16.1 二次根式（第2课时 二次根式的性质）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第16章 二次根式 16.1 二次根式 第2课时 二次根式的性质 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜 想的思想方法.（重点） 2. 会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点） 情景导入 二次根式的定义 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号. a叫做被开方数. 新知探究 新知探究 根据算术平方根的意义填空： 4 2 0 一般地， ＝a (a ≥0). 例题讲解 例2 计算： 解： 例2(2)用到了（ab）2=a2b2 这个结论. 计算： 探 究 2 0.1 0 一般地，根据算术平方根的意义， 例题讲解 例3 化简： 解： 概念归纳 回顾我们学过的式子，如 ，它们都是用基本运算符号 （基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 课堂练习 1. 计算： （1）( )2； （2）( )2； 解：（1）( )2=3； （2）( )2=32×( )2=9×2=18. 2. 说出下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 0.3 ﹣π 分层练习 【答案】A D 【答案】B B ＞ 1 5或1 8. 计算： 【解】原式＝5－6＝－1. 9. 写出使下列各等式成立的未知数的取值范围： 二 (2)请写出正确的解答过程. 【答案】D 【点拨】根据实数a在数轴上对应的点的位置可知2＜a＜4，∴a－2＞0，a－4＜0.∴原式＝a－2＋4－a＝2. 【答案】A 【点技巧】结合数轴利用二次根式的性质求值或化简的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质． 2≤x≤3 14.[2024松原一模]某种商品的原价为每件p元，第一次降价每件减少10元，第二次降价每件打八折，则第二次降价后售价是________元. (0.8p－8) 2 036 16.计算： 原式＝|x2＋1|＝x2＋1. 原式＝8xy. (1)求钟摆摆动的周期. (2)如果钟钟每摆动一个来回，座钟发出一次滴答声，那么在6 min内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ (2)按照你所发现的规律，请你写出第n(n为正整数)个等式； 习题 1.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：（1）由a＋2≥0，得a≥－2； （2）由3－a≥0，得a≤3； （3）由5a≥0，得a≥0； （4）由2a＋1≥0，得 ． 2.计算： 解： 2.计算： 解： 3.用代数式表示： （1）面积为S的圆的半径； （2）面积为S且两条邻边的比为2︰3的长方形的长和宽. 解：（1）设半径为r (r＞0)，由πr2=S，得 ； （2）设两条邻边长为2x，3x (x＞0)，则有2x·3x=S， 得 ，所以两条邻边长为 ． 4.利用 把下列非负数分别写成一个非负 数的平方的形式： (1) 9；(2) 5；(3) 2.5；(4) 0.25；(5) ；(6) 0． 解：(1) 9=32； (2) 5= ； (3) 2.5= ； (4) 0.25=0.52；(5) ； (6) 0=02． 已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和，如果大 圆的半径为r cm，两个小圆的半径分别为2 cm和3 cm，求r的值． 5. 解：由题意，得πr2=π×22+π×32， ∴πr2=13π. ∵r＞0， ∴r= . △ABC的面积为12，AB边上的高是AB边长的4倍．求AB的长． 6. 解： 由题意，得 ， 解得AB= (－ 舍去). 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 7. 解： (1) x为任意实数； (2) x为任意实数； (3) x＞0； (4) x＞－1． 小球从离地面为h (单位：m) 的高处自由下落，落到地面所用的时间为t (单位：s) ．经过实验，发现h与t2成正比例关系，而且当h=20时，t=2．试用h表示t，并分别求当h=10和h=25时，小球落地所用的时间． 8. 解： 由题意，设h=kt2，当h=20时，t=2，代入得 20=4k，解得k=5，即h=5t2. 当h=10时，10=5t2.∵t＞0，∴t= 当h=25时，25=5t2.∵t＞0，∴t= (1) 已知 是整数，求自然数n所有可能的值； (2) 已知 是整数，求正整数n的最小值． 9. 解： (1) 2，9，14，17，18； (2) ∵24n=22×6×n， ∴使得 为整数的最小的正整数n是6. 一个圆柱体的高为10，体积为V．求它的底面半径r (用含V的代数式表示)，并分别求当V=5π，10π和20π时，底面半径r的大小． 10. 解： 由题意，得V=πr2×10，∴ 课堂小结 二次根式 性质 ＝a (a ≥0). 拓展性质 |a|（a为全体实数） 1. [2024德州禹城市月考]在π，x2＋2，1－2x＝0，，ab，a＞3，0，中，代数式有(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【点拨】∵1－2x＝0，a＞3中，含有＝和＞，∴不是代数式． ∴代数式有π，x2＋2，，ab，0，，共6个． 2. [2024河池期末]当a＜2时，化简的值为(　　) A．2 B．a C．a－2 D．2－a 3. 如果a＋＝3成立，那么实数a的取值范围是(　　) A．a≤0 B．a≤3 C．a≥－3 D．a≥3 【点拨】∵a＋＝3， ∴＝3－a，即＝|a－3|＝3－a. ∴a－3≤0.∴a≤3. 4. [2024清华附中期中]下列各式中，计算正确的是(　　) A．＝－1 B．()2＝3 C．＝±2 D．(－)2＝－2 5. [2024安徽]我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为.比较大小：________(填“＞”或“＜”). 【点拨】()2＝10，＝.∵10＞，∴＞. 6. [2024来宾期末]若0≤x≤1，则＋＝________. 【点拨】∵0≤x≤1， ∴x－1≤0.∴＋＝x＋1－x＝1. 7. 若＝2，则a的值为________. 【点拨】∵＝|a－3|＝2， ∴当a－3＝2时，a＝5；当a－3＝－2时，a＝1. ∴a＝5或1. (1)－(－)2； (2)－＋3×； (3)(－1)2 025＋(π－3)0＋－. 原式＝4－3＋3×＝2. 原式＝－1＋1＋2－(－1)＝3－. (1)＝a； (2)＝x＋3； (3)()2＝1－5a. 【解】∵＝|－a|＝a，∴a≥0. ∵＝|x＋3|＝x＋3，∴x＋3≥0，即x≥－3. ∵()2＝1－5a，∴1－5a≥0，即a≤. 10.若x＜3，化简＋|5－x|.小明的解答过程如下： 解：原式＝＋(5－x)……第一步 ＝x－3＋5－x……第二步 ＝2.……第三步 (1)小明的解答从第________步开始出现错误； 【解】∵x＜3， ∴x－3＜0，5－x＞0. ∴原式＝＋(5－x)＝－(x－3)＋5－x＝－x＋3＋ 5－x＝8－2x. 【点方法】性质＝a(a≥0)的推广： 当a＜0时，－a＞0，故＝＝－a，因此的化简可类比绝对值的性质：＝|a|＝ 11.[2024北京海淀区开学考试]若是整数，则满足条件的自然数n共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【点拨】∵有意义，∴16－n≥0，即n≤16. 又∵是整数，n是自然数，∴n只能是0或7或12或15或16.∴满足条件的n共有5个． 12.已知实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 |a－2|＋的结果为(　　) A．2 B．－2 C．2a－6 D．－2a＋6 13.若－|x－2|化简的结果为5－2x，则x的取值范围是________. 15.已知y＝－x＋5，则当x分别取1，2，3，…， 2 024时，所对应的y值的总和是________. (1)－； (2)； (3)(xy≥0)； (4)＋. 【解】原式＝－(－1)＝－＋1. 原式＝＋＝－＋1－＝. 17.[2024周口淮阳区月考]座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆长(单位：m)．假如一台座钟钟摆的摆长为0.2 m．(π取3，g＝9.8 m/s2) 【解】T＝2π≈2×3×＝6×＝(s)． 答：钟摆摆动的周期约为 s. 【解】∵6 min＝360 s， ∴360÷＝420(次)． 答：在6 min内，该座钟大约发出了420次滴答声． 18.阅读下列解题过程： 第1个等式：＝＝＝； 第2个等式：＝＝＝； 第3个等式：＝＝＝；…. (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：___________________________； ＝＝＝ 【解】第n个等式为＝＝. (3)利用这一规律计算：×××…× . 原式＝×××…×＝. $$