（寒假讲义-复习篇）专题05 几何图形初步（二十六大重点考点练+优选题拔尖练 共67题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册精编培优讲练

专题05 几何图形初步 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 重点知识梳理 2 知识点一：几何图形 2 知识点二：直线、射线、线段 3 知识点三：角 4 重点考点讲练 5 考点一：由展开图计算几何体的表面积 5 考点二：由展开图计算几何体的体积 7 考点三：正方体相对两面上的字 9 考点四：求展开图上两点折叠后的距离 11 考点五：点、线、面、体四者之间的关系 12 考点六：平面图形旋转后所得的立体图形 14 考点七：截一个几何体 15 考点八：直线、线段、射线的数量问题 17 考点九：直线相交的交点个数问题 18 考点十：作线段（尺规作图） 20 考点十一：线段中点的有关计算 22 考点十二：线段n等分点的有关计算 24 考点十三：线段之间的数量关系 26 考点十四：与线段有关的动点问题 27 考点十五：两点之间线段最短 30 考点十六：最短路径问题 33 考点十七：与方向角有关的计算题 36 考点十八：角的度数大小比较 38 考点十九：三角板中角度计算问题 38 考点二十：几何图形中角度计算问题 41 考点二十一：角度的四则运算 45 考点二十二：实际问题中角度计算问题 46 考点二十三：角平分线的有关计算 49 考点二十四：角n等分线的有关计 51 考点二十五：与余角、补角有关的计算 55 考点二十六：同(等）角的余(补)角相等的应用 59 拔尖冲刺训练 60 知识点一：几何图形 1． 几何图形的分类立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. 平面图形：三角形、四边形、圆等. 几何图形 2．立体图形与平面图形的相互转化 （1）立体图形的平面展开图： 把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来． （2）从不同方向看： 主（正）视图----------从正面看 几何体的三视图 左视图----------------从左边看 俯视图----------------从上面看 （3）几何体的构成元素及关系 几何体是由点、线 、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成. 知识点二：直线、射线、线段 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 4．线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 知识点三：角 1．角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： （3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. （4）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 2．角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 3．余角和补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 4．方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 考点一：由展开图计算几何体的表面积 【例】（25-26七年级上·四川达州·期末）把7个棱长为的小正方体木块在地面上堆成如图所示的立体图形． (1)请在网格中画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图． (2)若向该立体图形表面（含底面）喷漆，需要漆，求共需要多少克漆？ 【答案】(1)见解析 (2)共需要60克漆． 【思路引导】本题主要考查了从不同方向看、立体图形的表面积等知识点，正确计算立体图形的外露面是解题的关键． （1）从正、左、上方向观察，确定每层每列正方形数量，画出平面形状． （2）统计露出的面数，求总面积后结合用漆量计算总用量． 【完整解答】（1）解：这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的图形如下： （2）解：∵小正方体的棱长为， ∴正方体每个面的面积为， 由图可知，7个正方体共有个面， 其中被重叠遮挡的有个面， ∴外露面数为个，即该立体图形表面（含底面）的面积为， 需要漆的克数为克． 答：共需要60克漆． 【变式】（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 【答案】(1)12，7 (2)长方体的表面积为，长方体的体积为 【思路引导】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （2）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的表面积公式和体积公式求解即可． 【完整解答】（1）解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开， ∴若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （2）解：∵该长方体的宽和高为：， ∴该长方体的长为， 表面积为， 体积为． 答：长方体的表面积为，长方体的体积为． 考点二：由展开图计算几何体的体积 【例】（25-26七年级上·广东东莞·期末）小雅同学在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是她在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒（如图②），可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分如图①．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小雅想将剪断的重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小雅在①上补全．（一种情况即可） (2)已知这个长方体纸盒高为，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积． 【答案】(1)见解析（答案不唯一） (2)25000立方厘米 【思路引导】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况； （2）设底面边长为，根据棱长的和是，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积． 【完整解答】（1）解：如图，粘贴的位置有四种情况如下： （2）解：∵长方体纸盒的底面是一个正方形， ∴可设底面边长， ∵长方体纸盒所有棱长的和是，长方体纸盒高为， ∴， 解得， ∴这个长方体纸盒的体积为：（立方厘米）． 【变式】（25-26七年级上·河南郑州·期末）某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子(图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒)，请你动手操作验证并完成任务．(纸板厚度及接缝处忽略不计) 动手操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形(阴影部分)，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）该长方体纸盒的底面边长为______；(请你用含，的代数式表示) （2）若，，则长方体纸盒的体积为______； 动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形(阴影部分)，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （3）该长方体纸盒的体积为______(请你用含，的代数式表示)． 【答案】（1） （2） （3） 【思路引导】本题考查了列代数式、代数式求值以及长方体的展开图．关键是根据纸板的裁剪方式，准确确定折叠后长方体的长、宽、高，再结合公式进行计算． （1）观察图1的裁剪方式，原正方形边长为，四角剪去边长为的小正方形后，折叠出的无盖长方体底面为正方形，其边长等于原正方形边长减去两侧剪去的小正方形边长，即． （2）先利用小问1的结论得到底面边长为，长方体的高为剪去的小正方形边长；代入、，先算出底面边长，再根据长方体体积公式计算体积． （3）观察图2的裁剪方式，折叠出的有盖长方体高为，底面的长为，底面的宽为原正方形边长减去两个后剩余部分的一半，即；再根据长方体体积公式，代入长、宽、高的表达式并化简，得到体积的代数式． 【完整解答】（1）解：在边长为的正方形纸板四角剪去边长为的小正方形，折叠后长方体底面的边长为原正方形边长减去两侧剪去的小正方形边长，即； 故答案为：． （2）解：当，时， 底面边长为，长方体的高为， 可得体积为； 故答案为：． （3）解：对于图2的有盖长方体，裁剪后折叠得到的长方体高为，底面的长为，宽为， 可得体积为． 故答案为：． 考点三：正方体相对两面上的字 【例】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图是一个立体图形的展开图． (1)该立体图形的名称是_____． (2)将展开图折叠成立体图形后，相对的两个面上的数字互为相反数，求的值． 【答案】(1)正方体 (2)的值为． 【思路引导】本题考查几何体展开图的认识，相反数的定义，已知字母的值 ，求代数式的值． （1）由立体图形的展开图即可得立体图形的名称； （2）利用正方体及其表面展开图的特点，根据相对面上的两个数字互为相反数，可得、、的值，代入计算即可． 【完整解答】（1）解：由展开图可知该立体图形的名称是正方体． 故答案为：正方体． （2）解：和相对，和相对，和相对， ∵将展开图折叠成立体图形后，相对的两个面上的数字互为相反数， ∴，，， ∴． ∴的值为． 【变式】（25-26七年级上·辽宁辽阳·期末）如图，图1，图2是两个几何体的表面展开图，图3是正方体的一个表面展开图． (1)写出图1，图2中对应几何体的名称：图1：__________，图2：__________； (2)将图3的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，请求出的值． 【答案】(1)圆柱，三棱柱． (2)． 【思路引导】本题主要考查了几何体的展开图、正方体相对面的识别，熟练掌握常见几何体的展开图特征、正方体展开图中相对面的位置关系是解题的关键． （1）根据几何体表面展开图的特征，判断图1、图2对应的几何体； （2）先确定正方体展开图中相对的面，再根据相对面数字之和相等，求出、、的值，进而计算． 【完整解答】（1）解：图1：圆柱，图2：三棱柱， 故答案为：圆柱，三棱柱． （2）解：在图3的正方体展开图中，相对的面为：与，与，与． ∵ 相对的两个面上的数字之和均相等，且， ∴ ，解得； ． ∴． 考点四：求展开图上两点折叠后的距离 【例】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【完整解答】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    【变式】（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【完整解答】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 考点五：点、线、面、体四者之间的关系 【例】（25-26七年级上·贵州贵阳·月考）下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）． ①点动成线；    ②线动成面；    ③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积（结果保留）． 【答案】(1)③ (2) 【思路引导】本题考查了点、线、面、体的关系及旋转体体积的计算，解题的关键是理解面动成体的原理，结合旋转轴和相关边长准确确定旋转后立体图形的组成及参数，再运用体积公式计算． （1）根据四边形绕虚线旋转成立体图形的过程，判断体现的点、线、面、体关系； （2）明确沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱减去底面半径、高的圆锥组成，分别计算体积后相减． 【完整解答】（1）解：四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体． 故答案为：③． （2）解：由题意得，沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱减去底面半径、高的圆锥组成． 设圆柱的体积为，圆锥的体积为，旋转后得到的立体图形的体积为， ， ， ． 答：得到的立体图形的体积为． 【变式】（24-25七年级上·陕西咸阳·月考）如图，直角三角形纸片的两条直角边的长分别为a，b，将它分别绕直线（图1）和直线（图2）旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是_____； (2)若，，则图2中，绕直线旋转一周后形成的几何体的底面积为多少？（结果保留） 【答案】(1)圆锥 (2) 【思路引导】此题主要考查了点、线、面、体，图形的旋转变换，圆锥的定义及圆的面积公式，熟练掌握圆锥的定义及圆的面积公式是解答此题的关键． （1）根据圆锥的定义可知即可得出答案； （2）根据圆锥的底面是圆，运用圆面积公式求解即可． 【完整解答】（1）解：根据圆锥的定义可知：旋转所得的几何体都是圆锥． 故答案为：圆锥； （2）绕直线旋转一周后形成的几何体的底面积． 考点六：平面图形旋转后所得的立体图形 【例】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，有一长为，宽为的长方形纸板，将它分别绕其两条对称轴旋转半周，得到两个几何体． (1)按这两种方式得到的几何体是________． (2)当，时，请通过计算说明哪种方式得到的几何体体积大？ (3)若按照方式①得到几何体的体积是按照方式②得到几何体的体积的倍，则与之间的数量关系为________． 【答案】(1)圆柱体 (2)方式①构造的圆柱的体积大 (3) 【思路引导】本题考查点，线，面，体，圆柱体的体积公式，代数式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）长方形旋转可得圆柱； （2）分别算出两个圆柱体的体积，即可得到答案； （3）根据题意列式，化简即可． 【完整解答】（1）解：面动成体，长方形旋转一周得到圆柱体， 答案为：圆柱体； （2）解：方式①， 方式②， ， 方式①构造的圆柱的体积大； （3）解：按照方式①得到几何体的体积是按照方式②得到几何体的体积的倍， ， ， 故答案为：． 【变式】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图是一张长为，宽为的长方形纸片，将这张长方形纸片绕着它的一条边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形的名称是______； (2)求得到的这个立体图形的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)或 【思路引导】本题考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键． （1）根据面动成体解答即可； （2）分长方形的长为轴旋转和以长方形的宽为轴旋转两种情况根据圆柱的表面积公式计算即可求解． 【完整解答】（1）解：由题意可知，得到的立体图形的名称是圆柱． 故答案为：圆柱； （2）解：当绕宽所在直线旋转一周时，得到的立体图形的体积为：； 当绕长所在直线旋转一周时，得到的立体图形的体积为：， 所以得到的这个立体图形的体积为或． 考点七：截一个几何体 【例】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图①，，，是正方体的三个顶点，过，，三点的平面将正方体截去一个角，剩余部分是一个新几何体（如图②），若这个新几何体有个面，条棱，个顶点，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了正方体的截面，明确正方体的面数，顶点数，棱的条数，数形结合是解题的关键．根据图象得出、、的值，进而代入计算即可． 【完整解答】解：由图可知，这个新几何体多了一个面，少了三条棱同时加了三条棱，少了一个顶点． 即有7个面，12条棱，7个顶点， 则． 故答案为：． 【变式】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是_______棱柱，共有_______个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_______；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形 (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少厘米？ 【答案】(1)六棱柱，8 (2)①②③ (3) 【思路引导】本题考查了几何体，认识几何体的底面和侧面是解题的关键． （1）根据几何体的底面边数确定几何体的名称，再数出底面个数和侧面个数，相加即可； （2）要判断棱柱截面的形状，核心依据是：平面切割棱柱时，切到几个面，截面就是几边形；且截面边数最少为3（三角形），最多等于棱柱的总面数（侧面+2个底面）； （3）棱长总和=底面棱总长+侧棱总长，分别计算两类棱的长度和再求和． 【完整解答】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共8个面 故答案为：六棱柱，8； （2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是六边形、七边形，八边形，不可能是九边形； 故答案为:①②③； （3）解：若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为， ． 答:所需丝带的长为． 考点八：直线、线段、射线的数量问题 【例】（25-26七年级上·山东临沂·期末）如图，已知线段． (1)【探究新知】 ①在上取1个点，图中共有__________条线段； ②在上取2个点，图中共有__________条线段； ③在上取3个点，图中共有__________条线段； (2)【归纳结论】 在上取个点，共有条线段，试写出与的关系式：__________； (3)【实际应用】 鲁南高铁与京沪高铁、济青高铁、青盐铁路共同构成山东省内的高铁环线，其中最先开通的日照至曲阜段在运行途中需停靠的8个车站依次是：日照西→厉家寨→莒南北→临沂北→费县北蒙山→泗水南→曲阜东，那么要为这趟列车制作的车票一共有__________种． 【答案】(1)；； (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了线段的应用，有理数的运算及应用，图形类规律等知识点，找到规律是解决此题的关键， （1）根据要求作图依次查出线段的数量即可得解； （2）由（1）的线段数量与线段上取点个数，观察即可找到规律； （3）将站点看作取点个数，根据（2）的规律结合车票有往返之分解答即可． 【完整解答】（1）解：①如图， 在上取1个点，图中有共条线段， ②如图， 在上取2个点，图中有共条线段， ③如图， 在上取3个点，图中有共条线段， 故答案为：；；； （2）解：由（1）知，可发现在上取个点，线段总数共有条线段， ∴， 故答案为：； （3）解：∵日照至曲阜段在运行途中需停靠的8个车站， ∴可以将日照和曲阜看作一条线段上的两个端点，在这条线段上取了6个点， ∴由（2）结论知，线段总数为， ∵车票有往返之分， ∴为这趟列车制作的车票一共有种， 故答案为：． 【变式】（25-26七年级上·全国·期末）某铁路线共设有5个不同的站点，要保证每两个站点之间都有火车可乘，则需要印制不同的火车票共（    ） A．8种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【思路引导】本题考查线段的计数，掌握相关知识是解决问题的关键．火车票有方向性，共有5个站点，每个站点需要到其他4个站点有票，据此计算即可． 【完整解答】解：∵ 共有5个站点，每个站点需要到其他4个站点有票， ∴ 总票数为种． 故选：D． 考点九：直线相交的交点个数问题 【例】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，平面上有三点A，B，C． (1)请用无刻度直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作直线：②作线段；③作射线；④在射线上截取． (2)我们知道两条直线相交有一个交点；如（1），三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有_______个交点；若有n条直线相交，最多有_______个交点． 【答案】(1)见解析 (2)； 【思路引导】本题考查直线，射线，线段，图形规律，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． （1）按照题意作图即可； （2）通过画图找到规律即可解答． 【完整解答】（1）解：如图，直线，线段，射线，线段即为所求； （2）解：如图，三条直线相交，最多有3个交点； 四条直线相交，最多有个交点； 五条直线相交，最多有个交点； 若有n条直线相交，最多有个交点， 故答案为：；． 【变式】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按这样的规律，条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母的式子表示，） 【答案】 【思路引导】本题考查相交线交点个数问题，求最多交点个数的关键是保证任意两条直线都相交，且任意三条直线不交于同一点．根据规律推出条直线相交最多有个交点即可． 【完整解答】解：3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， 5条直线相交最多有个交点， 条直线相交最多有个交点． 故答案为：． 考点十：作线段（尺规作图） 【例】（25-26七年级上·广东茂名·期末）如图，已知线段． (1)请用尺规按下列要求作图．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母） ①在线段上取一点，使； ②延长到点，使． (2)已知，，，求线段的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)． 【思路引导】本题考查了尺规作图作线段，线段的和差． （1）①以A为圆心，a为半径作弧，交线段于C即可； ②延长，以B为圆心，b为半径作弧，交延长线于D即可； （2）先求出的值，进而计算线段的长即可． 【完整解答】（1）解：①如图，点即为所求； ②如图，点即为所求； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式】（25-26七年级上·山东临沂·期末）如图，点A，B，C在同一条直线上，线段，点为线段AB的中点． 请你运用所学知识完成以下任务． (1)尺规作图：在线段的延长线上作线段，使得．（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求出线段的长度． (3)将（1）中所画的图放在数轴上，若点对应的数是3，点对应的数是，则点对应的数是_____________，点对应的数是_____________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【思路引导】（1）根据题意，用尺规作出图形； （2）先利用线段的中点的意义求得，再利用求解； （3）先求得点表示的数，再求得点表示的数． 【完整解答】（1）解：如图： （2）解：由作图可知， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴ ∴； （3）解：∵点对应的数是3，点对应的数是，，点在点的左侧， ∴点表示的数， ∵点对应的数是，，点在点的右侧， ∴点表示的数是， 故答案为：，． 【考点剖析】本题考查了线段的和与差，线段中点的有关计算，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，作线段(尺规作图)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 考点十一：线段中点的有关计算 【例】（25-26七年级上·云南文山·期末）如图1，，都是数轴上的点，点位于点的右侧，且线段，点表示的数为． (1)点表示的数为_____； (2)如图1，若点是线段上一点，点是线段的中点，点是线段的中点，且，求线段与线段之间的数量关系； (3)如图2，若甲、乙两只电子蚂蚁分别从、两点同时出发，其中甲以1个单位长度/秒的速度向右运动，到达点时停止运动；乙以2个单位长度/秒的速度向左运动，到达点后立刻掉头并保持速度不变，甲到达点时乙也停止运动，求甲、乙相距6个单位长度时所运动的时间． 【答案】(1)12 (2)，理由见解析 (3)当为3秒或7秒或9秒时，甲、乙相距6个单位长度． 【思路引导】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据，点A表示的数为，即可求解； （2）设，则，根据中点的意义即可求解； （3）设电子蚂蚁运动的时间为秒，分两种情况：当和时，分别列出方程，解方程即可求解； 【完整解答】（1）解：∵，点A表示的数为， ∴， ∴点B表示的数为12， 故答案为：12； （2）解：，理由如下， 设，则， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （3）解： ， 设电子蚂蚁运动的时间为秒． 当时，甲蚂蚁所在位置表示的数为，乙蚂蚁所在位置表示的数为 由题意得， 解得：或； 当时，甲蚂蚁所在位置表示的数为，乙蚂蚁所在位置表示的数为， 由题意得， 解得：或（舍去）； 答：当为3秒或7秒或9秒时，甲、乙相距6个单位长度． 【变式】（25-26七年级上·天津滨海新区·期末）【新知学习】通常我们利用如下的方法来求数轴上线段的中点表示的数：如果数轴上两点和分别表示数，，点是线段的中点，那么点表示的数为． 【问题探究】已知一条数轴上有、、、四个点，分别表示的数为、、、，又知，且，，、分别为6和8． (1)求、的值； (2)若、两点同时以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，那么为何值时，线段的中点与线段的中点距离为3个单位长度； (3)在（2）的条件下，满足什么条件时，、两点都在线段上． 【答案】(1)，； (2)当为3或4秒时，两个中点的距离为3个单位长度； (3)当时，、两点都在线段上． 【思路引导】本题考查绝对值的计算，利用中点公式求解，解题的关键是找出运动状态的分界点； （1）由，得，结合即可解答； （2）求出线段表示的数，表示出运动中线段的中点的代数式，根据两点间的距离公式列方程解答即可； （3）表示出、两点同时向左运动时的代数式，列出不等式组解答即可． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，； （2）解：∵，；、分别为6和8， ∴线段的中点表示的数为. 线段的中点表示的数为， 当、同时向左匀速运动秒时，其中点也同时向左匀速运动秒， ∴其中点此时表示的数为. ∵两个中点距离为3个单位长度， ∴， ∴， 即， 或4， ∴当为3或4秒时，两个中点的距离为3个单位长度； （3）解：当、两点同时向左运动时，表示的数分别为和， 当、两点都在线段上时， 、两点表示的数需满足, 解得， ∴当时，、两点都在线段上． 考点十二：线段n等分点的有关计算 【例】（23-24七年级上·河南商丘·期末）如图为线段上一点，点为的中点，已知． (1)求的长； (2)若点是线段上靠近点的三等分点，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查线段的中点与三等分点的计算，关键是利用线段的和差关系，结合中点、三等分点的定义逐步推导． （1）先求出的长度，再根据中点定义求出； （2）先根据三等分点求出的长度，再结合的长度求出． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴； （2）解：∵点是线段上靠近点的三等分点，， ∴， ∴， ∴． 【变式】．（25-26七年级上·四川泸州·期末）如图，已知线段，延长到点C，使得，点D为线段的中点，． (1)求线段、、的长； (2)若点P为线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】本题考查了线段中点的定义、线段的和差倍分． （1）先根据中点求出的长，再求出的长，然后根据线段的和差求出和的长； （2）先求出的长，得到点在线段上，然后根据线段的和差解答即可． 【完整解答】（1）解：点D为线段的中点，， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， 点在线段上， ． 考点十三：线段之间的数量关系 【例】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知线段，线段，线段在线段上由点向点从左向右移动（点不与点重合，点不与点重合），若设线段，记图中所有线段的和为，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了线段的和与差，整式的加减，线段条数，根据题意可得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】解： ， 故选：． 【变式】（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，点是线段上一点，两点分别从P、B同时出发，点以、点以的速度沿直线向左运动（点始终在线段上，点始终在线段上），设运动的时间为，若点C、D运动到任一时刻时，总有，则线段的长度为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了线段的和与差，两点间的距离，解题关键是灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系． 先表示出，，从而可得，进而可得出，从而可求得． 【完整解答】解：当运动时间为时，，， ∴， 又， ∴， 即， ∴， 又， ∴（）． 故答案为：． 考点十四：与线段有关的动点问题 【例】（25-26七年级上·天津河西·月考）【探索新知】 如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”． （1）一条线段的中点____________这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） 【深入研究】 如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒． （2）问为何值时，点是线段的“二倍点”； （3）同时点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，并与点同时停止．请直接写出点是线段的“二倍点”时的值． 【答案】（1）是；（2）或5或；（3）或8或 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，理解“二倍点”是解决本题的关键． （1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断即可； （2）用含t的代数式分别表示出线段，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论即可得结果； （3）用含t的代数式分别表示出线段，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论即可． 【完整解答】解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分， 该线段等于2倍的中点一侧的线段长， 所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”； （3）当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得： ； 答：t为或8或时，点M是线段的“二倍点”． 【变式】（25-26七年级上·陕西延安·期末），两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒． (1)若，则________，点所表示的数为________； (2)当时，求的值； (3)为线段的中点，为线段的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)； (2)或 (3)线段的长度不变，线段的长为；理由见解析 【思路引导】（1）根据点的运动速度，即可得出答案； （2）当时，分两种情况：点在点的左侧或是右侧，分别画出图形求解即可； （3）分两种情况并结合中点的定义可以求出线段的长度即可作出判断． 【完整解答】（1）解：∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒， ∴当时，的长为：， ∵点 对应的有理数为，， ∴点表示的有理数为：， 故答案为：；； （2）解：∵点对应的数为，且，点在点的右侧， ∴点表示的有理数为：， ∴秒时，点表示的数为， 当时， 当点在点的左侧时，如图， ， 解得：， 当点在点的右侧时，如图， ， 解得：， ∴当时，的值为或； （3）解：线段的长度不变；理由如下： 如图，当点在点的左侧时， ∵为线段的中点，为线段的中点，， ∴，， ∴； 如图，当点在点的右侧时， ∵为线段的中点，为线段的中点，， ∴，， ∴； ∴线段的长度不变，． 【考点剖析】本题考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 考点十五：两点之间线段最短 【例】（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，已知三点、、， (1)作直线． (2)用几何语句表述图中点与直线的关系：_______． (3)用直尺和圆规完成以下作图（保留作图痕迹）：连接，在线段的延长线上截取线段，使． (4)连接，比较线段与线段的长短，并将下面的推理补充完整： ，， ， ______（______）（填推理的依据） ______． (5)在以上条件下，若线段，点是线段的中点，点在直线上，到点的距离为，则线段的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)点在直线外 (3)见解析 (4)，两点之间 线段最短， (5)1或5 【思路引导】本题考查了作图—作直线，线段，两点之间线段最短，有关线段中点的计算，熟悉基本几何图形的性质是解题关键 （1）直接作直线即可； （2）根据直线与点的位置关系进行求解； （3）根据几何语言画出几何图形； （4）利用两点之间线段最短得到，从而可判断； （5）分两种情况：当位于线段上，当位于线段的延长线上分别求解即可． 【完整解答】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：由图可知：点在直线外 （3）解：如图所示，连接，； （4）解：，， ， （两点之间 线段最短） ． （5）解：如图， ，点是线段的中点， ， 点在直线上，到点的距离为， 当位于线段上时， ， 当位于线段的延长线上时， ， 故答案为：1或5． 【变式】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（请用直尺和圆规作图，不写作图步骤，保留作图痕迹，作图时先使用铅笔画出，确定后再用黑色字迹的签字笔描黑） (1)作直线； (2)作射线，在射线上作线段，使线段； (3)分别连接； (4)_______（填“”、“”或“”），理由是：_________．（填①或②） ①两点之间线段最短   ②两点确定一条直线 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)，① 【思路引导】本题考查了直线、射线及线段，掌握直线、射线及线段的定义是解题的关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）根据题意画出图形即可； （4）根据两点之间，线段最短即可求解． 【完整解答】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线，线段即为所求； （3）解：如图，即为所求； （4）解：，理由是：两点之间线段最短， 故答案为：，①． 考点十六：最短路径问题 【例】（25-26七年级上·江苏常州·月考）操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 【答案】(1)图见详解，两点之间线段最短 (2)图见详解 【思路引导】本题主要考查了两点之间线段最短，画线段，解题的关键熟练掌握线段的性质． （1）连接即可；根据两点之间线段最短进行解答即可； （2）将正方体前面的面和右侧面展开，连接即可． 【完整解答】（1）解：如图，连接，则为蚂蚁爬行的最短路线；理由为：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． （2）解：如图，即为所求最短路线． 或 或 或 【变式】如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题： (1)画直线，射线，连接； (2)在射线上求作点M，使得（保留作图痕迹）； (3)请在直线上确定一点N，使点N到点M与到点D的距离之和最短，并写出画图的依据． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【思路引导】（1）画出直线，射线，连接，即可； （2）以点为圆心，的长为半径，画弧，交射线于点，即为所求； （3）连接，交于点，即为所求； 【完整解答】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求； （2）解：以点为圆心，的长为半径，画弧，交射线于点，即为所求；如图： （3）解：连接，交于点，即为所求；如图： 根据两点之间线段最短，所以， 当三点共线时，最小，即点N到点M与到点D的距离之和最短； 【考点剖析】本题考查直线，射线，线段的作图，以及线段的性质．熟练掌握两点确定一条直线，射线向一边无限延长，两点之间线段最短，是解题的关键． 考点十七：与方向角有关的计算题 【例】（25-26七年级上·河南新乡·期末）为了提高学生体质，2025年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分钟，每天1节体育课”政策，孩子们有了更多时间进行体育锻炼．如图，有一次大课间，A、B两处均有学生在练跳绳，为了减少练跳绳时相互干扰，小红同学就拿着跳绳走到了的平分线上的C处，则C处相对观测点O的方向为（   ） A．东偏南 B．南偏东 C．东偏南 D．南偏东 【答案】B 【思路引导】本题考查了方位角与角的和与差，根据A、B两点的方位可知，根据点C在的平分线上，可知，因为．所以C处相对观测点O的方向为南偏东． 【完整解答】解：如图：，， ∴， 由条件可知， ∴， ∴C处相对观测点O的方向为南偏东． 故选：B． 【变式】（25-26七年级上·北京朝阳·期末）如图，点B在点A的正东方向． (1)按下列语句画图； ①连接； ②在点A的南偏东方向上取一点C，使； ③连接并延长至点D，使； ④连接； (2)度量A，C两点间的距离m和线段的长度n，＝______．（结果保留整数） 【答案】(1)见解析 (2)2 【思路引导】本题考查了线段的作图，解题的关键是掌握两点间的距离就是两点间线段的长度． （1）按照要求作图即可； （2）用刻度尺度量，计算即可． 【完整解答】（1）解：作图如下： （2）用刻度尺度量A，C两点间的距离m和线段的长度n，可知：n的长度大约是m的长度的2倍，所以． 考点十八：角的度数大小比较 【例】（25-26七年级上·天津·期末）有下列说法：①一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，则装箱数与每箱的质量成反比例关系；②“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的数学道理是“两点确定一条直线”；③若，则；④代数式的意义是与3的和的2倍；⑤在细木条上钉两个钉子，细木条就被固定在木板上，这说明“两点之间，线段最短”．其中，正确说法的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】本题考查正反比例关系，线段的性质，角的大小比较，代数式的意义，直线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键，根据相关知识点逐一进行判断即可． 【完整解答】解：一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，则装箱数与每箱的质量的乘积为定值，装箱数与每箱的质量成反比例关系；故①说法正确； “把弯曲的河道改直，河道长度变短”的数学道理是“两点之间，线段最短”；故②说法错误； ，则；故③说法正确； 代数式的意义是与3的和的2倍；故④说法正确； 在细木条上钉两个钉子，细木条就被固定在木板上，这说明“两点确定一条直线”．故⑤说法错误； 故选B． 【变式】比较大小：，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题考查了度分秒的换算以及大小比较，注意，，先统一单位，再比较大小即可求解． 【完整解答】解：∵， ， ∴． 故答案为：． 考点十九：三角板中角度计算问题 【例】（25-26七年级上·河南许昌·期末）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)若，则________；若，则________； (2)猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由． 【答案】(1)， (2)与互补，理由见解析 【思路引导】本题考查直角的性质、角之间的和差关系，熟练掌握角之间的和差关系是解题的关键． （1）根据题意易得，利用计算；根据，利用计算即可； （2）根据题意得、，进而得到，据此解答即可． 【完整解答】（1）解：、， ， ； ， ， ， 故答案为：，； （2）解：与互补，理由如下： ， 、， ， 即与互补． 【变式】（25-26七年级上·河南焦作·期末）一副三角尺按如图方式叠放，，，点、重合．探索与的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设，求得．于是三位同学得出不同猜想，甲：；乙：；丙：． (1)为验证猜想，他们再次假设，并求出的度数，请写出求解过程； (2)①根据题（1）的结果，猜想一定错误的两位同学是________； ②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)①甲、乙；②丙同学的猜想正确，理由见解析 【思路引导】本题考查了角的计算，熟练掌握三角板的相关度数是解题的关键． （1）先根据求得，然后根据求得； （2）①由（1）可知，甲，乙错误； ②先求得，再利用得到，从而知道，从而得证． 【完整解答】（1）解：假设时， ，              （2）解：①甲，乙，理由如下 由（1）可知， ， 故甲，乙的猜想错误； ②丙同学的猜想正确，理由如下： ∴丙同学的猜想正确． 考点二十：几何图形中角度计算问题 【例】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果，与互为“百度角”，则 ． 【初步应用】 （2），为内部的两条射线，若与互为“百度角”，射线平分角，且满足，求的值； 【解决问题】 （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒．若、、三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”，则运动的时间t的值为______________秒． 【答案】（1）；（2）为或；（3）5或9或或 【思路引导】本题考查角平分线的性质、角之间的和差关系、“百度角”的定义，熟练掌握角平分线的性质和“百度角”的定义是解题的关键． （1）根据“百度角”的定义进行解答即可； （2）分情况讨论：当射线在内部或射线OC在∠BOM外部时，分别根据“百度角”的定义进行解答即可； （3）根据题意得、、，分情况讨论：当和互为“百度角”或和互为“百度角”时，列方程求解即可． 【完整解答】解：（1）与互为“百度角” 故答案为：； （2）当射线在内部时，如图， 射线平分角， 与互为“百度角” 即 ； 当射线OC在∠BOM外部时，如图， 同理可得：、 即 ； 综上所述，的值为或； （3）t的值为5或9或或，理由如下： ①如图 根据题意得，运动的时间为t秒时， 则、、 当和互为“百度角”时， 解得秒； 当和互为“百度角”时， 解得秒； ②如图 根据题意得，运动的时间为t秒时， 则、、 当和互为“百度角”时， 解得秒； 当和互为“百度角”时， 解得秒； 综上所述，、、三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”时，t的值为5或9或或秒． 【变式】（25-26七年级上·河南安阳·期末）【材料阅读+方法迁移】 如图1，数轴上的点A，B表示的数分别为，8，点M是线段的中点． （1）点M表示的数是______； （2）若点P，Q分别从点A，B同时出发，以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，若P，Q两点之间的距离为3，求t的值； 【方法迁移】 （3）如图2，，平分．现有射线，分别从，同时出发，以每秒和每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．直接写出经过几秒后，射线，的夹角为． 【答案】（1）2；（2）9或15；（3）10秒或20秒 【思路引导】本题主要考查了数轴，线段中点的性质，动点问题，两点之间的距离，动角问题，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据中点的性质求出中点对应的数即可； （2）根据点平移的性质表示出两个点所表示的数，然后利用两点之间的距离公式进行求解即可； （3）假设时间为秒，表示出两条射线旋转的角度，然后分两种情况进行讨论，根据角的和差列出方程求解即可． 【完整解答】解：（1）∵点A，B表示的数分别为，8，点M是线段的中点， ∴点M表示的数是， 故答案为：2； （2）根据题意得，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得或； （3）假设时间为秒，根据题意得， 射线旋转的角度为，射线旋转的角度为， ∵，平分， ∴， 当没有追到时，， 解得； 当超过时，， 解得； 所以，时间为10秒或20秒． 考点二十一：角度的四则运算 【例】（25-26七年级上·四川凉山·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【思路引导】本题主要考查角的计算、有理数的混合运算． （1）根据角度减法需从低位开始计算，若低位不够则向高位进行借位进行计算即可； （2）根据先乘方，再乘除，再加减进行计算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：原式 ． 【变式】（25-26七年级上·江西新余·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，角的四则运算： （1）先乘方，再乘除，最后算加减； （2）根据角度制和角的运算法则进行计算即可． 【完整解答】（1）解：原式； （2）解：原式． 考点二十二：实际问题中角度计算问题 【例】（23-24七年级上·湖北武汉·月考）已知：，，平分，平分． (1)如图1，的两边、都在的内部，求的度数． (2)如图2，的两边、都在的外部，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查角的和差倍分关系，掌握余角，补角，角平分线的关系是解题的关键． （1）根据图示，平分，平分，得，由此即可求解； （2）根据图示，平分，平分得，根据周角求出，由此即可求解． 【完整解答】（1）解： 、分别平分，， ，， ， ； （2）解：， 、分别平分，， ，， ，且，， ， ， ， 即， ， ． 【变式】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）【材料阅读】如图1，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，1． （1）若要使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，则可将点B向左移动 个单位长度； （2）若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒6个单位长度和每秒5个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为 ， ， （用含t的代数式表示）； ②记点P与点Q之间的距离为d，点Q与点R之间的距离为m，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线的夹角为？ 【生活运用】周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过 分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 【答案】（1）2（2）①；； ②没有变化；23；方法迁移10秒或27.5秒；生活运用 【思路引导】主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，整式的加减，数轴，一元一次方程的应用，线段的计算，以及钟面角等问题，根据题意列出方程是解决问题的关键． （1）根据中点坐标公式求出中点表示的数，再用移动前点B表示的数减去中点表示的数即可得到答案； （2）①根据左减右加（路程）的规律求解即可；②表示出，化简后即可判断； 【方法迁移】分追上前和追上后两种情况分别建立方程解答即可； 【生活运用】设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成，分别求出时针和分针每一分钟所走的路程，再列方程解答即可． 【完整解答】解：（1）∵数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，1，要使A，B两点的距离与C，B两点距离相等， 则，． 故可将点B向左移动2个单位长度， 故答案为：2； （2）①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为；；， 故答案为：；；； ②∴不变化；理由如下： 点P与点Q之间的距离， 点Q与点R之间的距离， ∴， ∴不变化，； 【方法迁移】∵，平分， ∴． （秒）． 设经过x秒后，射线的夹角为， 当追上前，则， 解得：； 当追上后，则， 解得：． ∴经过10秒或27.5秒后，射线的夹角为； 【生活运用】设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成， ∵分针每分钟旋转，时针每分钟旋转， ∴， 解得：， ∴经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 故答案为：． 考点二十三：角平分线的有关计算 【例】．（25-26七年级上·安徽六安·期末）如图，在同一平面内，点在直线上，，射线平分．若，则的度数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查角平分线的定义，角的和差关系；根据射线平分和，求出和，最后依据即可求解． 【完整解答】解：∵点在直线上，， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式】（25-26七年级上·山东临沂·期末）一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中与直线重合，，三角板固定不动，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度（即：且）． (1)如图2，当时，______，此时，是的______，请判断：是否平分，并说明理由； (2)如图2，当时，是否存在，若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． (3)在三角板绕着点逆时针旋转的过程中，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)；角平分线；平分；理由见解析； (2)存在，； (3)或 【思路引导】本题考查了角度的和差，一元一次方程的应用，正确用表示各角是解题的关键． （1）利用即可解答，再根据角平分线的定义，进行判断即可； （2）表示出和，根据题意列方程即可解答； （3）分两种情况，即当旋转到的延长线前或者当旋转到的延长线后，分别表示出与即可解答． 【完整解答】（1）解：根据题意可得， ， ， 是的角平分线， 故答案为：；角平分线； 平分，理由如下： ， ， ， ， ， 平分； （2）解：存在， 当时，， ， ， 根据题意可得， 解得； （3）解：当旋转到的延长线前，如图， 根据（2）中可得，， ； 当旋转到的延长线后，如图， 则， ， ； 综上，或． 考点二十四：角n等分线的有关计 【例】（25-26七年级上·重庆奉节·期末）小刚同学在学习了角及其平分线后对角的计算和动态角产生了浓厚的兴趣，我们都知道若是内一条射线，当，则称射线是的角平分线．于是联想到若是内一条射线，当或，则称射线是的三等分线．（本题中所研究的角都是大于且小于的角） (1)如图1，已知，若是的三等分线，则______； (2)如图2，射线平分，是的三等分线，射线在的内部，且，若，求的度数； (3)如图3，已知，射线平分，射线绕着点O以每秒的速度顺时针从射线旋转到的位置，设运动时间为t秒，若是的三等分线，且，请直接写出在旋转过程中满足条件的所有t的值． 【答案】(1)或． (2)或 (3)和 【思路引导】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中的角度计算，一元一次方程的应用．掌握三等分线的定义是解题的关键． （1）根据三等分线的定义求解即可． （2）设，利用角平分线的定义和角的和差关系得出，再根据三等分线的定义分两种情况求解即可． （3）由角平分线的定义得出，设运动时间为t秒，则，，，再根据三等分线的定义分两种情况求解即可． 【完整解答】（1）解：∵是的三等分线， ∴， 或， 此时． 故答案为：或． （2）解：设，则， ∵射线平分， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∵是的三等分线，分两种情况∶ 当靠近，则， ∴． 当靠近，则， 则． 故答案为∶或． （3）解：∵，平分， ∴， 设运动时间为t秒，则，，， ∵是的三等分线， ∴分两种情况： 当靠近，， 则， 代入， 如图：当时，， 即， 解得（不符合题意舍去） 如图：当时，， 则， 解得（不符合题意舍去） 当靠近，则， 则， 代入， 如图：当时，则， 即， 解得． 如图：当时，， 则， 解得． 综上： 满足条件的所有t的值为和． 【变式】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图1，射线，射线是内部的两条射线，若，则称射线，射线是的两条三等分线． (1)如图2，，射线是的一条三等分线，则________． (2)如图3，，射线从初始位置开始绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线从初始位置开始绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻，使得的度数是？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． ②当t为多少秒时，射线恰好是的一条三等分线？ 【答案】(1)或 (2)①存在，当t的值为15或25时，的度数是；②或时，恰好是的一条三等分线 【思路引导】本题考查了角的运算，一元一次方程的应用，理解新定义的概念，结合分类讨论思想解题的关键． （1）根据三等分线的定义分两种情况讨论，分别求解即可； （）分相遇前与相遇后两种情况讨论，列方程求解即可； 分靠近和靠近两种情况讨论，列方程求解即可． 【完整解答】（1）解：∵，射线是的一条三等分线， ∴当靠近时，； 当靠近时，； 综上所述，或； （2）解：①在相遇前， 依题意得， 解得； 在相遇后， 依题意得， 解得， 综上所述，当为15或25时，的度数为； ②当靠近时， 根据题意得， 解得； 当靠近时， 根据题意得， 解得； 综上所述，或时，恰好是的一条三等分线． 考点二十五：与余角、补角有关的计算 【例】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线和相交于点，射线，在直线同侧，与互余，平分． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查角平分线的定义、对顶角相等、互余性质，找到角之间的运算关系是解答的关键． （1）根据角平分线的定义和对顶角相等求解即可； （2）设，根据已知和互余性质推导出，再根据角平分线的性质得到，由对顶角相等列方程求解即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， （2）解：设， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得， 即， ∴． 【变式】（25-26七年级上·北京东城·期末）如图1，直角三角尺的一个顶点在直线上，且，平分． (1)若，则的度数为________； (2)将图1中的直角三角尺绕点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将直角三角尺从图2的位置继续绕点顺时针旋转，其他条件不变，当点落在射线上时停止旋转，请直接写出在此旋转过程中和的度数之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查了角平分线的定义、补角的性质和旋转的性质，理解题意是解决本题的关键． （1）由题意得，，，进而求出，再根据角平分线的定义和补角的性质求解即可； （2）由题意得，，，进而求出，再根据角平分线的定义和补角的性质求解即可； （3）分为两种情况：当直角三角尺旋转超过时和当直角三角尺旋转没超过时，分别求解即可． 【完整解答】（1）解：由题意得，，， ∴， ∵平分， ∴； ∴ ， 故答案为：； （2）解：，， ， 平分， ， ； （3）解：当直角三角尺旋转没超过时，如图， 设，则， 平分， ∴， ∴ ∴； 当直角三角尺旋转超过时，如图， 设，则， 平分， ∴， ∴ ， ∴， 综上所述，和的度数之间的数量关系为或． 考点二十六：同(等）角的余(补)角相等的应用 【例】（25-26七年级上·山东枣庄·期末）把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）见解析 【思路引导】本题考查的是角的和差关系，互为余角的含义，三角尺特点，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解，即可解题； （2）根据同角的余角相等，即可解题； （3）根据同角的余角相等，以及三角尺特点作图，即可解题； 【完整解答】解：（1）因为，， 所以， 故答案为：； （2）； 理由如下： 因为，， 所以． （3）如图，过点，分别作，的垂线，，即为所求的角． 【变式】（25-26七年级上·甘肃酒泉·期末）如图，和都是． (1)与相等的角是________； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了同角的余角相等，角平分线的定义，解一元一次方程． （1）根据同角的余角相等作答即可； （2）根据平分得到，根据得到，求解即可． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴． 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 即， 解得：． 1．（25-26七年级上·四川泸州·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（   ） A．我 B．中 C．国 D．梦 【答案】C 【思路引导】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【完整解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z字形两端是对面”可知，“国”与“的”是对面， 故选：C． 2．（25-26七年级上·山西晋中·期末）用大小相同的6个小立方块搭成如图1所示的几何体，王敏从某个方向看此几何体得到了如图2所示的形状图，则王敏观察此几何体的方向是（   ） A．上面 B．正面 C．左面 D．右面 【答案】A 【思路引导】本题考查了从不同方向看几何体． 根据图2可知王敏观察此几何体的方向是上面． 【完整解答】解：由图可知，王敏观察此几何体的方向是上面． 故选：A． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，点为线段中点，点为线段上一点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了线段的和差倍分、线段中点，关键是用方程的思想求解；设，根据列方程求解即可． 【完整解答】解：设，则， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴． 故答案选：D． 4．（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算，设，，由为的中点，则，所以，，然后通过线段中点的意义，线段的和差逐一排除即可，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【完整解答】解：设，， ∵为的中点， ∴， ∴，， 、∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∴，该选项正确，不符合题意； 、设，， 由上可得：，， ∴，该选项正确，不符合题意； 、设，， 由上可得：，， ∴， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴，该选项错误，符合题意； 故选：． 5．（25-26七年级上·北京·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（   ） ①点B对应的数是4； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度不变． A．②④ B．②③④ C．①② D．①②③④ 【答案】A 【思路引导】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点. ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 【完整解答】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是，故①错误； 由题意得：（秒）， 点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确； 所以，②④正确． 故选：A． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知线段的长度为9，线段的长度为，若图中所有线段的长度之和为32，则的值为 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，线段的长度和有关计算，解决本题的关键是掌握数形结合． 依据线段长度为9，可得，依据长度为，可得，进而得出结论． 【完整解答】解：线段长度为9， ， 又长度为， ， 图中所有线段的长度和为：， ， 故答案为：5． 7．（25-26七年级上·山东德州·期末）我国夏商时代就出现了校验直角的工具—“矩”．如图，这是一个结构简单的“矩”，即两条边成直角的曲尺，它的两条边分别为，．若，则______． 【答案】40 【思路引导】本题考查了平角，熟练掌握该知识点是解题的关键． 按照平角的定义解题即可． 【完整解答】解：，， ． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·山西晋中·期末）如图，C是线段上一点，D是的中点，且，，若点E在直线上，且．则的长是 ． 【答案】1或5 【思路引导】本题考查了线段的和差，线段的中点，利用分类讨论的思想是解题关键．由线段中点可得，从而得到，再分两种情况讨论即可． 【完整解答】解：D是的中点，， ， ， ， 当点在上时，， 当点在的延长线上时，， 综上可知，的长是或， 故答案为：1或5． 9．（25-26七年级上·重庆·期末）对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若一条线段的中点恰好是另一条线段的一个三等分点，则称线段是线段的和谐线段．在数轴上，点表示的数分别为，且不重合．若线段是线段的和谐线段，则的值为 ． 【答案】10或13/13或10 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离，整式的加减，线段的n等分点，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． 根据和谐线段的定义，线段的中点是线段的一个三等分点，由于线段的三等分点有两个，需要分两种情况讨论，根据互为和谐线段的定义列方程求解即可． 【完整解答】解：当线段的中点是线段的靠左的三等分点， ∵ ∴， 解得； 当线段的中点是线段的靠右的三等分点， ∵ ∴， 解得； 综上可知，x的值为10或13． 10．（25-26七年级上·河南南阳·期末）以直线上一点为端点作射线，使，如图，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即．且直角三角板在直线的上方．将直角三角板绕点顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，则此时的度数为 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义，可分两种情况：①当在的内部时，②当在的外部时，根据角的和差可求解． 【完整解答】解：可分两种情况，①当在的内部时， ，而， ， ，， ， 又 ， ， ； ②当在的外部时， ，而， ， ，， ， 又， ， ， 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 11．（25-26七年级上·江西景德镇·期末）某饮料公司有一种底面直径和高分别为，的圆柱形易拉罐饮料，经市场调研决定对该产品外包装进行改造成如图所示形状． (1)改造后的几何体名称为_________，侧棱条数为_________． (2)计划将它的底面面积改为，那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米?（用一元一次方程求解，结果保留） 【答案】(1)五棱柱，5 (2)易拉罐的高度将变为厘米 【思路引导】本题考查了几何体的认识、一元一次方程的应用，掌握圆柱和五棱柱的体积公式是解题的关键． （1）根据五棱柱的几何特征即可求解； （2）设易拉罐的高度将变为x厘米，根据圆柱和五棱柱的体积相等，列出方程，求出的值即可解答． 【完整解答】（1）解：改造后的几何体名称为五棱柱，侧棱条数为5； 故答案为：五棱柱，5； （2）解：设易拉罐的高度将变为x厘米， 根据题意，得， 解得， 答：易拉罐的高度将变为厘米． 12．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一动点，若点M是线段的三等分点，试求线段的长． 【答案】(1)3 (2) 【思路引导】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差计算，解题关键是正确识别图形，理解线段之间的和差倍分关系． （1）先根据已知条件求出，再根据，求出，最后根据线段中点的定义求出即可； （2）先确定，则，再由求解即可． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴； （2）解：由图可得， ∵点M是线段的三等分点， ∴， ∴， ∴ 13．（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，数轴上A，B，C三点对应的数分别为a，b，c，且a，b满足，C为线段AB的中点．动点P，Q分别从点A，B同时出发匀速相向运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，点P运动至点B后，两点同时停止运动，设运动时间为t（）秒． (1)填空： ， ， ． (2)当时，求的长． (3)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)，，4 (2)的长为 (3)或 【思路引导】本题考查数轴上两点间的距离公式，非负数的性质，一元一次方程等知识，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据非负数的性质和线段中点的定义，即可求解； （2）由题意得，，点P表示的数为，点Q表示的数为，进而得，，再根据，列出方程，求解即可； （3）由（2）知，点P表示的数为，点Q表示的数为，进而得，，再根据，列出方程，求解即可． 【完整解答】（1）解： ， ，， ，， C为线段的中点， ， 故答案为：，，4； （2）由题意得，，， 点P表示的数为，点Q表示的数为， ，， ， ，解得或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，， 的长为； （3）或， 由（2）知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ， 解得或． 14．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，在一条直路上有四个车站，点，，，分别表示四个车站的位置． (1)用含，的代数式表示，两站之间的距离是_____； (2)若已知，两站之间的距离是，求，两站之间的距离． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查两点间的距离，整式的加减运算，理解题意是解题关键． （1）由图可知的长度，根据求解即可； （2）由（1）可知，结合，两站之间的距离是，求出，再由图可知的长度，根据求解即可． 【完整解答】（1）解：∵由图可知，，， ∴， ∴，两站之间的距离是； （2）解：∵由（1）可得， 又∵，两站之间的距离是， ∴，即， ∵由图可知，，， ∴． ∴，两站之间的距离为． 15．（25-26七年级上·广东茂名·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则_____； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)射线，，，能构成三倍角，旋转的时间为秒或30秒或150秒或秒． 【思路引导】本题考查了角度计算、一元一次方程的应用，理解倍角的定义，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两倍角的定义得到，再利用角的和差即可求解； （2）由题意得，利用角的和差得到，，再根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答； （3）设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为，根据题意分4种情况讨论：①射线在内部，射线在外部，且是的三倍角；②射线、都在外部，且是的三倍角；③射线、都在外部，且是的三倍角；④射线在内部，射线在外部，且是的三倍角，画出示意图，根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答． 【完整解答】（1）解：∵是的两倍角， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴，， ∵是的三倍角， ∴， ∴， ∴， ∴当旋转的角度时，是的三倍角； （3）解：设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为， ①当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ②当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ③当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ④当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； 综上所述，射线，，，能构成三倍角，旋转的时间为秒或30秒或150秒或秒． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 几何图形初步 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 重点知识梳理 2 知识点一：几何图形 2 知识点二：直线、射线、线段 3 知识点三：角 4 重点考点讲练 5 考点一：由展开图计算几何体的表面积 5 考点二：由展开图计算几何体的体积 6 考点三：正方体相对两面上的字 7 考点四：求展开图上两点折叠后的距离 8 考点五：点、线、面、体四者之间的关系 9 考点六：平面图形旋转后所得的立体图形 9 考点七：截一个几何体 10 考点八：直线、线段、射线的数量问题 11 考点九：直线相交的交点个数问题 12 考点十：作线段（尺规作图） 12 考点十一：线段中点的有关计算 13 考点十二：线段n等分点的有关计算 14 考点十三：线段之间的数量关系 15 考点十四：与线段有关的动点问题 15 考点十五：两点之间线段最短 16 考点十六：最短路径问题 17 考点十七：与方向角有关的计算题 18 考点十八：角的度数大小比较 19 考点十九：三角板中角度计算问题 19 考点二十：几何图形中角度计算问题 20 考点二十一：角度的四则运算 22 考点二十二：实际问题中角度计算问题 22 考点二十三：角平分线的有关计算 23 考点二十四：角n等分线的有关计 25 考点二十五：与余角、补角有关的计算 26 考点二十六：同(等）角的余(补)角相等的应用 27 拔尖冲刺训练 28 知识点一：几何图形 1． 几何图形的分类立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. 平面图形：三角形、四边形、圆等. 几何图形 2．立体图形与平面图形的相互转化 （1）立体图形的平面展开图： 把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来． （2）从不同方向看： 主（正）视图----------从正面看 几何体的三视图 左视图----------------从左边看 俯视图----------------从上面看 （3）几何体的构成元素及关系 几何体是由点、线 、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成. 知识点二：直线、射线、线段 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 4．线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 知识点三：角 1．角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： （3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. （4）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 2．角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 3．余角和补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 4．方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 考点一：由展开图计算几何体的表面积 【例】（25-26七年级上·四川达州·期末）把7个棱长为的小正方体木块在地面上堆成如图所示的立体图形． (1)请在网格中画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图． (2)若向该立体图形表面（含底面）喷漆，需要漆，求共需要多少克漆？ 【变式】（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 考点二：由展开图计算几何体的体积 【例】（25-26七年级上·广东东莞·期末）小雅同学在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是她在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒（如图②），可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分如图①．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小雅想将剪断的重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小雅在①上补全．（一种情况即可） (2)已知这个长方体纸盒高为，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积． 【变式】（25-26七年级上·河南郑州·期末）某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子(图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒)，请你动手操作验证并完成任务．(纸板厚度及接缝处忽略不计) 动手操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形(阴影部分)，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）该长方体纸盒的底面边长为______；(请你用含，的代数式表示) （2）若，，则长方体纸盒的体积为______； 动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形(阴影部分)，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （3）该长方体纸盒的体积为______(请你用含，的代数式表示)． 考点三：正方体相对两面上的字 【例】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图是一个立体图形的展开图． (1)该立体图形的名称是_____． (2)将展开图折叠成立体图形后，相对的两个面上的数字互为相反数，求的值． 【变式】（25-26七年级上·辽宁辽阳·期末）如图，图1，图2是两个几何体的表面展开图，图3是正方体的一个表面展开图． (1)写出图1，图2中对应几何体的名称：图1：__________，图2：__________； (2)将图3的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，请求出的值． 考点四：求展开图上两点折叠后的距离 【例】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【变式】（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 考点五：点、线、面、体四者之间的关系 【例】（25-26七年级上·贵州贵阳·月考）下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）． ①点动成线；    ②线动成面；    ③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积（结果保留）． 【变式】（24-25七年级上·陕西咸阳·月考）如图，直角三角形纸片的两条直角边的长分别为a，b，将它分别绕直线（图1）和直线（图2）旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是_____； (2)若，，则图2中，绕直线旋转一周后形成的几何体的底面积为多少？（结果保留） 考点六：平面图形旋转后所得的立体图形 【例】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，有一长为，宽为的长方形纸板，将它分别绕其两条对称轴旋转半周，得到两个几何体． (1)按这两种方式得到的几何体是________． (2)当，时，请通过计算说明哪种方式得到的几何体体积大？ (3)若按照方式①得到几何体的体积是按照方式②得到几何体的体积的倍，则与之间的数量关系为________． 【变式】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图是一张长为，宽为的长方形纸片，将这张长方形纸片绕着它的一条边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形的名称是______； (2)求得到的这个立体图形的体积．（结果保留） 考点七：截一个几何体 【例】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图①，，，是正方体的三个顶点，过，，三点的平面将正方体截去一个角，剩余部分是一个新几何体（如图②），若这个新几何体有个面，条棱，个顶点，则 ． 【变式】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是_______棱柱，共有_______个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_______；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形 (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少厘米？ 考点八：直线、线段、射线的数量问题 【例】（25-26七年级上·山东临沂·期末）如图，已知线段． (1)【探究新知】 ①在上取1个点，图中共有__________条线段； ②在上取2个点，图中共有__________条线段； ③在上取3个点，图中共有__________条线段； (2)【归纳结论】 在上取个点，共有条线段，试写出与的关系式：__________； (3)【实际应用】 鲁南高铁与京沪高铁、济青高铁、青盐铁路共同构成山东省内的高铁环线，其中最先开通的日照至曲阜段在运行途中需停靠的8个车站依次是：日照西→厉家寨→莒南北→临沂北→费县北蒙山→泗水南→曲阜东，那么要为这趟列车制作的车票一共有__________种． 【变式】（25-26七年级上·全国·期末）某铁路线共设有5个不同的站点，要保证每两个站点之间都有火车可乘，则需要印制不同的火车票共（    ） A．8种 B．种 C．种 D．种 考点九：直线相交的交点个数问题 【例】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，平面上有三点A，B，C． (1)请用无刻度直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作直线：②作线段；③作射线；④在射线上截取． (2)我们知道两条直线相交有一个交点；如（1），三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有_______个交点；若有n条直线相交，最多有_______个交点． 【变式】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按这样的规律，条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母的式子表示，） 考点十：作线段（尺规作图） 【例】（25-26七年级上·广东茂名·期末）如图，已知线段． (1)请用尺规按下列要求作图．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母） ①在线段上取一点，使； ②延长到点，使． (2)已知，，，求线段的长． 【变式】（25-26七年级上·山东临沂·期末）如图，点A，B，C在同一条直线上，线段，点为线段AB的中点． 请你运用所学知识完成以下任务． (1)尺规作图：在线段的延长线上作线段，使得．（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求出线段的长度． (3)将（1）中所画的图放在数轴上，若点对应的数是3，点对应的数是，则点对应的数是_____________，点对应的数是_____________． 考点十一：线段中点的有关计算 【例】（25-26七年级上·云南文山·期末）如图1，，都是数轴上的点，点位于点的右侧，且线段，点表示的数为． (1)点表示的数为_____； (2)如图1，若点是线段上一点，点是线段的中点，点是线段的中点，且，求线段与线段之间的数量关系； (3)如图2，若甲、乙两只电子蚂蚁分别从、两点同时出发，其中甲以1个单位长度/秒的速度向右运动，到达点时停止运动；乙以2个单位长度/秒的速度向左运动，到达点后立刻掉头并保持速度不变，甲到达点时乙也停止运动，求甲、乙相距6个单位长度时所运动的时间． 【变式】（25-26七年级上·天津滨海新区·期末）【新知学习】通常我们利用如下的方法来求数轴上线段的中点表示的数：如果数轴上两点和分别表示数，，点是线段的中点，那么点表示的数为． 【问题探究】已知一条数轴上有、、、四个点，分别表示的数为、、、，又知，且，，、分别为6和8． (1)求、的值； (2)若、两点同时以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，那么为何值时，线段的中点与线段的中点距离为3个单位长度； (3)在（2）的条件下，满足什么条件时，、两点都在线段上． 考点十二：线段n等分点的有关计算 【例】（23-24七年级上·河南商丘·期末）如图为线段上一点，点为的中点，已知． (1)求的长； (2)若点是线段上靠近点的三等分点，求的长． 【变式】．（25-26七年级上·四川泸州·期末）如图，已知线段，延长到点C，使得，点D为线段的中点，． (1)求线段、、的长； (2)若点P为线段上一点，且，求线段的长． 考点十三：线段之间的数量关系 【例】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知线段，线段，线段在线段上由点向点从左向右移动（点不与点重合，点不与点重合），若设线段，记图中所有线段的和为，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，点是线段上一点，两点分别从P、B同时出发，点以、点以的速度沿直线向左运动（点始终在线段上，点始终在线段上），设运动的时间为，若点C、D运动到任一时刻时，总有，则线段的长度为 ． 考点十四：与线段有关的动点问题 【例】（25-26七年级上·天津河西·月考）【探索新知】 如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”． （1）一条线段的中点____________这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） 【深入研究】 如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒． （2）问为何值时，点是线段的“二倍点”； （3）同时点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，并与点同时停止．请直接写出点是线段的“二倍点”时的值． 【变式】（25-26七年级上·陕西延安·期末），两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒． (1)若，则________，点所表示的数为________； (2)当时，求的值； (3)为线段的中点，为线段的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 考点十五：两点之间线段最短 【例】（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，已知三点、、， (1)作直线． (2)用几何语句表述图中点与直线的关系：_______． (3)用直尺和圆规完成以下作图（保留作图痕迹）：连接，在线段的延长线上截取线段，使． (4)连接，比较线段与线段的长短，并将下面的推理补充完整： ，， ， ______（______）（填推理的依据） ______． (5)在以上条件下，若线段，点是线段的中点，点在直线上，到点的距离为，则线段的长为______． 【变式】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（请用直尺和圆规作图，不写作图步骤，保留作图痕迹，作图时先使用铅笔画出，确定后再用黑色字迹的签字笔描黑） (1)作直线； (2)作射线，在射线上作线段，使线段； (3)分别连接； (4)_______（填“”、“”或“”），理由是：_________．（填①或②） ①两点之间线段最短   ②两点确定一条直线 考点十六：最短路径问题 【例】（25-26七年级上·江苏常州·月考）操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 【变式】如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题： (1)画直线，射线，连接； (2)在射线上求作点M，使得（保留作图痕迹）； (3)请在直线上确定一点N，使点N到点M与到点D的距离之和最短，并写出画图的依据． 考点十七：与方向角有关的计算题 【例】（25-26七年级上·河南新乡·期末）为了提高学生体质，2025年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分钟，每天1节体育课”政策，孩子们有了更多时间进行体育锻炼．如图，有一次大课间，A、B两处均有学生在练跳绳，为了减少练跳绳时相互干扰，小红同学就拿着跳绳走到了的平分线上的C处，则C处相对观测点O的方向为（   ） A．东偏南 B．南偏东 C．东偏南 D．南偏东 【变式】（25-26七年级上·北京朝阳·期末）如图，点B在点A的正东方向． (1)按下列语句画图； ①连接； ②在点A的南偏东方向上取一点C，使； ③连接并延长至点D，使； ④连接； (2)度量A，C两点间的距离m和线段的长度n，＝______．（结果保留整数） 考点十八：角的度数大小比较 【例】（25-26七年级上·天津·期末）有下列说法：①一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，则装箱数与每箱的质量成反比例关系；②“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的数学道理是“两点确定一条直线”；③若，则；④代数式的意义是与3的和的2倍；⑤在细木条上钉两个钉子，细木条就被固定在木板上，这说明“两点之间，线段最短”．其中，正确说法的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式】比较大小：，则 ．（填“”“”或“”） 考点十九：三角板中角度计算问题 【例】（25-26七年级上·河南许昌·期末）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)若，则________；若，则________； (2)猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由． 【变式】（25-26七年级上·河南焦作·期末）一副三角尺按如图方式叠放，，，点、重合．探索与的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设，求得．于是三位同学得出不同猜想，甲：；乙：；丙：． (1)为验证猜想，他们再次假设，并求出的度数，请写出求解过程； (2)①根据题（1）的结果，猜想一定错误的两位同学是________； ②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由． 考点二十：几何图形中角度计算问题 【例】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果，与互为“百度角”，则 ． 【初步应用】 （2），为内部的两条射线，若与互为“百度角”，射线平分角，且满足，求的值； 【解决问题】 （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒．若、、三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”，则运动的时间t的值为______________秒． 【变式】（25-26七年级上·河南安阳·期末）【材料阅读+方法迁移】 如图1，数轴上的点A，B表示的数分别为，8，点M是线段的中点． （1）点M表示的数是______； （2）若点P，Q分别从点A，B同时出发，以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，若P，Q两点之间的距离为3，求t的值； 【方法迁移】 （3）如图2，，平分．现有射线，分别从，同时出发，以每秒和每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．直接写出经过几秒后，射线，的夹角为． 考点二十一：角度的四则运算 【例】（25-26七年级上·四川凉山·期末）计算 (1) (2) 【变式】（25-26七年级上·江西新余·期末）计算： (1) ； (2)． 考点二十二：实际问题中角度计算问题 【例】（23-24七年级上·湖北武汉·月考）已知：，，平分，平分． (1)如图1，的两边、都在的内部，求的度数． (2)如图2，的两边、都在的外部，求的度数． 【变式】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）【材料阅读】如图1，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，1． （1）若要使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，则可将点B向左移动 个单位长度； （2）若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒6个单位长度和每秒5个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为 ， ， （用含t的代数式表示）； ②记点P与点Q之间的距离为d，点Q与点R之间的距离为m，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线的夹角为？ 【生活运用】周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过 分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 考点二十三：角平分线的有关计算 【例】．（25-26七年级上·安徽六安·期末）如图，在同一平面内，点在直线上，，射线平分．若，则的度数是 ． 【变式】（25-26七年级上·山东临沂·期末）一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中与直线重合，，三角板固定不动，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度（即：且）． (1)如图2，当时，______，此时，是的______，请判断：是否平分，并说明理由； (2)如图2，当时，是否存在，若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． (3)在三角板绕着点逆时针旋转的过程中，直接写出与的数量关系． 考点二十四：角n等分线的有关计 【例】（25-26七年级上·重庆奉节·期末）小刚同学在学习了角及其平分线后对角的计算和动态角产生了浓厚的兴趣，我们都知道若是内一条射线，当，则称射线是的角平分线．于是联想到若是内一条射线，当或，则称射线是的三等分线．（本题中所研究的角都是大于且小于的角） (1)如图1，已知，若是的三等分线，则______； (2)如图2，射线平分，是的三等分线，射线在的内部，且，若，求的度数； (3)如图3，已知，射线平分，射线绕着点O以每秒的速度顺时针从射线旋转到的位置，设运动时间为t秒，若是的三等分线，且，请直接写出在旋转过程中满足条件的所有t的值． 【变式】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图1，射线，射线是内部的两条射线，若，则称射线，射线是的两条三等分线． (1)如图2，，射线是的一条三等分线，则________． (2)如图3，，射线从初始位置开始绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线从初始位置开始绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻，使得的度数是？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． ②当t为多少秒时，射线恰好是的一条三等分线？ 考点二十五：与余角、补角有关的计算 【例】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线和相交于点，射线，在直线同侧，与互余，平分． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 【变式】（25-26七年级上·北京东城·期末）如图1，直角三角尺的一个顶点在直线上，且，平分． (1)若，则的度数为________； (2)将图1中的直角三角尺绕点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将直角三角尺从图2的位置继续绕点顺时针旋转，其他条件不变，当点落在射线上时停止旋转，请直接写出在此旋转过程中和的度数之间的数量关系． 考点二十六：同(等）角的余(补)角相等的应用 【例】（25-26七年级上·山东枣庄·期末）把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 【变式】（25-26七年级上·甘肃酒泉·期末）如图，和都是． (1)与相等的角是________； (2)若平分，，求的度数． 1．（25-26七年级上·四川泸州·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（   ） A．我 B．中 C．国 D．梦 2．（25-26七年级上·山西晋中·期末）用大小相同的6个小立方块搭成如图1所示的几何体，王敏从某个方向看此几何体得到了如图2所示的形状图，则王敏观察此几何体的方向是（   ） A．上面 B．正面 C．左面 D．右面 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，点为线段中点，点为线段上一点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·北京·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（   ） ①点B对应的数是4； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度不变． A．②④ B．②③④ C．①② D．①②③④ 6．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知线段的长度为9，线段的长度为，若图中所有线段的长度之和为32，则的值为 ． 7．（25-26七年级上·山东德州·期末）我国夏商时代就出现了校验直角的工具—“矩”．如图，这是一个结构简单的“矩”，即两条边成直角的曲尺，它的两条边分别为，．若，则______． 8．（25-26七年级上·山西晋中·期末）如图，C是线段上一点，D是的中点，且，，若点E在直线上，且．则的长是 ． 9．（25-26七年级上·重庆·期末）对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若一条线段的中点恰好是另一条线段的一个三等分点，则称线段是线段的和谐线段．在数轴上，点表示的数分别为，且不重合．若线段是线段的和谐线段，则的值为 ． 10．（25-26七年级上·河南南阳·期末）以直线上一点为端点作射线，使，如图，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即．且直角三角板在直线的上方．将直角三角板绕点顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，则此时的度数为 ． 11．（25-26七年级上·江西景德镇·期末）某饮料公司有一种底面直径和高分别为，的圆柱形易拉罐饮料，经市场调研决定对该产品外包装进行改造成如图所示形状． (1)改造后的几何体名称为_________，侧棱条数为_________． (2)计划将它的底面面积改为，那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米?（用一元一次方程求解，结果保留） 12．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一动点，若点M是线段的三等分点，试求线段的长． 13．（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，数轴上A，B，C三点对应的数分别为a，b，c，且a，b满足，C为线段AB的中点．动点P，Q分别从点A，B同时出发匀速相向运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，点P运动至点B后，两点同时停止运动，设运动时间为t（）秒． (1)填空： ， ， ． (2)当时，求的长． (3)当时，直接写出t的值． 14．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，在一条直路上有四个车站，点，，，分别表示四个车站的位置． (1)用含，的代数式表示，两站之间的距离是_____； (2)若已知，两站之间的距离是，求，两站之间的距离． 15．（25-26七年级上·广东茂名·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则_____； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $