11.3.2 多边形的内角和 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

11.3.2 多边形的内角和 学习目标 1. 掌握不同方法探索多边形的内角和、外角和公式2. 能运用多边形的内角和、外角和公式解决一些简单问题3. 经历多边形内角和公式的推导和应用，体验转化、类比和方程的数学思想方法，培养探究推理、发现问题和动手操作的能力 如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°，…，照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走了多少米？你能计算吗？ 新课导入 探究新知 三角形内角和是_______ 180° 长方形和正方形 的内角和是________ 360° 任意四边形的内角和是多少度？还是360°吗？ 探究新知 我们一起到几何画板中看一看任意四边形的内角和到底是多少度吧！ 猜想：任意四边形的内角和是360°. 猜想：四边形ABCD的内角和是360°. A B C D 已知：四边形ABCD. 证明：∠A+∠B+∠C+∠D=360°. 1 2 3 4 解：连接AC 探究新知 ∠D+∠DAB+∠B+∠BCD =(∠D+∠2+∠4）+（∠B+∠1+∠3） =180°+180°=360° A B C D 1 2 3 解：在AB上任取一点E，连接DE,CE （四边形ABCD分成△ADE、△CDE、△BCE） E 探究新知 所以∠A+∠ADB+∠B+∠BCD =180°×3 －（∠1+∠2+∠3） =540°－ 180° =360° A B C D 解：在四边形ABCD内部任取一点F， 连接AF、BF、CF、DF （四边形ABCD分成△ADF、△CDF、△BCF、△ABF） F 探究新知 所以∠DAB+∠ADB+∠ABC+∠BCD =180°×4 －（∠1+∠2+∠3+∠4） =720°－ 360° =360° 1 2 3 4 A B C D 解：在四边形ABCD外部任取一点P， 连接AP、BP、CP、DP （四边形ABCD变成三个共顶点的三角形△APD、△BPC、△CPD） P 探究新知 所以∠DAB+∠ADB+∠ABC+∠BCD =180°×3 － （∠APB+∠PAB+∠ABP） =540°－ 180° =360° A B C D E 思考：你还有其他的证明方法吗？ 探究新知 结论： 四边形的内角和为360°. 问题：类比上面的问题，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？ A C D E B A B C D E F 内角和为180°×3 = 540°. 内角和为180°×4 = 720°. 探究新知 通过以上过程，你能发现多边形的内角和与边数的关系？ 多边形内角和 分割出三角形的个数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 边数 ······ 0 n –3 1 2 3 1 2 3 4 n –2 （ n –2 ）·180º 1×180º=180º 2×180º=360º 3×180º=540º 4×180º=720º ······ ······ ······ ······ 由 特 殊 到 一 般 多边形 4 5 6 n 3 探究新知 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？ 思考：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 六个外角加上它们分别相邻的六个内角和是多少？ 探究新知 互补 6×180°=1080° 这六个平角和与六边形的内角和、外角和有什么关系？ 六边形外角和 =360 ° =6个平角 –六边形内角和 =6×180° –(6–2) × 180° 结论：六边形的外角和等于360°. 探究新知 n边形的外角和又是多少呢？ n边形外角和 =360 ° =n个平角 –n边形内角和 =n×180° – (n–2) × 180° 结论：n边形的外角和等于360°. (与边数无关) 探究新知 归纳总结 多边形的内角和公式 n边形内角和等于(n–2)×180 °. 注意：①n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边其内角和增加180° ②多边形的内角和是180°的整数倍. 探究新知 n边形的外角和等于360°. 多边形的外角和公式 (与边数无关) 回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 探究新知 例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由. A B C D 解：在四边形ABCD中，∵∠A+∠B+∠C+∠D = （4-2）×180°=360°又∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°-180°=180° 如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补. 例题讲解 例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？ 解：设这个多边形边数为n，则 （n–2）•180=360+720 解得n=8 例题讲解 ∵这个多边形的每个内角都相等 这个多边形的内角和为（8–2）×180°=1080° ∴它每一个内角的度数1080°÷8=135° 如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°，…，照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走的路程是多少米?你能计算吗？ 巩固练习 （方法一） 解：设该正多边形边数为n ∵该正多边形的外角为24° （方法二） 解：设该正多边形边数为n ∵该正多边形的内角为 180°-24°=156° ∴ =24° 解得n=15 ∴小华一共走了15×10=150米 ∴=156° 解得n=15 ∴小华一共走了15×10=150米 求出下列图形中x的值. 巩固练习 已知一个多边形，它的内角和比外角和的3倍还多180°，求这个多边形的边数. 巩固练习 解：由题意得：该多边形的内角和为360°×3+180°=1260° 设这个多边形的边数为n (n-2)×180°=1260° 解得n=9. 答：这个多边形是九边形. 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数. 巩固练习 解法一：设这个多边形的内角为7x ° 外角为2x° 7x+2x=180 解得x=20. 每个内角是140 °，每个外角是40 °. 360° ÷40 °=9. 答：这个多边形是九边形. 解法二：设这个多边形的边数为n 根据题意得 解得 n=9. 答：这个多边形是九边形. 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数． 巩固练习 分析：根据五边形的内角和等于540°， 由∠C，∠D，∠E的度数可求 ∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求得∠P的度数． 巩固练习 解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°， ∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°， ∴∠EAB+∠ABC=540°–∠C–∠D–∠E=230°. ∵AP平分∠EAB， ∴∠PAB＝ ∠EAB， 同理可得∠ABP＝ ∠ABC， ∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°， ∴∠P=180°–∠PAB–∠PBA =180°− (∠EAB+∠ABC)=180°− ×230°=65°． 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7=__________ 540° 360° 课堂小结 四边形 五边形 六边形 n边形 正n边形 三角形 内角和：(n–2) × 180 °(n ≥3的整数） 外角和：360°（与边数无关） 每个内角度数： 每个外角度数： 类比 特殊到一般 转化 $$