16.1 二次根式（第1课时 二次根式的概念）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第16章 二次根式 16.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 理解二次根式的概念.（重点） 2. 掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3. 会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点） 情景导入 问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示. 问题3 什么数有算术平方根? 我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 新知探究 （1）面积为3的正方形的边长为_____，面积为S的正方形的边长为_____. （2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它 的宽为_____m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单 位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为_____． 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： 新知探究 上面问题的结果分别是，它们表示一些正数的算术平方根． 我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 概念归纳 二次根式的定义 一般地，我们把形如 (a ≥ 0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. 例题讲解 例1 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 思考 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 前者x为全体实数；后者x为正数和0. 课堂练习 1. 要画一个面积为的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？ 解：设矩形的长宽分别是3xcm、2xcm，由题意得2x×3x=18，解得x1= ， x2= (舍). 答：它的长取 cm，宽取 cm. 2. 当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ； （2） ； （3） ； （4） . a≥1 a≥ a≤0 a≤5 分层练习 【答案】D C D 4. 已知二次根式满足条件“只含有字母x，且当x≥2时有意义”，请写出一个这样的二次根式：_________________. 1 －3 1 【点拨】由题意得a＜0，∴|a－2|－|a－1|＝2－a－(1－a)＝2－a－1＋a＝1. 9 9. 当x是怎样的实数时，下列式子有意义？ 【点技巧】含二次根式的式子有意义的条件： (1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，那么除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． B A 【点拨】由题意得3－x≥0且x－1≠0，解得x≤3且x≠1. A D 【点拨】由题意知A≥0，m－3≥0，∴3－m≤0.∴B≤0. ∴A≥B. C 【点拨】由题意得m≤0，mn＞0，则m＜0，n＜0，∴点(m，n)在第三象限． 1≤x＜5且x≠2 【解】根据二次根式有意义的条件可得a－2 025≥0， 解得a≥2 025. (3)由(2)，你能求出a－2 0242的值吗？ 【解】由(2)易得a－2 025＝2 0242， ∴a－2 0242＝2 025. 课堂小结 二次根式 定义 在有意义条件下求字母的取值范围 双重非负性 带有二次根号 被开方数为非负数 被开方数≥0 分母≠0 a≥0 ≥0 1. [2024遂宁射洪市期中]已知下列各式：－，，，，，，其中二次根式有(　　) A.1个 B．2个 C．3个 D．4个 【点拨】在中，当x＜3时，被开方数小于0，不是二次根式；－，，，是二次根式，共4个. 【点方法】判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数． 2. [2024绥化]若式子有意义，则m的取值范围是(　　) A.m≤ B．m≥－ C.m≥ D．m≤－ 3. [2024重庆八中开学考试]已知y＝＋－1，则xy的值为(　　) A.－6 B．－ C．6 D． (答案不唯一) 5. 若＋有意义，则＝________. 【点拨】∵＋有意义，∴解得x＝0. ∴＝1. 6. 若二次根式有意义，则－3－的最大值为________. 【点拨】∵≥0，∴当＝0时，－3－有最大值．∴－3－的最大值为－3. 7. 已知在实数范围内没有意义，则化简|a－2|－|a－1|的结果是________. 8. 若(2x＋y－5)2＋＝0，则x－y的值是________. (1)；　　 (2)＋； 【解】由4－3x≥0，得x≤.所以当x≤时，有意义． 由得3≤x≤5. 所以当3≤x≤5时，＋有意义． (3)；　　 (4). 【解】无论x为何实数，(x＋1)2都是非负数． 所以不论x取何实数，总有意义． 由得x＞3. 所以当x＞3时，有意义． 10.若实数m，n满足等式|m－2|＋＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长是(　　) A．12 B．10 C．8 D．6 11. 在＋中，x的取值范围在数轴上表示为(　　) 12.[2024巴中期中]设x，y为实数，且y＝4＋＋，则|y－x|的值是(　　) A．1 B．9 C．4 D．5 【点拨】∵y＝4＋＋，∴5－x≥0，x－5≥0，解得x＝5. ∴y＝4.∴|y－x|＝|4－5|＝1. 13.设A，B均为实数，且A＝，B＝，则A，B的大小关系是(　　) A．A＞B B．A＝B C．A＜B D．A≥B 14.若式子＋有意义，则点(m，n)在平面直角坐标系中的(　　) A.第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 15.若＋有意义，则x的取值范围是__________. 【点拨】由题意可知解得1≤x＜5且x≠2. 16.(1)若x，y为实数，且y>＋＋2，化简：. 【解】由解得x＝3，∴y>2. ∴＝＝1. (2)若y·＋＝y＋2，求的值. 【解】由解得x＝1， ∴y＋2＝0，即y＝－2. ∴＝＝＝3. 17.请判断是否存在整数a，使它同时满足以下三个条件： ①二次根式和均有意义； ②的值仍为整数； ③若b＝，则也是整数. 如果存在，请求出a的值. 【解】存在．∵二次根式和均有意义， ∴a－13≥0，20－a≥0，解得13≤a≤20. ∵为整数， ∴a＝16. 当a＝16时，b＝4，则＝2，满足条件，∴a的值为16. 18.已知实数a满足|2 024－a|＋＝a. (1)由式子可以得出a的取值范围是什么？ (2)由(1)，你能将等式|2 024－a|＋＝a中的绝对值符号去掉吗？ 【解】由(1)知a≥2 025， ∴2 024－a＜0. ∴|2 024－a|＋＝a－2 024＋＝a. $$