14.1.1直角三角形三边的关系同步练习2024—2025学年华东师大版八年级数学上册

2024—2025学年华东师大版八年级上册数学14.1.1直角三角形三边的关系 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．2，3，5 C．9，12，15 D． 2．如图，长方形中，，，在数轴上，点表示数1，以点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点，则数轴上点表示的数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在等腰直角中，点E，F将斜边三等分，且，点P在的边上，则满足的点P的个数是（　　）    A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是(   ) A．4 B．3 C．5 D．4．5 5．如图，在四边形中，，，与关于直线轴对称，，，点与点对应，交于点，则线段的长为（   ） A．3 B． C．5 D． 6．等腰三角形三边长分别为、、，则它的底边上的中线长为（       ）． A．3 B．4 C．5 D．6 7．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ） A．4 B． C．2 D．3 8．点到原点的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 二、填空题 9．如图，在中，，，点是边上的一个动点，连接，以为边作，使，为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 10．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若最大的正方形的边长是，则图中所有正方形的面积之和是 ． 11．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为 ； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 12．如图，在等边中，是的两条中线，，P是上一个动点，则的周长最小值是 ． 13．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 . 三、解答题 14．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的． （1）在RtC中，AC=a，BC=b，∠ACB=90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求； （2）在（1）的条件下，若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）． 15．如下图，已知中，，，，、分别为、边上的动点，若点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，且时间为． （1）当出发2秒时，求的周长． （2）运动过程中，直线可否将的周长分成相等的两部分，若可以，请求出运动时间，若不能，请说明理由． （3）如下图，若点从开始按的方向在射线上运动，当为等腰三角形时，求点的运动时间． 16．如图，在中，，，求的面积． 17．如图，在中，，，D为上一点，E为延长线上一点，且．    (1)求证：； (2)若平分，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D B B B B C 1．C 【分析】此题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数的定义，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：A．∵不是正整数， ∴不是勾股数，故该选项不符合题意； B．∵， ∴2，3，5不是勾股数，故该选项不符合题意； C．∵， ∴9，12，15是勾股数，故该选项符合题意； D．∵不是正整数， ∴不是勾股数，故该选项不符合题意， 故选C． 2．B 【分析】首先根据勾股定理算出的长度，进而得到的长度，再根据点表示数1，可得E点表示的数． 【详解】∵，，长方形中，，， ∴ ∴根据作图，可知：, ∵点表示数1， ∴点表示的数是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，在数轴上表示数等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键． 3．D 【分析】本题考查最短路径，勾股定理，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM交BC于点H，连接CM、BE、BF、FH，可得点H到点E和点F的距离之和最小，求出最小值即可解答，在线段BC找到点H到点E和点F的距离之和最小是解题的关键． 【详解】解：如图，作点F关于的对称点，连接交于点N，连接交于点H，连接、、、，    点E，F将对角线三等分，且 ， 点M与点F关于对称， ， 即 则在线段存在点H到点E和点F的距离之和最小为 在点H右侧，当点P与点C重合时，则 点P在上时，，有一个点P使 在点H左侧，当点P与点B重合时， ，， 点P在上时，有一个点P使， 在线段上的左右两边各有一个点P使 同理在线段、上也都存在两个点使 即共有6个点P满足 故选：D． 4．B 【分析】根据Rt△ABC中，∠C=90°，可证BC是△DAB的高，然后利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高， ∵△DAB的面积为10，DA=5， ∴DA•BC=10， ∴BC=4， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查的是勾股定理，此题的突破点是利用三角形面积公式求出BC的长． 5．B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，勾股定理等知识点，根据勾股定理列出方程是解题的关键是．设，根据平行线性质和轴对称性质得到，再根据勾股定理得到关于线段、、的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：设，则， ∵， ∴； 由轴对称得：，，，， ∴， ∴，则， 由勾股定理得：，即， 解得：，即：． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，由“三线合一”可知，，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在等腰中，，，是边上的中线， ∴，， 由勾股定理可得：， 故选：B． 7．B 【详解】试题分析：根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题． 解：∵等边三角形高线即中点，AB=2， ∴BD=CD=1， 在Rt△ABD中，AB=2，BD=1， ∴AD=， ∴S△ABC=BC•AD=×2×=， 故选B． 8．C 【分析】在平面直角坐标系里构造直角三角形,根据勾股定理可得坐标系里任意一点到原点的距离公式,运用公式计算即可. 【详解】解:点到原点的距离. 【点睛】本题主要考查在平面直角坐标系里用勾股定理求任意一点到原点的距离,构造直角三角形并灵活运用勾股定理是解答关键. 9．2 【分析】取中点，连接，，由“”可证≌，可得，则当时，有最小值，利用含度角的直角三角形可求解． 【详解】解：如图，取中点，连接，， ，点是中点，点是中点， ∴， ，， ∴， ∴， ， ，， 在和中，， ≌， ∴， 有最小值，也有最小值， 当时，有最小值， ，，， ∴， 线段的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 10．3 【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以得出：A、B、C、D的面积之和等于正方形E的面积，即可得出结果． 【详解】根据勾股定理得到：A与B的面积的和加上C与D的面积的和是E的面积； ∵E的面积是12＝1， ∴A、B、C、D的面积之和为1． 故F、G的面积是1 则所有正方形的面积之和为3×1=3， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了勾股定理，注意运用勾股定理和正方形的面积公式证明结论：A、B、C、D的面积之和等于正方形E的面积． 11． 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，中心对称，勾股定理等知识点， （1）利用已知和勾股定理即可得解； （2）利用三角形的中位线定理可得出，即为两个单位长度，利用矩形的中心对称性可知和成中心对称，和成中心对称，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出图形是解决此题的关键． 【详解】（1）如图，连，过A作格线的垂线交于点C， ∵O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）， ∴， 故答案：； （2）如图， ， 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求． 12． 【分析】如图连接，只要证明，即可推出，由，推出、、共线时，的值最小，最小值为的长度，进而可求的周长最小值． 【详解】解：如图连接， ，， ， ， ， ， 、、共线时，的值最小，最小值为的长度， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴的周长最小值为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、轴对称最短问题及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、轴对称最短问题及勾股定理是解题的关键． 13．1 【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知，设大正方形的边长为c，大正方形的面积为13，即：，再利用勾股定理得可以得出直角三角形的面积，进而求出答案． 【详解】解：如图所示：∵，∴， ∵，，∴， ∴小正方体的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积 =，故答案为1. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 14．（1）；（2） 【分析】（1）由题意推出，可得． （2）由（1）可知，求出a，b的值，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）由题意，， ∴， ∴； （2）由（1）可知，， ∴， ∴， ∴AC=5，BC=6， ∵∠ACB=90°，AC=5，CD=12， ∴AD=， ∴这个风车的外围周长． 【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．读懂题目信息并准确识图是解题的关键． 15．（1）；（2）当时，直线将的周长分成相等的两部分；（3）5秒或8秒或秒． 【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP和BQ，再求出BP，用勾股定理求得PQ即可； （2）由勾股定理求出AC，由题意得出方程，解方程求出t，即可得出结论； （3）当点P在边AC上运动时，能使△ABP成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时，可直接求得t； ②当时，过点作于，先由面积法求出BD的长，再根据勾股定理求出AD的长，由三线合一求出AP的长，从而可求出t； ③当时，过作于点，过作于点．设，则，，根据列方程求出x的值，然后可求出t的值． 【详解】解：（1）由题意得：当秒时， ，， 又∵，， ∴． 在中，由勾股定理得： ． ∴的周长为：． （2）∵，，， ∴在中，由勾股定理得： ， ∴的周长为：， ∴当时，在上，在上， ∴，， ∴， 由题意得：． ∴， 解得：． 不符合，故舍去． 当时，在上，在上， ∴， ， 由题意得：， ∴， 解得：． ∴综上，当时，直线将的周长分成相等的两部分． （3）由题意得：，， ∵是等腰三角形，且点在射线上运动， ∴①当时，秒， ②当时，如下图所示， 过点作于， ∵，，， ∴， 代入可得：， ∴在中，由勾股定理得：， 又∵，， ∴由三线合一性质可得：为的中线， ∴， ∴， ∴秒． ③如下图所示，当时，过作于点，过作于点． 由②可得：，， 设，则，， ∴在中，由勾股定理得：， 代入可得：， 解得：，故， ∴秒． ∴综上，符合条件的的运动时间为5秒或8秒或秒． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用． 16．120 【分析】过作于，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得，然后利用三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过作于，如下图， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理可知， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积的计算等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 17．(1)见详解 (2) 【分析】（1）延长交于点，由已知可根据“”证明，得，所以，则； （2）作于点，由角平分线的性质得，再证明，则，求得． 【详解】（1）证明：延长交于点， ，为上一点，为延长线上一点， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：作于点，则， 平分，，，且， ， ，， ， ， ， ， 的长是．    【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理等知识，证明是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$