棱柱的底面边长为3cm，高为6cm， ∴它的侧面积是3×4×6＝72（cm2）， 故选：C． 【点评】本题考查认识立体图形，几何体的表面积，掌握棱柱的形体特征以及四棱柱侧面积的计算方法是正确解答的关键． 2．如图，有一个棱长是4cm的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1cm的正方体后，剩下物体的表面积和原来的表面积相比较（　　） A．变大了 B．变小了 C．没变 D．无法确定变化 【分析】观察图发现：挖去小正方体后，减少了三个面，又增加了三个面，剩下物体的表面积和原来的表面积相等． 【解答】解：挖去小正方体后，剩下物体的表面积与原来的表面积相比较没变化， 故选：C． 【点评】本题考查了几何体的表面积，挖正方体的相对面的面积是相等的． 3．已知一个直棱柱共有10个顶点，它的底面边长都是4cm，侧棱长都是5cm，则它的侧面积（　　）cm2． A．120 B．100 C．80 D．20 【分析】根据题意，判断这个直棱柱是五棱柱，利用直棱柱侧面积公式即可解答． 【解答】解：根据题意可知，一个直棱柱共有10个顶点， ∴这个直棱柱是五棱柱， ∴它的侧面积是4×5×5＝100（cm2）． 故选：B． 【点评】本题考查了几何体的表面积，认识立体图形，掌握几何体的空间结构是关键． 4．（2023秋•曲沃县期末）如图的零件是由两个正方体焊接而成，已知大正方体和小正方体的体积分125cm3和27cm3，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面积是（　　）cm2． A．161 B．186 C．195 D．204 【分析】先求出大正方体和小正方体的棱长，再求出零件的表面积即可求解． 【解答】解：∵大正方体的体积为125cm3，小正方体的体积为27cm3， ∴大正方体的棱长为5cm，小正方体的棱长为3cm， ∴大正方体的每个表面的面积为25cm2，小正方体的每个表面的面积为9cm2， ∴这个零件的表面积为：25×6+9×4＝186（cm2）， 答：要给这个零件的表面刷上油漆，则所需刷油漆的面积为186cm2． 故选：B． 【点评】本题考查了几何体的表面积，解题的关键是根据正方体的体积正确确定正方体的棱长． 5．（2023秋•苍南县期末）小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为22dm2，如图2三个盒子叠一起的表面积为42dm2，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（　　） A．56dm2 B．64dm2 C．68dm2 D．88dm2 【分析】根据图1和图2的表面积，可得出关于a，b，c的两个等式，再用a，b，c表示出图3的表面积，利用整体思想即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为图1的表面积为22dm2， 所以2a+2b+2c＝22（dm2）， 则a+b+c＝11（dm2）①． 因为图2的表面积为42dm2， 所以6a+2b+6c＝42（dm2）， 则3a+b+3c＝21（dm2）②． 由①②得， a+c＝5（dm2），b＝6（dm2）． 又因为图3的表面积可表示为4a+8b+4c， 则4a+8b+4c＝4（a+c）+8b＝4×5+8×6＝68（dm2）． 故选：C． 【点评】本题考查几何体的表面积，能用a，b，c表示出三个图中几何体的表面积及巧用整体思想是解题的关键． 【题型五 点动成线，线动成面，面动成体】 1．（2023秋•高碑店市期末）天空划过一道流星，这个过程可用哪个数学原理来解释（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都正确 【分析】把流星看作是一个点，根据点动成线可得出答案． 【解答】解：把流星看作是一个点， 则天空划过一道流星是点动成线． 故选：A． 【点评】此题主要考查了点动成线，把流星看作是一个点，理解点动成线是解决问题的关键． 2．（2024秋•礼泉县期中）中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．在舞枪的过程中，枪尖在空中移动形成的轨迹是一条线；而舞棍的过程中，棍棒在空中移动形成的轨迹是一个面，从数学的角度解释为（　　） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 【分析】根据点、线、面、体之间的关系，即可解答． 【解答】解：中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．在舞枪的过程中，枪尖在空中移动形成的轨迹是一条线；而舞棍的过程中，棍棒在空中移动形成的轨迹是一个面，从数学的角度解释为点动成线，线动成面， 故选：A． 【点评】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握点、线、面、体之间的关系是解题的关键． 3．（2024秋•景洪市期中）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【分析】根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案． 【解答】解：∵线动成线， 故选：B． 【点评】本题考查了线、面的关系，熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 4．（2024•陕西）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据面动成体，图形绕直线旋转是球． 【解答】解：如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是球． 故选：C． 【点评】此题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是得到所求的平面图形是得到几何体的主视图的被纵向分成的一半． 5．下列平面图形中，绕轴旋转一周，能得到如图所示的几何体的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据面对成体的原理及日常生活中的常识解题即可． 【解答】解：A、旋转一周是圆锥，故错误，不符合题意； B、旋转一周是球体，故错误，不符合题意； C、旋转一周是圆柱体，故错误，不符合题意； D、旋转一周是本题图形，故正确，不符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查了认识平面图形与点、线、面、体，掌握图形的特点是关键． 6．如图，该图形旋转一周后形成的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“面动成体”得出旋转后所得的几何体即可． 【解答】解：该图形旋转一周后可得到上下两个圆锥，以及中间一个圆柱，那么组合体应是圆锥和圆柱的组合体． 故选：D． 【点评】此题主要考查了点、线、面、体，利用直角三角形绕直角边旋转一周后可得到一个圆锥，矩形绕一边旋转一周后可得到一个圆柱是解题关键． 【题型六 正方体的展开图】 1．（2024•从江县校级二模）下列图形中不能作为正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方体的展开图的11种不同情况进行判断即可． 【解答】解：正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种， 因此选项A符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查正方体的展开图，理解和掌握正方体的展开图的11种不同情况，是正确判断的前提． 2．（2023秋•阳江期末）下列图形中不是正方体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方体的展开图作出判断即可． 【解答】解：由题意知，不能拼成正方体， 故选：D． 【点评】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键． 3．（2023秋•江阴市期末）下列平面图形不能够围成正方体的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据常见的正方体展开图的11种形式以及不能围成正方体的展开图解答即可． 【解答】解：根据常见的不能围成正方体的展开图的形式是“一线不过四，田、凹应弃之”， 只有B选项不能围成正方体． 故选：B． 【点评】本题考查了正方体展开图，熟记展开图常见的11种形式与不能围成正方体的常见形式“一线不过四，田凹应弃之”是解题的关键． 4．（2023秋•交口县期末）一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，与汉字“建”相对的面上的汉字是（　　） A．文 B．口 C．明 D．交 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，即可解答． 【解答】解：由题意得：设与明是相对面，文与交是相对面， ∴与汉字“建”相对的面上的汉字是口， 故选：B． 【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 5．（2023秋•榆阳区期末）如图是一个正方体的展开图，每个面上都标有一个有理数，且相对面上的两个有理数互为相反数，则x+y﹣z的值为（　　） A．﹣10 B．1 C．0 D．10 【分析】先得出每个相对面，再由相对面上的两个数互为相反数可得出x，y，z的值，再代入计算即可求解． 【解答】解：“x”与“3”相对，“y”与“2”相对，“z”与“﹣5”相对， ∵相对面上的两个数互为相反数， ∴x＝﹣3，y＝﹣2，z＝5， ∴x+y﹣z ＝﹣3﹣2﹣5 ＝﹣10． 故选：A． 【点评】本题考查了正方体相对面上的文字，属于基础题，注意培养自己的空间想象能力． 6．（2024秋•滕州市校级期中）如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对两个面上的数互为相反数，则a﹣b﹣c的值为（　　） A．8 B．0 C．﹣2 D．﹣4 【分析】根据题意，先找出展开图的相对面，然后由相反数的定义求出a、b、c的值，再进行计算即可． 【解答】解：∵正方体相对两个面上的数互为相反数，a与﹣2是相对面，1+b与1是相对面，c+1与3是相对面， ∴a﹣2＝0，1+1+b＝0，3+c+1＝0， 解得a＝2，b＝﹣2，c＝﹣4， ∴a﹣b﹣c＝2+2+4＝8； 故选：A． 【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的平面展开图找相对面是解题的关键． 【题型七 其它几何体的展开图】 1．下列图形中，是圆柱展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆柱展开图的特点进行判断即可． 【解答】解：圆柱的展开图由两个底面圆和一个侧面矩形组成，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了几何体展开图，解题的关键是掌握圆柱的展开图． 2．下面四个图形是多面体的展开图，其中不是棱柱的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【解答】解：A、6个正方形能围成一个正方体，所以，这是正方体的展开图；故本选项错误； B、6个长方形可以围成长方体．所以，这是长方体的展开图；故本选项错误； C、三个长方形和两个三角形能围成一个三棱柱，所以，这是三棱柱的展开图；故本选项错误． D、一个四边形和四个三角形能围成四棱锥，所以，这是四棱锥的展开图；故本选项正确； 故选：D． 【点评】本题主要考查几何体展开图的知识点，熟记常见立体图形的平面展开图是解决此类问题的关键． 3．下列图形中是圆锥展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由圆锥的展开图特点：侧面是扇形，底面是个圆． 【解答】解：A．圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故本选项符合题意； B．该图形是三棱柱的展开图，故本选项不符合题意； C．该图形是圆柱的展开图，故本选项不符合题意； D．该图形是正方体的展开图，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了几何体的展开图，熟悉圆锥的展开图特点，是解答此题的关键． 4．（2023秋•宣汉县校级期末）如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为（　　） A．圆锥、正方体、三棱柱、圆柱 B．圆柱、正方体、圆锥、三棱柱 C．圆锥、正方体、圆柱、三棱柱 D．圆柱、圆锥、正方体、圆锥 【分析】根据几何体的展开图解答即可． 【解答】解：根据几何体的展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：圆锥、正方体、三棱柱、圆柱． 故选：A． 【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握几何体的展开图是解题的关键． 5．（2024•鼓楼区一模）下列图形是三棱柱展开图的（　　） A． B． C． D． 【分析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题． 【解答】解：三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个矩形． 故选：B． 【点评】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形． 6．（2023秋•铁西区期末）下列图形中，不是三棱柱展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题． 【解答】解：A、B、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图； D围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有，故D不能围成三棱柱． 故选：D． 【点评】本题考查了几何体的展开图，棱柱表面展开图中，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧． 【题型八 由展开图判断立体图形形状】 1．（2024•朝阳区二模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体 【分析】侧面为长方形，底面为2个圆形，故原几何体为圆柱． 【解答】解：观察图形可知，该几何体是圆柱． 故选：A． 【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记圆柱的展开图的形状是解题的关键． 2．（2024•扬州）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（　　） A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体 【分析】利用三棱柱的展开图的通知解答即可． 【解答】解：由几何体的表面展开后得到的平面图形可知：侧面为三个相同的长方形，上下底面为全等的三角形，符合三棱柱的特征，所以该几何体是三棱柱． 故选：C． 【点评】本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握三棱柱的展开图的特征是解题的关键． 3．（2024秋•秦淮区期中）能将图（1），（2），（3）中的纸片沿虚线折叠成三棱锥的是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【分析】根据三棱锥的特征，即可解答． 【解答】解：如图，上面每一组图形都由四个等边三角形组成，其中可以折叠成三棱锥的是图（1）（3）， 故选：B． 【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，熟练掌握三棱锥的特征是解题的关键． 4．（2024•灞桥区校级模拟）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（　　） A． B． C． D． 【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱． 【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱． 故选：B． 【点评】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解． 5．（2024•松原模拟）下列图形中，能折叠成正方体的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【解答】解：A．折叠后有一行两个面无法折起来，缺少一个面，故本选项不合题意； B．折叠后是三棱柱，故本选项不合题意； C．折叠后能折叠成正方体，故本选项符合题意； D．折叠后有一行两个面无法折起来，而且都缺少一个面有两个面重合，不能折成正方体，故本选项不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查展开图折叠成几何体的知识，需记住正方体的展开图形式：一四一呈6种，一三二有3种，二二二与三三各1种，展开图共有11种． 【题型九 直线、射线、线段的表示方法】 1．（2023秋•杜尔伯特县期末）下列说法错误的是（　　） A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线AB和射线BA表示不同射线 D．射线比直线短 【分析】利用直线、射线、线段的定义判断． 【解答】解：直线AB和直线BA表示同一条直线，A选项正确； 过一点能作无数条直线，B选项正确； 射线AB和射线BA表示不同射线，C选项正确； 射线、直线都是无限长的，不能比较长短，D错误． 故选：D． 【点评】本题考查了直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义． 2．（2023秋•合肥期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．如图1，延长线段AB到点C B．如图2，点B在射线CA上 C．如图3，直线AB的延长线与直线CD的延长线相交于点P D．如图4，射线CD和线段AB没有交点 【分析】根据直线、射线和线段的性质逐项进行判定即可． 【解答】解：A．如图1，延长线段BA到点C，故该选项不正确，不符合题意； B．如图2，点B在直线CA上，故该选项不正确，不符合题意； C．如图3，直线AB与直线CD相交于点P，故该选项不正确，不符合题意； D．如图4，射线CD和线段AB没有交点，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了直线、射线和线段的性质，关键是直线、射线和线段性质定理的应用． 3．（2023秋•襄城县期末）如图，小轩同学根据图形写出了四个结论： ①图中共有2条直线； ②图中共有7条射线； ③图中共有6条线段； ④图中射线BD与射线CD是同一条射线． 其中结论错误的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【分析】根据直线、线段、射线的区别逐项分析判断即可． 【解答】解：①图中只有1条直线BD，故错误； ②以B、C为端点可以各引出两条射线，以D为端点可以引出3条射线，以A端点可以引出1条射线，则图中共有2×2+3+1＝8条射线，故错误； ③图中共有6条线段，即线段AB、AC、AD、BC、BD、CD，故正确； ④图中射线BD与射线CD不是同一条射线，故错误； ∴错误的有①②④． 故选：D． 【点评】本题考查了直线、线段、射线的区别与联系，理解三者的区别是解题的关键． 4．（2023秋•北京月考）如图中，有 　 　条直线，　 　条射线，　 　条线段． 【分析】根据直线、射线、线段的定义即可得出答案． 【解答】解：如图所示，图中共有1条直线，8条射线，6条线段． 故答案为：1，8，6． 【点评】本题考查了根据直线、射线、线段的定义，注意结合图形作答，不要遗漏． 5．（2023秋•昌黎县期中）如图，能用字母表示的直线有　 　条；能用字母表示的线段有　 　条；在直线EF上的射线有　 　条． 【分析】根据直线、射线、线段的表示法即可得到． 【解答】解：图中有直线AB、直线AD，直线EF有3条； 以B为端点的射线：有射线BE、射线BC；以C为端点的射线有：CE，CD；以D为端点的射线有：DC、DF，射线共有6条； 线段有：AB、BC、CA、BD、CD，AD共有6条． 故答案为：3，6，6． 【点评】本题考查了直线、射线、线段的表示法，理解三线的延伸性是关键． 【题型十 直线、线段的基本事实的应用】 1．（2024•长沙一模）值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点的距离最短 D．以上说法都不对 【分析】根据直线的性质公理，两点可以确定一条直线进行解答． 【解答】解：把每一列最前和最后的课桌看作两个点， ∴这样做的道理是：两点确定一条直线． 故选：B． 【点评】本题考查了直线的性质公理，确定出两点是利用公理的关键，是需要熟记的内容． 2．（2023秋•海港区期中）书法艺术是中华民族的瑰宝，作为艺术品，经常被人们挂起来欣赏．我们在挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，这里面包含的数学事实是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【分析】经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线，根据两点确定一条直线解答即可． 【解答】解：我们在挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，这样做应用的数学知识是：两点确定一条直线， 故选：B． 【点评】本题考查了两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题的关键． 3．（2023秋•长春期末）如图是学校花圃的一角，小明同学认为走AB比走折线A﹣C﹣B更近，他的数学依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点之间直线最短 【分析】直接利用线段的性质分析得出答案． 【解答】解：小明同学认为走AB比走折线A﹣C﹣B更近，他的数学依据是两点之间线段最短． 故选：B． 【点评】此题主要考查了线段的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 4．（2023秋•霍林郭勒市期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案． 【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释； ③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释． 故选：C． 【点评】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键． 5．（2024秋•朝阳区期末）有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上； ④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 　 　．（只填序号） 【分析】依据直线的性质进行判断，即可得出结论． 【解答】解：有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上； ④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为②，③，④． 故答案为：②，③，④． 【点评】本题主要考查了直线的性质，关键是掌握直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线． 【题型十一 线段长度的计算】 1．（2023秋•东丰县期末）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得AB＝5cm，BC＝3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是（　　） A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm 【分析】根据题意可以画出简单示意图，请仔细观察图形特点，找出已知条件和图形中的隐含的条件； 观察图形可知，BO＝AB﹣AO，即只要求出AO的值便可；由AB＝8cm，结合AO＝CO，可知AOAB，解答此题． 【解答】解：根据题意画出简单示意图： ∵AB+BC＝AC，AB＝5cm，BC＝3cm， ∴AC＝8cm． ∵AO+CO＝AC，AO＝CO，AC＝8cm， ∴AO＝4cm． ∵AB＝5cm，AO＝4cm， ∴BO＝AB﹣AO＝5﹣4＝1cm． 故选：B． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握距离公式是解题关键． 2．（2023秋•陵水县期末）已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　） A．3cm B．5cm C．3cm或7cm D．5cm或7cm 【分析】分两种情况讨论：①当点C在线段AB上时；②当点C在线段AB的延长线时．根据线段中点的定义，计算即可． 【解答】解：①当点C在线段AB上时，如图， ∵AB＝10cm，BC＝4cm， ∴AC＝AB﹣BC＝6cm， ∵M是AC的中点，N是BC的中点， ∴MC3cm，2cm， ∴MN＝MC+CN＝5cm； ②当点C在线段AB的延长线时，如图， ∵AB＝10cm，BC＝4cm， ∴AC＝AB+BC＝14cm， ∵M是AC的中点，N是BC的中点， ∴MC7cm，2cm， ∴MN＝MC﹣CN＝5cm； 综上，线段MN的长度时5cm． 故选：B． 【点评】本题考查两点间的距离，解题关键是熟练掌握线段中点的定义，难点在于分情况讨论． 3．（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，点C在线段AB上，点M是AC的中点，AB＝19，BC＝13． （1）求线段AM的长； （2）在线段BC上取一点N，使得CN：NB＝6：7，求线段MN的长． 【分析】（1）先求出AC＝6，由中点得到AM＝3； （2）由中点得到MC＝3，根据CN：NB＝6：7求出CN的值，从而得到答案． 【解答】解：（1）∵点C在线段AB上，AB＝19，BC＝13， ∴AC＝AB﹣BC＝19﹣13＝6， ∵点M是AC的中点， ∴AMAC6＝3； （2）∵M是AC的中点， ∴MCAC＝3， ∵点N在线段BC上，BC＝13， ∴CN+NB＝BC＝13， 又∵CN：NB＝6：7， ∴CNBC13＝6， ∴MN＝MC+CN＝3+6＝9． 【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差是解题关键． 4．（2024秋•桥西区校级期中）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的 　 　，AM＝MB＝ 　 AB． 拓展延伸 （2）如图2，线段AC上依次有D，B，E三点，，E是BC的中点，． ①求线段AB的长； ②求线段DE的长． 【分析】（1）根据线段中点的定义即可得到答案； （2）①根据BE与AC的关系可得AC的长度，再根据线段的中点定义可得答案； ②根据线段的和差可得DB的长，利用线段的和差可得答案． 【解答】解：（1）由题意可知，点M叫做线段AB的中点， ∴， 故答案为：中点，； （2）①∵， ∴AC＝5BE＝5×2＝10， ∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE＝2×2＝4， ∴AB＝AC﹣BC＝10﹣4＝6； ②∵， ∴， ∴DE＝DB+BE＝4+2＝6． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，线段的和与差运算，中点的定义等，熟练利用线段的和差是解题关键． 5．（2023秋•广平县校级期中）直线l上的三个点A，B，C，若满足BCAB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BCAB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2，若M，N，P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm． （1）①当点P在点N的左侧时，求MP的长度； ②当点P在点N的右侧时，求MP的长度； （2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度． 【分析】（1）①可求，由MP＝MN﹣PN即可求解；②可求，由MP＝MN+PN即可求解． （2）①当点P在点N的左侧时，可求，由GN＝GP+PN即可求解；②当点P在点N的右侧时，可求，由GN＝MN﹣MG即可求解． 【解答】解：（1）①如图， 因为点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm， 所以， 所以MP＝MN﹣PN ＝6﹣3＝3cm， 故MP的长度为3cm； ②如图， 因为点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm， 所以， 所以MP＝MN+PN ＝6+3＝9cm， 故MP的长度为9cm． （2）解：①当点P在点N的左侧时，如图， 由（1）得：MP＝3cm，PN＝3cm， 因为点G是线段MP的中点， 所以， 所以GN＝GP+PN ； ②当点P在点N的右侧时，如图， 由（1）得：MP＝9cm， 因为点G是线段MP的中点， 所以， 所以GN＝MN﹣MG ； 综上所述：线段GN的长度或． 【点评】本题主要考查了线段的和差及线段的中点定义，理解定义，掌握线段和差计算方法是解题的关键． 【题型十二 角的概念及表示方法】 1．（2024春•淄川区期末）下列图中的∠1也可以用∠O表示的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据顶点只有一个角时可用一个大写字母表示角，所以可判定答案． 【解答】解：选项A：∠1的顶点处只有一个角（小于平角），可用∠O表示，符合题意； 选项B：∠1顶点处有三个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意； 选项C：∠1顶点处有2个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意； 选项D：∠1顶点处有4个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意． 故选：A． 【点评】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法． 2．（2024秋•晋源区月考）下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】结合各选项中的图形，根据角的表示方法即可得出答案． 【解答】解：对于选项A，图中的∠1，还可以用∠AOB表示，不能用∠O表示，故选A不符合题意； 对于选项B，图中∠1，还可以∠AOB，∠O表示，故选B符合题意； 对于选项C，图中的∠1，不能用∠AOB和∠O表示，故选C不符合题意； 对于选项D，图中的∠1，不能用∠AOB和∠O表示，故选D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了角的概念，熟练掌握角的表示方法是解决问题的关键． 3．（2023春•莱西市期中）如图，B，D，C三点在直线l上，点A在直线l外，下列说法正确的是（　　） A．直线BD和直线CD表示的是同一条直线 B．射线BD和射线CD表示的是同一条射线 C．∠A和∠BAD表示的是同一个角 D．∠1和∠B表示的是同一个角 【分析】根据线的表示方法和角的表示方法逐个判断即可． 【解答】解：A、直线BD和直线CD表示的是同一条直线正确，故A正确； B、射线BD和射线CD的端点不同，表示的是不同射线，故B不正确； C、点A处共三个角，不能将某个角表示成∠A，故C不正确； D、点B处有两个小于180°的角，不能将某个角表示成∠B，故D不正确； 故选：A． 【点评】本题考查了角的表示方法和线的表示方法的应用，准确识图是解题关键． 4．（2023秋•泗县期末）如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为（　　） A． B． C． D． 【分析】画1条、2条、3条射线时可以数出角的个数分别有3个、6个、10个角，当画n条时，由规律得到角的个数的表达式． 【解答】解：画n条射线所得的角的个数为： 1+2+3+…+（n+1）． 故选：D． 【点评】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律． 5．（2023秋•北京月考）如图所示，能用一个字母表示的角有 　 个，图中所有小于平角的角 有 　 　个． 【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案． 【解答】解：能用一个字母表示的角有2个：∠B，∠C； 小于平角的角有7个：∠BAD，∠BAC，∠DAC，∠B，∠C，∠ADB，∠ADC． 故答案为：2；7． 【点评】本题考查了角的概念：从一点引出两条射线组成的图形就叫做角．角的表示方法一般有以下几种：1．角+3个大写英文字母；2．角+1个大写英文字母；3．角+小写希腊字母；4．角+阿拉伯数字． 【题型十三 角的度量及角度的运算】 1．（2024秋•裕华区校级期中）将23°6'36″化为度是 　 　． 【分析】根据“1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″”进行换算即可． 【解答】解：23°6'36″ ＝23°+（）°+（）° ＝23°+0.1°+0.01° ＝23.11°． 故答案为：23.11°． 【点评】本题主要考查了度分秒的换算，度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 2．下列换算中，错误的是（　　） A．0.25°＝900″ B．16°5′24″＝16.09° C．47.28°＝47°16′48″ D．80.5°＝80°50′ 【分析】直接利用度分秒转换法则分别计算得出答案． 【解答】解：A、0.25°＝15′＝900″，正确，不合题意； B、16°5′24″＝16°5.4′＝16.09°，正确，不合题意； C、47.28°＝47°16′48″，正确，不合题意； D、80.5°＝80°30′，错误，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了度分秒的换算，正确掌握运算法则是解题关键． 3．（2023秋•信阳期末）如图，将一个三角板30°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝22°25′，则∠2的大小为（　　） A．7°35′ B．22°25′ C．67°35′ D．82°25′ 【分析】根据三角板中角度的特点先求出∠BAD的度数，进而可求出∠2度数． 【解答】解：由题意得，∠DAE＝90°，∠BAC＝30°， ∵∠1＝22°25′， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠1 ＝30°﹣22°25′ ＝7°35′， ∴∠2＝∠DAE﹣∠BAD ＝90°﹣7°35′ ＝82°25′， 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角板中角度的计算，熟知三角板中角度的特点是解题的关键． 4．（2023秋•新华区校级期末）把40°10'12″化为用度表示，下列正确的是（　　） A．40.11° B．40.16° C．40.17° D．40.26° 【分析】根据度分秒的进制，进行计算即可解答． 【解答】解：∵1'＝60''， ∴12''＝0.2'， ∵1°＝60'， ∴10.2'＝0.17°， ∴40°10'12''＝40.17°， 故选：C． 【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 5．计算．（1）56°18'+61°35' （2）19°26'﹣7°33' （3）78°14'+25°46' （4）108°11'5'﹣22°38'26″ 【分析】利用度分秒的进制，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）56°18'+61°35'＝117°53'； （2）19°26'﹣7°33'＝18°86'﹣7°33'＝11°53'； （3）78°14'+25°46'＝103°60'＝104°； （4）108°11'5″﹣22°38'26″＝107°70'65″﹣22°38'26″＝85°32'39″． 【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 【题型十四 钟表中的角度问题】 1．（2024春•泰山区期中）如图，1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的度数是（　　） A．120° B．125° C．135° D．150° 【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：4.5×30°＝135°， ∴1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的度数是135°， 故选：C． 【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键． 2．（2023秋•西山区期末）从下午13：00到当天下午13：30，时钟的分针转过的角度度数是（　　） A．90° B．120° C．180° D．150° 【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：6×30°＝180°， ∴从下午13：00到当天下午13：30，时钟的分针转过的角度度数是180°， 故选：C． 【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键． 3．（2023秋•乌鲁木齐期末）钟表上的分针和时针经过40分钟，分针和时针旋转的角度分别是（　　） A．40°和20° B．240°和20° C．240°和40° D．40°和40° 【分析】画出图形，利用钟表表盘的特征解答． 【解答】 解：如图，从6：50到7：30，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上的分针经过40分钟旋转的角度是30°×8＝240°，钟表上的时针经过40分钟旋转的角度是240°20度． 故选：B． 【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°；两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 4．（2023秋•三明期末）时钟表面2点30分钟时，时针与分针所成的夹角是 　 　度． 【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，在2点30分时，时针位于3与4之间，分针指到6上，中间夹3.5份，所以时针与分针的夹角可求． 【解答】解：时钟在2点30分时，时针与分针所成角的度数为： 3.5×30°＝105°． 故答案为：105． 【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 5．（2023秋•滕州市校级期末）在时刻10：18，时钟上时针与分针的夹角为（　　） A．105° B．155° C．159° D．157° 【分析】根据钟面，每小时一个大格，每个度数为，从而列式求解即可得到答案． 【解答】解：∵10：18时，时针与分针之间11到3间隔度数为30°×4＝120°，3分钟对应角度为，18分钟时针对应角度， ∴在时刻10：18，时钟上时针与分针的夹角为120°+18°+21°＝159°． 故选：C． 【点评】本题考查钟面角的应用，掌握钟面每一个大格的角度是解决问题的关键． 【题型十五 角度的计算】 1．（2023秋•宽城区期末）如图，点A、O、B在同一条直线上，OC平分∠DOB．若∠AOE＝35°，∠DOC＝65°，则∠DOE的大小是（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 【分析】根据OC平分∠DOB，∠DOC＝65°，可得∠BOD＝2∠DOC＝130°，所以得∠AOD＝50°，即可以求出∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝85°． 【解答】解：∵OC平分∠DOB，∠DOC＝65°， ∴∠BOD＝2∠DOC＝130°， ∴∠AOD＝180°﹣130°＝50°， ∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝50°+35°＝85°． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的定义和角的和差，关键是结合图形求解． 2．（2023秋•唐县期末）已知∠AOB＝30°，OD平分∠AOB，∠BOC＝50°，则∠DOC的度数为（　　） A．20° B．35° C．20°或80° D．35°或65° 【分析】分两种情况画出图形，根据角平分线的定义结合图形求出∠DOC的度数即可． 【解答】解：当∠AOB在∠BOC的外部时，如图1所示： ∵∠AOB＝30°，OD平分∠AOB， ∴， ∵∠BOC＝50°， ∴∠DOC＝∠BOD+∠BOC＝65°； 当∠AOB在∠BOC的内部时，如图2所示： ∵∠AOB＝30°，OD平分∠AOB， ∴， ∵∠BOC＝50°， ∴∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝35°； 综上分析可知，∠DOC的度数为35°或65°，故D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考出了角平分线的定义，几何图形中角的计算，解题的关键是根据题意画出图形，注意分类讨论． 3．（2023秋•微山县期末）如图，长方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，连接DF，EF．将∠C沿DF 折叠，点C落在点G处；将∠B沿EF折叠，点B恰好落在FG的延长线上点H处．若∠BFE＝19°59'，则∠CFD的度数是（　　） A．70°1' B．70°41' C．71°1' D．71°41' 【分析】根据折叠定义得到∠BFE＝∠HFE，∠CFD＝∠GFD，然后根据平角定义推出∠BFE+∠CFD＝90°，最后根据∠BFE的度数即可求出∠CFD的度数． 【解答】解：由折叠得到：∠BFE＝∠HFE，∠CFD＝∠GFD， 又∵∠BFE+∠HFE+∠CFD+∠GFD＝180°， ∴∠BFE+∠CFD＝90°， ∵∠BFE＝19°59'， ∴∠CFD＝90°﹣19°59'＝70°1'． 故选：A． 【点评】本题主要考查角的计算，深入理解折叠的意义是解决问题的关键． 4．（2023秋•未央区校级期末）如图，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，∠AOB：∠BOC＝3：2，若∠BOE＝13°，求∠DOE的度数． 【分析】首先设∠AOB＝3x，∠BOC＝2x，再根据角平分线性质可得∠AOE∠AOCx，再根据角的和差关系可得∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝3xxx， 进而得到x＝13°，再解方程即可得到x＝26°，进而得到答案 【解答】解：设∠AOB＝3x，∠BOC＝2x． 则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x． ∵OE是∠AOC的平分线， ∴∠AOE∠AOCx， ∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝3xxx， ∵∠BOE＝13°， ∴x＝13°， 解得，x＝26°， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOD∠BOC＝x＝26°， ∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝26°+13°＝39°． 【点评】此题主要考查了角的计算，以及角的平分线定义，关键是注意分析角之间的和差关系． 5．（2023秋•公主岭市期末）如图，∠AOB＝90°，OC在∠AOB的内部，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线． （1）当∠BOC＝30°时，∠DOE＝　 　； （2）当∠BOC为任意锐角时，（1）中∠DOE的度数是否发生变化？请说明理由． 【分析】（1）先根据∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，求出∠AOC，再根据角平分线的性质求出∠COD和∠COE，最后根据∠DOE＝∠COD+∠COE，求出答案即可； （2）先根据角平分线的性质求出∠COD，最后根据∠DOE＝∠COD+∠COE，求出∠DOE，并用∠AOB表示，进行解答即可． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°， ∵OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线， ∴， ∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝30°+15°＝45°， 故答案为：45°； （2）∠DOE的度数不发生变化，理由如下： ∵OD、OE分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线， ∴，， ∴ ∵∠AOB＝90°， ∴∠DOE＝45°． 【点评】本题主要考查了角的有关计算，解题关键是熟练掌握角平分线的定义和性质，正确识别图形，找出角与角之间的数量关系． 【题型十六 余角和补角】 1．小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（　　） A．∠COA＝∠DOB B．∠COA与∠DOA互余 C．∠AOD＝∠B D．∠AOD与∠COB互补 【分析】由余角和补角的概念分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵∠COD＝∠AOB＝90°， ∴∠COD﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠AOD， 即∠AOC＝∠DOB，故选项A不符合题意； B、∵∠COA+∠DOA＝90°， ∴∠COA与∠DOA互余，故选项B不符合题意； C、当AB⊥OD时，∠AOD＝∠B，故选项C符合题意； D、∵∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠COA+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝90°+90°＝180°， ∴∠AOD与∠COB互补，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了余角和补角的概念，熟记余角和补角的概念是解题的关键． 2．（2023秋•黄岩区期末）如果∠α和2∠β互补，且∠α＜2∠β，给出下列四个式子：①90°﹣∠α；②2∠β﹣90°；③；④．其中可以表示∠α余角的式子有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】若两个角之和为90°，这两个角互余；若两个角之和为180°，这两个角互补，据此即可作答． 【解答】解：∵∠α与2∠β互补， ∴∠α+2∠β＝180°， ∴， ①由余角的定义知90°﹣∠α为∠α的余角； ②∵， ∴2∠β﹣90°与∠α互余； ③∵， ∴与∠α互余； ④由③可知不是∠α的余角， ∴可以表示∠α的余角的有3个， 故选：B． 【点评】本题考查了余角和补角，熟记余角和补角的概念是解题的关键． 3．（2024春•临清市校级月考）（1）如果一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数． （2）一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数． 【分析】（1）设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数． （2）设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数． 【解答】解：（1）设这个角为x°，则这个的补角的度数为（180﹣x）°，它的余角的度数为（90﹣x）°， 根据题意，得180°﹣x＝4（90°﹣x）， 解得x＝60°， 故这个角的度数是60°． （2）设这个角的度数为x°，则这个的补角的度数为（180﹣x）°，它的余角的度数为（90﹣x）°， 根据题意，得：180°﹣x＝2（90°﹣x）+40°， 解得x＝40°． 故这个角的度数为40°． 【点评】本题考查了余角和补角，列方程是解题的关键． 4．（2023秋•赤坎区校级期末）如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线． （1）射线OC的方向是 　 　； （2）求∠COD的度数； （3）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数． 【分析】（1）先求出∠AOB＝55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向； （2）根据∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，得出∠BOC＝110°，进而求出∠COD的度数； （3）根据射线OE平分∠COD，即可求出∠COE＝35°再利用∠AOC＝55°求出答案即可． 【解答】解：（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°， ∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°， ∴∠AOB＝∠NOB+∠NOA＝55°， ∵∠AOB＝∠AOC， ∴∠AOC＝55°， ∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC＝70°， ∴OC的方向是北偏东70°； 故答案为：北偏东70°； （2）∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB， ∴∠BOC＝110°． 又∵射线OD是OB的反向延长线， ∴∠BOD＝180°． ∴∠COD＝180°﹣110°＝70°． （3）∵∠COD＝70°，OE平分∠COD， ∴∠COE＝35°． ∵∠AOC＝55°． ∴∠AOE＝90°． 【点评】此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度． 5．（2023秋•上蔡县期末）如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOB，在直线AB另一侧以O为顶点作∠DOE＝90°． （1）若∠AOE＝46°，那么∠BOD＝　　 ；∠AOE与∠DOB的关系是 　； （2）∠AOE与∠COD有什么数量关系？请写出你的结论并说明理由． 【分析】（1）先根据平角的意义，得∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，再由条件可知∠AOE+∠BOD＝90°，可求得答案； （2）先证得，∠DOE＝90°，再利用平角的定义证得∠AOE+∠BOD＝180°﹣∠DOE＝90°，即可证∠AOE+∠COD＝180°． 【解答】解：（1）∵点O在直线AB上， ∴∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°， 又∵∠DOE＝90°， ∴∠AOE+∠BOD＝180°﹣90°＝90°， 若∠AOE＝46°，则∠BOD＝90°﹣46°＝44°； 故填：44°，互余． （2）∠AOE+∠COD＝180°，理由如下： ∵点O是直线AB上一点，OC平分∠AOB， ∴， ∵∠DOE＝90°， ∴∠AOE+∠BOD＝180°﹣∠DOE＝180°﹣90°＝90°， ∴∠AOE+∠COD＝∠AOE+∠BOD+∠BOC＝90°+90°＝180°， 即：∠AOE+∠COD＝180°． 【点评】本题主要考查角平分线的定义，平角的定义，掌握角平分线和平角定义是解题的关键． 【题型十七 线段动点的探究问题】 1．（2023秋•兴隆县期末）应用题：如图，已知线段AB＝12cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点． （1）若AC＝4，求DE的长； （2）若C为AB的中点，则AD与AB的数量关系是 　 　； （3）试着说明，不论点C在线段AB上如何运动，只要不与点A和B重合，那么DE的长不变． 【分析】（1）首先根据线段的和差关系求出BC＝AB﹣AC＝8，然后根据线段中点的概念求出DC＝2，CE＝4，进而求和可解； （2）根据线段中点的概念求解即可； （3）根据线段中点的概念求解即可． 【解答】解：（1）因为AC＝4， 所以BC＝AB﹣AC＝8． 因为点D是AC的中点． 所以DC＝2， 因为点E是BC的中点． 所以CE＝4， 所以DE＝DC+CE＝6（cm）； （2）∵C为AB的中点， ∴， ∵点D是AC的中点， ∴； （3）因为点D是AC的中点． 所以， 因为点E是BC的中点． 所以， 所以， 所以，DE的长不变． 【点评】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 2．（2023秋•新抚区期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动． （1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s． ①若2cm＜AP＜14cm，当动点C，D运动了2s时，求AC+PD的值； ②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP：PB； （2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度． 【分析】（1）①先计算BD，PC，再计算AC+PD． ②利用中点的性质求解． （2）将AP用其它线段表示即可． 【解答】解：（1）①由题意得：BD＝2×2＝4（cm），PC＝1×2＝2（cm）． ∴AC+PD＝AB﹣PC﹣BD＝18﹣2﹣4＝12（cm）． 故答案为：12； ②∵点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，设运动时间为t， 则：AP＝2PC＝2t，BP＝2BD＝4t， ∴AP：PB＝2t：4t＝1：2． 故答案为：1：2； （2）设运动时间为t，则PC＝t，BD＝3t， ∴BD＝3PC， ∵PD＝3AC． ∴PB＝PD+BD＝3PC+3AC＝3（PC+AC）＝3AP． ∴APAB（cm）． 【点评】本题考查求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是求解本题的关键． 3．（2023秋•驻马店期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． （1）如图1，当AC＝4时，求DE的长． （2）如图2，F为AD的中点： ①点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由，若不会，请求出EF的长． ②当CF＝0.8时，请直接写出线段DE的长． 【分析】（1）先求出BC＝12，再根据线段中点的定义得到CE＝6，最后根据DE＝CE﹣CD可得答案； （2）①根据EF＝AB（AB+CD）可得结论； ②分两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）∵AC＝4，AB＝16， ∴BC＝12， ∵E为BC的中点， ∴CE＝6， ∵CD＝2， ∴DE＝6﹣2＝4； （2）①∵E是BC的中点，F是AD的中点， ∴，， ∴EF＝FD+DE 16﹣1 ＝7， ∴线段EF的长度不会发生变化，EF＝7； ②当点F在点C的左侧时， ∵FC＝0.8，CD＝2， ∴FD＝FC+CD＝2.8， 由①知EF＝7， ∴DE＝EF﹣FD＝7﹣2.8＝4.2， 当点F在点C的右侧时， ∵FC＝08，CD＝2， ∴FD＝CD﹣FC＝1.2， 由①知EF＝7， ∴DE＝EF﹣FD＝7﹣1.2＝5.8， 综上所述，当CF＝0.8时，线段DE的长为4.2或5.8． 【点评】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键． 【题型十八 动角的探究问题】 1．（2023秋•普宁市期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图①，若∠AOC＝30°，求∠COE，∠DOB的度数． （2）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，探究∠AOC与∠DOE的度数之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由∠AOC＝30°，∠COD是直角，可知∠BOC＝150°，∠BOD＝60°，因为OE平分∠BOC，所以； （2）设∠AOC＝α，因为∠COD是直角，所以∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，∠COD＝90°，因为OE平分∠BOC，所以；所以． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝30°，∠COD是直角， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，∠COD＝90°， ∴∠DOB＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝60°， ∵OE平分∠BOC， ∴； （2）．理由如下： 设∠AOC＝α， ∵∠COD是直角， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，∠COD＝90°， ∵OE平分∠BOC， ∴； ∴． 即． 【点评】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义等知识，关键是由图形得到角度之间的关系． 2．（2023秋•南京期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝37°． （1）求∠EOB的度数． （2）若射线OF、OD分别绕着点O按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF每分钟转动6°，射线OD每分钟转动0.5°，多少分钟后，射线OF与射线OD第一次重合． （3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若∠FOD＝33°，则两射线同时出发 　 　分钟． 【分析】（1）根据题意可求得∠EOF＝53°，再由角平分线的定义可得∠AOE＝106°，从而可求∠EOB的度数； （2）先求解∠FOD＝143°，设x分钟后射线OF与射线OD第一次重合，根据题意列方程，解方程可求解即可； （3）设两射线同时出发t分钟后，∠FOD＝33°，分两种情况列方程，计算可求解． 【解答】解：（1）∵∠COE＝90°，∠COF＝37°， ∴∠EOF＝90°﹣37°＝53°． ∵OF 平分∠AOE， ∴∠AOE＝53°×2＝106°． ∴∠EOB＝180°﹣106°＝74°． （2）∵∠COD＝180°，∠COE＝90°， ∴∠EOD＝90°． ∴∠FOD＝90°+53°＝143°． 设x分钟后射线OF与射线OD第一次重合，依题意得：6x﹣0.5x＝143， 解得：x＝26． 答：26分钟后，射线OF与射线OD第一次重合． （3）由（2）可知，开始时∠FOD＝143°， 设两射线同时出发t分钟后，∠FOD＝33°， 当射线OF与射线OD第一次重合前，由题意得6t+33＝143+0.5t， 解得t＝20； 当射线OF与射线OD第一次重合后，由题意得6t＝143+33+0.5t， 解得t＝32， 综上，两条射线同时出发20或32分钟后，∠FOD＝33°． 故答案为：20或32． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，角平分线的定义，对顶角与补角，理解题意正确列方程是解题的关键． 3．（2024秋•裕华区校级期中）如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠COD绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°） （1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，求∠MON； （2）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转；n°（0＜n＜60），则∠MOC＝ 　 　，∠NOD＝ 　 　．（用n的代数式表示） （3）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），则∠MON＝ 　 　． 【分析】（1）根据∠MON＝∠AOB+∠BOD﹣∠AOM﹣∠DON可得答案； （2）先分别表示出∠AOC＝120°+n°，∠BOD＝60°+n°，然后根据，求解即可； （3）分二种情况：①当0＜n＜60时，②当60＜n＜120时，画出图形计算即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴∠DON＝60°﹣20°＝40°， ∴∠MON＝∠AOB+∠BOD﹣∠AOM﹣∠DON ＝120°+60°﹣40°﹣40° ＝100°； （2）如图， ∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝60°+n°， ∵，， ∴，， 故答案为：80°n°，40°n°； （3）①当0＜n＜60时，如图， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°， ∵，， ∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON ＝100°； ②当60＜n＜120时，如图， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°， ∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°， ∴∠MON＝∠MOC+∠BOC﹣∠BON ＝100°． 综上所述：∠MON的度数为100°． 故答案为：100°． 【点评】本题考查了角的计算，列代数式，数形结合是解答本题的关键． 1．（2023秋•霸州市期末）如图，一个正方体模块，上面留有一个圆柱形孔洞，不可能堵上这个孔洞的几何体是（　　） A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 【分析】根据已知孔洞的截面为一个圆，选项中只要截面是圆的即可堵上这个孔洞． 【解答】解：由题可得，孔洞的截面为圆， A．球的截面为圆，可以堵上孔洞，该选项不符合题意； B．圆柱可以截出截面为圆的形状，则圆柱可以堵上孔洞，该选项不符合题意； C．圆锥可以截出截面为圆的形状，则圆柱可以堵上孔洞，该选项不符合题意； D．长方体无论如何都截不出截面为圆的形状，则正方体不可以堵上孔洞，该选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了认识立体图形，得到几何体的截面的形状是解题的关键． 2．（2023秋•锦江区期末）由6个完全相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则从上面看到的形状是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定即可． 【解答】解：由题意，从上面看该图形的俯视图如下： ． 故选：C． 【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． 3．（2023春•莱芜区校级期末）下列说法中，正确的是（　　） A．两条不相交的直线叫做平行线 B．一条直线的平行线有且只有一条 C．在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥c D．若两条线段不相交，则它们互相平行 【分析】根据平行线的定义、性质、判定方法判断，排除错误答案． 【解答】解：A、平行线的定义：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．故错误； B、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．一条直线的平行线有无数条，故错误； C、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行．故正确； D、根据平行线的定义知是错误的． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的定义、性质及平行公理，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键． 4．（2023秋•管城区月考）下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据“两点确定一条直线”，“两点之间线段最短”进行判断即可． 【解答】解：木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧可以利用“两点确定一条直线”来解释，而弯曲公路改直，则可以利用“两点之间线段最短”来解释，所以可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有3个， 故选：C． 【点评】本题考查直线的性质，掌握“两点确定一条直线”，“两点之间线段最短”的基本事实是正确判断的关键． 5．若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则∠1与∠3的关系（　　） A．互余 B．互补 C．相等 D．∠1＝180°+∠3 【分析】根据等角的补角相等的性质即可求解． 【解答】解：若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则∠1＝∠3． 故选：C． 【点评】此题考查了余角和补角的性质：等角的补角相等．等角的余角相等． 6．（2024秋•合肥期末）如图，已知AB＝24cm，CD＝10cm，E，F分别为AC，BD的中点，则EF长为（　　）cm． A．7 B．14 C．17 D．34 【分析】根据线段中点的性质求出CE+DF的值，然后根据线段的和可得答案． 【解答】解：∵E，F分别为AC，BD的中点， ∴，， ∴， ∵AC+BD＝AB﹣CD＝24﹣10＝14cm， ∴， ∴EF＝CD+CE+DF＝10+7＝17cm， 故选：C． 【点评】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，根据线段中点的定义及线段的和差得出（CE+DF）的值是解题关键． 7．（2023秋•天长市期中）如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOE，∠DOE＝90°，则以下结论：①∠AOD与∠BOE互为余角；②；③∠BOE＝2∠COD；④若∠BOE＝56°，则∠COE＝62°．其中正确的是（　　） A．只有①④ B．只有③④ C．只有①③④ D．①②③④ 【分析】根据余角和补角的概念进行解答即可． 【解答】解：∵∠DOE＝90°， ∴∠AOD+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝90°， ∴∠AOD与∠BOE互为余角，故①正确． ∵OC平分∠AOE， ∴∠AOC＝∠COE，无法推断得到，故②错误． 设∠COD＝x， ∵∠DOE＝90°， ∴∠COE＝90°﹣x， ∵OC平分∠AOE， ∴∠AOC＝∠COE，则∠AOD＝90°﹣2x， ∵∠AOD+∠BOE＝90°， ∴∠BOE＝2x，即∠BOE＝2∠COD，故③正确． ∵∠BOE＝56°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝124°． ∵OC平分∠AOE， ∴，故④正确． 综上：正确的有①③④． 故选：C． 【点评】本题主要考查角平分线、余角与补角，根据补角以及角平分线的定义解决此题． 8．（2023秋•仪征市期末）小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么∠AOB 　 　∠COD（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】取格点E，使OB＝OE，作射线OE，则∠AOB＝∠COE，然后比较∠COE和∠COD的大小，根据等量代换，即可作答． 【解答】解：如图，取格点E，使OA＝OE，作射线OE， 则∠AOB＝∠DOE， ∵∠DOE＞∠COD， ∴∠AOB＞∠COD， 故答案为：＞． 【点评】本题考查角的大小比较，解题的关键是添加适当的辅助线． 9．（2024秋•迁安市期中）每天上午9点30分“阳光大课间”都会如约而至，此时时针与分针所夹的角为　 °． 【分析】根据时钟9时30分时，时针在9与10中间位置，分针在6上，可以得出分针与时针的夹角是3.5大格，每一格之间的夹角为30°，可得出结果． 【解答】解：∵根据钟表上从1到12一共有12格，每个大格30°， ∴时钟9时30分时，时针在9与10中间位置，分针在6上，可以得出分针与时针的夹角是3.5大格， ∴3.5×30°＝105°， 即时针与分针所夹的角为105°． 故答案为：105． 【点评】本题考查了钟面角，解题关键是得出钟表上从1到12一共有12格，每个大格30°． 10．（2023秋•凉州区期末）某复兴号列车在哈尔滨和北京之间运行，途中要停靠于3个站点，如果任意两站之间的票价都不同，那么有 　 　种不同的票价，应发行 　 　种不同的车票． 【分析】作出线段图，然后找出图中的线段的条数即可． 【解答】解：如图，途中有3个站点， 共有线段：AC、AD、AE、AB， CD、CE、CB， DE、DB， EB共10条线段， 所以共有10种不同的票价； 因为往返的车票不同， 所以应发行20种不同的车票． 故答案为：10，20． 【点评】本题考查了直线、射线、线段，在线段、射线的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复． 11．计算： （1）180°﹣（25°18′+65°56'）； （2）（31°40′﹣25°4′30″）×3+283°×2． 【分析】（1）先算括号内的加法，再算减法即可； （2）先算括号内的减法，再算乘法，最后算加法即可． 【解答】解：（1）180°﹣（25°18′+65°56'） ＝180°﹣91°14′ ＝88°46′； （2）（31°40′﹣25°4′30″）×3+283°×2 ＝6°35′30″×3+283°×2 ＝19°46′30″+566° ＝585°46′30″． 【点评】本题考查了度分秒的换算，解决本题的关键是掌握度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 12．（2023秋•随县期末）如图，点C为线段AB上一点，AC＝12cm，，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长． 【分析】根据AC＝12cm，，可得CB的长，根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得AD、AE的长，再根据线段的和差，可得答案． 【解答】解：∵AC＝12cm，， ∴， ∴AB＝AC+CB＝12+8＝20cm， ∵D、E分别为AC、AB的中点， ∴，， ∴DE＝AE﹣AD＝10﹣6＝4cm． 【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质． 13．（2023秋•金寨县期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2． （1）求∠AOC的度数； （2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数． 【分析】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解； （2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解． 【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°， ∴∠AOC∠AOB120°＝40°； （2）∵∠AOD∠AOB， ∴∠AOD＝60°， 当OD在∠AOB内时， ∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°， 当OD在∠AOB外时， ∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°． 故∠COD的度数为20°或100°． 【点评】本题考查了角的计算及角平分线，掌握角的特点及比例的意义是解决问题的关键． 14．（2023秋•西安区期末）已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图①，∠AOC＝45°，求∠DOE的度数； （2）在图①，∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数；（用含α的代数式表示） （3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系． 【分析】（1）根据角平分线的性质进行计算即可； （2）根据（1）的结论求解即可； （3）由∠COD＝90°，OE，OE平分∠BOC可得，∠COE＝∠BOE＝90°﹣∠DOE．可得结论． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝135°，∠COD是直角，OE平分∠BOC， ∴． （2）由（1）得，即． （3）∠AOC＝2∠DOE． 由题意可得：∠COE＝∠BOE＝90°﹣∠DOE． ∴∠AOC＝180°﹣2（90°﹣∠DOE），即∠AOC＝2∠DOE． 【点评】本题考查角的计算，正确记忆相关知识点是解题关键． 15．（2023秋•昌平区期末）已知点C为线段AB上一动点，点D，E分别是线段AC和BC的中点． （1）若线段AB＝10cm，点C恰好是AB的中点，则线段DE＝　 　cm； （2）如图，若线段AB＝10cm，AC＝4cm，求线段DE的长； （3）若线段AB的长为a，则线段DE的长为 　a　（用含a的代数式表示）． 【分析】（1）由中点定义可得DE＝CD+CEACBCAB； （2）由（1）可得DEAB，将已知代入即可； （3）由（1）知DEAB． 【解答】解：（1）∵点D是线段AC的中点， ∴CDAC， ∵点E是线段BC的中点， ∴CEBC， ∴DE＝CD+CEACBCAB， ∵AB＝10cm， ∴DE＝5cm， 故答案为：5； （2）由（1）知DE＝CD+CEACBCAB， ∵AB＝10cm， ∴DE＝5cm； （3）由（1）知DEAB， ∵AB＝a， ∴DEa， 故答案为：a． 【点评】本题考查两点间距离，熟练掌握线段的中点定义，灵活计算线段的和差是解题的关键． 16．（2023秋•柳州期末）【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线． 【知识运用】 （1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝　 　°； （2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②当射线OC、OD相遇后，射线OC、OD中恰好有一条射线是另一条射线的友好线，求此时t的值． 【分析】（1）根据新定义直接可得答案； （2）①分两种情况：在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，即可解得答案； ②分2种情况：若OD是OC的友好线，3t°+2t°﹣180°2t°，若OC是OD的友好线，3t°+2t°﹣180°3t°，解方程可得答案． 【解答】解：（1）∵射线OM是射线OA的友好线， ∴∠AOM∠AOB＝40°， 故答案为：40； （2）射线OD与射线OA重合时，t＝60（秒）， ①存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，有两种情况： 在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°， ∴t＝28； 在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°， ∴t＝44， 综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°； ②若OD是OC的友好线，则∠COD∠AOC， ∴3t°+2t°﹣180°2t°， ∴t， 若OC是OD的友好线，则∠COD∠BOD， ∴3t°+2t°﹣180°3t°， ∴t＝45； 综上所述，当t为秒或45秒时，射线OC、OD中恰好有一条射线是另一条射线的友好线． 【点评】本题考查角的和差及新定义，解题的关键是读懂新定义，用方程的思想解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$